LOI GIAI CAU 5 DE TOAN KB NAM 2010

Bài 1: (Đề khối B). Cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) 2P a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + +
Giải. Đặt t=ab+bc+ca. Theo BĐT
2
( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + +
suy ra
1
0
3
t≤ ≤
.
Mặt khác
2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) ( )a b b c c a ab bc ca t+ + ≥ + + =
Do đó
2
3 2 1 2P t t t≥ + + −
.
Xét hàm
2
( ) 3 2 1 2f t t t t= + + −
với
1
0
3
t≤ ≤
.
Ta có
2 (2 3) 1 2 2
'( ) 2 3

1 2 1 2
t t
f t t
t t
+ − −
= + − =
− −
;
'( ) 0 (2 3) 1 2 2f t t t= ⇔ + − =
(1)
Đặt
1 2u t= −
thì
1
1
3
u≤ ≤
, pt (1) trở thành:
3
4 2 0u u− + =
(2)
Dễ chứng minh được
3
4 2 0u u− + <
với mọi
1
1
3
u≤ ≤
, do đó (2) vô nghiệm, tức là (1)

vô nghiệm.
Từ đó suy ra ngay
'( ) 0f t >
với mọi
1
0
3
t≤ ≤
Do đó
( ) (0) 2f t f≥ =
. Vậy minP=2 khi chẳng hạn a=b=0 và c=1.