chuyên đề đại cương về dao động điều hoà

Chuyªn ®Ị I. ®¹i c¬ng vỊ dao ®éng ®iỊu hoµ
A. lý thut.
* Dao ®éng, dao ®éng tn hoµn, dao ®éng ®iỊu hoµ.
• Dao ®éng: Lµ chun ®éng cã giíi h¹n trong kh«ng gian, lỈp ®i lỈp l¹i nhiỊu
lÇn quanh mét vÞ trÝ x¸c ®Þnh (gäi lµ vÞ trÝ c©n b»ng- VTCB).
• VTCB lµ vÞ trÝ cđa vËt khi ®øng yªn.
• Dao ®éng tn hoµn: Lµ dao ®éng mµ tr¹ng th¸i chun ®éng cđa vËt ®ỵc lỈp
l¹i sau nh÷ng kho¶ng thêi gian b»ng nhau bÊt k×.
• Tr¹ng th¸i cđa vËt ®ỵc x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ vµ híng chun ®éng.
• Dao ®éng ®iỊu hoµ: Lµ dao ®éng trong ®ã li ®é cđa vËt lµ mét hµm cosin
(hay sin) cđa thêi gian.
* Phương trình của dao động điều hòa
• Phương trình dao động ®iỊu hoµ: x = Acos(ωt + ϕ). Trong đó: A, ω và ϕ là
những hằng số.
• A là biên độ dao động (A > 0). Nó là li độ cực đại (độ lệch cực đại khỏi vò
trí cân bằng) của vật. Nếu gọi BB’ là chiều dài quỹ đạo của vật dao động điều hoà
thì: A =
2
'BB
.
• (ωt + ϕ) là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vò rad – Cho biết trạng
thái dao động (vò trí và chiều chuyễn động) của vật tại thời điểm t.
• ϕ là pha ban đầu của dao động; đơn vò rad – Cho biết trạng thái dao động
của vật tại thời điểm ban đầu ( t
0
= 0 ).
• Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi
là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều có đường kính là đoạn thẳng đó.
Đường tròn quỹ đạo của điểm M gọi là đường tròn Fresnen. Một dao động điều hoà
có thể được biểu diễn bằng một véctơ quay.
• Trạng thái dao động của vật tại một thời điểm được đặc trưng bởi: vò trí và

hướng chuyển động của vật.
• Sau thời gian một số nguyên lần chu kỳ, vật dao động điều hoà trở về vò
trí cũ theo hướng cũ.
* Chu kỳ, tần số và tần số góc của dao động điều hoà
• Chu kì (kí hiệu T) của dao động điều hòa là khoảng thời gian ngắn nhất
để vật thực hiện một dao động toàn phần; đơn vò giây (s). Trong dao động điều hoà T
=
ω
π
2
.
• Tần số (kí hiệu f) của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực
hiện được trong một giây; đơn vò héc (Hz). Trong dao động điều hoà f =
π
ω
2
1
=
T
.
• ω trong phương trình x = Acos(ωt + ϕ) được gọi là tần số góc của dao
động điều hòa; đơn vị rad/s.
• Liên hệ giữa ω, T và f: ω =
T
π
2
= 2πf.
* Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà
• Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian: v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ) =
ωAsin(-ωt - ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ +

2
π
).
• Ở vò trí biên (x = ± A), vận tốc bằng 0.
• Ở vò trí cân bằng (x = 0), vận tốc có độ lớn cực đại : v
max
= ωA.
• Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: a = v' = x’’ = - ω
2
Acos(ωt +
ϕ) = - ω
2
x hoặc a = v’ = x’’ = - ω
2
Acos(ωt + ϕ) = ω
2
Acos(ωt + ϕ + π).
• Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vò trí cân bằng và
có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.
• Ở vò trí biên (x = ± A), gia tốc có độ lớn cực đại : a
max
= ω
2
A.
• Ở vò trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0.
• Đồ thò của dao động điều hòa là một đường hình sin.
• Hệ thức độc lập với thời gian:* A
2
= x
2

+
2
2
ω
v
, từ hệ thức này có thể suy
ra: v= ± ω
22
xA −
.
*
1
22
2
42
2
=+
ωω
A
v
A
a
• Trong dao động điều hoà:
* Quãng đường vật đi được trong một chu kỳ là 4A.
* Thời gian ngắn nhất để vật đi từ VTCB ra vò trí
biên hoặc ngược lại là
4
T
.
b. Bµi tËp .

Dạng 1. X¸c ®Þnh pha ban ®Çu cđa dao ®éng.
• NÕu bµi ra cho ®iỊu kiƯn ban ®Çu x
0
vµ v
0
, ta dùa vµo ph¬ng tr×nh dao ®éng
tỉng qu¸t d¹ng: x = Acos(ωt + φ) khi ®ã pha ban ®Çu φ ®ỵc x¸c ®Þnh theo ®iỊu kiƯn: t
0
= 0



−=
=
⇒
ϕω
ϕ
sin
cos
0
0
Av
Ax
(1) ; thay x
0
vµ v
0
vµo (1) ta t×m ®ỵc φ (chó ý: vËt chun ®éng theo
chiỊu d¬ng v
0

> 0 vµ ngỵc l¹i).
• NÕu bµi ra cho ph¬ng tr×nh dao ®éng díi d¹ng: x = Asin(ωt + φ
1
) th× ta ph¶i
vËn dơng c¸c c«ng thøc lỵng gi¸c ®Ĩ ®a ph¬ng tr×nh trªn vỊ d¹ng: x = Acos(ωt + φ
1
-
2
π
). Khi ®ã pha ban ®Çu cđa dao ®éng lµ: φ = φ
1
-
2
π
.
Bài tập áp dụng.
1. Mét vËt dao ®éng ®iỊu hoµ theo ph¬ng tr×nh: x = 5sin(10πt + π) (cm). X¸c ®Þnh
pha ban ®Çu cđa dao ®éng.
2. Một vật dao động điều hoà trên trục Ox với biên độ 4cm, tần số 2,5Hz. Tại
thời điểm ban đầu, kéo vật lệch ra khỏi VTCB một đoạn
22
cm về phía dơng của trục
toạ độ, rồi truyền cho vật vận tốc có độ lớn 10
2
cm/s. Lấy
2
= 10. Xác định pha ban
đầu của dao động.
3. Một vật dao động điều hoà trên trục Ox, tại thời điểm ban đầu vật đi qua
VTCB theo chiều dơng. Xác định pha ban đầu của dao động của vật. Nếu mốc thời gian

đợc chọn khi vật đi qua VTCB theo chiều âm thì pha ban đầu là bao nhiêu?
4. Một vật dao động điều hoà với biên độ A = 10cm, thời điểm ban đầu đợc chọn
khi vật đi qua vị trí có li độ x = - 5cm theo chiều âm của trục toạ độ. Xác định pha ban
đầu của dao động của vật.
5. Nếu mốc thời gian đợc chọn là lúc vật ở vị trí biên thì pha ban đầu của dao
động của vật là bao nhiêu?
Daùng 2. Xác định chu kì, tần số của dao động.
Xác định T và f theo các công thức định nghĩa: Từ phơng trình x = Acos(t +
), nếu gọi T là chu kỳ của dao động ta có: x = Acos(t + ) = Acos[(t + T) + ] =
Acos(t + + T) = Acos(t + + 2). Vậy T = 2 hay T =


2
. Từ đó theo định
nghĩa ta có: f =


2
1
=
T
.
Xác định T và f theo định nghĩa: Nếu gọi t là thời gian để vật thực hiện N dao
động thì chu kỳ dao động của vật là: T =
N
t
và tần số của dao động là: f =
t
N
.

Baứi taọp aựp duùng.
1. Một vật dao động điều hoà thực hiện đợc 100 dao động trong thời gian 2 giây.
Tính chu kỳ và tần số dao động của vật.
2. Một vật dao động điều hoà trên trục Ox, vận tốc khi đi qua VTCB là 20cm/s
và gia tốc cực đại có độ lớn là 10m/s
2
. Lấy
2
= 10. Tìm chu kỳ và tần số dao động của
vật.
3. Một vật dao động điều hoà với biên độ 10cm, khi đi qua VTCB vận tốc có độ
lớn 20cm/s. Tính chu kỳ và tần số dao động của vật.
4. Một vật dao động điều hoà khi đi qua vị trí có li độ 2cm thì gia tốc có độ lớn
là 2m/s
2
. Tính chu kỳ và tần số dao động của vật.
Daùng 3. Tính quãng đờng vật đi đợc từ thời điểm t
1
đến thời điểm t
2
trong dao động điều
hoà.
Phơng pháp.
* Những trờng hợp đặc biệt.
Quãng đờng vật đi đợc trong một chu kỳ là: s = 4A.
Quãng đờng vật đi đợc trong một nữa chu kỳ là: s = 2A.
* Trờng hợp tổng quát.
Phơng trình dao động: x = Acos(t + ).
Phơng trình vận tốc: v = x = -Asin(t + ).
Tính số chu kỳ dao động trong khoảng thời gian từ t

1
đến t
2
: N =
T
m
n
T
tt
+=

12
với
T =


2
(n

Z).
Nếu m = 0 thì s
T
= n4A.
Nếu m

0 thì:
Tính x
1
và xác định dấu của v
1

tại thời điểm t = t
1
.
Tính x
2
và xác định dấu của v
2
tại thời điểm t = t
2
.
Vẽ hình biểu diễn đờng đi của vật trong phần lẻ
T
m
chu kỳ.
Dựa vào hình vẽ tính quãng đờng vật đi trong phần lẻ
T
m
thời
gian (s
L
).
Quãng đờng vật đi đợc trong khoảng thời gian từ t
1
đến t
2
là: s =
s
T
+ s
L

.
* Tính quãng đờng dài nhất mà vật có thể đi đợc trong khoảng thời gian
12
ttt =
(với 0 <
t
<
2
T
).
Nhận xét:
- Vì 0 <
t

<
2
T
nên s
max
<2A.
- Để quãng đờng vật đi trong thời gian 0 <
t

<
2
T
là lớn nhất thì phần
lớn thời gian trong khoảng t vận tốc của vật phải tăng, nghĩa là trong phần lớn thời gian
đó vật phải chuyển động hớng về VTCB đồng thời vật chỉ có thể đi qua VTCB một lần.
- Để quãng đờng mà vật đi đợc là lớn nhât thì vận tốc của vật phải

không đổi chiều trong thời gian chuyển động.
- Do trong thời gian t quỹ đạo của vật là đoạn thẳng và trong quá trình
chuyển động vận tốc của vật không đổi chiều, vì vậy ta có thể tính quãng đờng mà vật đi
đợc theo độ dời: s =
12
xx
. Trong đó x
1
, x
2
lần lợt là li độ của vật tại các thời điểm t
1
và
t
2
.
Từ những nhận xét trên, ta có thể tính quãng đờng dài nhất mà vật đi trong thời
gian 0 <
t

<
2
T
nh sau:
s =
12
xx
= |Acos(t
2
+ ) Acos(t

1
+ )| =






+
+




)
2
(sin)
2
sin(2
12
tt
t
A
.
)
2
sin(2
max
t
As

=

.
* Chú ý: nếu
t

>
2
T
ta phân tích
t

= n
2
T
+
't

( với 0<
't

<
2
T
) khi đó quãng
đờng dài nhất mà vật đi đợc là
)
2
sin(22

max
t
AnAs

+=


* Tính quãng đờng ngắn nhất mà vật có thể đi đợc trong khoảng thời gian
12
ttt =
(với 0 <
t
<
2
T
).
Nhận xét:
- Vì 0 <
t

<
2
T
nên s
min
< 2A.
- Để quãng đờng vật đi trong thời gian 0 <
t

<

2
T
là ngắn nhất thì phần
lớn thời gian trong khoảng t vận tốc của vật phải giảm, nghĩa là trong phần lớn thời gian
đó vật phải chuyển động hớng ra xa VTCB.
- Do tính tuần hoàn của chuyển động, để quãng đờng mà vật đi đợc là
ngắn nhất thì vận tốc của vật phải đổi chiều tại vị trí biên trong thời gian chuyển động.
Từ những nhận xét trên, ta có thể tính quãng đờng ngắn nhất mà vật đi trong
thời gian 0 <
t

<
2
T
nh sau:
* Nếu vật đổi chiều tại vị trí biên mà li độ x
1
và x
2
nhận giá trị dơng thì quãng đ-
ờng mà vật đi đợc trong thời gian 0 <
t
<
2
T
là: s = A- x
1
+ A x
2
= 2A [ Acos(t

1
+
) + Acos(t
2
+ )] = 2A- 2Acos






+
+



)
2
(cos
2
21
tt
t

2
cos22
min
t
AAs

=

, (s
min
khi
max
21
])
2
(cos[

+
+tt
).
* Nếu vật đổi chiều tại vị trí biên mà li độ x
1
và x
2
nhận giá trị âm thì quãng đ-
ờng mà vật đi đợc trong thời gian 0 <
t

<
2
T
là: s = A + x
1
+ A + x
2
= 2A + [ Acos(t

1
+
) + Acos(t
2
+ )] = 2A + 2A cos






+
+



)
2
(cos
2
21
tt
t

2
cos22
min
t
AAs

=

,
(s
min
khi
min
21
])
2
(cos[

+
+ tt
).
* Chú ý: nếu
t

>
2
T
ta phân tích
t

= n
2
T
+
't

( với 0<
't

<
2
T
) khi đó quãng
đờng ngắn nhất mà vật đi đợc là
)
2
cos(2)1(2
min
t
AnAs

+=


Baứi taọp aựp duùng.
1. Một vật dao động điều hoà với tần số góc = 10 rad/s. Tại thời điểm ban đầu
t = 0 vật ở vị trí có li độ x = 2cm và có vận tốc v =
(cm/s)320
. Tính quãng đờng mà
vật đi đợc trong khoảng thời gian
4
1
chu kì kể từ thời điểm t = 0.
2. một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = 4sin(20t -
6

) ( cm). Tính vận tốc
trung bình của vật trong khoảng thời gian t =
60
19

s kể từ thời điểm t = 0.(52.27)
3. Một vật dao động điều hoà với tần số góc = 20 rad/s, biên độ A = 6 cm.
Chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dơng. Tính quãng đờng
vật đi đợc trong khoảng thời gian
10

s đầu tiên.
4. Một vật dao động điều hoà với chu kì T =
10

s, biên độ A = 4cm. Lấy t = 0 lúc
vật ở vị trí cân bằng. Tính quãng đờng mà vật đi đợc trong 10(s) đầu tiên.
5. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A,
chu kì T. Trong khoảng thời gian
4
1
T, quãng đờng lớn nhất mà vật có thể đi đợc là bao
nhiêu?
6. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A,
chu kì T. Trong khoảng thời gian
3
1
T, quãng đờng lớn nhất mà vật có thể đi đợc là bao
nhiêu?
7. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A,

chu kì T. Trong khoảng thời gian
3
1
T, quãng đờng nhỏ nhất mà vật có thể đi đợc là bao
nhiêu?
8. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A,
chu kì T. Trong khoảng thời gian
4
1
T, quãng đờng nhỏ nhất mà vật có thể đi đợc là bao
nhiêu?
9. Một vật dao động với phơng trình
x

=

4cos4t

(cm). Tính quãng đờng mà vật
đi đợc trong khoảng thời gian 30s kể từ lúc t = 0.
10. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 10sin(
3
4


+t
) cm. Tính
quãng đờng vật đi từ thời điểm t
1
=

s
16
1
đến t
2
= 5s.
11. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x =
24
sin(
4
5


t
) cm. Tính
quãng đờng vật đi từ thời điểm t
1
=
s
30
1
đến t
2
= 6s.
12.(Đề ĐH 2008). Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị
trí cân bằng O với birn độ A, chu kỳ T. Trong khoảng thời gian một phần t chu kỳ, quãng
đờng lớn nhất mà vật có thể đi đợc là bao nhiêu?
Daùng 4. Xác định thời điểm và khoảng thời gian trong dao động điều hoà.
4.1. Xác định thời điểm vật đi qua li độ x
0

.
* Phơng pháp.
* Cách 1: Giải phơng trình x
0
= Acos(t + ).
1
0
2
2
cos( ) cos 2
2
b k
t
x
t b t b k
b k
A
t







= +


+ = = + = +

= +


. Với k
N

khi
0>

b
và k
*
N
khi
0<

b
.
* Số lần (n) chẵn đi qua điểm có li độ x
0
ứng với nghiệm t
2
(nếu b > 0), ứng
với nghiệm t
1
(nếu b < 0).
* Số lần (n) lẻ đi qua điểm có li độ x
0

ứng với nghiệm t
1
(nếu b > 0), ứng với
nghiệm t
2
(nếu b < 0).
* Khi
0
b



>
thì
1
2
n
k

=
nếu n lẻ,
1
2
n
k =
nếu n chẵn.
* Khi
0
b

<
thì
1
2
n
k

=
nếu n lẻ,
2
n
k =
nếu n chẵn.
* Khi có điều kiện về dao động của vật thì ta loại bớt một nghiệm t.
* Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn
đều,vẽ đờng tròn Fressnen tâm O. Sau đó xác định vị trí ban đầu (M
0
) khi t = 0 và vị trí
(M) ứng với li độ x
0
khi t > 0 trên đờng tròn. Từ đờng tròn suy ra:
Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x
0
lần thứ nhất t
1
=

s

với s là độ dài cung
MOM
0
.
Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x
0
lần thứ n là: t =


2
)
2
1
(
n
+ t
1
nếu n là số
nguyên lẻ; t =


2
)
2
2
(
n
+ t
1
nếu n là số nguyên chẵn.

* Bài tập áp dụng:
1. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 8cos2t (cm). Xác định thời
điểm vật đi qua VTCB lần thứ nhất.
2. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 4cos(4t +
6

)(cm). Xác định
thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 2cm lần thứ ba theo chiều dơng.
3. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 4cos(4t +
6

)(cm). Xác định
thời điểm vật đi qua vị trí cí li độ x = 2cm lần thứ 2011.
4. Một vật dao động điều hoà với phơng trình: x = 10sin(

t/2+

/6)cm. Tính
khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu khảo sát đến lúc vật qua vị trí có li độ x = -5
3
cm lần
thứ ba.
5. Một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = 4cos(
5
2 6
t


) cm. Xác định
thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 2

3
cm theo chiều dơng của trục toạ độ lân thứ
2015.
6. Một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = 4cos(
2 3
t


) cm. Xác định
thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = -2
3
cm theo chiều âm của trục toạ độ lân thứ
2009.
4.2. Xác định thời điểm vật có vận tốc v
0
.
* Phơng pháp.
* Cách 1: Giải phơng trình: v
0
= - Asin(t + ).



+=+
+=+
==+

2
2
sin)sin(
0
kbt
kbt
b
A
v
t
1
2
2
2
b k
t
b k
t






= +

= +


Với k

N khi



>
>
0
0


b
b
và k
*
N
khi



<
<
0
0

b
b
.
* Số lần (n) chẵn có vận tốc v
0
ứng với nghiệm t
2
(nếu b > 0), ứng với nghiệm
t
1
(nếu b < 0).
* Số lần (n) lẻ có vận tốc v
0
ứng với nghiệm t
1
(nếu b > 0), ứng với nghiệm
t
2
(nếu b < 0).
* Khi



>
>
0
0

b
b
thì
1
2
n
k

=
nếu n lẻ,
1
2
n
k =
nếu n chẵn.
* Khi



<
<
0
0


b
b
thì
1
2

n
k

=
nếu n lẻ,
2
n
k =
nếu n chẵn.
* Khi có điều kiện của vật thì ta loại bớt một nghiệm t.
* Cách 2:Vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn
đều,vẽ đờng tròn Fresnen tâm O. Sau đó xác định vị trí ban đầu (M
0
) khi t = 0 và các vị trí
(M
1
; M
2
) mà vật có vận tốc
0
v
uur
(có hai vị trí vật có cùng vận tốc
0
v
uur
đối xứng nhau qua
VTC) khi t > 0 trên đờng tròn. Từ đờng tròn vẽ đợc, dựa vào điều kiện bài ra để xác định
thời điểm vật có vận tốc
0

v
uur
lần thứ n.
* Bài tập áp dụng.
1. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 8cos(2t -
6

)(cm). Xác định
thời điểm vật có vận tốc v
0
= - 8 cm/s lần thứ 2010.
2. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 2cos(10t +
2

)(cm). Xác định
thời điểm vật có vận tốc v
0
= 0 cm/s lần thứ nhất.
3. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 5cos(2t -
2

)(cm). Xác định
thời điểm vật có vận tốc bằng nữa vận tốc cực đại lần thứ 2011.
4. (Đề ĐH 2008). Một vật dao động điều hoà có chu kỳ T. Nếu chọn mốc thời
gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng, thì trong nữa chu kỳ đầu tiên, vận tốc của vật bằng
không ở thời điểm nào?
5. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 4cos(10t -
3

)(cm). Xác định

thời điểm vật có vận tốc 20cm/s và đang chuyển động theo chiều âm của trục toạ độ lần
thứ 2009.
6. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 6cos(5t -
4

)(cm). Xác định
thời điểm lần thứ 2 vật có vận tốc - 15cm/s.
4.3. Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến vị trí có
li độ x
2
.
* Phơng pháp.
Vận đụng sự tơng đồng giữa chuyển động tròn đều và dao động diều hoà. Các b-
ớc thực hiện nh sau:
Xác định các vị trí x
1
và x
2
trên quỹ đạo.
Tính các góc
1
và
2
với:

=
=
A
x
A
x
2
2
1
1
cos
cos


thoả mãn 0
1
;
2
.
Thời gian ngắn nhất cần tìm là:




12

=

=t
.
* Bài tập áp dụng.
1. Một vật dao động điều hoà với chu kì T = 8s, tính thời gian ngắn nhất để vật đi
từ vị trí x = +
2
A
đến vị trí x = -
2
A
.
2. Một vật dao động điều hoà với chu kì T và biên độ A. Tìm thời gian ngắn nhất
mà vật đi từ vị trí:
a. x = 0 đến vị trí x = + A.
b. x = 0 đến vị trí x = +
2
A
.
c. x = +
2
A
đến vị trí x = + A.
3. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x =10cos(2t +

) cm. Khoảng thời
gian ngắn nhất từ lúc t = 0 đến thời điểm vật có li độ 5cm là bao nhiêu?
4. Phơng trình dao động của một chất điểm là x=6(
6
10

+t
)(cm). Tìm khoảng
thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x
1
=-3
2
(cm) đến li độ x
2
=3
3
(cm).
5. Một vật dao động điều hòa có biên độ A= 4(cm), chu kỳ T= 0,1(s). Chọn t=0 là
lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều (+).Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ
vị trí có li độ x
1
=2(cm) đến vị trí có li độ x
2
= 4(cm).
Daùng 5. Xác định tần suất ( số lần vật đi qua vị trí có li độ x
0
hoặc số lần vật có vân tốc
đạt giá trị v
0
).
* Phơng pháp.
Trớc khi tìm hiểu chi tiết phơng pháp giải bài toán dạng này ta có các nhận xét sau:
Mỗi 1 chu kỳ vật qua vị trí bất kỳ 2 lần (riêng với điểm biên thì 1 lần).
Mỗi một chu kỳ vật đạt vận tốc

v
r
hai lần ở 2 vị trí đối xứng nhau qua vị trí cân
bằng và đạt tốc độ v bốn lần mỗi vị trí 2 lần do đi theo 2 chiều âm dơng.
Mỗi chu kỳ lực đàn hồi cực đại 1 lần ở 1 biên và cực tiểu 1 lần ở biên còn lại
nếu l (ở vị trí cân bằng ) lớn hơn A và cực tiểu( bằng không) 2 lần ở một vị trí x = - l
nếu l < A còn lực phục hồi (hợp lực) cực đại 2 lần ở 2 biên và cực tiểu (bằng không) 2
lần ở vị trí cân bằng (chiều dơng của ox hớng xuông dới).
Đối với gia tốc thì kết quả nh với li độ.
Chú ý: Nếu t = 0 tính từ vị trí khảo sát thì cả quá trình đợc cộng thêm một lần
vật đi qua li độ, vận tốc đó.
* Phơng pháp hình học.
Vẽ đờng tròn Fresnen bán kính A.
Xác định tọa độ góc của véc tơ quay của vị trí đầu quá trình
1
trên giản đồ(đ-
ờng tròn).
Xác định vị trí đề bài cho (x
0
) trên giản đồ tọa độ góc của véc tơ quay ứng
với vị trí đề bài cho
0
.
Tính thời gian của quá trình t = t
2
- t
1
phân tích t = nT + t. Trong đó n là số
tự nhiên số lần cần tìm N = 2.n +N.
Tính N.

Từ t ta cung tròn bán kính quỹ đạo quét đợc trong khoảng thời gian d
(cung d) t:

= t.

từ đó vị trí cuối quá trình
2
=
1
+ .
Đếm số giao điểm của cung d với vị trí đề bài cho.
Nếu khi t = 0 vật xuất phát từ vị trí khác x
0
thì N = số giao điểm nói trên.
Nếu khi t = 0 vật xuất phát từ vị trí x
0
thì N = N của trờng hợp trên cộng thêm
1.
*Phơng pháp đồ thị.
Vẽ đồ thị li độ (hoặc vận tốc ) theo thời gian.
Xác định số giao điểm của đồ thị với đờng thẳng x = x
0
(hoặc v = v
0
) trong
khoảng thời gian [ t
1
,t
2
] đã cho.

*Phơng pháp đại số.
Giải phơng trình:
Acos(t + ) = x
0
1
0
2
2
cos( ) cos 2
2
b k
t
x
t b t b k
b k
A
t







= +


+ = = + = +

= +


Kết hợp với điều kiện t
1
t t
2
đếm số các giá trị nguyên của k.
Giải phơng trình: v
0
= - Asin(t + ).



+=+
+=+
==+




2
2
sin)sin(
0
kbt
kbt
b
A

v
t
1
2
2
2
b k
t
b k
t






= +






= +


Kết hợp với điều kiện t
1
t t
2

đếm số các giá trị nguyên của k.
* Bài tập áp dụng.
1. Một con lắc dao động với phơng trình x = 3cos(4t-
3

) cm. Xác định số lần
vật qua li độ x = 1,5cm trong 1,2s đầu.
2. Một vật dao động với phơng trình x = 4cos3t cm. Xác định số lần vật có tốc
độ 6 cm/s trong khoảng (1;2,5) s.
3. Một chất điển dao động điều hoà với phơng trình x = 3cos
)
6
5(


+t
(cm, s ).
Trong một giây đầu tiên kể từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1cm
mấy lần?
4. Phơng trình li độ của vật dao động điều hoà là:
)
2
5sin(4


= tx
. Kể từ khi
bắt đầu dao động đến thời điểm t = 1,5s thì vật đi qua li độ x = 2cm bao nhiêu lần?
5. Phơng trình li độ của vật dao động điều hoà là:
)

3
4sin(2


= tx
. Kể từ khi
bắt đầu dao động đến thời điểm t = 1,8s thì vật đi qua li độ x = -1cm bao nhiêu lần?
6. (Đề ĐH 2008). Một chất điểm dao động điều hoà theo phơng trình
)
3
5cos(3


= tx
(x tính bằng mét, t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên kể từ lúc t
= 0, chất điểm qua vị trí có li độ x = + 1cm bao nhiêu lần?
7. Một vật dao động điều hoà với phơng trình
10cos(2 )
3
x t


= +
cm. Trong 1,5s
kể từ khi bắt đầu dao động vật đi qua VTCB mấy lần?
8. Một vật dao động điều hoà với phơng trình
2cos(2 )
2
x t

=
cm. Trong
7
6
s
kể từ khi bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có li độ x = 1cm mấy lần?
9. Phơng trình li độ của một vật là x = 4cos(
5 t

+
) cm. Kể từ lúc bắt đầu dao
động đến thời điểm t = 1,5s thì vật qua vị trí có li độ x = 2cm đợc mấy lần?
Daùng 6. Lập phơng trình dao động
* Phơng pháp.
Tính

:
+

=
2
2 f
T


=
.
+ A
2

= x
2
+
2
2

v

22
2
xA
v

=

hoặc các công thức: v
max
= A
A
v
max
=


và a
max
=
2
A
A

a
max
=


• TÝnh A:
+ A
2
= x
2
+
2
2
ω
v

2
2
2
ω
v
xA +=⇒
.
+
2 2 2 2
2
4 2 4 2
a v a v
A A
ω ω ω ω

+ = → = +
+ A =
2
'BB
, trong đó BB’ là chiều dài quỹ đạo của vật. Nếu gọi O là VTCB
(gốc toạ độ) thì OB = OB’ = A.
+ v
max
= ωA
ω
max
v
A =⇒
hoặc a
max
= ω
2
A
2
max
ω
a
A =⇒
….hoặc có thể dựa vào
điều kiện ban đầu bài toán cho.
• X¸c ®Þnh pha ban ®Çu
ϕ
.
• Thay A,
ω

vµ
ϕ
vµo ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t: x = Acos(ωt + ϕ). Ta cã ph-
¬ng tr×nh dao ®éng cđa vËt.
* Bµi tËp vËn dơng.
1. Mét vËt dao ®éng ®iỊu hßa víi tÇn sè f = 2(Hz), A = 20(cm). LËp ph¬ng tr×nh
dao ®éng trong mçi trêng hỵp sau:
a. Chän gèc thêi gian lóc vËt qua vÞ trÝ c©n b»ng theo chiỊu (+).
b. Chän gèc thêi gian lóc vËt qua vÞ trÝ cã li ®é x=10(cm) theo chiỊu ©m cđa trơc
to¹ ®é.
c. Chän gèc thêi gian lóc vËt ë vÞ trÝ biªn (+).
d. Chän gèc thêi gian khi vËt ®i qua vÞ trÝ cã li ®é x = -10
3
cm theo chiỊu d¬ng
cđa trơc to¹ ®é.
2. Mét vËt dao ®éng ®iỊu hßa trªn mét ®o¹n th¼ng dµi 20(cm) vµ thùc hiƯn 150
dao ®éng/phót. Lóc t = 0 vËt qua vÞ trÝ cã täa ®é +5(cm) vµ ®ang híng vỊ vÞ trÝ c©n b»ng.
Vݪt ph¬ng tr×nh dao ®éng cđa vËt.
3. Mét chÊt ®iĨm dao ®éng ®iỊu hßa ®i ®ỵc 40(cm) trong mét chu kú. ViÕt ph¬ng
tr×nh dao ®éng biÕt r»ng lóc t = 0 chÊt ®iĨm qua vÞ trÝ c©n b»ng víi vËn tèc 31,4(cm/s)
theo chiỊu (+) ®· cho trªn q ®¹o.
4. Mét vËt dao ®éng ®iỊu hßa víi T=1,256(s) lóc t = 0 chÊt ®iĨm qua vÞ trÝ cã li
®é x=-2(cm) víi vËn tèc 10(cm/s) vỊ phÝa biªn gÇn nhÊt. ViÕt ph¬ng tr×nh dao ®éng cđa
vËt.
5. VËt dao ®éng ®iỊu hoµ thùc hiƯn 5 dao ®éng trong thêi gian 2,5 s, khi qua vÞ trÝ
c©n b»ng vËt cã vËn tèc 62,8 (cm/s). LËp ph¬ng tr×nh dao ®éng ®iỊu hoµ cđa vËt, chän gèc
thêi gian lóc vËt cã li ®é cùc ®¹i (+).
6. VËt dao ®éng ®iỊu hoµ: khi pha dao ®éng lµ
3
π

th× vËt cã li ®é lµ
5 3
cm, vËn
tèc -100 cm/s. LËp ph¬ng tr×nh dao ®éng cđa vËt chän gèc thêi gian lóc vËt cã li ®é -
5 3

vµ ®ang chun ®éng theo chiỊu (+).
7. Mét vËt dao ®éng ®iỊu hßa trªn q ®¹o dµi 8(cm). Trong mét chu kú, kho¶ng
thêi gian ng¾n nhÊt mµ vËt ®i tõ li ®é x
1
= - 4(cm) ®Õn li ®é x
2
= 2(cm) lµ
3
2
(s). LÊy
g=10(m/s
2
),π
2
=10. ViÕt ph¬ng tr×nh dao ®éng cđa vËt. Chän gèc täa ®é ë vÞ trÝ c©n b»ng,
gèc thêi gian lóc vËt qua vÞ trÝ c©n b»ng theo chiỊu (+).
8. Một vật dao động điều hòa giữa hai điểm P,Q với chu kỳ T=1(s). Lấy vị trí cân
bằng O là gốc tọa độ thì sau khi bắt đầu dao động đợc 2,5(s) vật có tọa độ x=-5
2
(cm)
và đi theo chiều (-) của quỹ đạo với vận tốc có giá trị 10
2
(cm/s). Viết phơng trình dao
động của vật.

9. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, vận tốc của vật khi đi qua VTCB
là 62,8cm/s và gia tốc cực đại của vật là 2m/s
2
. Lấy
2
10

=
. Viết phơng trình dao động
của vật nếu gốc thời gian đợc chọn là lúc vật qua điểm M
0
có li độ x
0
= - 10
2
cm theo
chiều dơng trục tọa độ còn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật.