Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Phú Thọ potx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2.5 điểm)
Cho biểu thức :
2 x 11 x 2 2 x 1
A
x 5 x 4 x 1 4 x
− + −
= − −
− + − −
.
a) Tìm x để biểu thức có nghĩa;
b) Rút gọn A.
Câu 2: (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho
3
1
x x
xy
+
−
là số nguyên dương.
Câu 3: ( 2.0 điểm)
Giải phương trình:
a)
x 1 3
x 1 2 x 1
4 2 2

− − = − −
;
b) (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297.
Câu 4. (1,5 điểm )
Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng :

0
a b b c c d d a
b c c d d a a b
− − − −
+ + + ≥
+ + + +
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, AD = 4 cm. M là một điểm bất kỳ
trên cạnh AB (M không trùng với Avà B). Qua M kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt
song song với AC, BD, chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N, Q. Qua N kẻ
đường thẳng song song với BD cắt CD tại P. Tìm vị trí của M trên AB để diện tích
tứ giác MNPQ lớn nhất.
Hết
Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD:………………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán

I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo
đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng
chấm thi.

3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
Câu Đáp án
Điể
m
Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức :
2 x 11 x 2 2 x 1
A
x 5 x 4 x 1 4 x
− + −
= − −
− + − −
a. Tìm x để biểu thức có nghĩa
b. Rút gọn A.
Từ biểu thức :
2 x 11 x 2 2 x 1
A
x 5 x 4 x 1 4 x
− + −
= − −
− + − −
a. Để biểu thức có nghĩa, khi và chỉ khi :
( ) ( )
x 0
x 0
x 0
x 1 x 4 0
x 5 x 4 0
x 1 0
x 1 0
x 1 0

x 4 0
4 x 0
x 4 0
≥

≥

≥



− − ≠
− + ≠



⇔ ⇔ ⇔ − ≠
  
− ≠
− ≠
  
− ≠

 
− ≠
− ≠


0.5
x 0

x 0
x 1 x 1
x 16
x 4
≥

≥



⇔ ≠ ⇔ ≠
 
 
≠
≠


0.5
b. Rút gọn A : Với
x 0;x 1;x 16≥ ≠ ≠
, ta có :
( ) ( )
2 x 11 x 2 2 x 1
A
x 1 x 4
x 1 x 4
− + −
= − +
− −
− −

0.25

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 x 11 x 2 x 4 2 x 1 x 1
x 1 x 4
− − + − + − −
=
− −
0.25

( )
( ) ( )
2 x 11 x 4 x 2 x 8 2x 2 x x 1
x 1 x 4
− − − + − + − − +
=
− −
0.25
Câu Đáp án
Điể
m

( ) ( )
2 x 11 x 4 x 2 x 8 2x 2 x x 1
x 1 x 4
− − + − + + − − +
=
− −
0.25

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x 1 x 2
x x 2
x 1 x 4 x 1 x 4
− +
+ −
= =
− − − −
x 2
A
x 4
+
⇒ =
−
0.5
Câu 2: (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho
3
1
x x
xy
+
−
là số nguyên dương
Ta có:
( )
( ) ( )

3
2
1 1 ; ; 1 1
1
x x
Z x x xy x xy
xy
+
+
∈ ⇒ + − − =
−
M
0.5
( )
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1x xy x xy xy
⇒ + − ⇒ + + − −
M M
( ) ( ) ( ) ( )
1 1x x y xy x y xy⇒ + − ⇒ + −M M
( )
( )
1x y z xy z Z
+
⇒ + = − ∈
0.5
Ta có PT x + y + z = xyz.
Do vai trò x,y,z như nhau , giả sử

2
3 3x y z xyz x y z x yz z
≥ ≥ ⇒ = + + ≤ ⇒ ≥ ≥
{ }
1;3 1;2;3z yz y⇒ = ≥ ⇒ ∈
0.25
- Nếu y=1 thì x+2=x ( loại)
- Nếu y=2 thì x=3
- Nếu y=3 thì x=2 ( loại vì
x y
≥
).
Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) và các hoán vị của nó.
0.25
Câu 3: ( 2.0 điểm) Giải phương trình
a.
x 1 3
x 1 2 x 1
4 2 2
− − = − −
b. (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297
Phương trình đã cho tương đương với :
( )
( )
2
1 3 1 3
x 2 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 1 2 x 1
4 2 2 2
x 1 1 4 x 1 3 x 1 1 4 x 1 3

⇔ − − = − − ⇔ − − − + = − −
⇔ − − = − − ⇒ − − = − −
0.25
Câu Đáp án
Điể
m
x 1
3 9 9
x 1 x 1 1
4 16 16
x 1
x 1 1 4 x 1 3
4 x 1 3 0
x 1
x 1 1 4 x 1 3
9
x 1
x 1 1 3 4 x 1
16
x 1 1 3 4 x 1


≥





− ≥ ⇒ ≥ + =





≥



− − = − −
 

⇒ − − ≥ ⇔



≥



− − = − −






≥


− − = − −








− − = − −


0.25
9 9
x 1 x 1
9
16 16
x 1
16
2 4 4
x 1 x 1 1
3 x 1 2
3 9 9
9 9 9
x 1 x 1 x 1
16 16 16
4 16 16
5 x 1 4
x 1 x 1 1
5 25 25
 
 
≥ ≥

  
  
 
≥

  
 

  
 
− = = + =

− =
  
 
  
⇔ ⇔ ⇔
  
  
  
≥ ≥ ≥

 
  
 

 
  

− =


 

 

− = = + =
 
 
 
 

0.25
+ Trường hợp thứ nhất :
4 9
x 1 1
9 16
= ≤
(loại)
+ Trường hợp thứ hai :
16 9
x 1 1
25 16
= ≥
(thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là :
16
x 1
25
=
.

0.25
b.
PT đã cho
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 5 4 21 297 4 32 4 6 0x x x x x x x x
⇔ + − + − = ⇔ + − + + =
0.25
+) Trường hợp:
2
4 32 0x x+ − =
Ta có :
2 2
4 32 0 8 4 32 0 ( 8) 4( 8) 0x x x x x x x x
+ − = ⇔ + − − = ⇔ + − + =
4
( 8)( 4) 0
8
x
x x
x
=

⇔ + − = ⇔

= −

0.25
+) Trường hợp:
2

4 6 0x x+ + =
Ta có :
2 2 2
4 6 4 4 2 ( 2) 2 0x x x x x x+ + = + + + = + + > ∀
0.25
Vậy nghiệm của PT là x = 4; x = - 8
0.25
Câu 4. (1 .5 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng :

0
a b b c c d d a
b c c d d a a b
− − − −
+ + + ≥
+ + + +
Cõu ỏp ỏn
i
m
VT =
1 1 1 1 1 1 1 1
a b b c c d d a
b c c d d a a b

+ + + + + + +
+ + + +

0.25
1 1 1 1
a b b c b c c d c d d a d a a b
b c c d d a a b

+ + + + + + + +
= + + +
+ + + +
0.25

4
a c b d c a d b
b c c d d a a b
+ + + +
= + + +
+ + + +
0.25

( ) ( )
1 1 1 1
4a c b d
b c d a c d a b

= + + + + +
ữ ữ
+ + + +



0.25

( ) ( )
4 4
. . 4 0a c b d
a b c d a b c d

+ + + =
+ + + + + +
0.25
Vy:
0
a b b c c d d a
b c c d d a a b

+ + +
+ + + +
.
Du = xy ra khi a = b = c = d
0.25
Cõu 5 (2,5 im)
Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 6 cm, AD = 4 cm. M l mt im bt k trờn
cnh AB (M khụng trựng vi Av B). Qua M k cỏc ng thng d, d ln lt song song
vi AC, BD, chỳng ct cỏc cnh BC, AD theo th t ti N, Q. Qua N k ng thng song
song vi BD ct CD ti P. Tỡm v trớ ca M trờn AB din tớch t giỏc MNPQ ln nht.
k
j
i
x
y
4-y
6-x
d'
d
P
q
O

M
N
C
D
B
A
Gọi O, I, J, K lần lợt là tâm của hình chữ nhật ABCD, giao điểm của
MN với BD, giao điểm của MQ với AC, giao điểm của NP với AC.
Gọi khoảng cách từ điểm M đến điểm A là x (cm), thì khoảng cách từ
điểm M đến điểm B là : 6 - x (cm).
Gọi khoảng cách từ điểm Q đến điểm A là y (cm), thì khoảng cách từ
điểm Q đến điểm D là : 4 - y (cm).
0.25
Vì :
d'/ /BD, hay: MQ / /BD
và:
d / /AC, hay : MN / /AC
nên suy ra :
AM AQ x y x 6 x x 6 x 6 3
AB AD 6 x 4 y y 4 y y 4 y 4 2
+
= = = = = =
+
hay suy ra :
2
y x
3
=
0.25
Cõu ỏp ỏn

i
m
Vì : O là trung điểm của BD (tính chất hình chữ nhật)
nên suy ra :

J là trung điểm của đoạn thẳng QM.
Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc:
I là trung điểm của đoạn thẳng MN.
K là trung điểm của đoạn thẳng NP.
0.25



MQ / /NP
và MQ = NP

Tứ giác MNPQ là hình hành

MN = QP
AMQ CPN (g.c.g) =
và
BMN DPQ (g.c.g) =
0.25
Do đó, suy ra :
Diện tích của tứ giác MNPQ đợc xác định bằng :
MNPQ MNPQ AMQ BMN
S S 2(S S )

= +
0.25

mà :
2
ABCD
S AB.AD 6.4 24(cm )= = =

2
AMQ
1 1
S AM.AQ x.y(cm )
2 2

= =
và :
( ) ( )
2
BMN
1 1
S BM.BN 6 x . 4 y (cm )
2 2

= =
0.25
suy ra :
( ) ( )
[ ]
( )
MNPQ
1 1
S 24 2 x.y 6 x . 4 y 24 xy 24 6y 4x xy
2 2

= 24 - 2xy 24 6y 4x 2xy 6y 4x

= + = + +


+ = + +
thay
2
y x
3
=
, vào ta đợc :
0.25
( )
( ) ( ) ( )
2 2
MNPQ
2 2 2
2 2 4 1
S 2x. x 6. x 4x 8x x 4x 24x 36 36
3 3 3 3
1
= 36. 2x 6 12 2x 6 12, do : 2x 6 0
3
= + + = = +
=
với mọi x.
0.25
Theo đó, để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 12 cm
2

, thì phải xảy
ra :
( )
2
2x 6 0
2x 6 0
x 3 (cm)
=
=
=
hay điểm M là trung điểm của cạnh AB của hình chữ nhật ABCD đã
cho.
0.5
Ht