Những phương trình mẫu mực lời giải chọn lọc

CHUYÊN ĐỀ II : PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC
( TÀI LIỆU SƯU TẦM )
PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH
A/ PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
a) Thí dụ :
1) Giải phương trình (*) :
2110
2
++ xx
= 3
3+x
+ 2
7+x
− 6
2) Giải phương trình : 3
x+1
+ 2x . 3
x
– 18x – 27 = 0

3) Giải phương trình : ( x
2
– 3x + 2 )
3
= x
6
− ( 3x – 2 )
3

4) Giải phương trình : ( 2x

2
– 3x – 1 )
3
– ( x
2
– 2 )
3
– ( x
2
– 3x + 1 )
3
=
0
5) Giải phương trình : ( x
2
– 4x + 1 )
3
= ( x
2
– x – 1 )
3
– ( 3x – 2 )
3
= 0

6) Giải phương trình : ( x
2
– 3x + 2 )
3
+ ( −x

2
+ x + 1 )
3
+ ( 2x – 3 )
3
=
0
7) Giải phương trình : ( x – 2 ) ( x – 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) = − 36

8) Giải phương trình : x ( x + 5 ) = 2
3
2
25 −+ xx
− 2

9) Giải phương trình :
3
1 x−
+
2+x
= 1

10)Giải phương trình : ( x + 2 )
4
+ x
4
= 82

11)Giải phương trình : x
4

– 5x
2
– 2x + 3 = 0

12)Giải phương trình :
axx
x
++9
2
=
axx
axx
++
++
8
10
2
2
( a là hằng
số )
13)Giải phương trình : ( 4x – 1 )
1
2
+x
= 2 (x
2
+ 1 ) + 2x – 1

14)Giải phương trình : ( x
2

– 2x + 2 )
4
– 20x
2
(x
2
– 2x + 2 )
2
+ 64x
4
= 0

15)Giải phương trình : ( x +4 )
4
= 2 ( 2x + 13 )
3
+ 50 ( 2x + 13 )

16)Giải phương trình :
209
1
2
++ xx
+
3011
1
2
++ xx
+
4213

1
2
++ xx

=
18
1

17)Giải phương trình :




45
1
2
++ xx
+
2811
1
2
++ xx
+
7017
1
2
++ xx
+
13023
1

2
++ xx
=
13
4
18) Giaỷi phửụng trỡnh :
5
349
324
5
325
4
326
3
327
2 +
+
+
+
+
+
+
+
+ xxxxx
= 0

19) Giaỷi phửụng trỡnh :
8
12
2

6
22
+
+
+ xx
= 3
3
7
2
+x
20)Giaỷi phửụng trỡnh :
1
3
6
164
22
2
+

+
+
xx
x
=
5
7
3
5
22
+

+
+ xx
21)Giaỷi phửụng trỡnh :
23
1
+++ xx
+
12
1
+++ xx
+
xx ++1
1
= 1
HệễNG DAN GIAI
1) Giaỷi phửụng trỡnh (*) :
2110
2
++ xx
= 3
3+x
+ 2
7+x
6
(1)
Giaỷi
(1)
( )( )
73 ++ xx
3

3+x
2
7+x
+ 6 = 0

3+x
(
7+x
3 ) 2 (
7+x
3 ) = 0
(
7+x
3 ) (
3+x
2 ) = 0
7+x
3 = 0 x + 7 = 9
3+x
2 = 0 x + 3 = 4
Vaọy : x = 1 x = 2 .
2) Giaỷi phửụng trỡnh : 3
x+1
+ 2x . 3
x
18x 27 = 0
(2)
Giaỷi
(2) 3
x

( 3 + 2x ) 9 ( 2x + 3 ) = 0
( 2x + 3 ) (3
x
9 ) = 0
2x + 3 = 0 x =
2
3
3
x
9 = 0 x = 2

3) Giaỷi phửụng trỡnh : ( x
2
3x + 2 )
3
= x
6
( 3x 2 )
3

(3)
⇔
⇔
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b )
3
− ( a
3
+ b
3

) = 3ab ( a + b ) .
(3) ⇔ [ x
2
+ ( −3x + 2 ) ]
3
− [ ( x
2
)
3
+ ( −3x + 2 )
3
] = 0
⇔ 3x
2
(−3x + 2 ) ( x
2
– 3x + 2 ) = 0
⇔ 3x
2
(−3x + 2 ) ( x – 1 ) ( x – 2 ) = 0
x = 0 x = 0
−3x + 2 = 0 x = 2 / 3
x – 1 = 0 x = 1
x – 2 = 0 x = 2
4) Giải phương trình : ( 2x
2
– 3x – 1 )
3
– ( x
2

– 2 )
3
– ( x
2
– 3x + 1 )
3
= 0
(4)
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b )
3
− ( a
3
+ b
3
) = 3ab ( a + b ) .
(4) ⇔ [ ( x
2
– 2 ) + ( x
2
– 3x + 1 ) ]
3
− [ ( x
2
– 2 )
3
+ ( x
2
– 3x + 1 )
3

] = 0
⇔ 3 ( x
2
– 2 ) ( x
2
– 3x + 1 ) ( 2x
2
– 3x – 1 ) = 0
x
2
– 2 = 0
⇔ x
2
– 3x + 1 = 0
2x
2
– 3x – 1 = 0
x = ±
2
⇔ x =
2
53 ±

x =
4
173 ±
5) Giải phương trình : ( x
2
– 4x + 1 )
3

= ( x
2
– x – 1 )
3
– ( 3x – 2 )
3
= 0
(5)
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b )
3
− ( a
3
− b
3
) = −3ab ( a − b )
(5) ⇔ [ ( x
2
– x – 1 ) − ( 3x – 2 ) ]
3
− [( x
2
– x – 1 )
3
− ( 3x – 2 )
3
] = 0
⇔ − 3 ( x
2
– x – 1 ) ( 3x – 2 ) ( x

2
– 4x + 1 ) = 0
x
2
– x – 1 = 0
⇔ 3x – 2 = 0
x
2
– 4x + 1 = 0
x =
2
51 ±

⇔ x =
3
2

x = 2 ±
3
⇔
⇔
⇔
6) Giải phương trình : ( x
2
– 3x + 2 )
3
+ ( −x
2
+ x + 1 )
3

+ ( 2x – 3 )
3
= 0
(6)
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b )
3
+ ( b – c )
3
+ ( c – a )
3
= 3 ( a − b ) ( b – c
) ( c – a )
Với : a = x
2
− x − 1
b = 2x – 3
c = x
2
+ x − 4
(6) ⇔ [ ( x
2
− x − 1 ) − (2x – 3 ) ]
3
+ [ (2x – 3 ) − ( x
2
+ x − 4 ) ]
3
+ [ (x
2

+ x − 4 )
− (x
2
− x − 1) ]
3
= 0
3 ( x
2
+ x + 2 ) ( − x
2
+ x
+ 1 ) ( 2x – 3 ) = 0
x
2
+ x + 2 = 0 x = 1 ∨ x = 2
⇔ − x
2
+ x + 1 = 0 ⇔ x =
2
51 ±
2x – 3 = 0 x =
2
3
7) Giải phương trình : ( x – 2 ) ( x – 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) = − 36
(7)
Giải
(7) ⇔ [ ( x – 2 ) ( x + 6 ) ] [( x – 4 ) ( x + 8 ) ] = − 36
⇔ ( x
2
+ 4x – 12 ) (x

2
+ 4x – 32 ) + 36 = 0 (*)
Đặt : y = x
2
+ 4x – 12
Phương trình (*) trở thành : y ( y – 20 ) + 36 = 0
⇔ y
2
– 20 y + 36 = 0
⇔ ( y – 18 ) ( y – 2 ) = 0
y = 18 x
2
+ 4x – 12 = 18 x
2
+ 4x
– 30 = 0 y = 2 x
2
+ 4x – 12 = 2
x
2
+ 4x – 14 = 0
x = ±
34
− 2
x = ± 3
2
− 2 .
8) Giải phương trình : x ( x + 5 ) = 2
3
2

25 −+ xx
− 2
(8)
Giải
Đặt : y =
3
2
25 −+ xx
⇒ x
2
+ 5x = y
3
+ 2 (*)
Từ đó : (8) ⇔ y
3
– 2y + 4 = 0
⇔ ( y + 2 ) ( y
2
– 2y + 2 ) = 0 ( vì : y
2
– 2y + 2 =
( y – 1 )
2
+ 1 > 0 )
⇔
⇔ y + 2 = 0 ⇔ y = − 2
Thay y = − 2 vào (*) , ta dược :
x
2
+ 5x = − 6 ⇔ x

2
+ 5x + 6 = 0
⇔ x = − 2 ∨ x = − 3
9) Giải phương trình :
3
1 x−
+
2+x
= 1
(9)
Giải
+ Điều kiện : x ≥ −2
+ Đặt : t =
2+x
( t ≥ 0 ) ⇔ x + 2 = t
2
⇔ x = t
2
− 2
(9) ⇔
3
2
3 t−
+ t = 1
⇔
3
2
3 t−
= 1 – t
⇔ 3 – t

2
= (1 – t )
3

⇔ t
3
– 4t
2
+ 3t + 2 = 0
⇔ ( t – 2 ) ( t
2
– 2t – 1 ) = 0
t – 2 = 0 ( a)
t
2
– 2t – 1 = 0 (b)
Giải (a) , (b) ta được : t = 2 ∨ t = 1 + 2
2
. /.
10) Giải phương trình : ( x + 2 )
4
+ x
4
= 82
(10)
Giải
Đặt : y = x + 1 => x
4
= (y – 1 )
4

(10) ⇔ ( y + 1 )
4
+ ( y − 1 )
4
= 82
⇔ y
4
+ 6y
2
– 40 = 0
Đặt : u = y
2
( u ≥ 0 ) , ta được :
u
2
+ 6u – 40 = 0
⇔ ( u – 4 ) ( u + 10 ) = 0
⇔ u = 4 ; u = – 10 ( loại )
u = 4 ⇒ y = ± 2
- Với y = – 2 ⇒ x + 1 = – 2 ⇒ x = – 2
- Với y = 2 ⇒ x + 1 = 2 ⇒ x = 1 . /.
Chú ý : Đối với phương trình dạng ( x + a )
4
+ ( x + b )
4
= c (*) ( a , b , c là hằng số )
ta đặt ẩn phụ y = x +
2
ba +
thì phương trình (*) đưa được về dạng dy

4
+ ey
2
+ g = 0
( d , e , g là hằng số )
11) Giải phương trình : x
4
– 5x
2
– 2x + 3 = 0
(11)
Giải
(Thêm, bớt x
3
; tách 5x
2
nhóm hang tử rồi phân tích thành tích )
⇔
⇔
⇔
⇔
(11) ⇔ ( x
4
+ x
3
– x
2
) − (x
3
+ x

2
– x ) − 3 ( x
2
+ x – 1 ) = 0
⇔ x
2
(x
2
+ x – 1 ) − x (x
2
+ x – 1 ) – 3 (x
2
+ x – 1 ) = 0
⇔ (x
2
+ x – 1 ) ( x
2
– x – 3 ) = 0
x
2
+ x – 1 = 0
x
2
– x – 3 = 0
x =
2
51 ±−
x =
2
131 ±

12)Giải phương trình :
axx
x
++ 9
2
=
axx
axx
++
++
8
10
2
2
( a là hằng số )
(12)
Giải
Đặt : y = x
2
+ 9x + a .
(12) ⇔
xy
xy
y
x
−
+
=
(*)
⇔ xy – x

2
= y
2
+ xy
⇔ y
2
+ x
2
= 0
⇔ x = y = 0
Nhưng x = y = 0 thì (*) không có nghóa nên phương trình (13) vô
nghiệm với mọi a .
13)Giải phương trình : ( 4x – 1 )
1
2
+x
= 2 (x
2
+ 1 ) + 2x – 1
(13)
Giải
Đặt :
1
2
+x
= y ; y ≥ 1 .
(13) ⇔ ( 4x – 1 ) y = 2y
2
+ 2x – 1
⇔ 2y

2
− ( 4x – 1 ) y + 2x – 1 = 0
⇔ (2y
2
− 4xy + 2y ) − ( y – 2x + 1 ) = 0
⇔ 2y( y – 2x + 1 ) - ( y – 2x + 1 ) = 0
⇔ ( y – 2x + 1 ) ( 2y – 1 ) = 0
y – 2x + 1 = 0
2y – 1 = 0
y =
2
1
( Loại , do y ≥ 1 )
y = 2x – 1
y = 2x – 1 ⇔
1
2
+x
= 2x – 1 ⇔ x
2
+ 1 = ( 2x – 1 )
2

⇔ 3x
2
– 4x = 0 ⇔ x ( 3x – 4 ) = 0
⇔
⇔
⇔
⇔

⇔
Vậy : x = 0 ; x =
3
4
. /.
14) Giải phương trình : ( x
2
– 2x + 2 )
4
– 20x
2
(x
2
– 2x + 2 )
2
+ 64x
4
= 0
(14)
Giải
Đặt : y = ( x
2
– 2x + 2 )
2
( y ≥ 0 )
(14) ⇔ y
2
– 20x
2
y + 64x

4
= 0
⇔ y ( y – 4x
2
) – 16x
2
( y – 4x
2
) = 0
⇔ ( y – 4x
2
) ( y – 16x
2
) = 0
y – 4x
2
= 0 y = 4x
2

y – 16x
2
= 0 y = 16x
2

( x
2
– 2x + 2 )
2
= 4x
2

( x
2
– 2x + 2 )
2
= 16x
2
Vậy : x = 2 ±
2
; x = 3 ±
7
. /.
15)Giải phương trình :
209
1
2
++ xx
+
3011
1
2
++ xx
+
4213
1
2
++ xx
=
18
1
(15)

Giải
(15) ⇔
( )( ) ( )( ) ( )( )
18
1
76
1
65
1
54
1
=
++
+
++
+
++ xxxxxx
Điều kiện : x ≠ −4 ; −5 ; −6 ; −7 .
⇔
4
1
+x
−
5
1
+x
+
5
1
+x

−
6
1
6
1
+
+
+ xx
−
7
1
+x
=
18
1
⇔
4
1
+x
−
7
1
+x
=
18
1
⇔ x
2
+ 11x – 26 = 0
⇔ ( x + 13 ) ( x – 2 ) = 0

x + 13 = 0 x = − 13
x – 2 = 0 x = 2
Vậy : x = − 13 ; x = 2 .
16) Giải phương trình :
45
1
2
++ xx
+
2811
1
2
++ xx
+
7017
1
2
++ xx
+
13023
1
2
++ xx
=
13
4

( Cách giải tương tự như bài 15 )
Giải
(16) ⇔

( )( )
41
1
++ xx
+
( )( )
74
1
++ xx
+
( )( )
107
1
++ xx
+
( )( )
2310
1
++ xx
=
13
4
Điều kiện : x ≠ −1 ; −4 ; −7 ; −10 ; −23 .
⇔
3
1








+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+ 23
1
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
4

1
1
1
xxxxxxxx
=
13
4
⇔
1
1
+x
−
4
1
+x
+
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
+
+
+
−

+
+
+
−
+ xxxxx
−
23
1
+x
=
13
12
⇔
1
1
+x
−
23
1
+x
=
13
12
Giải ra ta được : x = 0 ; x = −14 . /.
17)Giải phương trình :
1700
294−x
+
1694
300

1696
298
1698
296 −
+
−
+
− xxx
= 4
(17)
Giải
(17) ⇔






−
−
1
1700
294x
+







−
−
1
1698
296x
+






−
−
1
1696
298x
+






−
−
1
1694
300x
= 0

⇔
1694
1994
1696
1994
1698
1994
1700
1994 −
+
−
+
−
+
− xxxx
= 0
⇔ ( x – 1994 )






+++
1694
1
1696
1
1698
1

1700
1
= 0
⇔ x – 1994 = 0 ( vì :
1694
1
1696
1
1698
1
1700
1
+++
> 0 )
Vậy : x = 1994 .
18) Giải phương trình :
5
349
324
5
325
4
326
3
327
2 +
+
+
+
+

+
+
+
+ xxxxx
= 0
(18)
Giải
Công 4 và trừ 4 vào vế trái của phương trình .
(18) ⇔






−
+
+






+
+
+







+
+
+






+
+
+






+
+
4
5
349
1
324
5
1

325
4
1
326
3
1
327
2 xxxxx
= 0
⇔
5
329
324
329
325
329
326
329
327
329 +
+
+
+
+
+
+
+
+ xxxxx
= 0
⇔ ( x + 329 )







++++
5
1
324
1
325
1
326
1
327
1
= 0
⇔ x + 329 = 0 ( Vì :
5
1
324
1
325
1
326
1
327
1
++++

> 0 )
Vậy : x = −329 .
19) Giải phương trình :
8
12
2
6
22
+
+
+ xx
= 3 −
3
7
2
+x
(19)
Giải
(19) ⇔
2
6
2
+x
+
3
7
2
+x
+
8

12
2
+x
− 3 = 0

⇔
2
6
2
+x
-1 +
3
7
2
+x
-1 +
8
12
2
+x
- 1 = 0
⇔
0
8
4
4
4
2
4
2

2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
−
+
+
−
x
x
x
x
x
x
Do x
2
+ 2 ; x
2
+ 3 ; x
2
+ 8 khác 0 Với mọi x nên
= > 4 – x
2
= 0

Vậy : x = ± 2 .
20) Giải phương trình :
1
3
6
164
22
2
+
−
+
+
xx
x
=
5
7
3
5
22
+
+
+ xx
(20)
Giải
Ta có :
6
164
2
2

+
+
x
x
= 3 +
6
2
2
2
+
−
x
x
, do đó :
(20) ⇔ 3 +
6
2
2
2
+
−
x
x
−
1
3
2
+x
=
5

7
3
5
22
+
+
+ xx
⇔ 3 +
6
2
2
2
+
−
x
x
−
1
3
2
+x
−
5
7
3
5
22
+
−
+ xx

= 0
⇔






+
−+






+
−+






+
−
5
7
1
3

5
1
1
3
1
222
xxx
+
6
2
2
2
+
−
x
x
= 0
⇔
6
2
5
2
3
2
1
2
2
2
2
2

2
2
2
2
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
= 0
⇔ ( x
2
– 2 )







+
+
+
+
+
+
+ 6
1
5
1
3
1
1
1
2222
xxxx
= 0
⇔ x
2
– 2 = 0 ( Vì :
6
1
5
1
3
1
1

1
2222
+
+
+
+
+
+
+ xxxx
>
0 , ∀x ∈ R .
Vậy : x = ±
2
.
21) Giải phương trình :
23
1
+++ xx
+
12
1
+++ xx
+
xx ++1
1
= 1
(21)
Giải
Điều kiện : x ≥ 0
Nhân mẫu của mỗi phân thức với lượng liên hợp của từng mẫu ta được :

(21) ⇔ (
3+x
−
2+x
) + (
2+x
−
1+x
) + (
1+x
−
x
) = 1
⇔
3+x
−
x
= 1
…………………
Vậy : x = 1 .