TỔNG HỢP CÁC CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Trần Phương-đại học y hà nội.
CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số : (tối thiểu phải có đũ 6 bước)
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
 Tập xác định
 Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị
 Giới hạn
lim
x
y
→−∞
= ;
lim
x
y
→+∞
=
 Bảng biến thiên
 Giá trị đặc biệt ( có tọa độ điểm
uốn khi khảo sát hàm số bậc 3 để chính
xac hóa đồ thị)
 Đồ thị
 Tập xác định
 Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị
 Giới hạn & tiệm cận ( đứng +
ngang; đứng + xiên)
 Bảng biến thiên
 Giá trị đặc biệt ( giao điểm với
Ox, Oy, điểm cực trị )
 Đồ thị

 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0) ( chỉ nêu 4/6 dạng đồ thị)
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x

y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
Trần Phương-đại học y hà nội.
 Hàm số nhất biến :
)bcad(
dcx
bax

y 0≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
(tử, mẫu không có nghiệm
chung, )
B. ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thức
( )
b
a
S f x dx=
∫
(I)
Đặc biệt: Nếu f(x) không đổi dấu / (a;b) thì
b
a
S f x dx=

∫
( )
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) , x = a, x = b ( a < b),
→ Ta sử dụng công thức
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
(II)Đặc biệt: Nếu f(x) – g(x)
không đổi dấu / (a;b) thì
[ ]
b
a
S f x g x dx= −
∫
( ) ( )
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
x
y

O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
Trần Phương-đại học y hà nội.
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay
quanh Ox.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
=
∫
b

a
V f x dx( )
π
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi
(C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh
Oy.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
=
∫
b
a
V g y dy( )
π
(IV)
Bài tập : ( Phần KSHS – Biện luận phương trình bằng dồ thị - tính diện tích
hình phẳng và thể tích vật thể :
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3

– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2

).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các
đường thẳng x = 3, x = 4.
Trần Phương-đại học y hà nội.
Bài 5: Cho hàm số
1
2
+
+−
=
x
xx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số
4
4
2
−
+−
=
mx
mxx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2

).
b) Dùng đồ thị (C
2
) giải và biện luận phương trình :
x
2
– 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C
2
), trục Ox, trục
Oy, và đường thẳng x = 1.
d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra.

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :
y =
2
4
1
x
; y =
xx 3
2
1
2
+−
.
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x
2
+ y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể
tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.

Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các
đường: y = x
2
và y =
x
quay quanh Ox.
Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)
( )
0
x x−
hay y – y
0
= k(x – x
0
) (*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x
0
, y

0
, f’(x
0
) thay vào (*).
Rút gọn ta có kết quả
 Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ
A(x
A
;y
A
)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – y
A
= k(x – x
A
) (1)
 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=

 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.
Trần Phương-đại học y hà nội.

 Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hoành độ tiếp điểm)

 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta có kết quả
C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**)
(trong đó m là tham số chưa biết)
 Bước 2: Lập và giải hệ pt:
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +


=

⇒ k = ? thay vào (**).
Ta có kết quả
Bài tập về pttt của đồ thị:
Bài 10: Cho hàm số y = x
2

– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 11: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 12: Cho hàm số y = -x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 13: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm
với trục tung và trục hoành
Bài 14: Cho hàm số y =
2
ax - 2
2
x

x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao
điểm với trục tung và trục hoành.
Bài 15: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 16: Viết pttt của đồ thị hàm số y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
đi qua B(1;0)
Bài 17: Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Trần Phương-đại học y hà nội.
Bài 18: Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2

+ 5. Lập pttt kẻ từ A(
19
12
;4)
Bài 20: Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã
cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
Dạng 4: Cực trị của hàm số:
Điều kiện để hàm số có cực trị:
Vắn tắt: Xét hàm số y = f(x)
 Hàm số đạt cực trị tại x
0
thì f’(x
0
) = 0 ( ngược lại không luôn đúng)
 Hàm số y = f(x) có : (Dấu hiệu thứ nhất )
 f’(x
0
) = 0 và f’(x) có đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x
0
.
 f’(x
0
) = 0 và f’(x) có đổi dấu từ +≫- khi x qua x
0

thì hàm số có cực đại tại x
0
.
 f’(x
0
) = 0 và f’(x) có đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực tiểu tại x
0
.
 Hàm số y = f(x) có :
 f’(x
0
) = 0 và f’’(x
0
) ≠ 0 thì thì hàm số có cực trị tại x
0

 f’(x
0
) = 0 và f’’(x
0
) < 0 thì thì hàm số có cực đại tại x
0
 f’(x
0
) = 0 và f’’(x
0
) > 0 thì thì hàm số có cực tiểu tại x
0

Yêu cầu đối với học sinh :
 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
 Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực
trị.
 Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
 Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y
→ chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
 Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+
→ không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.
Trần Phương-đại học y hà nội.
Bài tập 21: Định tham số m để:
1). Hàm số y =

3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x+ + + −
có cực đại và cực tiểu.
Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2). Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị.
Kết quả: - 1 < m < 1
3). Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu
tại x
1
, x
2
và khi đó x
2
– x
1

không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
4). Hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử
M
1
(x
1
;y
1
), M
2
(x
2
;y
2
) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :
1 2
1 2 1 2
( )( 1)
y y
x x x x
−

− −
= 2. Kết quả : m < 1
Dạng 5: Giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M là Giá trị lớn nhất của f(x) trên D)
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m là Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D)
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b).
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì
giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b).
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x

2
, , x
n
của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
Trần Phương-đại học y hà nội.
BÀI TẬP : ( Về GTLN – GTNN)
Bài tập 22:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
3
4
2sinx- sin
3

y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
c)
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
d)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].
Bài tập 23:
2
( ) 25f x x= −
trên đoạn [-4; 4]
HD :
[ ]
4;4
max ( ) (0) 5f x f
−
= =
;
[ ]
4;4
min ( ) ( 4) (4) 3f x f f
−
= − = =
Bài tập 24:
2
( ) (3 ) 1f x x x= − +
trên đoạn [0; 2]
HD :

[ ]
0;2
max ( ) (0) 3f x f= =
;
[ ]
0;2
min ( ) (2) 5f x f= =
Bài tập 25:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên đoạn[-1,3].
Bài tập 26:Chứng minh rằng
2
2
6 3
2
7 2
x
x x
+
≤ ≤
+ +
với mọi giá trị x.
Dạng 6: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao diểm của hai đường cong (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm
của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1)

Ví dụ Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao
điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x
(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx
0))2(( =+−⇔ mmxx
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường
thẳng cắt đường cong tại một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =

2m
m
+
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt
(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m
≠
0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.
Trần Phương-đại học y hà nội.
B ài tập: ( Về sự tương giao của 2 đường)
Bài tập 27: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và đường
thẳng (T):
13 1
( )
12 2
y m x− = +
. KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm (

m >
27
12
−
)
Bài tập 28: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=
−
.
KQ: -28 < a ≤ 0
Bài tập 29: Cho đường cong (C):
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
. Tìm các giá trị của k sao cho
trên (C) có 2 điểm khác nhau P, Q thỏa mãn điều kiện:
P P
Q Q

x y k
x y k
+ =



+ =


.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài tập 30:Cho hàm số
x
mx)m(x
y
+−+
=
2
2
, m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân
biệt A và B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài tập 31: Cho hàm số
2
54
2
−
+−

=
x
mmxx
y
, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm
phân biệt đối xứng nhau qua O.
Bài tập 32: Cho các đường: y = x
2
– 2x + 2, y = x
2
+ 4x + 5 và y = 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.
Bài tập 33:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
)1x(2
3x4x2
2
−
−−
Trần Phương-đại học y hà nội.
2. Định m để phương trình : 2x
2
– 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiệm phân
biệt.
Bài tập 34: Cho hàm số
1
3
+

+
=
x
x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên.
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất .
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C)
trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình
đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách
giửa chúng bé nhất
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai
điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong
(C)
Bài tập 35: Cho hàm số
)4()1(
2
xxy −−=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
3 2
6 9 4 0x x x m− + − − =

Bài tập 36: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến
của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương
trình đường thẳng qua điểm cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)
Bài tập 37: Cho hàm số
3 2
5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-
5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ
điểm M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương
trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.