Ngân hàng đề thi: phương pháp số pdf

1


NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: PHƯƠNG PHÁP SỐ
Dùng cho hệ ĐHTX, ngành Công nghệ thông tin
Số tín chỉ: 3


(Đề thi gồm 4 câu, mỗi loại 1 câu làm trong 90 phút)

A. CÂU HỎI LOẠI 1 (LÝ THUYẾT - 25’)
1. Hãy mô tả phương pháp chia đôi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu sai
số của phương pháp.
2. Hãy mô tả phương pháp dây cung để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu sai
số của phương pháp.
3. Hãy mô tả phương pháp tiếp tuyến để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu
sai số của ph
ương pháp.
4. Hãy mô tả phương pháp lặp đơn để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu điều
kiện hội tụ và đánh giá sai số của phương pháp.
5. Hãy mô tả phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân xác định. Nêu sai số của
phương pháp.
6. Hãy mô tả phương pháp SimSon để tính gần đúng tích phân xác định. Nêu sai số của phương
pháp.
7. Hãy trình bày phương pháp khử Gauss để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
8. Hãy trình bày phương pháp khử Gauss-Jordan để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
9. Hãy trình bày phương pháp lặp Jacobi để tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình tuyến
tính.Nêu điều kiện hội tụ của phương pháp.
10. Hãy trình bày phương pháp nội suy Lagrange để tìm đa thức nội suy đI qua n+1 điểm cho

trước. Nêu sai số của đa thức nội suy.
11. Hãy trình bày phương pháp sai phân tiến Newton với các khoảng chia đều để tìm đa thứ
c nội
suy đI qua n+1 điểm cho trước. Nêu sai số của đa thức nội suy.
12. Hãy trình bày phương pháp sai phân tiến Newton với các khoảng chia không đều để tìm đa
thức nội suy đI qua n+1 điểm cho trước. Nêu sai số của đa thức nội suy.
B. CÂU HỎI LOẠI 2 (20’)
1.Giải gần đúng phương trình: x-1/2sinx = 0,25 bằng phương pháp lặp qua 4 bước lặp. Đánh
giá sai số |x
4
-α | với khoảng phân ly nghiệm là [0; 1].
2. Dùng phương pháp chia đôi tính nghiệm gần đúng của phương trình: x
3
-x-1 qua 4 bước lặp.
Đánh giá sai số |x
4
-α |
3. Dùng phương pháp dây cung tính nghiệm gần đúng của phương trình: x
3
-x-1 qua 4 bước lặp.
Đánh giá sai số |x
4
-α |


HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
Km10 Đường Nguyễn Trãi, Hà Đông-Hà Tây
Tel: (04).5541221; Fax: (04).5540587
Website:
; E-mail:

2
4. Dùng phương pháp chia đôi tính gần đúng
5 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số |x
4
- 5 |
5. Cho tích phân: I =
∫
1
0
x
dx
+3
Hãy chia đoạn [0,1] thành n = 10 đoạn con bằng nhau rồi
tính gần đúng I bằng công thức hình thang. Hãy đánh giá sai số (|I-I
*
|≤
)(
12
2
abh
M
−
)
6. Cho tích phân: I =
∫
1
0
x

dx
+3
Hãy chia đoạn [0,1] thành 10 đoạn con bằng nhau rồi tính
gần đúng I bằng công thức Simson. Hãy đánh giá sai số (|I-I
*
|≤ = )(
180
4
abh
M
− ).
7. Dùng phương pháp chia đôi (nhị phân) để tính gần đúng
6 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số.
8. Dùng phương pháp chia đôi để tính gần đúng
7 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số.
9. Dùng phương pháp Dây cung để tính gần đúng
7
qua 4 bước lặp, Đánh giá sai số.
10. Dùng phương pháp Dây cung để tính gần đúng
8 qua 4 bước lặp, Đánh giá sai số.
C. CÂU HỎI LOẠI 3 (25’)
1. Tìm nghiệm hệ phương trình
2x
1
+ 3x
2
+x
3
= 11
-x

1
+ 2x
2
- x
3
= 0
3x
1
+2x
3
= 9
Bằng phương pháp khử Gauss
2. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng
10 2 1 x
1
17
A = 1 10 2 , x = x
2
b = 27
1 1 10 x
3
33
Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss hoặc Gauss-Jordan.
3. Tìm nghiệm hệ phương trình
4x
1
+ 3x
2
+x
3

= 13
-3x
1
+ 2x
2
- x
3
= -4
3x
1
+2x
3
= 9
Bằng phương pháp khử Gauss
4. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng
10 2 1 x
1
10
A = 1 10 2 , x = x
2
b = 12
1 1 10 x
3
8

3
Hệ Phương trình trên có thoả mãn tính chất đường chéo trội không? Nếu có hãy giải bằng
phương pháp Jacobi với giá trị xuất phát: x
(0)
= (0,0,0)

T
qua 3 bước lặp x
(1)
, x
(2)
, x
(3)
và
đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x
(3)
theo chuẩn || . ||
∞

(Công thức sai số: ||x
(k)
- x
*
|| ≤
||C ||1
||C ||
−
||x
(k)
- x
(k-1)
||≤
||C ||1
||C||
k
−

||x
(1)
- x
(0)
||)
5. Cho bảng các giá trị của hàm
y = sin(
2
x
) tại các nút như sau:
I x
i
y
i
0 0 0,000
1 1,5 0,682
2 2,0 0,841
Hãy tính gần đúng giá trị của hàm y tại x = 1 bằng đa thức nội suy lagrange đi qua các
điểm (x
i
,y
i
) trên. Đánh giá sai số lý thuyết của giá trị gần đúng nhận được. (Công thức sai
số lý thuyết: R(x) =
)!1(
)(
)1(
+
+
n

f
n
η
ω
n+1
(x))
6. Cho bảng các giá trị của hàm
y = sin(x/3) tại các nút như sau:
I x
i
y
i
0 0 0,000
1 1,5 0,479
2 2,0 0,618
Hãy tính gần đúng giá trị của hàm y tại x = 1 bằng đa thức nội suy lagrange đi qua các
điểm (x
i
,y
i
) trên. Đánh giá sai số lý thuyết của giá trị gần đúng nhận được.(Công thức sai
số lý thuyết: R(x) =
)!1(
)(
)1(
+
+
n
f
n

η
ω
n+1
(x))
7.
Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng
5 1 2 x
1
10
A = 3 -8 2 , x = x
2
b = -1
1 2 4 x
3
11
Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss
8.
Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng
1 1 2 x
1
0.6
A = 2 1 1 x = x
2
b = 0.5
1 1 1 x
3
0.5
Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss-Jordan.
9. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng

4
0.5 0.1 0.2 x
1
1
A = 0.3 -0.8 0.2 , x= x
2
b = -0.1
0.1 0.2 0.4 x
3
1.1
Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss
10. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng
5 1 2 x
1
10
A = 3 -8 2 , x = x
2
b = -1
1 2 4 x
3
11
Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss-Jordan.
11. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng:

A =

Hệ Phương trình trên có thoả mãn tính chất đường chéo trội không? Nếu có hãy giải bằng
phương pháp Jacobi với giá trị xuất phát: x
(0)
= (0,0,0)

T
qua 3 bước lặp x
(1)
, x
(2)
, x
(3)
và
đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x
(3)
theo chuẩn || . ||
∞

(Công thức sai số: ||x
(k)
- x
*
|| ≤
||C ||1
||C ||
−
||x
(k)
- x
(k-1)
||≤
||C ||1
||C||
k
−

||x
(1)
- x
(0)
||)
D. CÂU HỎI LOẠI 4 (20’)
1. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x-sinx = 0,25 bằng phương pháp lặp.
2. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x
3
-x-1=0 bằng phương pháp chia đôi.
3. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x
3
-x-1=0 bằng phương pháp dây cung
4. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x
2
-2=0 bằng phương pháp chia đôi.
5. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x
2
-3=0 bằng phương pháp dây cung.
6. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến bằng phương pháp tiếp
tuyến với phương trình bất kỳ nếu thoả mãn.
7. Viết hàm cài đặt thuật toán khử Gauss
8. Viết hàm cài đặt thuật toán khử Gauss-Jordan
9. Viết hàm cài đặt thuật toán lặp Gauss-Seidel
10. Viết hàm cài đặt thuật toán lặp Jacobi

6 2 1
1 6 2
1 1 6
17

; b = 27
20
x
1
; x = x
2
x
3