Cách nhìn mới về tiến trình dạy học khái niệm toán học

Cách nhìn mới về tiến trình dạy học khái niệm toán học
Cập nhật 12:36, 25/4/2010, bởi Nguyễn Thế Phúc
T.S Lê Văn Tiến
Trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh
Mục lục
[giấu]
1 Các khái niệm cơ sở
o 1.1 Cơ chế hoạt động của một khái niệm
o 1.2 Hình thức thể hiện của khái niệm
2 Các tiến trình dạy học khái niệm
o 2.1 Tiến trình Đối tượng Công cụ
o 2.2 Tiến trình Công cụ Đối tượng Công cụ
3 Ví dụ minh họa
4 Chú ý
5 Xem thêm
6 Tài liệu tham khảo
7 Liên kết ngoài
Các khái niệm cơ sở
Cơ chế hoạt động của một khái niệm
Cơ chế công cụ
Một khái niệm (KN) hoạt động dưới dạng công cụ (hay cơ chế công cụ) nếu nó được sử dụng như
là một phương tiện để giải quyết một vấn đề nào đó.
 Khái niệm có cơ chế “công cụ ngầm ẩn”, khi nó được sử dụng một cách không ý thức bởi
chủ thể, chủ thể không thể trình bày hay giải thích được về việc dùng khái niệm.
 Ngược lại, nếu chủ thể ý thức được về việc sử dụng khái niệm và có thể trình bày hay giải
thích nó, thì ta nói đến cơ chế “công cụ tường minh”.
Ví dụ: Tại Cộng hòa Pháp, trong một tình huống bàn về diện tích của một hình vuông ở lớp 7, trước
câu hỏi: ”Có hay không một hình vuông diện tích là 12?”, một học sinh trả lời: ”Nếu cạnh là 3 cm thì
diện tích là 9, còn nếu cạnh là 4 cm thì diện tích là 16. Do đó, khi cạnh thay đổi từ 3 đến 4, phải có
một thời điểm mà diện tích là 12”.
Ở đây, học sinh đã dùng một cách ngầm ẩn khái niệm “hàm số liên tục trên một khoảng” và tính chất

của nó, nhưng không ý thức về việc vận dụng này.
Cơ chế đối tượng
Khái niệm có cơ chế “đối tượng”, khi mà nó là đối tượng nghiên cứu được định nghĩa, được khai
thác các tính chất,
Hình thức thể hiện của khái niệm
Y.Chevallard (1991) phân biệt ba kiểu khái niệm khác nhau:
 Khái niệm ”protomathématique” (tạm dịch là ”tiền toán học”): đó là các khái niệm có tên,
không có định nghĩa. Chúng chỉ hiện diện một cách ngầm ẩn (khái niệm hàm số liên tục ở ví dụ
trên).
 Khái niệm ”paramathématique” (tạm dịch là ”gần toán học”): có tên nhưng không có định
nghĩa. Chúng là công cụ của toán học, nhưng không phải là đối tượng nghiên cứu (khái niệm
”tham số”, ).
 Khái niệm ”mathématique” (tạm dịch là toán học”): có tên và có định nghĩa. Chúng vừa là đối
tượng vừa là công cụ của hoạt động toán học.
Việc phân biệt các kiểu khái niệm như trên chỉ là tương đối, vì nó phụ thuộc vào cấp độ, thời gian,
phạm vi toán học, vào chủ thể của hoạt động,
Các tiến trình dạy học khái niệm
Ta phân biệt hai tiến trình chủ yếu trong dạy học các khái niệm toán học:
 ”Đối tượng Công cụ”
 ”Công cụ Đối tượng Công cụ”
Tiến trình Đối tượng Công cụ
Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiện trước hết như đối tượng nghiên cứu, sau đó mới được sử
dụng như là công cụ tường minh để giải quyết các vấn đề.
Cần phân biệt hai con đường khác nhau của tiến trình này.
Sơ đồ hóa tiến trình dạy học khái niệm theo con đường suy diễn.
Con đường suy diễn
Bước 1: Trình bày định nghĩa khái niệm.
Bước 2: Củng cố và vận dụng khái niệm.
Giáo viên đưa ra các ví dụ, phản ví dụ, các bài tập củng cố, các vấn đề trong đó khái niệm được sử
dụng như là công cụ giải quyết hay thực hiện nghiên cứu các tính chất khác của khái niệm,

Theo con đường này, ngay từ đầu khái niệm đã xuất hiện với cơ chế đối tượng và dưới hình thức
khái niệm ”mathématique”.
Con đường quy nạp
Bước 1 Giải các bài toán và phác thảo định nghĩa khái niệm
Mục đích của bước này là hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm; khám phá thuộc
tính đặc trưng của khái niệm và phác thảo định nghĩa của khái niệm.
Sơ đồ hóa tiến trình dạy học khái niệm theo con đường quy nạp.
Cụ thể hơn, giáo viên tổ chức cho học sinh làm việc trên các đối tượng (mô hình, hình vẽ, đồ thị,
các ví dụ hay phản ví dụ, các bài toán, ), trong đó khái niệm xuất hiện dưới hình thức
”paramathématique”. Học sinh, với sự hướng dẫn của giáo viên, sẽ khám phá dần các thuộc tính
bản chất của khái niệm thể hiện trong các trường hợp cụ thể đã cho, nhờ vào các thao tác tư duy
phân tích, so sánh và tổng hợp. Từ đó, bằng thao tác khái quát hóa, trừu tượng hóa, học sinh trình
bày phác thảo ban đầu về định nghĩa của khái niệm.
Như vậy, học sinh được tiếp xúc với khái niệm trước khi định nghĩa nó. Qua quan sát, phân tích các
trường hợp cụ thể mà hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm.
Tên của khái niệm thường do giáo viên thông báo vào một thời điểm thích hợp ngay từ đầu, hoặc
sau khi nghiên cứu các trường hợp cụ thể đã cho,
Như vậy, trong bước này, khái niệm chuyển dần từ hình thức ”paramathématique” đến hình thức
”mathématique”.
Bước 2 Trình bày định nghĩa khái niệm
Giáo viên cùng học sinh tìm cách điều chỉnh định nghĩa vừa phác thảo, sau đó trình bày định nghĩa
chính thức của khái niệm và các kí hiệu liên quan.
Bước 3 Củng cố và vận dụng khái niệm
Tương tự bước 2 của con đường suy diễn (từ bước này trở đi, nhận được một khái niệm
”mathématique”).
Theo con đường này khái niệm chủ yếu xuất hiện với cơ chế đối tượng.
Tiến trình Công cụ Đối tượng Công cụ
Tiến trình này đặt cơ sở trên hai quan niệm có nguồn gốc khoa học luận:
 Trong lịch sử nảy sinh và phát triển của các đối tượng toán học, hầu hết các khái niệm đều
xuất hiện trước hết trong cơ chế công cụ ngầm ẩn sau đó mới hoạt động với cơ chế đối tượng.

Khi đã có vị trí chính thức của một khái niệm, nó lại đóng vai trò công cụ tường minh.
 Trong toán học, vấn đề (cần giải quyết), ý tưởng và công cụ hình thành nên ba phần chủ
yếu của hoạt động toán học. Trong đó vấn đề là động cơ của nghiên cứu, công cụ là phương
tiện để giải quyết vấn đề, ý tưởng là cấu nối trung gian giữa vấn đề và công cụ. Trong mối quan
hệ này, vấn đề đóng vai trò mấu chốt, công cụ chính là mầm mống nảy sinh đối tượng tri thức
mới.
Sơ đồ tiến trình dạy học khái niệm theo con đường: Công cụ → Đối tượng → Công cụ
Các bước chủ yếu của tiến trình:
 Bước 1: Giải các bài toán
Vấn đề là phát hiện và trình bày các bài toán cần giải quyết, khám phá ý tưởng và công cụ giải,
sau đó tiến hành giải.
Khái niệm sẽ xuất hiện dưới hình thức ”protomathématique” với vai trò công cụ ngầm ẩn để
giải quyết các bài toán.
 Bước 2: Trình bày định nghĩa
Nêu tên và định nghĩa của khái niệm cùng các kí hiệu có liên quan ( từ bước 2 này, khái
niệm lấy hình thức ”mathématique”).
 Bước 3: Củng cố và vận dụng
Thoạt nhìn, cấu trúc của con đường quy nạp trong tiến trình ”Đối tượng Công cụ” và
cấu trúc của tiến trình ”Công cụ Đối tượng Công cụ” có vẻ giống nhau. Tuy nhiên, sự
khác biệt rất cơ bản. Mặc dù, đều xuất phát từ ”Giải các bài toán”, nhưng trong pha
này của con đường quy nạp, khái niệm có cơ chế đối tượng và hiện diện trước hết
như là một khái niệm ”paramathématique”, sau đó mới chuyển dần sang hình thức
”mathématique”. Ngược lại, ở pha này của tiến trình thứ hai, khái niệm hoạt động với
cơ chế ”công cụ ngầm ẩn” và dưới hình thức ”protomathématique”.
Ví dụ minh họa
Có nhiều ví dụ minh họa cho các tiến trình đã nêu. Ở đây, chỉ trình bày các ý tưởng
cơ bản nhất của hai bước đầu trong tiến trình dạy học khái niệm đạo hàm (phần nào
đã định hướng trong Sách giáo khoa: Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001).
Bước 1: Giải các bài toán
Vận tốc trung bình

Nêu (nhắc lại) bài toán vật lí tương ứng và nhấn mạnh
rằng biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động trong
khoảng thời gian giữa t
0
và t.
Câu hỏi gợi vấn đề: Đại lượng nào biểu thị độ nhanh hay chậm của chuyển động tại
chính thời điểm t
0
?
Bài toán vận tốc tức thời
Bài toán: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục OS theo phương trình S = f(t).
Tìm đại lượng biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại chính thời điểm t
0
.
Ý tưởng: nhận xét rằng nếu khoảng thời gian giữa t và t
0
càng bé thì V
TB
càng biểu
thị trung thực hơn độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t
0
. Điều này làm
nảy sinh ý tưởng ”Chuyển qua giới hạn” biểu thức xác địnhV
TB
.
Như vậy, giới hạn (1) , nếu có, chính là đại lượng biểu thị
chính xác nhất độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t
0
.
Công cụ: giới hạn (1) trở thành công cụ cho phép xác định độ nhanh chậm của

chuyển động tại thời điểm t
0
và được gọi là ”Vận tốc tức thời” của chuyển động
tại t
0
(từ đó, nêu định nghĩa của khái niệm vận tốc tức thời và giải các bài toán vận
dụng).
Câu hỏi mới: Có thể sử dụng giới hạn dạng trên để giải các bài toán nào khác?
Bài toán tiếp tuyến của đường cong
Giải quyết tương tự như trường hợp bài toán trên để đi tới khẳng định giới
hạn (*) là công cụ cho phép xác định tiếp tuyến (bằng cách
xác định hệ số góc của nó).
Trong việc giải hai bài toán đã cho, đạo hàm đã hiện diện ngầm ẩn qua giới hạn
dạng (*). Tuy nhiên bản thân thuật ngữ ”Đạo hàm” và định nghĩa của nó chưa được
nêu lên.
Bước 2: Trình bày định nghĩa
Giáo viên nhấn mạnh vai trò ”công cụ” của giới hạn dạng (*) trong việc giải quyết các
bài toán không chỉ trong toán học, mà cả trong vật lí, trong hóa học, Từ đó nêu tên
”Đạo hàm” và tổ chức cho học sinh phát biểu định nghĩa.
Như vậy, khái niệm đạo hàm đã nảy sinh nhờ vào thao tác khái quát hóa các giới
hạn đã được vận dụng như công cụ trong các tình huống cụ thể trước.
Chú ý
Trong bước ”củng cố và vận dụng” của các tiến trình đã nêu, các pha trong đó khái
niệm hoạt động với cơ chế ”đối tượng” và các pha trong đó khái niệm có cơ chế
”công cụ”, không phải luôn luôn được đề cập một cách liên tục và tuyến tính. Chúng
có thể xuất hiện xen kẽ nhau, hay được đề cập ở những thời điểm và cấp độ khác
nhau. Hơn nữa, ”vận dụng” cũng có chức năng củng cố-ở đây chỉ mới nói đến củng
cố bước đầu.