Chuyên đề tích phân ĐẠI HỌC

Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
A – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
I – Phương pháp đổi biến số:
1) Đổi biến dạng u = u(x):
Phương pháp chung:
• Bước 1: chọn t = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
• Bước 2: Lấy vi phân dt = u’ (x)dx
• Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
• Bước 4: Khi đó I =
∫
dttg )(
Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số có mẫu t là mẫu số
Hàm số f(x,
)(x
ϕ
) t =
)(x
ϕ
Hàm f(x) =
exdxc
xbxa
++
+
cossin
cossin
t = tan
2
x
(với cos

2
x

0≠
)
Hàm
( )( )
bxax
xf
++
=
1
)(
+ Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt t =
bxax +++
+Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt t =
bxax −−++
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+ 3
2
x
xdx
b)
∫
− dxe
x
1
c)

∫
+
dx
e
e
x
x
1
2
3
d)
∫
+ dxxx
10
)1(
Giải
a) Đặt
xdxuduxdxuduxuxu =⇒=⇒+=⇒+= 2233
222
CxCudu
u
udu
x
xdx
++=+===
+
∫ ∫∫
3
3
2

2
b) Đặt
1,211
22
+==⇒−=⇒−= uedxeudueueu
xxxx
1
22
2
+
==⇒
u
udu
e
udu
dx
x
c) Đặt
( )
2
2
2
, ueedxedueu
xxxx
===⇒=
CeeCuu
u
du
du
u

duu
u
udu
udxe
xx
x
+−−−=+−=
+
−=
+
=
+
=−
∫∫∫∫∫
1arctan212arctan22
1
22
1
2
1
2
.1
22
2
2
CeeCuudu
u
dudu
u
u

dx
e
ee
dx
e
e
xx
x
xx
x
x
+−=+−=
+
−=
+
=
+
=
+
∫ ∫∫∫∫
arctanarctan
1
1
11
.
1
22
2
2
2

2
3
d) Đặt
dudxuxxu
=⇒−=⇒+=
11
CxxC
uu
duuduuduuudxxx ++−+=+−=−=−=+
∫ ∫ ∫∫
1112
1112
10111010
)1(
11
1
)1(
12
1
1112
)1()1(
2) Đổi biến dạng x =
ϕ
(t)
Phương pháp chung:
• Bước 1: chọn x =
ϕ
(t), trong đó
ϕ
(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp

• Bước 2: Lấy vi phân dx =
ϕ
’ (t)dt
• Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
• Bước 4: Khi đó I =
∫
dttg )(
 Các dấu hiệu:
Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 1
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
Dấu hiệu Cách chọn
22
xa −
x =
a
sint với
22
ππ
≤≤− t
hoặc
x =
a
cost với
π
≤≤
t0
22
ax −
t
a

x
sin
=
với
{ }
0\
2
;
2






−∈
ππ
t
hoặc
t
a
x
cos
=
với
[ ]







∈
2
\;0
π
π
t
22
ax +
x =
a
tant với
22
ππ
<<− t
hoặc
x =
a
cot t với
π
<<
t0
xa
xa
−
+
hoặc
xa
xa

+
−
x = a.cos2t
( )( )
xbax −−
x=a+(b-a)sin
2
t
Ví dụ: Tính
dxx
∫
−
2
1
Giải
Đặt x = sint với
22
ππ
≤≤− t
ttttxvàttx coscoscossin11cos)(
222
===−=−=
′
⇒
vì
22
ππ
≤≤− t
Cttttddtdt
t

tdttdttdxx ++=+=
+
===−
∫∫∫∫∫∫
2sin
4
1
2
1
)2(2cos
4
1
2
1
2
cos21
coscos.cos1
22
Mà x = sint với
Cxxtttvàxtt +−===⇒≤≤−
2
1
2
1
cos.sin
2
1
2sin
4
1

arcsin
22
ππ
Nên
Cx
x
xdxx +−+=−
∫
22
1
2
arcsin
2
1
1
Chú ý: Tính tương tự như trên ta có công thức sau:
Cxa
xxa
dxxa +−+=−
∫
22
2
22
22
arcsin
2
với a > 0 (Bằng cách đặt x = asint với
22
ππ
≤≤− t

)
II – Phương pháp tích phân từng phần:
Ta thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
∫
dxxgxf )().(
• Bước 2: Đặt



=
=
⇒



=
=
?
?
)(
)(
v
du
dxxgdv
xfu
• Bước 3: Khi đó:

∫
−=

uduvuI .
Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 2
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
 Dấu hiệu nhận biết : Khi tính những tích phân dạng
∫
dxxgxf )().(
với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp
cơ bản không cùng loại ta thường dùng tích phân từng phần. Cụ thể như sau:
a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm như hàm sin, cos, hàm mũ thì đặt:
u = f(x) ; dv = g(x)dx
b) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là hàm lôgarit thì đặt u = g(x),dv = f(x)dx
c) Nếu
dxbxedxxgxf
ax
)cos()().(
∫∫
=
hoặc
dxbxedxxgxf
ax
)sin()().(
∫∫
=
thì đặt:
u = cos(bx) , dv =
ax
e
dx hoặc u = sin(bx) , dv =
ax
e

dx
d) Nếu f(x) =
22
ax ±
hoặc f(x) =
22
xa −
, g(x) = 1 thì đặt u = f(x) , dv = g(x)dx = dx
Ví dụ: Tính tích phân sau:
∫
xdxx cos.
Giải
Đặt



=
=
⇒



=
=
xv
dxdu
xdxdv
xu
sincos
∫∫

++=−= Cxxxxdxxxxdxx cossinsinsin.cos.
B – TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP:
I – Tích phân hàm hữu tỉ:
1) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản:
a)
0,ln
1
≠++=
+
∫
aCbax
abax
dx
b)
( )
0,1,
)(
1
.
1
1
1
≠≠+
+
−
=
+
−
∫
akC

baxa
k
bax
dx
kk
c)
∫
++ cbxx
dxA
2
.
Phương pháp chung: Biến đổi
4
4
2
2
2
2
acbb
xcbxx
−
−






+=++
Đặt

2
b
xu +=
chuyển tích phân đã cho về dạng
∫
±
22
.
au
duA
Cách giải khác:
• Khi biệt thức
∆
của biểu thức dưới mẫu dương ta có cách giải sau:
Hướng giải ta phân tích:








−
−
−−
=
−−
−−−
−

=
−−
=
++
212121
12
2121
2
11
)(
1
))((
)()(
.
)(
1
))((
11
xxxxxxaxxxx
xxxx
xxaxxxxa
cbxax
• Khi
∆
= 0
Khi đó
C
xxa
A
dx

xxa
a
A
cbxax
Adx
xxacbxax
+
−
−=
−
=
++
⇒
−
=
++
∫∫
)(
)(
1
)(
11
0
2
0
22
0
2
d)
∫

++
+
cbxx
dxBAx
2
)(
Biến đổi
cbxx
bA
B
cbxx
bxA
cbxx
BAx
++
−
+






++
+
=
++
+
222
2

.
2
2
sau đó đưa tích phân đã cho về dạng:
∫
u
du
và tích
phân dạng c).
Ví dụ: Tính
dx
xx
x
∫
++
+
1
32
2
Giải
Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 3
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
Ta có:
1
2
1
12
1
32
222

++
+
++
+
=
++
+
xxxx
x
xx
x
Cxxx
x
dx
xx
xxd
dx
xx
dx
xx
x
dx
xx
x
+







++++=
+






+
+
++
++
=
++
+
++
+
=
++
+
∫∫∫∫∫
2
1
3
2
arctan
3
4
)1ln(

4
3
2
1
2
1
)1(
1
2
1
12
1
32
2
22
2
222
2) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát dạng
dx
xQ
xP
∫
)(
)(
a) Bậc P(x) nhỏ hơn bậc Q(x):
- Phân tích Q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai hoặc các lũy thừa của chúng.
- Phân tích
( )
( )
( )

)(
)(
11
2
1
22
11
+
++
+
++
+
+
+
=
βα
CxBxA
FEx
bxa
B
bxa
A
xQ
xP
Trong đó A, B, ….là các hằng
số thực chưa biết, để tìm chúng ta quy đồng mẫu số ở vế phải, sau đó đồng nhất thức hai tử số ở VT và VP,
hoặc cho x các giá trị đặc biệt đưa đến một hệ phương trình đối với các hệ số đó(Phương pháp này gọi là hệ
số bất định)
Ví dụ: Tính

∫
−1
3
x
xdx
Giải
Ta có:
( )
( )
( )
( )
11
)1)(()1(
1
1
111
2
2
223
++−
−++++
=
++
+
+
−
=
++−
=
− xxx

xCBxxxA
xx
CBx
x
A
xxx
x
x
x
( ) ( )
CAxCBAxBAxCBxxxAx −++−++=−++++=⇒
22
)1)(()1(
(*)
Cách 1: Đồng nhất thức hai vế của (*) ta được:









=
−=
=
⇔






=−
=+−
=+
3
1
3
1
3
1
0
1
0
C
B
A
CA
CBA
BA
Cách 2: Cho x = 1 : (*)
3
1
3.1 =⇒=⇒ AA
Cho x = 0: (*)
3
1
0 ==⇒−=⇒ ACCA
Cho x = - 1: (*)

3
1
3
2
2
3
1
221 −=⇒−+=−+=−⇒ BBCBA
Từ đó ta có:
1
1
3
1
1
1
.
3
1
1
23
++
−
−
−
=
− xx
x
x
x
x

Suy ra :
∫∫∫
++
−
−
−
=
−
dx
xx
x
x
dx
x
xdx
1
1
3
1
13
1
1
23
(Bạn đọc tự giải tiếp)
b) Bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x):
Ta chia P(x) cho Q(x) phân tích
)(
)(
xQ
xP

đưa về dạng a) trên.
Ví dụ: Tính:
dx
x
xx
∫
+
+
1
2
3
4
Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 4
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
Giải
Ta có:
11
2
33
4
+
+=
+
+
x
x
x
x
xx
Suy ra :

dx
x
x
xdxdx
x
xx
∫∫∫
+
+=
+
+
11
2
33
4
(Bạn đọc tự giải tiếp)
II – Tích phân các hàm số lượng giác:
1) Dạng
dxxxR
∫
)sin,(cos
, với
)sin,(cos xxR
là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx.
Phương pháp chung: Đặt
2
tan
x
t =
Khi đó

22
2
2
1
2
1
1
cos,
1
2
sin
t
dt
dxvà
t
t
t
t
t
x
+
=
+
−
=
+
=
Biến đổi tích phân dạng này về tích phân hàm hữu tỉ.
Ví dụ: Tính
∫

+1sin x
dx
Giải
Đặt
22
1
2
sin,
1
2
2
tan
t
t
x
t
dt
dx
x
t
+
=
+
=⇒=
( )
C
x
C
t
t

dt
t
dt
t
t
x
dx
+
+
−=+
+
−=
+
=
+
+
+
=
+
∫∫∫
2
tan1
2
1
2
1
2
1
2
.

1
1
2
1
1sin
22
2
Đặc biệt:
• Nếu R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx
• Nếu R(sinx, -cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = sinx
• Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) thì đặt t = tanx
Ví dụ: Tính
∫
xdxx
32
cos.sin
Giải
Ta có:
R(sinx, cosx) =
( ) ( )
)cos,(sincos.sincossincos,sincos.sin
32
3
232
xxRxxxxxxRxx −=−=−=−⇒
Nên ta đặt t = sinx
xdxdt cos=⇒
( )
C
xx

C
tt
dtttdtttxdxxxxdxx +−=+−=−=−==
∫∫∫∫
5
sin
3
sin
53
)1(cos.cos.sincos.sin
5353
42222232
2) Dạng
∫
bxdxax cos.cos
,
∫
bxdxax sin.sin
,
∫
bxdxax sin.cos
Phương pháp: Biến đổi các hàm dưới dấu tích phân thành tổng.
Ví dụ: Tính
∫
xdxx 5sin.3cos
Giải
Ta có:
[ ]
xxxxxxxx 2sin
2

1
8sin
2
1
)35sin()53sin(
2
1
5sin.3cos +=−++=
CxxCxxdxxxxdxx +






+−=+−−=+=
∫∫
2cos8cos
4
1
4
1
2cos
2
1
.
2
1
8cos
8

1
.
2
1
)2sin8(sin
2
1
5sin.3cos
3) Dạng
∫ ∫
xdxxdx
nn
cos,sin
:
Phương pháp:
Cách 1: Áp dụng dạng 1) phần đặc biệt.
Cách 2: Nếu n chẵn (n nhỏ) dùng công thức hạ bậc
2
2cos1
sin,
2
2cos1
cos
22
x
x
x
x
−
=

+
=
Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 5
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
Ví dụ: Tính
∫
xdx
4
cos
Giải
Ta có:
( ) ( )
xxxx
xx
x
xx
4cos
8
1
2cos
2
1
8
3
)4cos1(
8
1
2cos
2
1

4
1
2cos2cos21
4
1
2
2cos1
coscos
2
2
2
24
++=+++=
++=






=
==
Suy ra:
Cxxxxdx +++=
∫
4sin
32
1
2sin
4

1
8
3
cos
4
III – Tích phân các hàm vô tỉ:
Dạng
(
)
0,,
2
≠++
∫
adxcbxaxxR
Phương pháp chung:
Biến đổi








−
−







+=++
4
4
2
2
2
2
acbb
xacbxax
. Chuyển tích phân đã cho về một trong các dạng:
a)
(
)
duuuR
∫
+
22
1
,
α
. Đặt
tu tan
α
=
với
22
ππ
≤≤− t

b)
(
)
duuuR
∫
−
22
2
,
α
. Đặt
tu sin
α
=
với
22
ππ
≤≤− t
c)
(
)
duuuR
∫
−
22
3
,
α
. Đặt
t

u
cos
α
=
với
( )






∈
2
\;0
π
π
t
Chú ý: Tích phân dạng này có nhiều phương pháp tính, trong một số trường hợp đặc biệt có thể dùng
một số cách biến đổi đơn giản hơn như các ví dụ sau:
Ví dụ1: Tính
dxxxI
∫
++−= 54
2
Giải
Ta có:
( )
2
22

2994454 −−=+−+−=++− xxxxx
( )
∫ ∫∫
−=−−−=++−= duuxdxdxxxI
2
2
2
9)2(2954
, với u = x – 2
Đặt: u = 3sint với
22
ππ
≤≤− t
Cxx
xx
Cuu
u
Cttdt
t
tdtI
u
ttutdtdu
+++−
−
+
−
=+−+=
++=
+
==⇒

==−=⇒
∫ ∫
54
2
2
3
2
arcsin
2
9
9
2
1
3
arcsin
2
9
2sin
4
9
2
9
2
2cos1
9cos9
3
arcsin,cos39,cos3
22
2
2

Ví dụ 2: Tính
( )
dx
xx
x
I
∫
+−
+
=
42
3
2
Giải
Ta có
:
( )
Cxxxxx
x
xd
xx
xxd
xx
dx
dx
xx
x
I
++−+−++−=
+−

−
+
+−
+−
=
+−
+
+−
−
=
∫∫
∫∫
421ln442
31
)1(
4
42
)42(
2
1
42
4
42
22
2
1
22
22
2
22

Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 6
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
C – BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1.
dxxx
2
3
3
.5
∫
+
2.
dxxx
2
1
0
3
1−
∫
3.
dxxx
2
1
0
1−
∫
4.
∫
−

+
2
1
2
2x
xdx
5 .
∫
+
2
0
sin23
cos2
π
x
xdx
6.
1
3
1
0
2
+
∫
xx
7.
∫
2
0
5

sin
π
xdx
8.
∫
+
2
0
2
3cos
sin
π
x
xdx
9.
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
10.
dxxx
3
5
∫
11.
dx1xx

2
∫
+
12.
( )
dxx1
2001
∫
−

13.
∫
+
dx
x1
x
2
14.
dx
e
1e
x
x52
∫
+
−
15.
( )
∫
+ dx3x2

3
16.
∫
xdxsin.xcos
4
17.
∫
+
dx
1e
e2
x
x
18.
( )
∫
+
dx
x
1xln2
2
19.
dx
x
xln43
∫
−
20.
∫
π

0
22
sin dxe
x

21.
∫
e
dxx
0
2
ln.
22.
xdxx
e
ln)1(
1
2
∫
−
23.
∫
2
0
2
cos.
π
xdxx
24.
∫

−
2
0
cos.
π
xdxe
x

25.
( )
∫
+ dx3x2
3
26.
∫
dx
2
x
sin
2
27.
∫
xdxcot
2
28.
∫
xdxtan
29.
∫
dx

xcos
xtan
3
30.
( )
dxe2e
xx
∫
−
−
31.
dx
2
e
x
x
∫
32.
dx
2e
e
x
x
∫
+

33.
∫
+−
dx

2x3x
1
2
34.
∫
++ 3x8x4
dx
2
35.
∫
+− 10x7x
dx
2
36.
∫
−− 1x2x3
dx
2
37.
∫
−− x3x7x6
dx
23
38.
( )( )
∫
++ 1x21x
xdx
39.
dx

2x3x
7x5
2
∫
+−
−
40.
dx
1x6x9
5x2
2
∫
+−
+
41.
dx
6x5x
7x2
2
∫
++
+
42.
dx
2x3x
7x2
2
∫
+−
−

43.
∫
+− 2x3x
xdx
24
44.
∫
−− 1x2x
xdx
24
45.
( )
( )
∫
−++
+
41
12
2
2
xx
dxx
46.
∫
−− 2xx
dxx
36
5
47.
dx

x
x
∫
+
−
1
1
4
2
48.
( )
∫
++
−
dx
xxx
x
23
3
24
2
49.
∫
++−+
−
dx
xxxx
x
122
1

234
2
50.
( )
∫
+1xx
xdx2
2
51.
dx
xx4
1x
3
3
∫
−
−
52.
( )
( )
∫
++
+−
1x2xx
dx2x3x
2
3
53.
( )
( )

∫
++
+−
1x2xx
dx2x3x
2
3
54.
( )
∫
−
10
2
x1
dxx
55.
dx
10
5.3.2
x
xxx2
∫

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
1.
( )
2
x
cosxf
2

=
2.
( )
xsinxf
3
=
3. f(x) = (1 – 2x
2
)
3
4.
( )
3
2x3
x
x3exx2
xf
−−
=
5.
( )
( )
x
x2
xf
2
+
=
6.
( )

2x34x3
1
xf
+−+
=
7. (sinx + cosx)
2

Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 7
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
8.






+






−
4
x2cos.
3
x2cos
ππ

9. . cos
3
x 10. cos
4
x 11. sin
4
x + cos
4
x
12. sin
6
2x + cos
6
2x 13. f(x) = lnx 14. f(x) = (x
2
+ 1)e
2x
15. f(x) = x
2
sinx
d. f(x) = e
x
sinx
16.
( )
xcosxxf =
17. f(x) = e
x
(1 + tanx + tan
2

x) 18.
( )
x
exf =
19.
( )
2
x
xln
xf






=
20. f(x) = (x + 1)
2
cos
2
x 21. f(x) = e
-2x
.cos3x 22. sin(lnx)
23.
( ) ( )
0KKxxf
2
≠+=
24. f(x) = x

3
lnx 25. f(x) = (x
2
+ 2)sin2x 26.
( )
xsinxxf =
Bài 3: Cho hàm số
( )
2x3x
5x2x2
xf
2
2
+−
++
=
a. Tìm m, n, p để
( )
( )
2x
p
1x
n
1x
m
xf
2
+
+
−

+
−
=
b. Tìm họ nguyên hàm của f(x)
Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1.
( )






+
=
4
xcosxsin
1
xf
π
2.
( )
1xsin2
1
xf
+
=
3.
( )







+=
4
xtan.xtanxf
π
4.
( )
xcosxsin3
2
xf
+
=
5.
( )
xcos2xsin
xcos3xsin4
xf
+
+
=
6.
( )
x2cosx2sin32
xcos8
xf
−+

=
7.
( )
1xcosxsin2
xsin5
xf
+−
=
8.
( )
xcosxsin3
1xsin4
xf
2
+
+
=
9. f(x) = cos3x.cos5x
10. f(x) = sin
3
xsin3x 11. f(x) = sin
3
x.cos3x + cos
3
x.sin3x 12.
( )
xcosxsin
x2cos
xf
+

=
13.
( )
xcosxsin
xcosxsin
xf
+
−
=
14.
( )






++
=
4
xcosxcos
1
xf
π
15.
( )
xcosxsin2
1
xf
−+

=
16.
( )
xcos3xsin
xcos
xf
2
+
=
17.
( )
x2sin1
xsin
xf
+
=
18. f(x) = sinx.sin2x.cos5x
19.
( )






+







−= x
3
tanx
3
tan.xtanxf
ππ
20. f(x) = (sin4x + cos4x)(sin6x + cos6x)
.
( ) ( )
x2sin2.
4
xsinxf +






−=
π
22.
( )
x2sin3x6sinx4sin3
xsin
xf
3
−−
=

d.
( )
xsin2x2sin
1
xf
−
=
e.
( )
xsin
x
xf
2
=
f.
( )
xsin1
xcot
xf
+
=
g.
( )






+







+=
6
xcot
3
xtanxf
ππ
h. F(x) = (x
2
+ 2)sin2x
dx
xcosxsin2
dx2
I
∫
−
=
Bài 5: Tính các tích phân sau:
Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 8
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
1.
∫
xdxx tan.5cos
2.
∫

xdxx tan.3cos
3.
dx
xx
xx
∫
+ 2cottan
4sin.3sin
4.
∫
+
+
dx
x
xxx
sin2
cos.sincos
5.
∫
4
53
cos.sin xx
dx
6.
∫
+1sincos
sin
2
xx
xdx

7.
dx
xxxx
dx
∫
−−
22
coscossin2sin3
D – CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002-2003 ĐẾN 2006-2007
I. Tính các tích phân sau: ( Dùng tích phân đổi biến số)
1.
1
3
2
0
4
x
dx
x
+
∫
2.
3ln 2
3
ln3
( 1)
x
x
e dx
e

+
∫
3.
2
6
3 5
0
1 os sinx.cosc x x dx
π
−
∫
4.
2 3
2
5
. 4
dx
x x
+
∫
5.
1
3 2
0
1x x dx
−
∫
6.
ln10
2

ln5
1
x
x
e dx
e
−
∫
7.
2
1
3
0
.
x
x e dx
∫
8.
7
3
0
2
.
1
x
dx
x
+
+
∫

9.
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫
10.
2
1
.
1 1
x dx
x
+ −
∫
11.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x

+
∫
12.
2
0
sin 2 . osx
.
1 osx
x c
dx
c
π
+
∫
13.
2
0
sin 2 sinx
.
1 3cos
x
dx
sx
π
+
+
∫
14.
2
2 2

0
sin 2
.
os 4sin
x
dx
c x x
π
+
∫
15.
( )
3
2
2
ln .x x dx
−
∫
16.
1
3 2ln
. 1 2ln
e
x
dx
x x
−
+
∫
17.

6
2
1
.
2 1 4 1
dx
x x
+ + +
∫
18.
10
5
1
2 1
dx
x x
− −
∫
19.
2
4
5
0
1
x
dx
x
+
∫
20.

ln5
ln3
1
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
21.
1
3 2
0
3x x dx
+
∫
22.
2
4
2
0
1
.
1
x x
dx
x
− +
+

∫
23.
3
2
0
4sin
1 osx
x
dx
c
π
+
∫
24
1
5 2
0
1x x dx
−
∫
25
3
2 5
0
1.x x dx
+
∫
26.
3
5 3

2
0
2
1
x x
dx
x
+
+
∫
27
( )
1
3
0
1
x
dx
x
+
∫
28.
3
1
3
3 1 3
x
dx
x x
−

−
+ + +
∫
29.
1
2
0
1
x
dx
x
+
∫

30.
1
2
0
. 1x x dx
+
∫
31.
2
4
sinx-cosx
1 sin 2
dx
x
π
π

+
∫
32.
1
0
os2
1 2sin 2
c x
dx
x
+
∫
33.
( )
1
3
0
os2
sinx-cosx+3
c x
dx
∫
34.
2
2
0
os
7-5sinx-cos
c x
dx

x
π
∫
35.
3
2
0
4sin
1 osx
x
dx
c
π
+
∫

Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 9
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
36.
ln 2
2
0
7
x
x
e
dx
e
+
∫

37.
2
2
0
sin .x tgxdx
π
∫
2. Tính các tích phân sau (Dùng tích phân từng phân kết hợp đổi biến số nếu có)
1.
( )
1
2
0
2 .
x
x e dx
−
∫
2
2
0
( 1)sin 2 .x x dx
π
+
∫
3.
( )
2
1
2 ln .x x dx

−
∫

4.
( )
4
0
1 osxx c dx
π
−
∫
5
( )
4
sinx
0
. osx .tgx e c dx
π
+
∫
6.
2
1
1
ln .
e
x
x dx
x
+

∫
7
2
3
0
sin 5 .
x
e x dx
π
∫
8.
2
ln 2
5
0
x
x e dx
∫
9.
( )
1
2
0
ln 1x x dx
+
∫

10
( )
3

2
0
ln 5x x dx
+
∫
11
2
2
1
ln(1 )x
dx
x
+
∫
12.
3
1
1
ln
e
x
x dx
x
 
+
 ÷
 
∫
13
( )

2
sinx
0
osx osx.e c c dx
π
+
∫
14.
2
osx
0
sin2x d
c
e x
π
∫
15
4
2
0
os x
x
dx
c
π
∫
16
2
2
0

ln .x x dx
∫
17.
2
osx
0
sin2x d
c
e x
π
∫
18
( )
0
2
3
1
9 1
x
x e x dx
−
+ +
∫
A. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.
1
2
0
1
x x

dx
x
−
+
∫
2.
1
2
0
2008
2
dx
x x− −
∫
3.
1
3 2
0
4 1
2 2
x
dx
x x x
−
+ + +
∫
4.
1
2
0

2 5 2
dx
x x+ +
∫
5.
1
3 2 2
0
5 11
1 3 2 1
x x x x
dx
x x x
 
+ +
+ +
 ÷
+ + +
 
∫
6.
2
2
1
3 1
3 1
x
dx
x
−

−
∫
7.
1
2
0
2 5
dx
x x+ +
∫
8.
1
2
0
6 9
dx
x x− +
∫
9.
1
2
0
3 2
dx
x x+ +
∫
10.
1
2
0

2 1
dx
x x+ +
∫
11.
( )
1
2
2
0
3 2
dx
x x+ +
∫
12.
1
3
2
0
2 1
x dx
x x+ +
∫
13.
( )
2
1
2
0
1

4 4
x dx
x x
+
+ +
∫
14.
1
2
1
4 4
xdx
x x
−
+ +
∫
15.
2
2
2
1
7 12
x dx
x x− +
∫
16.
( )
5
2
4

3 7
5 6
x dx
x x
−
− +
∫
17.
( )
1
2
0
4 11
5 6
x dx
x x
+
+ +
∫
18.
1
2
0
.
4
x dx
x−
∫
19.
0

2
1
2 4
dx
x x
−
− +
∫
B. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
1.
1
0
1x x dx−
∫
2.
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
3.
7
2
3
3 3
0 0
1 1
;

3 1 3 2
x x
dx dx
x x
+ +
+ +
∫ ∫
4.
1
0
2
x
dx
x +
∫
5.
3
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
6.
7
1

1
2 1
dx
x
−
+ +
∫
8.
4
1
1
.(1 )
dx
x x+
∫
9.
2
3
1
dx
x x
−
−
−
∫
10.
1
0
1
dx

x x+ +
∫
11.
4
2
7
9
dx
x x +
∫
12.
2
2 3
0
1x x dx+
∫
Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 10
Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen
13.
2
2
2
1
2
1
dx
x x−
∫
14.
2

3
1
1
dx
x x+
∫
15.
1
3
2
0
1
x dx
x x+ +
∫
16.
1
3
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
17.
2
2

0
x x dx
−
∫
18.
2
2 2
0
4x x dx−
∫
19.
( )
5
3
2 2x x dx
−
+ − −
∫
20.
2008
2
2008 2008
0
sin
sin os
x
dx
x c x
π
+

∫

Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 11