Đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 pps

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (2 điểm)
Giải phương trình:

3 1
3 2 2 2cos2 0
cos2 1
cotx
tan x x
x cotx
−
− − + =
+
Câu II (2,5 điểm)
1. Cho khai triển:
( )
2011
2 3 2010 2 3 4042110
0 1 2 3 4042110
1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + +
a. Tính tổng
0 2 4 4042110
a a a a+ + + +
b. Chứng minh đẳng thức sau:

0 1 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0
2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = −
2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự
nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.
Câu III (2,5 điểm)
1. Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau
( )
2
1 1 1
2011;
n n n
u u n u u
− −
= = −
,
với mọi
*
, 2n n∈ ≥¥
. Chứng minh rằng dãy số
( )
n
u
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. Tính giới hạn:
3

2
1
2 1 3 2 2
1
x
x x x
A lim
x
→
− + − −
=
−
Câu IV (3 điểm)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh
a
.
1. Chứng minh rằng
'AC
vuông góc với mặt phẳng
( )
'A BD
và đường thẳng
'AC
đi qua trọng tâm
của tam giác
'A BD
.
2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt
phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo
a

.
Hết
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………
Tham khảo đáp án: />