CÁC DẠNG ĐƯỜNG MẶT TRONG KHÔNG GIAN

Trường THPT Nguyễn Du Giáo án: Hình học 12 – Chương trình chuẩn.

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông với
( )
α
cho trước.
Gọi d là đường thẳng cần viết phương trình.
Theo giả thiết ta có: d nhận VTPT của
( )
α
làm VTCP tức là …
Mặt khác: d qua M nên PTTS của d là: …. . (áp dụng công thức PTTS)
Dạng 2: Tìm H là hình chiếu của M lên
( )
α
- Gọi d là đường thẳng qua M và vuông với
( )
α
… (đã có ở dạng 1)
- Gọi H =
( )
d
α
I
thì H là hình chiếu của M lên
( )
α
.
Khi đó tọa độ H là nghiệm của hệ

( )

d
α





(Giải hệ bằng phương pháp thế)
Dạng 3: Tìm M’ đối xứng với M qua
( )
α
(Hay
( )
α
là mặt trung trực của MM’)
- Ta tìm H là hình chiếu của M lên
( )
α
(đã có ở dạng 2)
- Gọi M’ là điểm đối xứng cần tìm
Suy ra H là trung điểm MM’. Áp dụng công thức trung điểm: x
M’
= 2.x
H
- x
M ; … …
Dạng 4: Tìm hình chiếu của M lên đ.thẳng d có PTTS
- Gọi H (…, …, …) thuộc d là điểm cần tìm
- Ta có:
MH

uuuur
= (…, …, …). Do H là hình chiếu của M lên d nên:
MH
uuuur
.
d
u
uur
= 0 thu được t = … . Thế t vào H ban đầu thì có kết quả.
Chú ý: H là hình chiếu thì MH = d (M; d)
Dạng 5: Tìm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d
- Tìm hình chiếu của M lên đthẳng d (theo dạng 4)
- Do MM’ nhận H là trung điểm nên ta có:
x
M’
= 2.x
H
- x
M
;

y
M’
= 2.y
H
- y
M
;

z

M’
=
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua M và vuông góc với đthẳng d.
Ta có:
( )
α
nhận VTCP của d làm VTPT tức là có: …
Mặt khác
( )
α
qua M nên phương trình là: A(x –x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
Dạng 7: Viết PT mặt phẳng chứa d và qua M
Gọi
( )
α
là mặt phẳng cần tìm.
Ta có:
d
u
uur
và

MM
0
là hai vectơ không cùng phương …. (Với M
0
là điểm trên d )
Nên VTPT của
( )
α
là
0
,
d
n u M M
α
 
=
 
uur uur uuuuuur
. Mặt khác
( )
α
qua M nên phương trình của
( )
α
là: … … …

Giáo viên: Đinh Công Thi Trang 1
d
M
d

M
d
M
H
d
M
H
M'
d
M
H
M'
d
M
Trường THPT Nguyễn Du Giáo án: Hình học 12 – Chương trình chuẩn.

** Dạng 8: Viết PT mặt phẳng
( )
α
chứa d và vuông với
( )
β
- Gọi
( )
α
là mặt phẳng cần tìm.
Ta có
d
u
uur

và
n
β
uur
là hai vec tơ không cùng phương … .
Suy ra VTPT của
( )
α
là
,
d
n u n
α β
 
=
 
uur uur uur
= (…; … ; … )
Mặt khác
( )
α
qua điểm M
0
thuộc d nên phương trình là: … …
** Dạng 9: Viết PT mặt phẳng
( )
α
chứa d và song song với đường thẳng
∆
- Gọi

( )
α
là mặt phẳng cần tìm.
Ta có
d
u
uur
và
u
∆
uur
là hai vec tơ không cùng phương … .
Suy ra VTPT của
( )
α
là
,
d
n u u
α
∆
 
=
 
uur uur uur
= (…; … ; … )
Mặt khác
( )
α
qua điểm M

0
thuộc d nên phương trình là: … …
** Chú y ù:
Viết phương trình hai mặt phẳng
( )
α
//
( )
β
và lần lượt chứa d,
∆
thì
Ta viết phương trình
( )
α
chứa d đồng thời //
∆
sau đó viết
( )
β
chứa
∆
và // d.
Dạng 10: Viết phương trình d’ là hình chiếu của d lên (P)
- Gọi A là giao điểm của d và (P). Tọa độ A là nghiệm của hệ d và (P)
- Lấy B thuộc d. Gọi H là hình chiếu của B trên (P) (xem dạng 2)
- Theo yêu cầu bài toán thì d’ là đường thẳng qua A và H
Chú ý: Nếu d // (P) ta lấy B thuộc d, tìm hình chiếu H
Khi đó d’ // d và qua H. (Tức là có cùng VTCP và đi qua H)
Dạng 11: Viết phương trình đ.thẳng

∆
qua M đồng thờiø vuông với d và d’
- Theo ycbt thì
∆
có VTCP là
u
∆
uur
=
'
,
d d
u u
 
 
uur uur

- Mặt khác
∆
qua M nên ta có PTTS là
Dạng 12: Viết phương trình
∆
là đường vuông góc chung của d và d’
- Hai đường thẳng d và d’ có VTCP là
, 'u u
r ur
Giả sử
∆
cắt d và d’ tại M, N. Suy ra M ( , , ) thuộc d
và N( , , ) thuộc d’ suy ra

MN
uuuur
= ( ; ; ) là VTCP của
∆
-
∆
là đường vuông góc chung của d và d’
. 0
. ' 0
MN u
MN u

=

⇔

=


uuuur r
uuuur ur

Từ đó tìm ra t và t’ suy ra
MN
uuuur
= …
Đường vuông góc chung qua M nhận
MN
uuuur
làm VTCP nên có PTTS là …

Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng nằm trong
( )
α
và và cắt cả hai đường thẳng d, d’.

Giáo viên: Đinh Công Thi Trang 2
d
d'
A
H
B
d
d'
N
M
Trường THPT Nguyễn Du Giáo án: Hình học 12 – Chương trình chuẩn.

- Gọi A, B là giao điểm của d, d’ với
( )
α
.
Khi đó tọa độ của A, B là nghiệm của 2 hệ … … …
- Gọi
∆
là đường thẳng cần tìm. Suy ra
∆
qua A, (hoặc B)
Và nhận
AB
uuur

làm VTCP nên phương trình là: … …
Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng d qua M, đồng thời cắt và vuông góc với
∆
(Gần dạng 4)
Giả sử d cắt
∆
tại N ( , , ) ta có
MN
uuuur
= ( , , )
Từ ycbt suy ra
MN
uuuur
.
u
∆
uur
= 0 nên tìm được t = … suy ra
MN
uuuur
= …
Vậy d qua M và nhận
MN
uuuur
làm VTCP nên có phương trình tham số …
Dạng 15: Viết p.trình đ.thẳng d nằm trong
( )
α
và vuông góc và cắt
∆

.
Gọi giao điểm
∆
và
( )
α
là M.
Gọi
a
r
là VTCP của d thì ta có
a
r
vuông với
n
α
uur
và
u
∆
uur
nên lấy
,a n u
α
∆
 
=
 
r uur uur
Theo ycbt thì d qua M nên PTTS d là … …

Dạng 16: Viết phương trình d qua M song song với (P) và cắt
∆
Giả sử d cắt
∆
tại N( , , ) thuộc
∆
Ta có
MN
uuuur
= ( , , ). Do d // (P) nên
MN
uuuur
.
n
α
uur
= 0
Thì thu được t suy ra
MN
uuuur
= …
Do đó d qua M và nhận
MN
uuuur
làm VTCP nên có PTTS là … …
Dạng 17: Viết phương trình d qua A, song song với (P) và vuông với
∆
Gọi
d
u

r
là VTCP của d.
Theo giả thiết thì:
d
P
u n⊥
r uur
và
d
u u
∆
⊥
r uur
. Do đó ta chọn
,
d
P
u n u
∆
 
=
 
r uur uur
= ( , , )
Mặt khác d qua A nên ta có PTTS là … …
Dạng 18: Viết phương trình đường thẳng
∆
qua điểm M, vuông
với đường thẳng d
1

và cắt đường thẳng d
2
.
Giả sử
∆
cắt d
2
tại M
2
suy ra M
2
(…, …, …) thuộc d
2
.
Ta có
2
MM
uuuuur
= ( , , ) là VTCP của
∆
(có chứa t’ của d
2
)
Do
∆
vuông với đường thẳng d
1
nên
2
MM

uuuuur
.
1
u
ur
= 0.
Ta tìm được t’ từ đó tìm được
2
MM
uuuuur
. Nên đường thẳng
∆
có PTTS là
* Dạng 19 : Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và cắt hai đường thẳng d
1
; d
2
đã cho.
- Gọi
∆
là đường thẳng cần viết phương trình.

Giáo viên: Đinh Công Thi Trang 3
d
d'
dt a
A
B
d
dta

N
M
dta
d
A
dta
d
M
d
dta
N
M
d1
d2
dta
B
A
M
d1
d2
M2
M
Trường THPT Nguyễn Du Giáo án: Hình học 12 – Chương trình chuẩn.

- Giả sử
∆
cắt d
1
; d
2

tại A( , , ) và B ( , , ) thì ta có:
,AM AB
uuuur uuur
cùng phương. Do đó thu được hệ … … …
Giải hệ thu được t và t’ suy ra A( , , ) và B( , , )
Vậy
∆
qua M nhận
AM
uuuur
làm VTCP nên có phương trình là ….

* Dạng 20 : Viết p.trình đ.thẳng song song với
∆
cho trước và cắt hai đường thẳng d
1
; d
2
đã cho.
- Gọi
1
∆
là đường thẳng cần viết phương trình.
- Giả sử
1
∆
cắt d
1
; d
2

tại A( , , ) và B ( , , ) thì ta có:
,u AB
∆
uur uuur
cùng phương. Do đó thu được hệ … … …
Giải hệ thu được t và t’ suy ra A( , , ) và B( , , )
Vậy
1
∆
là đường thẳng qua A và B.
* Dạng 21: Viết phương trình đường thẳng vuông với
( )
α
và cắt cả d
1
; d
2
- Gọi
1
∆
là đường thẳng cần viết phương trình.
- Giả sử
1
∆
cắt d
1
; d
2
tại A( , , ) và B ( , , ) thì ta có:
,n AB

α
uur uuur
cùng phương. Do đó thu được hệ … … …
Giải hệ thu được t và t’ suy ra A( , , ) và B( , , )
Vậy
1
∆
là đường thẳng qua A và B.
Dạng 22: Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua (P)
- Gọi A là giao điểm (nếu có) của d và (P). Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ d và (P)
- Lấy M trên d (M khác A) ta tìm M’ đối xứng với M qua (P)
- Đường thẳng d’ qua M’ và A có VTCP là
'M A
uuuuur
nên viết PTTS.
Chú ý:
- Nếu A khơng tồn tại (hệ vơ nghiệm) tức là d //(P) khi đó d’ qua M’ và song song với d
* Các cách tính khoảng cách cần tham khảo thêm:
1.
( )
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=

+ +
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
được qui về khoảng cách giữa M và
( )
α
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d’khi đó viết được phương trình (P) … (theo dạng 9)
Ta có: d (d,d’) = d ((P), d’) = d (M, (P)) với M thuộc d’
* Các cách tính góc cần tham khảo thêm:
Gồm: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng ta dùng cos, góc giữa đường và mặt ta dùng sin.
(Còn nhiều dạng khác nữa . . .)

Giáo viên: Đinh Công Thi Trang 4