PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Phương trình tham số của đường thẳng:
a) Định nghĩa: Cho đường thẳng . Véc tơ gọi là véc tơ chỉ phương của đ/t nếu
nó nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với .
Chú ý: * Nếu là giao tuyến của hai mp lần lượt nhận làm VTPT thì là
một véc tơ chỉ phương của .
* Đường thẳng có là VTCP .
b) Cho đường thẳng đi qua và có VTCP . Khi đó phương trình
đường thẳng có dạng:
(1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số.
Nhận xét : * Để viết ptts của một đường thẳng, ta cần tìm một điểm đi qua và một VTCP. Trong
hai yếu tố này, thì việc tìm VTCP gây không ít khó khăn cho chúng ta. Do đó ta cần lưu ý đến
một số tính chất sau :

2. Phương trình chính tắc:
Cho đường thẳng đi qua và có VTCP . Khi đó phương trình
đường thẳng có dạng:
(2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .

Chú ý: Trong (2) nếu mẫu bằng 0 thì ta quy ước tử cũng bằng 0.
5. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Lập ptts, ptct của đường thẳng d biết:
1) d đi qua và có VTCP .
2) d đi qua và .
3) d đi qua và vuông góc với mp(P): .
4) d là giao tuyến của hai mp và .
Giải:
1) Phương trình tham số của d: .
Phương trình chính tắc của d:

2) Vì d đi qua A và B nên d nhận là VTCP
Phương trình tham số của d:
Phương trình chính tắc của d: .
3) Vì d vuông góc với mp(P) nên d nhận VTPT của (P) làm VTCP
Phương trình tham số của d:
Phương trình chính tắc của d: .
4) Vì d là giao tuyến của hai mp và nên tọa độ của mọi điểm thuộc d là nghiệm của hệ:
. Cho
Đường thẳng d có là VTCP
Phương trình tham số của d:
Phương trình chính tắc của d: .
Ví dụ 2: Viết phương trình của đường thẳng biết
1) đi qua và vuông góc với hai đường thẳng và
.
.
Giải:
Ta có: \[d_1 \] có là VTCP; có là VTCP
Cách 1: Giả sử là một VTCP của . Vì vuông góc với d
1
và d
2
nên
Phương trình là: .
Cách 2: Ta có
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5(x - 1) - 8y - 3(z + 1) = 0 \\ 1(x - 1) - 2y = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = t \\
z = - 1 + \frac{2}{3}t \\ \end{array} \right.\].
Vậy ptts .
2) đi qua và song song với hai mp và
.

Giải :
Gọi d là giao tuyến của hai mp(P) và (Q)
Vì
Vậy phương trình của .

3) nằm trong mp(P): và cắt hai đường thẳng :
.
Giải: Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (P) với d
1
, d
2
Thay phương trình d
1
vào phương trình (P) ta có :
Thay phương trình d
2
vào phương trình (P) ta có :
Vì nằm trong (P) đồng thời cắt d
1
, d
2
nên đi qua A,B nhận
làm VTCP
Vậy phương trình của đường thẳng là: .
4) đi qua và cắt hai đường thẳng và
.
Giải:
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của và
Vì
đi qua M nên cùng phương với hay

.Vậy phương trình .
Nhận xét: Cách giải thứ hai là ta xác định đường thẳng bằng cách xác định hai điểm thuộc
đường thẳng . Để xác định một điểm thuộc đường thẳng ta chuyển phương trình đường thẳng về
phương trình tham số, việc làm này giúp chúng ta giảm bớt số ẩn cần tìm.
5) đi qua , vuông góc với đường thẳng và cắt đường
thẳng .
Giải :
Gọi N là giao điểm của và
Vì vuông góc với
Phương trình .
Ví dụ 3: Cho đường thẳng và điểm .
1) Tìm tọa độ hình chiếu của lên đường thẳng .
2) Tìm thuộc sao cho .
Giải :
1) Cách 1 : Vì
Mặt khác
Cách 2 : Gọi (P) là mp đi qua A vuông góc với
chính là giao điểm của và .
2)
.
Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán : và
.

Bài tập:
Bài 1. Cho và hai đ/t ;
1) Viết pt mp(P) đi qua M và chứa (d
1
).
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt (d
1

) và vuông góc với (d
2
).
3) Viết pt đường thẳng đi qua M cắt (d
1
) và (d
2
).
4) Viết pt mp(Q) đi qua (d
1
) và song song với (d
2
).
5) Viết pt đường thẳng đi qua M vuông và cắt (d
1
).
6) Viết pt mp(R) đi qua A(1 ;2 ;3) và vuông với (d
2
).