bài giảng phương trình vi phân cấp 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
BÀI TOÁN CAUCHY
Tìm nghiệm của phương trình
F(x, y, y’, y”) = 0 (1)
hoặc: y” = f(x, y, y’) (2)
thỏa điều kiện ban đầu :
y(x
0
) = y
0
y’(x
0
) = y
1
Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 2 có 2
hằng số tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số
này.
Ví dụ
3
1
(1) '
3
x
y C⇔ = +
4
1 2
12
x
y C x C⇔ = + +
Tìm nghiệm bài toán:
y” = x

2
(1)
y(0) = 1, y’(0) = -2 (2)
(2), (3) ⇒ C
1
= -2
(2), (4) ⇒ C
2
= 1
(3)
(4)
Vậy nghiệm bài toán là:
4
2 1
12
x
y x= − +
MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC
LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0
Cách làm: đặt p = y’ → đưa về ptvp cấp 1 theo p, x
LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0
Cách làm: đặt p = y’ → đưa về pt cấp 1 theo
hàm p và biến y
LOẠI 3: F thỏa F(x,ty,ty’,ty”) = t
n
F(x,y,y’,y”)
Cách làm: đặt y’ = yz → đưa về pt theo x, z
Ví dụ
'y p
=

' 2 ( ' '( )) p p p p x= =
1
2
dp
dx p x C
p
= ⇔ = +
2
1
' ( )y x C⇔ = +
3
1 2
1
( )
3
y x C C⇔ = + +
1/ " 2 'y y
=
Pt không chứa y, đặt
Pt trở thành:
Với p ≠ 0
p = 0 ⇔ y’ = 0 ⇔ y = C
2 2 2
2 / (1 ) " ( 1)( ')y yy y y+ = −
Pt không chứa x
Đặt y’ = p (xem y là biến)
' '
" ' , ( )p'=p'(y)= = × = × = ×
dy dy dy dp
y p p p

dx dy dx dy
Pt trở thành:
2 2 2
(1 ) ' ( 1)y yp p y p+ = −
2
2 2
1 2 1
(1 ) 1
 
−
⇒ = = −
 ÷
+ +
 
dp y y
dy dy
p y
y y y
2
1
(1 )⇒ = +py C y
2
1
(1 )⇒ = +py C y
2
1
' (1 )⇒ = +y y C y
1
2
1

⇒ =
+
ydy
C dx
y
2
1 2
1
ln(1 )
2
⇒ + = +y C x C
x
2
yy” – (y – xy’)
2

= 0
x
2
ty ty” – (ty – x ty’)
2
= t
2
[x
2
yy” – (y – xy’)
2
Đặt y’ = yz ⇒ y” = y’z + yz’ = yz
2
+ yz’

Pt trở thành:
2 2 2
( ') ( )x y yz yz y xyz+ = −
2 2 2
( ') (1 )⇒ + = −x z z x z
(Tuyến tính )
2
' 2 1⇒ + =x z xz
2
' 2 1+ =x z xz
1
2
1
⇒ = +
C
z
x
x
1
2
' 1
⇒ = +
y C
y x
x
1
2
−
⇒ =
C

x
y C xe
PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2
y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (1) p(x), q(x), f(x) liên tục
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0
Phương trình thuần nhất
Cấu trúc nghiệm pt không thuần nhất:
•
y
0
là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất,
•
y
r
là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất
y = y
0
+ y
r
Nguyên lý chồng chất nghiệm
Nếu y
1
và y
2
lần lượt là các nghiệm của pt
y” + p(x)y’ + q(x)y = f
1
(x)
y” + p(x)y’ + q(x)y = f
2

(x)
thì y
1
+ y
2
là nghiệm của pt
y” + p(x)y’ + q(x)y = f
1
(x) + f
2
(x)
Giải phương trình thuần nhất
Nếu y
1
và y
2
là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của pt thuần
nhất
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0
nghiệm tổng quát của pt này là
y
0
= C
1
y
1
+ C
2
y
2

Nếu biết trước 1 nghiệm y
1
≠ 0, y
2
được tìm như sau
( )
2 1
2
1
p x dx
e
y y dx
y
−
∫
=
∫
Ví dụ
( )
2 1
2
1
−
∫
=
∫
p x dx
e
y y dx
y

Giải pt: x
2
y” – xy’ + y = 0, biết pt có 1 nghiệm y
1
= x
p(x) = – 1/x
2
2 2
ln | |
dx
x
e x
y x dx x dx x x
x x
−
−
∫
= = =
∫ ∫
y
0
= C
1
x + C
2
xln|x|
Giải pt: (1+x
2
)y” + 2xy’ – 2y = 4x
2

+ 2 (1)
biết phương trình có 2 nghiệm y = x
2
và y = x + x
2
y = x
2
và y = x + x
2
là 2 nghiệm của (1)
⇒ y
1
= (x + x
2
) – x
2

là nghiệm của pt thuần nhất
⇒ y
1
= x
2
2
1
2
2 2 2
(1 )
x
dx
x

e dx
y x dx x
x x x
−
+
∫
⇒ = =
+
∫ ∫
Lưu ý: pt đã cho là pt không thuần nhất
1
arctan arctan 1x x x x
x
 
= − − = − −
 ÷
 
y
0
= C
1
x + C
2
(xarctanx + 1)
y = C
1
x + C
2
(xarctanx + 1) + x
2

2
2
1
2
2 2 2
(1 )
x
dx
x
e dx
y x dx x
x x x
−
+
∫
⇒ = =
+
∫ ∫
(NTQ của pt thuần nhất)
Nghiệm TQ của (1)
PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG
y” + ay’ + by = f(x)
(a, b là hằng số )
Bước 2: tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất
Giải pt thuần nhất : y” + ay’ + by = 0
Bước 1:
y” + ay’ + by = f(x)
Cách xác định nghiệm tổng quát của pt thuần nhất
1 2
1 2

,
k x k x
y e y e= =
1 2
,
kx kx
y e y xe= =

k
1
, k
2
là nghiệm thực phân biệt:

k là nghiệm kép:

k = α ± iβ (phức):
1 2
cos , sin
x x
y e x y e x
α α
β β
= =
y
0
= C
1
y
1

+ C
2
y
2
Giải phương trình đặc trưng:
k
2
+ ak + b = 0
Ví dụ
4
1 2
,
x x
y e y e
−
= =
4
0 1 2
x x
y C e C e
−
⇒ = +
1 2
,
x x
y e y xe= =
1. y” – 3y’ – 4y = 0,
Ptđt: k
2
– 3k – 4 = 0

2. y” – 2y’ + y = 0,
Ptđt: k
2
– 2k + 1 = 0
0 1 2
x x
y C e C xe⇒ = +
⇔ k = −1, k = 4
⇔ k = 1 (kép)
3. y” – 2y’ + 5y = 0,
Ptđt: k
2
– 2k + 5 = 0
1 1
1 2
cos2 , sin 2
x x
y e x y e x= =
0 1 2
cos2 sin 2
x x
y C e x C e x⇒ = +
⇔ k = 1 ± 2i
Tìm nghiệm riêng y
r
của pt y” + ay’ + by = f(x)
Biến thiên bằng số
Trong y
0
, xem C

1
= C
1
(x), C
2
= C
2
(x), giải hệ
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
C x y C x y
C x y C x y f x
′ ′
+ =


′ ′ ′ ′
+ =

y
r
= C
1
(x)y
1
+ C
2
(x)y

2

Ví dụ
2 2
1 2 0 1 2
,
x x x x
y e y e y C e C e
− − − −
= = ⇒ = +
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
C x y C x y
C x y C x y f x
′ ′
+ =


′ ′ ′ ′
+ =

y” + 3y’ + 2y = sin(e
x
)
Pt thuần nhất : y” + 3y’ + 2y = 0 (k
2
+ 3k + 2 = 0)
Xem C

1
và C
2
là các hàm theo x, giải hệ
2
1 2
2
1 2
( ) ( ) 0
( )( ) ( )( 2 ) sin( )
x x
x x x
C x e C x e
C x e C x e e
− −
− −

′ ′
+ =


′ ′
− + − =


2
1 2
( ) sin( ), ( ) sin( )
x x x x
C x e e C x e e

′ ′
⇔ = = −
Chọn: C
1
(x) = −cos(e
x
), C
2
(x) = e
x
cos(e
x
) – sin(e
x
)
y
r
= C
1
(x)y
1
+ C
2
(x)y
2

y
r
= −e
−x

cos(e
x
) + e
−2x
[e
x
cos(e
x
) – sin(e
x
)]
= −e
– 2x
sin(e
x
)

2
0 1 2
,
x x
y C e C e
− −
= +
2 2
0 1 2
sin( )
x x x x
r
y y y C e C e e e

− − −
= + = + −
y
r
= −e
– 2x
sin(e
x
)

PP hệ số bất định tìm y
r
f(x) = e
αx
[P
m
(x)cosβx + Q
n
(x)sin βx ]Áp dụng nếu:
P
m
, Q
n
là các đa thức bậc m, n.
•
Xác định các hằng số α, β và s = max(m, n)
Lưu ý : vắng e
αx
: xem α = 0
vắng cos, sin: xem β = 0

không có sin, cos, s là bậc của đa thức trong f (x)
•
Nếu α+i β không là nghiệm pt đặc trưng
•
Nếu α+i β là nghiệm bội p của pt đặc trưng (p = 1, 2)
•
Định dạng y
r
Các đa thức R
s
, T
s
được xác định khi thay y
r
vào pt không
thuần nhất.
( )
( )cos ( )sin
x
r s s x
y e R x x T x
α
β
β
= +
( )
( )cos ( )sin
p x
r s s
y x e R x x T x x= +

α
β β