Bài tập toán cao cấp part 2 pdf

7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
15
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
lim b
n
=1.
D
ˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c
n
ta s˜e ´ap du

.
ng Nguyˆen l´ybi
.
ch˘a
.
n hai ph´ıa.
Mˆo
.
tm˘a
.
t ta c´o:
c
n
<
1
√
n
2
+1
+
1
√
n
2
+1
+ ···+
1
√
n
2

+1
=
n
√
n
2
+1
= b
n
nhu
.
ng m˘a
.
t kh´ac:
c
n
>
1
√
n
2
+ n
+
1
√
n
2
+ n
+ ···+
1

√
n
2
+ n
= a
n
.
Nhu
.
vˆa
.
y a
n
<c
n
<b
n
v`a lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=1. T`u
.
d´o suy ra
lim
n→∞

c
n
=1. 
V´ı du
.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay (q
n
) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u
|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
|q| > 1. Ta lˆa
´
ysˆo
´
A>0bˆa
´

tk`y. T`u
.
d˘a
’
ng th´u
.
c
|q|
n
>Ata thu du
.
o
.
.
c n>log
|q|
A.Nˆe
´
u ta lˆa
´
y N = [log
|q|
A]th`ı∀n>N
ta c´o |q|
n
>A.Dod´o d˜ay (q
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n.

2) Gia
’
su
.
’
|q| < 1, q = 0. Khi d´o q
n
=

1
q

n

−1
.V`ı



1
q



> 1nˆen
d˜ay


1
q


n

l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n v`a do d´o d˜ay


1
q

n

−1

l`a vˆo c`ung
b´e, t´u
.
c l`a d˜ay (q
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
3) Nˆe
´
u q =0th`ıq
n
=0,|q|
n
<ε∀n v`a do d´o(q
n
) l`a vˆo c`ung b´e.


B
`
AI T
ˆ
A
.
P
T`ım gi´o
.
iha
.
n lim
n→∞
a
n
nˆe
´
u
1. a
n
=
n
2
−n
n −
√
n
.(DS. ∞)
2. a

n
= n
2
(n −
√
n
2
+ 1). (DS. −∞)
16 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
3. a
n
=
1+2+3+···+ n
√
9n
4
+1

.(D
S. 1/6)
4. a
n
=
√
n cos n
n +1
.(DS. 0)
5. a
n
=
5n
n +1
+
sin n
n
.(DS. 5)
6. a
n
=
n
3
n
2
+1
−
3n
2
3n +1

.(DS. 1/3)
7. a
n
=
n
n +11
−
cos n
10n
.(DS. 1)
8. a
n
=
n
3
+1
n
2
− 1
(DS. ∞)
9. a
n
=
cos n
3
n
−
3n
6n +1
.(DS. −

1
2
)
10. a
n
=
(−1)
n
5
√
n +1
.(D
S. 0)
11. a
n
=
√
n
2
+1+
√
n
3
√
n
3
+ n −
√
n
.(DS. +∞)

12. a
n
=
3
√
1 − n
3
+ n.(DS. 0)
13. a
n
=
√
n
2
+4n
3
√
n
3
− 3n
2
.(DS. 1)
14. a
n
=
(n + 3)!
2(n + 1)! − (n + 2)!
.(DS. −∞)
15. a
n

=
2+4+···+2n
n +2
− 2. (DS. −1)
16. a
n
= n −
3
√
n
3
− n
2
.(DS.
1
3
)
17. a
n
=
1 − 2+3− 4+5−···−2n
√
n
2
+1+
√
4n
2
+1
.(D

S. −
1
3
)
18. a
n
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ···+
1
n(n +1)
.
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng
1
n(n +1)
=
1
n

−
1
n +1
(DS. 1)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
17
19. a
n
=1−
1
3
+
1
9
−
1
27
+ ···+
(−1)
n−1
3
n−1
.(DS.

3
4
)
20. a
n
=
2
n+1
+3
n+1
2
n
+3
n
.(DS. 3)
21. a
n
=
n +(−1)
n
n − (−1)
n
.(DS. 1)
22. a
n
=

1
√
n


1
√
1+
√
3
+
1
√
3+
√
5
+ ···+
1
√
2n − 1+
√
2n +1
Chı
’
dˆa
˜
n. Tru
.
c c˘an th´u
.
co
.
’
mˆa

˜
usˆo
´
c´ac biˆe
’
uth´u
.
c trong dˆa
´
u ngo˘a
.
c.
(D
S.
1
√
2
)
23. a
n
=
1
1 · 2 · 3
+
1
2 · 3 · 4
+ ···+
1
n(n + 1)(n +2)
Chı

’
dˆa
˜
n. Tru
.
´o
.
chˆe
´
ttach´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1
n(n + 1)(n +2)
=
1
2

1
n(n +1)
−
1
(n + 1)(n +2)

(D
S.
1
4

)
24. a
n
=
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+ ···+
1
a
n
a
n+1
.(DS.
1
a
1
d
)
trong d´o {a
n
} l`a cˆa

´
psˆo
´
cˆo
.
ng v´o
.
i cˆong sai d =0,a
n
=0.
25. a
n
=(1− 1/4)(1 − 1/9) ···(1 − 1/(n +1)
2
). (DS.
1
2
)
Chı
’
dˆa
˜
n. B˘a
`
ng quy na
.
p to´an ho
.
cch´u
.

ng to
’
r˘a
`
ng a
n
=
n +2
2n +2
.
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
d
iˆe
`

ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass)
D˜ay sˆo
´
a
n
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe
´
u a
n+1
>a
n

∀n
ii) D˜ay gia
’
mnˆe
´
u a
n+1
<a
n
∀n
C´ac d˜ay t˘ang ho˘a
.
c gia
’
mc`ond
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u. Ta lu
.

u´y
r˘a
`
ng d˜ay d
o
.
ndiˆe
.
u bao gi`o
.
c˜ung bi
.
ch˘a
.
n ´ıt nhˆa
´
t l`a mˆo
.
tph´ıa. Nˆe
´
u d˜ay
18 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu

.
ccu
’
a h`am sˆo
´
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang th`ı n´o bi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
ibo
.
’
isˆo
´
ha
.
ng d
ˆa
`
u tiˆen cu
’

a n´o, d˜ay
do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
mth`ıbi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
isˆo
´
ha
.
ng d
ˆa
`
u. Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
thu
.
`o
.
ng du

.
o
.
.
csu
.
’
du
.
ng dˆe
’
t´ınh gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay do
.
ndiˆe
.
u.
D
-
i
.
nh l´y Bolzano-Weierstrass. D˜ay do
.
nd
iˆe

.
u v`a bi
.
ch˘a
.
n th`ı hˆo
.
itu
.
.
Di
.
nh l´y n`ay kh˘a
’
ng di
.
nh vˆe
`
su
.
.
tˆo
`
nta
.
icu
’
a gi´o
.
iha

.
n m`a khˆong chı
’
ra d
u
.
o
.
.
cphu
.
o
.
ng ph´ap t`ım gi´o
.
iha
.
nd´o. Tuy vˆa
.
y, trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p khi biˆe

´
t gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay tˆo
`
nta
.
i, c´o thˆe
’
chı
’
ra phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh
n´o. Viˆe
.
c t´ınh to´an thu
.
`o
.
ng du
.
.
a trˆen d˘a

’
ng th´u
.
cd´ung v´o
.
imo
.
i d˜ay hˆo
.
i
tu
.
:
lim
n→∞
a
n+1
= lim
n→∞
a
n
.
Khi t´ınh gi´o
.
iha
.
ndu
.
.
atrˆend˘a

’
ng th´u
.
cv`u
.
a n ˆe u t i ˆe
.
nlo
.
.
iho
.
nca
’
l`a su
.
’
du
.
ng c´ach cho d˜ay b˘a
`
ng cˆong th´u
.
c truy hˆo
`
i.
C
´
AC V
´

IDU
.
V´ı du
.
1. Ch´u
.
nh minh r˘a
`
ng d˜ay:
a
n
=
1
5+1
+
1
5
2
+1
+ ···+
1
5
n
+1
hˆo
.
itu
.
.
Gia

’
i. D˜ay d
˜achodo
.
ndiˆe
.
u t˘ang. Thˆa
.
tvˆa
.
yv`ı:
a
n+1
= a
n
+
1
5
n+1
+1
nˆen a
n+1
>a
n
.
D˜ay d
˜a cho bi
.
ch˘a
.

n trˆen. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
a
n
=
1
5+1
+
1
5
2
+1
+
1
5
3
+1
+ ···+
1
5
n
+1
<
1
5
+
1

5
2
+ ···+
1
5
n
=
1
5
−
1
5
n+1
1 −
1
5
=
1
4

1 −
1
5
n

<
1
4
·
Nhu

.
vˆa
.
y d˜ay a
n
d˜achodo
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n trˆen nˆen n´o hˆo
.
i
tu
.
. 
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
19
V´ı du

.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
=
2
n
n!
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. D˜ay d
˜a cho c´o da
.
ng
2

1
,
2
2
2
, ,
2
n
n!
,
D˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m. Thˆa
.
tvˆa
.
y
a
n+1
a
n
=
2

n+1
(n + 1)!
:
2
n
n!
=
2
n +1
< 1 ∀n>1.
Do d´o a
n+1
<a
n
v`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i phˆa
`
ntu
.
’
a
1
. Ngo`ai ra
a

n
> 0, ∀n nˆen d˜ay bi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
i. Do d´o d˜ay do
.
ndiˆe
.
u gia
’
m v`a bi
.
ch˘a
.
n. N´o hˆo
.
itu
.
theo d
i
.
nh l´y Weierstrass. Gia
’
su
.

’
a l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Ta c´o:
a
n+1
a
n
=
2
n +1
⇒ a
n+1
=
2
n +1
a
n
.
T`u
.
d´o
lim a
n+1
= lim

2a
n
n +1
= lim
2
n +1
lim a
n
v`a nhu
.
vˆa
.
y: a =0· a → a = 0. Vˆa
.
y: lim
2
n
n!
=0. 
V´ı d u
.
3. Cho d˜ay a
n
=
√
2, a
n+1
=
√
2a

n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay hˆo
.
i
tu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Gia
’
i. Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng: a
1
<a
2
<a
3
< ···<.D´o l`a d˜ay do

.
ndiˆe
.
u
t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
ibo
.
’
isˆo
´
√
2. Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng n´o bi
.
ch˘a
.
n trˆen
bo
.
’

isˆo
´
2.
Thˆa
.
tvˆa
.
y
a
1
=
√
2; a
2
=
√
2a
1
<
√
2 · 2=2.
Gia
’
su
.
’
d˜ach´u
.
ng minh du
.

o
.
.
cr˘a
`
ng a
n
 2.
Khi d´o:
a
n+1
=
√
2a
n

√
2 · 2=2.
20 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’

a h`am sˆo
´
Vˆa
.
y theo tiˆen dˆe
`
quy na
.
p ta c´o a
n
 2 ∀n.
Nhu
.
thˆe
´
d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n nˆen n´o c´o gi´o
.
iha
.

nd
´o
l`a a.
Ta c´o:
a
n+1
=
√
2a
n
⇒ a
2
n+1
=2a
n
.
Do d
´o:
lim a
2
n+1
= 2 lima
n
hay a
2
− 2a = 0 v`a thu du
.
o
.
.

c a
1
=0,a
2
=2.
V`ı d˜ay d
o
.
ndiˆe
.
u t˘ang ∀n nˆen gi´o
.
iha
.
n a =2. 
V´ı du
.
4. Ch´u
.
ng minh t´ınh hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay

x
1
=
√
a; x
2
=

a +
√
a, ,
x
n
=

a +

a + ···+
√
a, a > 0,n dˆa
´
u c˘an.
Gia
’
i. i) R˜o r`ang: x
1
<x
2
<x
3

< ···<x
n
<x
n+1
< ngh˜ıa l`a
d˜ay d
˜a cho l`a d˜ay t˘ang.
ii) Ta ch´u
.
ng minh d˜ay x
n
l`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
1
=
√
a<
√
a +1
x
2
=


a +
√
a<

a +
√
a +1<

a +2
√
a +1=
√
a +1.
Gia
’
su
.
’
d
˜ach´u
.
ng minh d
u
.
o
.
.
cr˘a
`

ng: x
n
<
√
a +1.
Ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh x
n+1
<
√
a + 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
n+1
=
√
a + x
n
<

a +
√
a +1<


a +2
√
a +1=
√
a +1.
Do d´o nh`o
.
ph´ep quy na
.
p to´an ho
.
ctad
˜ach´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay d
˜a
cho bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i
√
a +1.
7.1. Gi´o
.

iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
21
iii) Dˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ntax´et hˆe
.
th ´u
.
c x
n
=
√
a + x
n−1
hay
x
2
n
= a + x
n−1
.

T`u
.
d´o :
lim x
2
n
= lim(a + x
n−1
)=a + lim x
n−1
hay nˆe
´
u gia
’
thiˆe
´
t lim x
n
= A th`ı: A
2
= a + A → A
2
− A − a =0v`a
A
1
=
1+
√
1+4a
2

,A
2
=
1 −
√
1+4a
2
·
V`ı A
2
< 0 nˆen gi´a tri
.
A
2
bi
.
loa
.
iv`ıx
n
> 0.
Do d´o;
lim x
n
=
1+
√
1+4a
2
· 

V´ı du
.
5. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay a
n
du
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh nhu
.
sau: a
1
l`a sˆo
´
t`uy ´y m`a
0 <a
1
< 1,a
n+1
= a
n

(2 − a
n
) ∀n  1. (7.10)
Gia
’
i. i) D
ˆa
`
u tiˆen ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
bi
.
ch˘a
.
n, m`a cu
.
thˆe
’
l`a b˘a
`
ng
ph´ep quy na
.
p to´an ho
.
ctach´u

.
ng minh r˘a
`
ng
0 <a
n
< 1. (7.11)
Tac´o0<a
1
< 1. Gia
’
su
.
’
(7.11) d
˜adu
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh v´o
.
i n v`a ta
s˜e ch´u
.
ng minh (7.11) d´ung v´o
.
i n +1.

T`u
.
(7.10) ta c´o; a
n+1
=1− (1 − a
n
)
2
.
T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c n`ay suy ra 0 < (1 − a
n
)
2
< 1, v`ı 0 <a
n
< 1.
T`u
.
d
´o suy ra: 0 <a
n+1
< 1 ∀n.
ii) Bˆay gi`o
.

ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
l`a d˜ay t˘ang.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı a
n
< 1nˆen2− a
n
> 1. Chia (7.10) cho a
n
ta thu
du
.
o
.
.
c:
a
n+1
a
n
=2− a
n

> 1.
22 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
T`u
.
d
´o a
n+1
>a
n
∀n.Nhu
.
vˆa
.
y d˜ay a
n
do
.

nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n.
Do d´o theo di
.
nh l´y Weierstrass, lim A
n
tˆo
`
nta
.
i v`a ta k ´yhiˆe
.
u n´o l`a a.
iii) T`u
.
(7.10) ta c´o:
lim a
n+1
= lim a
n
· lim(2 −a
n
)
hay a = a(2 − a).

T`u
.
d´o a =0v`aa =1. V`ıx
1
> 0 v`a d˜ay a
n
t˘ang nˆen
a =1=lima
n
. 
V´ı du
.
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
=
n!
n
n
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.

ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. i) Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m, thˆa
.
tvˆa
.
y:
a
n+1
=
(n + 1)!
(n +1)
n+1

=
n!
(n +1)
n
=
n!
n
n
·
n
n
(n +1)
n
=
n
n
(n +1)
n
a
n
v`ı
n
n
(n +1)
n
< 1nˆena
n+1
<a
n
.

V`ı a
n
> 0nˆenn´obi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
iv`adod´o lim a
n
tˆo
`
nta
.
i, k´yhiˆe
.
u
lim a
n
= a v`a r˜o r`ang l`a a = lim a
n
 0.
ii) Ta ch´u
.
ng minh a = 0. Thˆa
.
tvˆa
.

y ta c´o:
(n +1)
n
n
n
=

n +1
n

n
=

1+
1
n

n
 1+
n
n
=2.
Do d´o:
n
n
(n +1)
n
<
1
2

v`a a
n+1
<
1
2
a
n
.
Chuyˆe
’
n qua gi´o
.
iha
.
ntad
u
.
o
.
.
c a 
a
2
⇒ a =0. 
B
`
AI T
ˆ
A
.

P
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
23
1. Cho c´ac d˜ay sˆo
´
:
1) a
n
=
5n
2
n
2
+3
· 2) b
n
=(−1)
n
2n
n +1
sin n. 3) c
n
= n cos πn.

H˜ay chı
’
ra d˜ay n`ao bi
.
ch˘a
.
n v`a d˜ay n`ao khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
(D
S. 1) v`a 2) bi
.
ch˘a
.
n; 3) khˆong bi
.
ch˘a
.
n)
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay:
a
1
=
a

0
a + a
0
,a
2
=
a
1
a + a
1
,a
3
=
a
2
a + a
2
, ,
a
n
=
a
n−1
a + a
n−1
, (a>1,a
0
> 0)
hˆo
.

itu
.
.
3. Ch´u
.
ng minh c´ac d˜ay sau d
ˆay hˆo
.
itu
.
1) a
n
=
n
2
− 1
n
2
2) a
n
=2+
1
2!
+
1
3!
+ ···+
1
n!
Chı

’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
ndu
.
o
.
.
csuyt`u
.
n!  2
n−1
v`a do d´o
a
n
 2+
1
2
+
1
2
2
+ ···+
1
2
n−1

=3−
1
2
n−1
< 3.
4. Ch´u
.
ng minh c´ac d˜ay sau d
ˆay hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
n a cu
’
ach´ung
1) a
1
=
k
√
5, a
n+1
=
k
√
5a

n
, k ∈ N.(DS.
k−1
√
5)
2) a
n
=
2
n
(n + 2)!
Chı
’
dˆa
˜
n.
a
n+1
a
n
=
2
n +3
< 1. (DS. a =0)
3) a
n
=
E(nx)
n
trong d´o E(nx) l`a phˆa

`
n nguyˆen cu
’
a nx.
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c: nx −1 <E(nx)  nx.(D
S. a = x)
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
= a
1/2
n
hˆo
.

itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
an´o
(a>1).
24 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
(DS. a =1. Chı
’
dˆa
˜
n. Ch´u
.

ng minh r˘a
`
ng a
n
l`a d˜ay do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m
v`ı
a
n+1
= a
1/2
n+1
= a
1/(2
n
·2)
=
√
a
n
,a
n
> 1)
6. Ch´u

.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=1+
1
2
2
+
1
3
2
+ ···+
1
n
2
hˆo
.
itu
.
.
Chı
’
dˆa
˜
n. Ch´u
.
ng to

’
r˘a
`
ng d˜ay do
.
ndiˆe
.
u t˘ang, t´ınh bi
.
ch˘a
.
ncu
’
an´o
d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng c´ac bˆa

´
td
˘a
’
ng th´u
.
c:
1
n
2
<
1
n(n − 1)
=
1
n − 1
−
1
n
,n 2.
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=
1
3+1

+
1
3
2
+2
+ ···+
1
3
n
+ n
c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n.
Chı
’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
ncu
’
a a

n
du
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
ng c´ach so s´anh a
n
v´o
.
itˆo
’
ng mˆo
.
tcˆa
´
psˆo
´
nhˆan n`ao d
´o .
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay



1+
1
n

n+1

d
o
.
ndiˆe
.
u gia
’
mv`a
lim
n→∞

1+
1
n

n+1
= e.
9. T´ınh lim
n→∞
a
n
,nˆe
´

u
1) a
n
=

1+
1
n + k

n
, k ∈ N.(DS. e)
2) a
n
=

n
n +1

n
.(DS.
1
e
)
3) a
n
=

1+
1
2n


n
.(DS.
√
e)
4) a
n
=

2
n
+1
2
n

2
n
.(DS. e)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
25
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su

.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
diˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`ad
u
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen

l´yhˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy)
Trˆen dˆay ta d˜a nˆeu hai phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay.
Hai phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay khˆong ´ap du
.
ng du
.
o

.
.
cdˆo
´
iv´o
.
i c´ac d˜ay khˆong do
.
n
d
iˆe
.
u du
.
o
.
.
c cho khˆong b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i t´ıch m`a d
u
.
o
.

.
c cho b˘a
`
ng
phu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac (ch˘a
’
ng ha
.
nb˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap truy hˆo
`
i). M˘a
.
t
kh´ac, trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p ngu
.
`o
.
i ta chı
’
quan tˆam dˆe
´
nsu
.
.
hˆo
.
itu
.
hay phˆan k`y cu
’
a d˜ay m`a thˆoi. Sau dˆay ta ph´at biˆe
’
umˆo
.
t tiˆeu chuˆa
’
n
c´o t´ınh chˆa
´
t “nˆo
.

ita
.
i” cho ph´ep kˆe
´
t luˆa
.
nsu
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay chı
’
du
.
.
a
trˆen gi´a tri
.
cu
’
a c´ac sˆo
´
ha
.
ng cu

’
a d˜ay:
Nguyˆen l ´yhˆo
.
itu
.
. D˜ay (a
n
) c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n khi v`a chı
’
khi n´o
tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
∀ε>0, ∃N
0
= N

0
(ε) ∈ N : ∀n>N
0
v`a ∀p ∈ N
⇒|a
n
− a
n+p
| <ε.
T`u
.
nguyˆen l´yhˆo
.
itu
.
r´ut ra: D˜ay (a
n
) khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n khi v`a chı
’
khi n´o tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.

n:
∃ε>0, ∀N ∈ N ∃n  N ∃m  N →|a
n
−a
m
|  ε.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=
cos 1
3
+
cos 2
3
2
+ ···+
cos n

3
n
,n∈ N
hˆo
.
itu
.
.
26 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
Gia
’
i. Ta u
.
´o
.
clu
.

o
.
.
ng hiˆe
.
u
|a
n+p
− a
n
| =



cos(n +1)
3
n+1
+ ···+
cos(n + p)
3
n+p




1
3
n+1
+ ···+
1

3
n+p
=
1
3
n+1
1 −
1
3
p
1 −
1
3
<
1
2
·
1
3
n
<
1
3
n
·
Gia
’
su
.
’

ε l`a sˆo
´
du
.
o
.
ng t`uy ´y. V`ı lim
n→∞
1
3
n
= 0 nˆen v´o
.
isˆo
´
ε>0d
´o,
tˆo
`
nta
.
isˆo
´
N ∈ N sao cho ∀n  N ta c´o
1
3
n
<ε. Ngh˜ıa l`a nˆe
´
u n  N,

c`on p l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen t`uy ´y th`ı
|a
n+p
− a
n
| <
1
3
n
<ε.
Do d´o theo tiˆeu chuˆa
’
nhˆo
.
itu
.
d˜ay d˜a cho hˆo
.
itu
.
. 
V´ı d u
.
2. Ch´u
.

ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=
1
√
1
+
1
√
2
+ ···+
1
√
n
phˆan k`y.
Gia
’
i. Ta u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng hiˆe

.
u
|a
n
− a
n+p
| =



1
√
n +1
+
1
√
n +2
+ ···+
1
√
n + p




p
√
n + p
∀n, p ∈ N.
D

˘a
.
cbiˆe
.
tv´o
.
i p = n ta c´o
|a
n
− a
2n
| 
√
n
√
2

1
√
2
∀n. (*)
Ta lˆa
´
y ε =
1
√
2
. Khi d´o ∀N ∈ N tˆo
`
nta

.
inh˜u
.
ng gi´a tri
.
n>N v`a
∃p ∈ N sao cho |a
n
− a
n+p
|  ε. Thˆa
.
tvˆa
.
y, theo bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c (*) ta
7.2. Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27

chı
’
cˆa
`
nlˆa
´
ysˆo
´
n>N bˆa
´
tk`yv`ap = n.T`u
.
d
´o theo mˆe
.
nh dˆe
`
phu
’
di
.
nh
nguyˆen l´yhˆo
.
itu
.
ta c´o d˜ay d˜a cho phˆan k`y. 
B
`
AI T

ˆ
A
.
P
Su
.
’
du
.
ng tiˆeu chuˆa
’
nhˆo
.
itu
.
d
ˆe
’
ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay (a

n
)
nˆe
´
u
1. a
n
=
n

k=1
sin nα
2
n
, α ∈ R.
2. a
n
=
n

k=1
a
k
q
k
, |q| < 1, |a
k
| <M ∀k,M > 0.
3. a
n

=
n

k=1
(−1)
k−1
k(k +1)
·
4. a
n
=
n

k=1
(−1)
k
k!
·
5. a
n
=0, 77 7
  
nch˜u
.
sˆo
´
.
6. a
n
=

n

k=1
1
2
k
+ k
·
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y:
7. a
n
=1+
1
2
+ ···+
1
n
, n ∈ N.
8. a
n
=
1
ln2
+
1
ln3

+ ···+
1
lnn
, n =2,
7.2 Gi´o
.
iha
.
nh`am mˆo
.
tbiˆe
´
n
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`adi
.
nh l´yco
.
ba
’
nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n
Di
.

nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c´ac h`am d
ˆo
´
iv´o
.
i n˘am tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p: x → a,
x → a ± 0, x →±∞d
u
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’
unhu
.
sau.

28 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
1) Sˆo
´
A du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a h`am f(x)ta

.
id
iˆe
’
m a (khi x → a)
nˆe
´
u ∀ε>0b´e bao nhiˆeu t`uy ´y t`ım du
.
o
.
.
csˆo
´
δ = δ(ε) > 0(∃δ = δ(ε) >
0) sao cho ∀x m`a
x ∈ D
f
∩{x;0< |x −a| <δ(ε)}
th`ı
|f(x) − A| <ε.
K´yhiˆe
.
u: lim
x→a
f(x)=A.
2) Sˆo
´
A du
.

o
.
.
cgo
.
i l`a gi´o
.
iha
.
n bˆen pha
’
i (bˆen tr´ai) cu
’
a h`am f(x)ta
.
i
diˆe
’
m x = a nˆe
´
u ∀ε>0, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho v´o
.
imo
.
i x tho
’
a m˜an
diˆe
`
ukiˆe

.
n
x ∈ D
f
∩{x : a<x<a+ δ} (x ∈ D
f
∩{x : a − δ<x<a})
th`ı
|f(x) − A| <ε.
K´yhiˆe
.
u:
lim
x→a+0
f(x)=f(a +0)

lim
x→a−0
f(x)=f(a −0)

.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
:
3) lim

x→+∞
f(x)=A ⇔∀ε>0 ∃∆ > 0:∀x ∈ D
f
∩{x : x>∆}
⇒|f(x) −A| <ε.
D
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n khi x →−∞du
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’
utu
.
o
.
ng tu
.
.
.
4) Nˆe
´
u lim

x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x)=A th`ı ngu
.
`o
.
i ta viˆe
´
t
lim
x→∞
f(x)=A.
7.2. Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 29
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd

˘a
.
cbiˆe
.
tnˆe
´
u A = 0 th`ı h`am f(x)du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a h`am vˆo
c`ung b´e khi x → a (x → a ±0, x →±∞).
Kh´ai niˆe
.
m h`am vˆo c`ung l´o
.
nta
.
idiˆe
’
m a c˜ung du
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’

udˆo
´
i
v´o
.
ica
’
n˘am tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p.
Ch˘a
’
ng ha
.
n, h`am f(x)du
.
o
.
.
cgo
.
il`ah`amvˆoc`ung l´o
.
nta
.

idiˆe
’
m a nˆe
´
u
∀M>0 ∃δ = δ(M) > 0:∀x ∈ D
f
∩{x :0< |x − a| <δ}
⇒|f( x)| >M.
Ngo`ai ra, nˆe
´
u f(x) > 0(f(x) < 0) ∀x ∈ D
f
∩{x :0< |x −a| <δ}
th`ı ta viˆe
´
t
lim
x→a
f(x)=+∞

lim
x→a
f(x)=−∞

.
Ta lu
.
u´yr˘a
`

ng c´ac k´yhiˆe
.
uv`u
.
a nˆeu chı
’
ch´u
.
ng to
’
f(x) l`a vˆo c`ung
l´o
.
nch´u
.
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa r˘a
`
ng f c´o gi´o
.
iha
.
n.
Khi t´ınh gi´o
.
iha
.
ntathu
.
`o
.

ng su
.
’
du
.
ng c´ac d
iˆe
`
u kh˘a
’
ng d
i
.
nh sau dˆay.
D
-
i
.
nh l´y 7.2.1. Nˆe
´
u c´ac gi´o
.
iha
.
n lim
x→a
f
1
(x), lim
x→a

f
2
(x) tˆo
`
nta
.
ih˜u
.
uha
.
n
th`ı
1) lim
x→a
[f
1
(x)+f
2
(x)] = lim
x→a
f
1
(x) + lim
x→a
f
2
(x)
2) lim
x→a
[f

1
(x) ·f
2
(x)] = lim
x→a
f
1
(x) · lim
x→a
f
2
(x)
3) Nˆe
´
u lim
x→a
f
2
(x) =0th`ı lim
x→a
f
1
(x)
f
2
(x)
=
lim
x→a
f

1
(x)
lim
x→a
f
2
(x)
4) Nˆe
´
u trong lˆan cˆa
.
n U(a; δ)={x :0< |x − a| <δ} ta c´o
f
1
(x)  f(x)  f
2
(x) v`a lim
x→a
f
1
(x) = lim
x→a
f
2
(x)=A th`ı lim
x→a
f(x)=A
(nguyˆen l´ybi
.
ch˘a

.
n hai phi´a).
Di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n h`am sˆo
´
c´o thˆe
’
ph´at biˆe
’
udu
.
´o
.
ida
.
ng ngˆon ng˜u
.
d˜ay nhu
.
sau.
D
-
i
.
nh l´y 7.2.2. Gia

’
su
.
’
D ⊂ R, a ∈ R l`a diˆe
’
mtu
.
cu
’
a n´o; A ∈ R,
f : D → R. Khi d
´o
lim
x→a
f(x)=A
30 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´

khi v`a chı
’
khi ∀(a
n
), a
n
∈ D \{a}, a
n
→ a
f(a
n
) → A
T`u
.
d
´odˆe
’
ch´u
.
ng minh mˆo
.
t h`am n`ao d
´o khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n khi x → a,
ta chı
’
cˆa

`
nch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ∃(a
n
), ∃(a

n
)dˆe
`
uhˆo
.
itu
.
dˆe
´
n a nhu
.
ng
lim
x→a
f(a
n
) = lim
x→a
f

(a

n
).
C´ac di
.
nh l´yco
.
ba
’
nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
nd˜a ph´at biˆe
’
utrˆendˆay khˆong ´ap
du
.
ng d
u
.
o
.
.
cd
ˆo
´
iv´o
.

i c´ac gi´o
.
iha
.
n sau d
ˆay khi x → a, a ∈ R.
1) lim
x→a
[f(x)+g( x)]; f, g l`a c´ac vˆo c`ung l´o
.
n(vˆodi
.
nh da
.
ng “∞±∞”).
2) lim
x→a
f(x)
g(x)
; f, g ho˘a
.
cdˆo
`
ng th`o
.
i l`a hai vˆo c`ung b´e, ho˘a
.
cdˆo
`
ng th`o

.
i
l`a hai vˆo c`ung l´o
.
n(vˆodi
.
nh da
.
ng “0/0” ho˘a
.
c“∞/∞”).
3) lim
x→a
f(x)·g(x); f l`a vˆo c `ung b´e, c`on g l`a vˆo c`ung l´o
.
n ho˘a
.
c ngu
.
o
.
.
c
la
.
i(vˆod
i
.
nh da
.

ng “0 ·∞”).
4) lim
x→a

f(x)

g(x)
:
a) khi f(x) → 1, g(x) →∞(vˆo d
i
.
nh da
.
ng “1
∞
”)
b) khi f(x) → 0, g(x) → 0 (vˆo di
.
nh da
.
ng “0
0
”)
c) khi f(x) →∞, g(x) → 0 (vˆo di
.
nh da
.
ng “∞
0
”)

Viˆe
.
c t´ınh gi´o
.
iha
.
n trong c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay thu
.
`o
.
ng du
.
o
.
.
cgo
.
i
l`a khu
.
’
da
.

ng vˆo di
.
nh. Trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khi t´ınh gi´o
.
iha
.
nta
thu
.
`o
.
ng su
.
’
du
.
ng c´ac gi´o
.
iha
.
n quan tro

.
ng sau d
ˆay:
lim
x→0
sin x
x
=1, (7.12)
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e (7.13)