Người soạn: Hồ thị Thanh Hằng
( ) ( )
− + −
2 2
B A B A
x x y y
AB =
2
2
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
+
=
+
=
Cho A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
), I là trung điểm A, B.
Công thức tính tọa độ I ?
NỘI DUNG CHÍNH
1.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
2. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG TRÒN
3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA
ĐƯỜNG TRÒN
Với I(x
0
; y
0
) và
M(x; y) thì
IM=?
Đường tròn
tâm O(0; 0)
bán kính R có
phương trình là
gì?
1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Trên mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có tâm
I(x
0
; y
0
), bán kính R.
2 2
0 0
(x - x ) + (y - y ) = R
⇔
2 2 2
0 0
(x - x ) + (y - y ) = R .
⇔
Ta gọi phương trình (1) là
phương trình đường tròn tâm
I(x
0
; y
0
) bán kính R.
Ta có M(x; y) ∈ (C)
a
b
I
R
O x
y
M(x; y)
(1)
⇔ IM = R
Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ
O(0;0), bán kính R là x
2
+ y
2
=R
2
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Biết tâm I(1; -2), bán kính R = 3;
b) Biết tâm I(0, 5), bán kính bằng 4.
Giải
a) Đường tròn tâm I(1; -2), bán kính bằng 3 có
phương trình là: (x – 1)
2
+(y – (-2))
2
= 3
2
⇔ (x – 1)
2
+(y +2)
2
= 9
b)Đường tròn tâm I(0; 5), bán kính bằng 4 có
phương trình là: (x – 0)
2
+ (y – 5)
2
= 4
2
⇔ x
2
+ (y – 5)
2
= 16
2 2 2
0 0
(x - x ) + (y - y ) = R
tâm I(x
0
; y
0
), bán kính R.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(2; -3).
a)Hãy viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB.
Hướng dẫn: để viết phương trình đường tròn ta cần
xác định tâm và bán kính.
A
B
A
B
Đường tròn có: tâm
A(-2; 3), bán kính R = AB.
Đường tròn có: tâm I là
trung điểm AB
bán kính R= AB/2.
a)
b)
Để viết phương trình
đường tròn ta cần xác
định gì?
R
2 2 2
0 0
(x - x ) + (y - y ) = R
.I
tâm I(x
0
; y
0
), bán kính R.
52
( 2) 2
0
2
3 ( 3)
0
2
x
y
− +
= =
+ −
= =
IA
uur
2 2
( 2) 3 13
− + =
Giải
a) Đường tròn có tâm A(-2 ; 3), bán kính R = AB =
b) Gọi I(x ; y) là tâm của đường tròn.
Ta có: I là trung điểm AB.
Suy ra I(0; 0).
Suy ra: bán kính R = IA =
Vậy phương trình đường tròn là x
2
+ y
2
= 13.
có phương trình là (x + 2)
2
+ (y – 3)
2
= 52.
Suy ra
= (-2 ; 3)
Ta có
Ví dụ 3:
55
14
Cho đường tròn lần lượt có phương trình là
a) (x -2)
2
+ (y +5)
2
= 55 b) (x+4)
2
+(y+3)
2
= 14
c) (x-11)
2
+ (y-2)
2
= 81
Hãy xác định tâm và bán kính.
c) Đường tròn có tâm I(11; 2) bán kính R = 9.
a) Đường tròn có tâm I(2; -5) bán kính R =
b) Đường tròn có tâm I(-4; -3) bán kính R =
Giải
Phương trình đường
tròn còn được viết dưới
dạng nào khác không?
Ta có
(1) ⇔ x
2
– 2x
0
x +
2.NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
+ y
2
– 2y
0
y +
2
0
x
2
0
y
+
2
0
y
Biến đổi phương trình (1)
⇔ x
2
+ y
2
– 2x
0
x – 2y
0
y + x
0
Ta thấy mỗi đường tròn trong mặt phẳng tọa độ đều
có phương trình dạng x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c
= 0 (2)
= R
2
– R
2
=0
Ta đặt 2a = – 2x
0
; 2b = – 2y
0
; c =
2 2 2
0 0
0x y R
+ − =
Phương trình x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0, với
điều kiện a
2
+ b
2
– c > 0 là phương trình của
đường tròn tâm I (-a; -b) bán kính R=
Ngược lại:
Mỗi phương trình có dạng
x
2
+ y
2
+ 2ax +2by + c = 0
với a, b, c tùy ý có là
phương trình đường tròn
không? Vì sao?
x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0
⇔ ( x
2
+ 2ax + a
2
) + ( y
2
+ 2by + b
2
) + c - a
2
- b
2
= 0
⇔ (x + a)
2
+ (y + b)
2
= a
2
+ b
2
–c (2)
(2) là phương trình đường tròn ⇔
2 2
a b c
+ −
a
2
+ b
2
– c > 0
Ta biến đổi phương trình
* Khi a
2
+ b
2
– c = 0.
Ta có: (2) ⇔ (x + a)
2
+ ( y + b)
2
= 0
x = -a
y = -b
⇔
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn phương trình (2)
là M( -a ; -b) .
* Khi a
2
+ b
2
– c <0, không tồn tại x, y
thỏa mãn phương trình (2). Vậy tập hợp các
điểm M thỏa mãn phương trình (2) là tập rỗng.
Ví dụ 3:
Trong các phương trình sau, phương trình nào
là phương trình đường tròn, hãy xác định tâm
và bán kính của đường tròn đó.
a) x
2
+ y
2
- 8x + 2y + 7 = 0
b) 3x
2
+ 3y
2
+ 6x - 12y = 0
c) x
2
+ y
2
- 2x - 6y + 103 = 0
d) x
2
+ 2y
2
– 2x + 5y + 2 = 0
e) x
2
+ y
2
– 2xy + 3x – 5y - 1 = 0
Ta có: a
2
+ b
2
– c = (-4)
2
+1
2
–7 = 10 > 0
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có
tâm I( 4; -1), bán kính R =
b) Chia hai vế phương trình cho 3, ta được:
x
2
+ y
2
+ 2x - 4y= 0.
8
22
7
2a
b
c
=−
⇒ =
=
4
1
7
a
b
c
=−
⇒ =
=
10
a) Phương trình có dạng: x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c
= 0
1
2
0
a
b
c
=
⇒ = −
=
Ta có: a
2
+ b
2
– c = 1
2
+ (-2)
2
– 0 = 5 >0
Vậy phương trình đã cho là phương trình
đường tròn.
Đường tròn có tâm I(-1; 2), bán kính R =
5
1
3
103
a
b
c
= −
= −
=
c) Suy ra
Ta có:
a
2
+ b
2
– c = (-1)
2
+(-3)
2
– 103 = - 93 < 0.
Vậy phương trình đã cho không là phương trình
đường tròn.
d) Phương trình đã cho không có dạng (2), nên
không là phương trình đường tròn.
e) Phương trình đã cho không có dạng (2) nên không
là phương trình đường tròn.
'
'
5 + 2a + 4b + c = 0 (1 )
29 +10a + 4b + c = 0(2 )
10 + 2a - 6b + c = 0 (3')
1
2
b
=
Phương trình đường tròn có dạng x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c
= 0
Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình với
ba ẩn số a, b, c:
Lấy (2
’
) – (1
’
) ta được
24 + 8a = 0 ⇔ a = -3
Lấy (1
’
) – (3
’
) ta được
Thay a và b vừa tìm vào (1
’
) ta có c = -5 + 6 – 2 = - 1.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
x
2
+ y
2
– 6x + y – 1 = 0.
-5 + 10b = 0⇔
Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1 ; 2),
N(5 ; 2) và P(1 ; -3).
Bài tập về nhà: bài 21, 22,
23, 24, 25, 26 trang 95
sách giáo khoa.
IM = IN
IM = IP
2 2 2 2
2 2 2 2
(x -1) +(y -2) = (x -5) +(y -2)
(x -1) +(y -2) =(x -1) +(y+3) .
2 2 2 2
2 2 2 2
x - 2x +1+ y - 4y + 4 = x -10x + 25 + y - 4y + 4
x - 2x +1+ y - 4y + 4 = x - 2x +1+ y + 6y + 9
-2x +1- 4y + 4 = -10x + 25- 4y + 4
-2x +1- 4y + 4 = -2x +1+ 6y + 9
Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
M(1 ; 2), N(5 ; 2) và P(1 ; -3).
Giải
Gọi I(x ; y) là tâm và R là bán kính của đường tròn đi
qua ba điểm M, N, P.
⇔
.
2 2
2 2
IM = IN
IM = IP
⇔
⇔
⇔
Ta có:
8x = 24
-10y = 5
⇔
x = 3
1
y = -
2
⇔
1
I(3;- )
2
3
IM = (-2; )
2
uuur
2
2
3
( 2)
2
− +
÷
9 25
= 4 + =
4 4
2
2
1 25
(x -3) + y + =
2 4
÷
Vậy
Suy ra
Khi đó R
2
= IM
2
=
Phương trình đường tròn cần tìm là
.