He thong cac dang toan HHKG

Chương III. Phương
pháp toạ độ trong
không gian
Nội dung:
1.Các kiến thức cơ bản cần nhớ.
2.Các dạng toán cần luyện tập.
3.Một số bài tập.
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
1
Bài 1. Hệ toạ độ trong không gian
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
Hệ tọa độ, toạ độ của vectơ, toạ độ của một
điểm, biểu thức toạ độ của các phép toán
vectơ, biểu thức tọa độ tích vô hướng và ứng
dụng (khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa
hai vectơ). Phương trình mặt cầu.
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
2
Bài 1. Hệ toạ độ trong không gian

Tính toạ độ của tổng, hiệu của hai vectơ, tích
Tính toạ độ của tổng, hiệu của hai vectơ, tích
vectơ với một số.
vectơ với một số.

Tính được tích vô hướng của hai vectơ và áp dụng
Tính được tích vô hướng của hai vectơ và áp dụng
tìm góc 2 vectơ, khoảng cách giữa hai điểm có tọa
tìm góc 2 vectơ, khoảng cách giữa hai điểm có tọa
độ cho trước, chứng minh vuông góc. . .
độ cho trước, chứng minh vuông góc. . .


Chứng minh 3 điểm không thẳng hàng, các đẳng
Chứng minh 3 điểm không thẳng hàng, các đẳng
thức vectơ
thức vectơ
.
.

Tìm tọa độ vectơ
Tìm tọa độ vectơ

Tìm điểm thỏa đẳng thức véctơ cho trước
Tìm điểm thỏa đẳng thức véctơ cho trước

Tìm tọa độ hình chiếu của 1 điểm trên mp tọa độ,
Tìm tọa độ hình chiếu của 1 điểm trên mp tọa độ,
trục tọa độ
trục tọa độ
Các dạng toán cần luyện tập:
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
3
Bài 1. Hệ toạ độ trong không gian

Chứng minh tam giác vuông, cân, đều,…Tính diện
Chứng minh tam giác vuông, cân, đều,…Tính diện
tích tam giác.
tích tam giác.

Xác định tọa độ tâm, bán kính mặt cầu có
Xác định tọa độ tâm, bán kính mặt cầu có

phương trình cho trước.
phương trình cho trước.

Viết phương trình mặt cầu.
Viết phương trình mặt cầu.
Các dạng toán cần luyện tập:
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
4
Bài 1. Hệ toạ độ trong không gian
Bài tập 1:
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho
Bài tập 2 :
Bài tập 2 :
Trong không gian với hệ trục Oxyz
Trong không gian với hệ trục Oxyz
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết
A=(1;0;1),B=(2;1;2),D=(1;-1;1),C’=(4;5;-5)
a) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
Một số bài tập
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
5
Bài 1. Hệ toạ độ trong không gian
Bài tập 3:
Bài tập 3:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-2;0;1),
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-2;0;1),
B(1;10;3) và C(2;0;-1).

B(1;10;3) và C(2;0;-1).


a) Chứng minh ba điểm A,B,C không thẳng hàng.
a) Chứng minh ba điểm A,B,C không thẳng hàng.


b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình
b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình
hành.
hành.


c) Tính góc giữa 2 đường thẳng OA và BC.
c) Tính góc giữa 2 đường thẳng OA và BC.
Bài tập 4:
Bài tập 4:
Trong không gian với hệ trục 0xyz cho
Trong không gian với hệ trục 0xyz cho
M=(1;2;3)
M=(1;2;3)


a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên 0x,0y,0z
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên 0x,0y,0z


b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên (0xy),
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên (0xy),
(0yz),(0zx).

(0yz),(0zx).


c) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M gốc tọa độ.
c) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M gốc tọa độ.
Một số bài tập
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
6
Bài 1. Hệ toạ độ trong không gian
Bài tập 5:
Bài tập 5:
Tìm tâm và bán kính mặt cầu sau:
Tìm tâm và bán kính mặt cầu sau:


a) (x-1)
a) (x-1)
2
2
+ (y+2)
+ (y+2)
2
2
+ (z-2)
+ (z-2)
2
2
=25
=25

b) x
b) x
2
2
+ y
+ y
2
2
+ z
+ z
2
2
- 6x + 4y + 2z – 11 =0
- 6x + 4y + 2z – 11 =0


c) x
c) x
2
2
+ y
+ y
2
2
+ z
+ z
2
2
- 4x + 8y + 2z - 4 =0

- 4x + 8y + 2z - 4 =0
Bài tập 6:
Bài tập 6:
Viết phương trình mặt cầu biết:
Viết phương trình mặt cầu biết:


a) Tâm I ( 0;-2;1 ), bán kính R=5.
a) Tâm I ( 0;-2;1 ), bán kính R=5.


b) Mặt cầu đường kính AB với: A( 2;4;-2 ),
b) Mặt cầu đường kính AB với: A( 2;4;-2 ),
B( 0;2;4 )
B( 0;2;4 )


c) Tâm I ( -2;1;3 ) qua điểm M ( 2;1;0 ).
c) Tâm I ( -2;1;3 ) qua điểm M ( 2;1;0 ).


d) Đi qua 4 điểm O, A( 0;0;1 ), B(2;1;1 ),
d) Đi qua 4 điểm O, A( 0;0;1 ), B(2;1;1 ),
C( 1;0;0 ).
C( 1;0;0 ).
Một số bài tập
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
7
Bài 2. Phương trình mặt phẳng


Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Tích vectơ (tích
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Tích vectơ (tích
có hướng của hai vectơ). Một số ứng dụng của
có hướng của hai vectơ). Một số ứng dụng của
tích vectơ.
tích vectơ.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông
Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông
góc.
góc.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
8
Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng (α) song song mp(β) thì (α) và (β) cùng vtpt

Mặt phẳng (α) vuông góc đường thẳng (d) thì (α) có vtpt

là vtcp của (d)

Tìm 2 vectơ có giá song song hoặc thuộc (α) thì vtpt
của (α) là tích có hướng của 2 vectơ trên
Các dạng toán cần luyện tập:
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
,a b
r r
9
Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (
α
α
) :
) :
1)
1)
Đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Đi qua ba điểm không thẳng hàng.
2)
2)
Đi qua điểm M
Đi qua điểm M
0
0
(x
(x
0

0
; y
; y
0
0
; z
; z
0
0
) và song song với mặt
) và song song với mặt
phẳng(
phẳng(
β
β
): Ax+ By+ Cz+ D= 0.
): Ax+ By+ Cz+ D= 0.
3)
3)
Đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt
Đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt
phẳng(
phẳng(
β
β
): Ax+ By+ Cz+ D= 0.
): Ax+ By+ Cz+ D= 0.
4)
4)
Đi qua điểm M

Đi qua điểm M
0
0
(x
(x
0
0
; y
; y
0
0
; z
; z
0
0
) và vuông góc đường
) và vuông góc đường
thẳng (d)
thẳng (d)
Các dạng toán cần luyện tập:
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
10
Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.


Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song.
Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song.
Các dạng toán cần luyện tập:
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
11
Bài 2. Phương trình mặt phẳng
Bài tập 1:
Bài tập 1:


Viết phương trình mặt phẳng :
Viết phương trình mặt phẳng :
a)
a)
Đi qua 3 điểm A( 1;2;0 ), B( 2;1;-1 ), C( 0;1;2 ).
Đi qua 3 điểm A( 1;2;0 ), B( 2;1;-1 ), C( 0;1;2 ).
b)
b)
Đi qua M
Đi qua M
0
0
( 1;2;3 ) và song song với mp (
( 1;2;3 ) và song song với mp (
α
α
):
):

x + y - 2z + 1= 0
x + y - 2z + 1= 0
c) Đi qua M( 2;1;-1 ), N( 1;2;1 ) và vuông góc mp
c) Đi qua M( 2;1;-1 ), N( 1;2;1 ) và vuông góc mp
(
(
α
α
):
):
x –y + 2z + 1 = 0.
x –y + 2z + 1 = 0.
d)
d)


Đi qua gốc tọa độ và vuông góc đường thẳng (d)
Đi qua gốc tọa độ và vuông góc đường thẳng (d)
có ptts:
có ptts:
Một số bài tập
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian





+=
+=
−=

tz
ty
tx
23
1
21
12
Bài 2. Phương trình mặt phẳng
Bài tập 2:
Bài tập 2:
Cho 2 đường thẳng (d) và (d’) có phương trình
Cho 2 đường thẳng (d) và (d’) có phương trình




(d): ; (d’):
(d): ; (d’):


Viết phương trình mặt phẳng
Viết phương trình mặt phẳng
chứa (d) và song song với(d’)
chứa (d) và song song với(d’)


Bài tập 3:
Bài tập 3:
Viết phương trình mặt phẳng
Viết phương trình mặt phẳng

trung trực của
trung trực của
đoạn thẳng MN, biết M=(-1;2;-3),N=(5;4;1).
đoạn thẳng MN, biết M=(-1;2;-3),N=(5;4;1).
Bài tập 4:
Bài tập 4:
Cho (
Cho (
α
α
): 6x+ 2y+ z- 5= 0,(
): 6x+ 2y+ z- 5= 0,(
β
β
): x- y- 4z+ 10 =0
): x- y- 4z+ 10 =0


a). CMR mp (
a). CMR mp (
α
α
) vuông góc mp (
) vuông góc mp (
β
β
).
).

b). Tính khoảng cách từ điểm A(1,3,-5) đến mặt phẳng
b). Tính khoảng cách từ điểm A(1,3,-5) đến mặt phẳng
(
(
β
β
).
).
Một số bài tập
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian






+=
+−=
+=
tz
ty
tx
21
23
2






+=
−=
+=
tz
ty
tx
22
1
3





=
+=
−=
'2
'32
'
tz
ty
tx
13
Bài 3. Phương trình đường thẳng trong
không gian

Phương trình tham số của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng.


Phương trình chính tắc của đường thẳng.
Phương trình chính tắc của đường thẳng.

Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt
Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt
nhau, song song hoặc vuông góc với nhau.
nhau, song song hoặc vuông góc với nhau.



Điều kiện để một đường thẳng cắt, song song
Điều kiện để một đường thẳng cắt, song song
hoặc vuông góc với mặt phẳng.
hoặc vuông góc với mặt phẳng.
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
14
Bài 3. Phương trình đường thẳng trong
không gian

Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Từ ptts đường thẳng suy ra vtcp đt
Từ ptts đường thẳng suy ra vtcp đt

Đường thẳng qua M,N.Vtcp đt là vectơ MN
Đường thẳng qua M,N.Vtcp đt là vectơ MN

Đthẳng vuông góc mp.Vtcp của đt là vtpt của

Đthẳng vuông góc mp.Vtcp của đt là vtpt của
mp
mp

Hai đường thẳng song song thì vctp của đt
Hai đường thẳng song song thì vctp của đt
thẳng này là vtcp đt kia
thẳng này là vtcp đt kia
Các dạng toán cần luyện tập:
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
15
Bài 3. Phương trình đường thẳng trong
không gian

Viết phương trình tham số, phương trình chính
Viết phương trình tham số, phương trình chính
tắc của đường thẳng:
tắc của đường thẳng:

Đi qua hai điểm cho trước.
Đi qua hai điểm cho trước.

Đi qua một điểm và song song với một đường
Đi qua một điểm và song song với một đường
thẳng cho trước.
thẳng cho trước.

Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt
Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt
phẳng cho trước.

phẳng cho trước.
Các dạng toán cần luyện tập:
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
16
Bài 3. Phương trình đường thẳng trong
không gian

Sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác
Sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác
định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.
định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.

Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
đường thẳng hoặc trên một mặt phẳng.
đường thẳng hoặc trên một mặt phẳng.

Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt
Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt
phẳng.
phẳng.

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Các dạng toán cần luyện tập:
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
17
Bài 3. Phương trình đường thẳng trong
không gian
Bài tập 1:

Bài tập 1:


Trong không gian Oxyz
Trong không gian Oxyz
a)
a)
Lập ptts của đt(d) đi qua A(2;0;-4) và song song đt
Lập ptts của đt(d) đi qua A(2;0;-4) và song song đt
có
có
phương trình:
phương trình:
b)
b)
Lập ptts đi qua B(-1;3;5) và vuông góc mp (
Lập ptts đi qua B(-1;3;5) và vuông góc mp (
α
α
) :x-
) :x-
2y+1=0
2y+1=0
c)
c)
Lập ptts đt đi qua P=(2;3;-1),Q=(1;2;4)
Lập ptts đt đi qua P=(2;3;-1),Q=(1;2;4)
Một số bài tập
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian






+−=
+−=
−=
∆
tz
ty
tx
43
6
21
:
18
Bài 3. Phương trình đường thẳng trong
không gian
Bài tập 2:
Bài tập 2:


Trong không gian Oxyz
Trong không gian Oxyz
a)
a)
Cho đt (d):
Cho đt (d):

Xác định hình chiếu vuông góc của O lên (d). Từ
Xác định hình chiếu vuông góc của O lên (d). Từ
đó suy ra điểm O’ đối xứng với O qua (d).
đó suy ra điểm O’ đối xứng với O qua (d).
b)
b)
Cho mp (
Cho mp (
α
α
) có pt: x- 2y+ 2z+ 3= 0. Xác định hình
) có pt: x- 2y+ 2z+ 3= 0. Xác định hình
chiếu vuông góc của gốc tọa độ lên mp(
chiếu vuông góc của gốc tọa độ lên mp(
α
α
)
)
Một số bài tập
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
19
Bài 3. Phương trình đường thẳng trong
không gian
Bài tập 3:
Bài tập 3:


Trong không gian Oxyz
Trong không gian Oxyz
a) Cho hai đường thẳng:

a) Cho hai đường thẳng:


(d): ; (d’):
(d): ; (d’):


Chứng minh rằng (d) chéo (d’).
Chứng minh rằng (d) chéo (d’).
b) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng có phương
b) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng có phương
trình:
trình:




(d): ; (d’):
(d): ; (d’):


Một số bài tập
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian





=
+=

−=
'3
'22
'1
tz
ty
tx





=
−=
−=
1
23
1
z
ty
tx





+=
−=
+=
'20

'21
'3
tz
ty
tx





+=
−−=
+−=
tz
ty
tx
45
32
3
20
Bài tập
Bài tập 1:
Bài tập 1:


Cho mặt cầu (S): x
Cho mặt cầu (S): x
2
2
+ y

+ y
2
2
+ z
+ z
2
2
+ 3x+ 4y– 8z+
+ 3x+ 4y– 8z+
6= 0 và mp (
6= 0 và mp (
α
α
) : 2x – 3y + 4z – 5 = 0
) : 2x – 3y + 4z – 5 = 0
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
b) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
b) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
(
(
α
α
) . Từ đó, xét vị trí tương đối của mp (
) . Từ đó, xét vị trí tương đối của mp (
α
α
) và mặt
) và mặt
cầu (S).

cầu (S).
c) Viết phương trình đường thẳng d’ qua tâm mặt
c) Viết phương trình đường thẳng d’ qua tâm mặt
cầu và vuông góc mp (
cầu và vuông góc mp (
α
α
) . Tìm giao điểm của d’ và
) . Tìm giao điểm của d’ và
mp (
mp (
α
α
) .
) .
d) Viết phương trình tiếp diện của (S) tại A (1;-1;1)
d) Viết phương trình tiếp diện của (S) tại A (1;-1;1)
e) Viết phương trình tiếp diện của (S) và song song
e) Viết phương trình tiếp diện của (S) và song song
mp (
mp (
α
α
).
).
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
21
Bài tập
Bài tập 2:
Bài tập 2:

Cho điểm M (1;-1;2) và mp(
Cho điểm M (1;-1;2) và mp(
α
α
) : 2x – y + 2z +
) : 2x – y + 2z +
12 = 0
12 = 0
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên mp(
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên mp(
α
α
).
).
b) Tìm tọa độ M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (
b) Tìm tọa độ M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (
α
α
).
).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc mp (
c) Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc mp (
α
α
) .
) .
Bài tập 3:
Bài tập 3:
Cho đường thẳng d:
Cho đường thẳng d:

và mặt phẳng (
và mặt phẳng (
α
α
) : 2x – 2y + z + 3 = 0.
) : 2x – 2y + z + 3 = 0.
a/ Chứng minh rằng: đường thẳng d song song với mặt
a/ Chứng minh rằng: đường thẳng d song song với mặt
phẳng (
phẳng (
α
α
) .
) .
b/ Tính khoảng cách giữa d và (
b/ Tính khoảng cách giữa d và (
α
α
) .
) .
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
22
Bài tập
Bài tập 4:
Bài tập 4:


Cho bốn điểm A (5;1;3), B (1;6;2), C (5;0;4), D
Cho bốn điểm A (5;1;3), B (1;6;2), C (5;0;4), D
(4;0;6).

(4;0;6).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A, B, C, D
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A, B, C, D
không đồng phẳng. Tính chiều cao AH của tứ diệnABCD
không đồng phẳng. Tính chiều cao AH của tứ diệnABCD
b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song với
b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song với
đường thẳng CD.
đường thẳng CD.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua G và song song (BCD).
mặt phẳng (P) qua G và song song (BCD).
d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm hình chiếu
d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm hình chiếu
của điểm A lên các mặt phẳng tọa độ.
của điểm A lên các mặt phẳng tọa độ.
e) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và
e) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và
vuông góc mặt phẳng (P).
vuông góc mặt phẳng (P).




Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
23