bài toán dao động tắt dần, cưỡng bức, cộng hưởng

DAO ĐỘNG TẮT DẦN - DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC – CỘNG HƯỞNG
A. LÝ THUYẾT
1. Đối với con lắc lò xo: Một con lắc lò xo dao động
tắt dần với biên độ A
0
. hệ số ma sát µ.
Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với chu
kỳ
2
T




- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là:
4 mg
A
k

 

- Độ giảm biên độ sau N chu kỳ dao động:
ms
n 0 n
F
mg
A A A 4N 4N
k k

    

- Số dao động thực hiện được:
0 0
A A k
N
A 4 mg
 
 

- Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:
0 0
A kT A
t N.T
4 mg 2 g

   
 

2.Quãng đường vật đi được cho đến khi dừng
hẳn
Gọi x
o
là vị trí tại đó lực đàn hồi có độ lớn bằng lực
ma sát trượt, ta có:
kx
o
= mg 
0
mg
x
k




Gọi A
1
là độ giảm biên độ trong nửa chu kì :
1 0
2 mg
A 2x
k

  

Vật chỉ có thể dừng lại trong đoạn từ –x
o
đến x
o
. Nếu
vật dừng lại tại vị trí có tọa độ là x thì đường đi tổng cộng là:


2 2
2 2
0
0
1
k A x
A x
s
2 mg A



 
 

Xét tỉ số:
0
A
n q
A
 

(q < 1)
- Nếu q = 0: Vật dừng lại ở vị trí cân bằng:
2
0
1
A
s
A



- Nếu q = 0,5: vật dừng lại ở vị trí có |x| = x
o
:
2 2
0 0
1
A x

s
A




- Nếu 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước
khi dừng của vật là
n 1 0 1
1
A q. A x q A
2
 
     
 
 
;
0 n
x 2x A
 

- Nếu 0 < q < 0,5: Trước đó
1
2
chu kì, biên độ của
vật là :
n 1 1 1
A 1,q. A A p x p

      

Chú ý: Nếu lúc đầu vật đang đứng yên ở vị trí cân
bằng được truyền một vận tốc ban đầu v
0
.
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
2 2
0 0 0 0
1 1
mv kA mgA A
2 2
   

Thì quãng đường cần tìm là:
0
s A


d. Xác định vận tốc cực đại của vật:
- Sau nửa chu kỳ đầu:
1
1max 1 0
A
v A A
2

 
    
 
 

- Sau hai nửa chu kỳ:
1 1
2max 1 1 0
A 3 A
v A A A
2 2
 
   
       
   
   

- Sau N nửa chu kỳ:


1
N max 0
2N 1 A
v A
2
 
 
  
 
 

2. Đối với con lắc đơn:
- Độ giảm biên độ trong 1 chu kỳ:
s


= s
0
– s
1
=
C
4F l
mg

hoặc
C
F
mg
     
0
4

- Độ giảm biên độ trong N chu kì là:
n
s

= s
0
– s
n
= N
C
4F l
mg

hoặc
C
n n
F
N
mg
     
0
4

- Số dao động thực hiện được:
N =
0 0
C C
mgs mg
4F l 4F



- Thời gian để con lắc dựng lại:
t N.T
 
=
C C
ms m l
F F
    

0 0

2 2

3. Dao động cưỡng bức – cộng hưởng
a. Định nghĩa: Dao động cưỡng bức là dao động
dưới tác dụng của ngoại lực cưỡng bức tuần hoàn.


0
F F cos t
   

b. Tính chất:
Khi dao động cưỡng bức ổn định:
f
dd
= f
lực.
A
cb
= hằng số
3. Cộng hưởng:
Biểu hiện:A
cb
đạt cực đại; f
lực
= f
0

Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi: f = f
0

hay  = 
0
hay
T = T
0

Với f, , T và f
0
, 
0
, T
0
là tần số, tần số góc. chu kỳ của
lực cưỡng bức và của hệ dao động.
B. BÀI TẬP
Bài 1: Một con lắc lò xo dao động tắt dần. Cứ sau mỗi chu kỳ, năng lượng giảm đi 8%. Tình phần biên độ dao động mất đi trong
một dao động toàn phần.
Hướng dẫn giải
2
2
2
2 2 2
2
1 1 1
1
1
kA
W A A
2
0,92 0,96 96%

1
W A A
kA
2
 
     
 
 

Vậy trong một dao động toàn phần biên độ dao động giảm đi 4%.
Bài 2: Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần. Người ta đo được độ giảm tương đối của biên độ trong 3 chu kỳ đầu tiên là 10%.
Độ giảm tương đối của thế năng tương ứng là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
0 3 3
0 0
A A A
10% 0,1 0,9
A A

   
0 3 3
0 0
2
t t t
3
t t 0
W W W
A
1 1 0,19 19%

W W A

 
      
 
 

Bài 3: Một con lắc dao động tắt dần chậm. Cứ sau mỗi chu kỳ, biên độ giảm 3%. Phần năng lượng của con lắc mất đi trong một
dao động toàn phần là bao nhiêu?
Hướng dần giải:
 
2
2
2
2
2 2
2
1 1
1
1
kA
W A
2
0,97 0,94 94%
1
W A
kA
2
 
    

 
 

Vậy trong một dao động toàn phần năng lượng mất đi 6%
Bài 4: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang có k = 100N/m, m = 200g, hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nằm ngang
μ = 0,05
.Ban đầu đưa vật rời khỏi vị trí cân bằng 1 khoảng 4cm rồi thả nhẹ.
a. Hỏi đến khi dừng lại vật đã thực hiện được bao nhiêu dao động.
b. Tính vận tốc cực đại của vật trong quá trình dao động.
c. Tính quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn
Hướng dẫn giải:
a. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là:
2
4 mg 4 g
A
k
 
  


Số dao động thực hiện được:
0
A
Ak
N 10
A 4 mg
  
 

b. Vị trí cân bằng O

1
xác định bởi:
0
mg
x
k

 
0,1cm
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 0 0 0
1 1 1
2 2 2
max
kA mv kx mg A x
    
 
 
2 2
0 0 0 0
2
max
k
v A x g A x
m
      =89,34cm/s
c. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1

2
mg
A
k

  
0,2cm
Lập tỉ số:
 
0
1
4
20 20 0
0 2
A
n ;q
A ,
   

do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2
0
1
80
A
s cm
A
 


Bài 5: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một
dao động toàn phần là bao nhiêu.
Hướng dẫn giải:
Gọi A
0
là biên độ dao động ban đầu của vật. Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm 3% nên biên độ còn lại là A= 0,97A
0
.
Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng là:
 
2
2
0 0
2
2
0
1 1
kA k 0,97A
2 2
W 1 0,97 6%
1
kA
2

    

Bài 6: Một con lắc lò xo gồm lò xo có hệ số đàn hồi k = 60N/m và quả cầu có khối lượng m = 60g, dao động trong một chất lỏng
với biên độ ban đầu A
0
= 12cm. Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi F

C
.
Biết khoảng thời gian từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn là 120s. Cho π
2
= 10.
a. Xác định độ lớn của lực cản đó.
b. Số dao động thực hiện được trong quá trình dao động.
Hướng dẫn giải:
a. Chu kì dao động của con lắc:
m 0,06
T 2 2 0,2s
k 60
    
Độ giảm biên độ sau một chu kì:
C
4F
A
k
 
Số dao động thực hiện được:
C
A kA
N
A 4F
 


Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:
C
kAT

t NT
4F
 
Suy ra, độ lớn lực cản:
C
kAT
F 0,003N
t
  .
b. Số dao động thực hiện được:
0
C
kA
A
N 300
A 4F
  


Bài 7: Một con lắclò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 2N/m vàvậtnhỏ khối lượng 40g. Hệ số
ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là μ = 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị giãn 20 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao
động tắt dần. Lấy g = 10m/s
2
.
a. Kể từ lúc đầu cho đến thời điểm tốc độ của vật bắt đầu giảm, thế năng của con lắclò xo đã giảmmột lượng bằng bao
nhiêu.
b. Tính vận tốc cực đại của vật.
c. Tính quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
Hướng dẫn giải:
a. Vật đạt vận tốc cực đại khi F

đh
= F
ms


kx
0
= mg

x
0
=
mg
k

= 2cm
Do dó độ giảm thế năng là : W
t
=
 
2 2
0 0
k
A x
2
 = 0,0396 J = 39,6 mJ.
b. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 0 0 0

1 1 1
2 2 2
max
kA mv kx mg A x
    
 
 
2 2
0 0 0 0
2
max
k
v A x g A x
m
      = 140,58cm/s
c. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1
2
mg
A
k

  
4cm
Lập tỉ số:
 
0
1
20
5 5 0

4
A
n ;q
A
   

do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2
0
1
100
A
s cm
A
 


Bài 8: Một con lắc lò xo gồm lò xo có k = 100N/m và vật nặng m =160g đặt trên mặt phẳng nằm ngang .Kéo vật đến vị trí lò xo
dãn 24mm rồi thả nhẹ .Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là
5
16
.Lấy g = 10m/s
2
.
a. Từ lúc thả đến lúc dừng lại ,vật đi được quãng đường bằng: bao nhiêu.
b. Tính vận tốc cực đại của vật trong quá trình dao động.
Hướng dẫn giải:
Gọi độ giảm biên độ sau mỗi lần vật qua vị trí cân bằng là A:
1
2

mg
A
k

  
10mm
Lập tỉ số:
 
0
1
24
2 4 5 0 4
10
A
, n ;q ,
A
   


Do 0 < q < 0,5: Trước đó
1
2
chu kì, biên độ của vật là :
n 1 1 1 1
A 1,q. A 1,4 A 14 A 4 x 4

         

Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2

0
1
56
A x
s mm
A

 


b. Vật đạt vận tốc cực đại khi F
đh
= F
ms


kx
0
= mg

x
0
=
mg
k

= 5mm
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2

0 0 0 0
1 1 1
2 2 2
max
kA mv kx mg A x
    
 
 
2 2
0 0 0 0
2
max
k
v A x g A x
m
      = 58,68cm/s
Bài 9: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k = 2N/m, vật nhỏ khối lượng m = 80g, dao động trên mặt phẳng nằm ngang, hệ
số ma sát trượt giữa vật và mặt ngang là μ = 0,1. Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10cm rồi thả nhẹ. Cho gia tốc
trọng trường g = 10m/s
2
.
a. Vận tốc lớn nhất mà vật đạt được bằng bao nhiêu.
b. Quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
Hướng dẫn giải:
a. Vị trí cân bằng động O
1
xác định bởi: kx = mg

x
0

=
mg
k

= 4cm.
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 max 0 0 0
1 1 1
kA mv kx mg A x
2 2 2
   
 
 
2 2
max 0 0 0 0
k
v A x 2 g A x 45,69cm / s
m
      
b. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1
2
mg
A
k

  
8cm

Lập tỉ số:
 
0
1
10
1 25 5 0 25
8
A
, n ;q ,
A
   


Do 0 < q < 0,5: Trước đó
1
2
chu kì, biên độ của vật là :
n 1 1 1 1
A 1,q. A 1,25 A 12,5cm A 2,5 x 2,5

         
Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0
1
11 72
A x
s , cm
A


 


Bài 10: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k = 2 N/m, vật nhỏ khối lượng m = 80g, dao động trên mặt phẳng nằm ngang,
hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt ngang là 0,01. Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10cm rồi thả nhẹ. Cho gia tốc
trọng trường g = 10m/s
2
.
a. Vận tốc lớn nhất mà vật đạt được bằng bao nhiêu.
b. Tính quãng đường vật đi được trong quá trình dao động.
Hướng dẫn giải:
a. Vị trí cân bằng động O
1
xác định bởi: kx = mg

x
0
=
mg
k

= 0,4cm.
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 max 0 0 0
1 1 1
kA mv kx mg A x
2 2 2
   

 
 
2 2
max 0 0 0 0
k
v A x 2 g A x 15,74cm / s
m
      
b. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1
2
mg
A
k

  
0,8cm
Lập tỉ số:
 
0
1
10
12 5 5 0 5
0 8
A
, n ;q ,
A ,
   

vật dừng ngay tại x

0
. Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0 0
1
128 8
A x
s , cm
A

 


Bài 11: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật có khối lượng m = 400g, hệ số ma sát giữa vật và
giá đỡ là  = 0,1. Từ vị trí cân bằng vật đang nằm yên và lò xo không biến dạng người ta truyền cho vật vận tốc v = 100cm/s theo
chiều làm cho lò xo giảm độ dài và dao động tắt dần.
a. Biên độ dao động cực đại của vật là bao nhiêu.
b. Tính quãng đường vật đi trong quá trình dao động.
Hướng dẫn giải:
a. Gọi A
0
là biên độ dao động cực đại , ta có
2
mv
2
=
2
0
kA
2

+ mgA
0
.
50A
2
+ 0,4A – 0,2 = 0

A = 0,05937 m = 5,94 cm
b. Vị trí cân bằng động O
1
xác định bởi: kx = mg

x
0
=
mg
k

= 0,4cm.
Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1
2
mg
A
k

  
0,8cm
Lập tỉ số:
 

0
1
10
7 425 5 0 425
0 8
A
, n ;q ,
A ,
   


Do 0 < q < 0,5: Trước đó
1
2
chu kì, biên độ của vật là :
n 1 1 1 1
A 1,q. A 1,425 A 1,14cm A 0,34 x 0,34cm

         
Do đó quãng đường vật đi từ vị trí có biên độ cực đại cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0
1
43 96
A x
s , cm
A

 


Quãng đường cần tìm là: s + A
0
= 49,9cm
Bài 12: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k = 4 N/m, vật nhỏ khối lượng m = 100g, dao động trên mặt phẳng nằm ngang,
hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt ngang là 0, 01. Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10,25cm rồi thả nhẹ. Cho gia
tốc trọng trường g = 10m/s
2
.
a. Tính vận tốc lớn nhất mà vật đạt được.
b. Tính quãng đường vật đi cho đến khi dững hẳn
Hướng dẫn giải:
a. Vị trí cân bằng động O
1
xác định bởi: kx = mg

x
0
=
mg
k

= 0,25cm.
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 max 0 0 0
1 1 1
kA mv kx mg A x
2 2 2

   
 
 
2 2
max 0 0 0 0
k
v A x 2 g A x 64,79cm / s
m
      
b. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1
2
mg
A
k

  
0,5cm
Lập tỉ số:
 
0
1
10
20 5 20 0 5
0 8
A
, n ;q ,
A ,
   


vật dừng ngay tại x
0
. Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0 0
1
300
A x
s cm
A

 


Bài 13. Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10N/m, khối lượng vật nặng m = 100g, dao động trên mặt phẳng ngang, được thả nhẹ từ
vị trí lò xo giãn 6 cm so với vị trí cân bằng. Hệ số ma sát trượt giữa con lắc và mặt bàn bằng μ = 0,2.
a. Thời gian chuyển động thẳng của vật m từ lúc ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng là bao nhiêu.
b. Tính vận tốc cực đại mà vật đạt được.
c. Tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng hẳn.
Hướng dẫn giải:
a. Vị trí cân bằng động của con lắc lò xo cách vị trí lò xo không biến dạng x
0
:
kx = μmg

x
0
=
mg
k


= 2 cm.
Chu kì dao động T = 2
m
k
= 0,2 s
Thời gian chuyển động thẳng của vật m từ lúc ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng (vật chuyển động từ biên A đên li
độ
A
x
2
 
) là:
T T
t s
4 12 15

  
b. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 max 0 0 0
1 1 1
kA mv kx mg A x
2 2 2
   
 
 
2 2
max 0 0 0 0

k
v A x 2 g A x 56,43cm / s
m
      
c. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1
2
mg
A
k

  
4cm
Lập tỉ số:
 
0
1
6
1 5 1 0 5
4
A
, n ;q ,
A
   

vật dừng ngay tại x
0
. Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0 0

1
8
A x
s cm
A

 


Bài 14: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 40N/m và quả cầu nhỏ A có khối lượng 100g đang đứng yên,
lò xo không biến dạng. Dùng quả cầu B giống hệt quả cầu A bắn vào quả cầu A dọc theo trục lò xo với vận tốc có độ lớn 1m/s; va
chạm giữa hai quả cầu là đàn hồi xuyên tâm. Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng đỡ là  = 0,1; lấy g = 10m/s
2
.
a. Sau va chạm thì quả cầu A có biên độ lớn nhất là bao nhiêu.
b. Tính quãng đường vật đi được trong quá trình dao động.
Hướng dẫn giải:
a. Theo định luật bảo toàn động lượng vận tốc của quả cầu A sau va chạm v = 1m/s.
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
2 2
2 2
0 0
Fms 0
kA kA
mv mv
A mgA
2 2 2 2
     

20A

2
+ 0,1A – 0,05 = 0

200A
2
+ A – 0,5 = 0

A = 04756,0
400
1401


m = 4,756 cm.
b. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1 0
2
2

   
mg
A x
k
0,5cm
0
x 0,25
 
Lập tỉ số:
 
0
1

9 512 1 0 512
A
, n ;q ,
A
  


Vì 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là
n 0 1
1
A x q A 0,25 0,012.0,5 0,256cm
2
 
      
 
 
;
0 n
x 2x A
 
= 0,244cm
Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0
1
45 12
A x
s . cm
A


 


Quãng đường cần tìm là s + A
0
= 49,876cm.
Bài 15: Cho cơ hệ gồm 1 lò xo nằm ngang 1 đầu cố định gắn vào tường, đầu còn lại gắn vào 1 vật có khối lượng M = 1,8kg lò
xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m. Một vật khối lượng m = 200g chuyển động với vận tốc v = 5m/s đến va vào M (ban đầu đứng
yên) theo hướng trục lò xo, biết va chậm hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm. Hệ số ma sat trượt giãu M và mặt phẳng ngang là  = 0,2.
a. Xác định tốc độ cực đại của M sau khi lò xo bị nén cực đại.
b. Tính quãng đường cực đại mà M đi được cho đến khi dừng hẳn.
Hướng dẫn giải:
a. Gọi v
0
và v’là vận tốc của M và m sau va chạm.; chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của m
Mv
0
+ mv’ = mv (1)
2
0
Mv
2
+
2
m'v'
2
=
2
mv
2

(2)
Từ (1) và (2) ta có v
0
=
v
5
= 1m/s, v’ = - 4m/s. Sau va chậm vật m chuyển động ngược trở lai, Còn vật M dao động điều
hòa tắt dần. Độ nén lớn nhất A
0
được xác định theo công thức:
2
0
Mv
2
=
2
0
kA
2
+ MgA
0




A
0
= 0,1029m = 10,3 cm
Sau khi lò xo bị nén cực đại tốc độ cực đại vật đạt được khi F
hl

= 0 hay a = 0 lò xo bị nén x:
kx = Mg



x
0
=
Mg
k

=
100
6,3
= 3,6 cm Khi đó:
2
0
kA
2
=
2
max
Mv
2
+
2
2
kx
+ Mg(A
0

– x)

2
max
Mv
2
=


2 2
0
k A x
2

- Mg(A
0
-x)

Do đó

2
max
v
=


2 2
0
k A x

M

- 2g(A
0
- x)

= 0,2494


v
max
= 0,4994 m/s = 0,5 m/s.
b. Độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ:
1
2
7 2
Mg
A , cm
k

  
Lập tỉ số:
 
0
1
1 43 1 0 43
A
, n ;q ,
A
  



Do 0 < q < 0,5: Trước đó
1
2
chu kì, biên độ của vật là :
n 1 1 1 1
A 1,q. A 1,43 A 10,296cm A 3,096 x 3,096cm

         
Do đó quãng đường vật đi từ vị trí có biên độ cực đại cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0
1
13 4
A x
s , cm
A

 


Quãng đường cần tìm: s + A
0
= 13,4 + 10,3 = 23,7cm
Bài 16 Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm 1 vật có khối lượng m = 100g gắn vào 1 lò xo có độ cứng k = 10N/m. Hệ số ma
sát giữa vật và sàn là μ = 0,1. Đưa vật đến vị trí lò xo bị nén một đoạn rồi thả ra. Vật đạt vận tốc cực đại lần thứ nhất tại O và
max
v 60cm / s
 .

a. Tính biên độ cự c đại của vật.
b. Tính lực đàn hồi cực đại của lò xo.
c. Tính quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại .
Hướng dẫn giải:
a. Sau khi thả ra vật vật đạt vận tốc cực đại lần thứ nhất tại vị trí cân bằng động O
1
khi đó:
0
0 01 1
mg
x , m cm
k

  
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 max 0 0 0 0
1 1 1
kA mv kx mg A x A 7cm
2 2 2
      
b. Lực đàn hồi cự đại của lò xo:
đ
0 7
max
F kA , N
 
c. Độ giảm biên độ trong nửa chu kỳ:
1

2
2
mg
A cm
k

  
Lập tỉ số:
 
0
1
3 5 3 0 5
A
, n ;q ,
A
  

vật dừng ngay tại x
0
. Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0 0
1
24
A x
s cm
A

 


Bài 17: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và quả cầu nhỏ A có khối lượng 200g đang đứng yên,
lò xo không biến dạng. Dùng quả cầu B có khối lương 50g bắn vào quả cầu A dọc theo trục lò xo với vận tốc có độ lớn 4m/s; va
chạm giữa hai quả cầu là va chạm mềm. Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng đỡ là  = 0,01; lấy g=10m/s
2
.
a. Tính biên độ ban đầu của con lắc.
b. Tính vận tốc cực đại của con lắc sau khi lò xo nén cực đại.
c. Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm ban đầu cho đến khi dừng lại.
Hướng dẫn giải:
a. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:
(m
1
+ m
2
) v
0
= m
2
v

v
0
=
2
1 2
m
m m

v = 0,8 m/s

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
2
1 2 0
(m m )v
2

=
 
0
1 2 0 0
kA
m m gA A 3,975cm
2
    
b. Vận tốc cực đại tại vị trí cân bằng động O
1
:


1 2
0
0 025
m m g
x , cm
k
 
 
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
     
2 2 2

0 1 2 max 0 1 2 0 0
1 1 1
kA m m v kx m m g A x
2 2 2
      
 
 
2 2
max 0 0 0 0
1 2
k
v A x 2 g A x 79,5cm
m m
      


c. Độ gảm biên độ sau mỗi lần qua vị trí cân bằng: A =
1 2
1
2 (m m )g
A 0,05cm
k
 
  
Lập tỉ số:
 
0
1
79 5 79 0 5
A

, n ;q ,
A
  

vật dừng ngay tại x
0
. Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0 0
1
316
A x
s cm
A

 


Vậy quãng đường cần tìm là
0
319 75
s A , cm
 
Bài 18: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2kg và lò xo có độ cứng 20N/m.Vật nhỏ được đặt trên giá cố định nằm
ngang dọc theo trục lò xo.Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01.Từ vị trí lò xo không biến dạng truyền cho vật vận tốc
ban đầu 1m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò xo.
a. Độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động là bao nhiêu.
b. Sau khi lực đàn hồi đạt giá trị cực đại thì vận tốc lớn nhất của vật bằng bao nhiêu.
c. Tính quãng đường vật đi được trong quá trình dao động.
Hướng dẫn giải:

a. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
2 2
2
0 0
ms 0 0 0
kA kAmv
F A mgA A 9,9cm
2 2 2
      
Lực đàn hồi cực đại của lò xo: F
đhmax
= kA = 1,98N.
b. Vị trí cân bằng động O
1
xác định bởi: kx = mg

x
0
=
mg
k

= 0,1cm.
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 max 0 0 0
1 1 1
kA mv kx mg A x
2 2 2

    
 
 
2 2
max 0 0 0 0
k
v A x 2 g A x 98,985cm / s
m
      
c. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ:
1
2
0 2
mg
A , cm
k

  
Lập tỉ số:
 
0
1
9 9
49 5 49 0 5
0 2
A
,
, n ;q ,
A ,
   


do đó vật dừng lại tại x
0
. Vậy quãng đường vật đi được là
2 2
0 0
1
490
A x
s cm
A

 


Vậy quãng đường cần tìm là
0
499 9
s A , cm
 
Bài 19: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 20N/m và vật nặng m =100g . Từ vị trí cân bằng kéo vật ra 1
đoạn 6cm rồi truyền cho vật vận tốc 20 cm/s hướng về vị trí cân bằng. Biết rằng hề số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là
0.4 ,lấy g=10m/s
2
. Tốc độ cực đại của vật sau khi truyền vận tốc bằng bao nhiêu.
Hướng dẫn giải:
Vị trí cân bằng động O
1
xác định bởi: kx
0

= mg

x
0
=
mg
k

= 0,02m = 2cm
Khi đó vật đã đi được quãng đường s = 6 – 2 = 4cm = 0,04m
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
2 2
2 2
max 0
mv kx
mv kx
mgs
2 2 2 2
    
 
2 2 2
0
2 20 22
max
k
v v x x gs cm / s
m
      
Bài 20: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 100g và lò xo nhẹ có độ cứng 0,01N/cm. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo
dãn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động. Trong quá trình dao động lực cản tác dụng lên vật có độ lớn không đổi

3
10 N

. Lấy
π
2
= 10. Sau 21,4s dao động, tốc độ lớn nhất của vật là:
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động: T = 2
m
k
= 2
1
1,0
= 2s; k = 0,01N/cm = 1N/m
Độ giảm biên độ sau mỗi lần qua vị trí cân bằng (sau mỗi nửa chu kì) A = A
0
– A’ được tính theo công thức


 
2 2
0
,
C
C 1
k A A'
2F
F A A A 2mm
2 k


     
Sau 21s = 10,5T biên độ của vật còn A = A
0
– 21.A = 5,8 cm.
Ở thời điểm t = 21,4 s vật ở M chưa qua vị trí cân bằng ( vì khoảng thời gian 0,4s =
T T
5 4

).
Vị trí cân bằng động xác định bởi:
0 0
1
C
C
F
kx F x cm
k
   
Sau 21,4s dao động, tốc độ lớn nhất của vật chỉ có thể được tính theo công thức:
 
2 2 2
0 0
1 1 1
2 2 2
max C
kA mv kx F A x
   
 
 

2 2
0 0
C
max
F
k
v A x A x
m m
    
18,07cm/s
Bài 21: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật có khối lượng m = 400g, hệ số ma sát giữa vật và
giá đỡ là = 0,1. Từ vị trí cân bằng vật đang nằm yên và lò xo không biến dạng người ta truyền cho vật vận tốc v = 100cm/s theo
chiều làm cho lò xo giảm độ dài và dao động tắt dần.
a. Tính lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động.
b. Sau khi lực đàn hồi đạt giá trị cực đại tính vận tốc lớn nhất của vật trong quá trình dao động.
c. Tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng hẳn.
Hướng dẫn giải:
a. Gọi A
0
là biên độ dao động cực đại là A. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng
2 2 2
0 0 0 0
1 1
mv kA mgA 50A 0,4A 0,2 0 A 5,94cm
2 2
        
Lực đàn hồi cực đại của lò xo:
đ 0
5 94
max

F kA , N
 
b. Vị trí cân bằng bằng động O
1
xác định bởi:
0
0 4
mg
x , cm
k

 
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
2 2 2
0 max 0 0 0
1 1 1
kA mv kx mg A x
2 2 2
    
 
 
2 2
max 0 0 0 0
k
v A x 2 g A x 56,43cm / s
m
      
c. Độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ:
1

2
0 8
mg
A , cm
k

  
Lập tỉ số:
 
0
1
7 425 7 0 425
A
, n ;q ,
A
  


Do 0 < q < 0,5: Trước đó
1
2
chu kì, biên độ của vật là :
n 1 1 1 1
A 1,q. A 1,425 A 1,14cm A 0,34 x 0,34cm

         
Do đó quãng đường vật đi từ vị trí có biên độ cực đại cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0
1

43 96
A x
s , cm
A

 


Bài 22: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ, độ cứng k = 50N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn với
vật nhỏ khối lượng m
1
= 100g. Ban đầu giữ vật m
1
tại vị trí lò xo bị nén 10 cm, đặt một vật nhỏ khác khối lượng m
2
= 400g sát vật
m
1
rồi thả nhẹ cho hai vật bắt đầu chuyển động dọc theo phương của trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa các vật với mặt phẳng
ngang  = 0,05 Lấy g = 10m/s
2
Tính thời gian từ khi thả đến khi vật m
2
dừng lại.
Hướng dẫn giải:
Sau khi thả hai vật dao động với chu kì T = 2
1 2
m m
k


= 0,2 = 0,628 (s)
Hai vật đến vị trí cân bằng sau t
1
=
T
4
= 0,157s
Khi đến vị trí cân bằng hai vật có vận tốc cực đại v tính theo biểu thức
2
1 2
(m m )v
2

+A
Fms
=
2
k( l)
2

; Công của lực ma sát A
Fma
= mgl = 0,025J
Thay số vào ta đươck v
2
= 0,9

v = 0,95 m/s. Sau đó m
2
chuyển động chậm dần đều dưới tác dụng của lực ma sát với

gia tốc a
2
= - g = -0,5m/s
2
.

Vật m
2
dừng lại sau đó t
2
= -
v
a
= 1,9 (s)
Thời gia từ khi thả đến khi m
2
dừng lại là t = t
1
+ t
2
= 2,057 (s)  2,06 s.
Bài 23: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 40N/m và quả cầu nhỏ A có khối lượng 100g đang đứng yên,
lò xo không biến dạng. Dùng quả cầu B giống hệt quả cầu A bắn vào quả cầu A dọc theo trục lò xo với vận tốc có độ lớn 1m/s; va
chạm giữa hai quả cầu là đàn hồi xuyên tâm. Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng đỡ là  = 0,1; lấy g = 10m/s
2
.
a. Sau va chạm thì quả cầu A có biên độ lớn nhất là bao nhiêu.
b. Tính lực đàn hồi cực đại của lò xo.
c. Sau khi lực đàn hồi đạt gia trị cực đại. vận tốc lớn nhất của vật A bằng bao nhiêu.
d. Tính quãng đường vật A đi được cho đến khi dừng hẳn.

Hướng dẫn giải:
a. Theo Định luật bảo toàn động lượng vận tốc của quả cầu A sau va chạm v = 1m/s.
Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có:
2
2
2
0
0 0 0 0
kA mv
mgA 20A 0,1A 0,05 0 A 4,756cm
2 2
        
b. Lực đàn hồi cự đại của lò xo:
đ 0
1 9
max
F kA , N
  .
c. Vị trí cân bằng bằng động O
1
xác định bởi:
0
0 25
mg
x , cm
k

 
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 

2 2 2
0 max 0 0 0
1 1 1
kA mv kx mg A x
2 2 2
    
 
 
2 2
max 0 0 0 0
k
v A x 2 g A x 94,94cm / s
m
      
d. Độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ:
1
2
0 5
mg
A , cm
k

  
Lập tỉ số:
 
0
1
9 512 9 0 512
A
, n ;q ,

A
  


Vì 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là
n 0 1
1
A x q A 0,25 0,012.0,5 0,256cm
2
 
      
 
 
;
0 n
x 2x A
 
= 0,244cm
Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0
1
45 12
A x
s . cm
A

 


Quãng đường cần tìm là s + A
0
= 49,876cm.
Bài 24: Con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 100g, dao động trên mặt phẳng ngang biên độ dao
động tại thời điểm ban đầu A
0
= 10cm , hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là μ = 0,01, lấy g = 10m/s
2
.
a. Sau mỗi lần vật chuyển động qua vị trí cân bằng biên độ dao động giảm 1 lượng bằng bao nhiêu?
b. Tính quãng đường vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn.
c. Tính số dao động mà vật thực hiện được trong quá trình dao động.
d. Tính thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn.
Hướng dẫn giải:
a. Sau mỗi lần vật chuyển động qua vị trí cân bằng biên độ dao động giảm 1 lượng
1
2 mg
A
k

  = 0,2mm
b. Lập tỉ số:
0
1
500
A
A


.

Quãng đường vật đi được cho đến khi dừng hẳn:
2
kA
s 50m
2 mg
 


c. Số dao động mà vật thực hiện được trong quá trình dao động:
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là:
4
4 mg 4.0,01.0.1.10
A 4.10 m 0,04cm
k 100


    
Số dao động mà vật thực hiện được:
A 10
N 250
A 0,04
  


d. Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:
AkT
t N.T 50s
4 mg
   


Bài 25: Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 100g, dao động trên mặt phẳng ngang, hệ số ma
sát giữa vật và mặt ngang là μ = 0,02. Kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động.
a. Tính quãng đường vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn.
b. Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ.
c. Tính số dao động mà vật thực hiện được trong quá trình dao động.
d. Tính thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn.
Hướng dẫn giải:
a. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ
4
1
2 mg 2.0,02.0,1.10
A 4.10 m 0,04cm
k 100


    
Lập tỉ số
 
0
1
250 250 0
A
n ;q
A
  


Quãng đường vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn.
2 2 2

kA A
s
2 mg 2 g

 
 
= 25cm
b. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ:
4
4 mg 4.0,02.0,1.10
A 8.10 m 0,08cm
k 100


    
c. Số dao động mà vật thực hiện được:
A 10
N 125
A 0,08
  


d. Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:
AkT 0,1.100.0,314
t N.T 39,25s
4 mg 4.0,02.0,1.10
    


Bài 26: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 400N/m, vật nặng khối lượng m = 1kg, dao động trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma

sát trượt giữa vật và sàn µ = 0,05. Kéo vật dọc theo phương trục của lò xo một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động.
a. Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ.
b. Tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng hẳn.
c. Tính số dao động mà vật thực hiện được trong quá trình dao động.
d. Tính thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn.
Hướng dẫn giải:
a. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ:
3
4 mg 4.0,05.1.10
A 5.10 m 0,5cm
k 400


    
b. Lập tỉ số
 
0
1
40 40 0
A
n ;q
A
  


Quãng đường vật đi được cho đến khi dừng hẳn:
2
kA
s 4m
2 mg

 


c. Số dao động mà vật thực hiện được:
A 10
N 20
A 0,5
  


d. Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:
AkT 0,1.400.0,314
t N.T 6,28s
4 mg 4.0,05.1.10
   



Bài 27: Cho một cơ hệ được bố trí như hình vẽ.
0
30
 
Chiều dài tự nhiên của lò xo là l
0
= 20cm. Sau
khi gắn vật có khối lượng m vào thì chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí cân l
1
= 18cm. Từ vị trí cân bằng
ấn vật xuống để lò xo có chiều dài l
2

= 15cm rồi thả nhẹ .
a. Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng để vật dao động điều hòa. Viết phương trình dao
động.
b. Thực tế ma sát giữa mặt và mặt phẳng nghiêng là μ = 0,017. Tính độ giảm của biên độ sau mỗi chu kỳ dao động và số
dao động thực hiện được.
Hướng dẫn giải:
a. Phương trình dao động Chọn điều kiện thích hợp:
x = 3cos
π
5
πt + cm
2
 
 
 
.
b. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là:
2
4 mgcos 4 gcos
A
k
   
   

2,39.10-
3
m = 0,239cm.
Số dao động thực hiện được:
2
A Ak A

N
A 4 mg 4 g

  
  
=12,5
Bài 28: Cho cơ hệ như hình vẽ
0
30
 
. Lò xo có độ cứng k = 60N/m, vật nặng có khối lượng m =
150g, từ vị trí cân bằng của vật kéo vật dọc theo phương trục của lò xo một đoạn 10cm rồi thả nhe, cho
vật dao động, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng µ = 0,02, lấy g = 10m/s
2
.
a. Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ.
b. Quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn.
c. Số dao động mà vật thực hiện được
Hướng dẫn giải:
a. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là:
2
4 mgcos 4 gcos
A
k
   
   

1,73.10
– 3
m = 0,173cm.

b. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1
0 0865
2
A
A , cm

  
Lập tỉ số:
 
0
1
115 6 115 0 6
A
, n ;q ,
A
  


Vì 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là
n 0 1
1
A x q A 0,0519cm
2
 
    
 
 
;
0 n

x 2x A
 
= 0,0346cm
Do đó quãng đường vật đi cho đến khi dừng hẳn:
2 2
0
1
1156
A x
s cm
A

 


c. Số dao động thực hiện được:
2
A Ak A
N
A 4 mgcos 4 gcos

   
    
57,8
Bài 29: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 400N/m, vật nặng khối lượng m = 1kg. Từ vì trí cân bằng kéo vật lệch theo phương
trục của lò xo một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, hệ số ma sát trượt giữa vật và sàn μ = 0,01. Lấy g = 10m/s
2

a. Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ
b. Quãng đường mà vật đi được cho đến khi dừng hẳn.

c. Để duy trì dao động với biên độ 10cm trong một tuần lễ phải cung cấp cho nó một năng lượng bằng bao nhiêu.
Hướng dẫn giải:
a. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là:
2
4 mg 4 g
A
k
 
  

= 0,1cm
k
α
k
α
b. Quãng đường mà vật đi được cho đến khi dừng hẳn là:
2 2 2
kA A
s
2 mg 2 g

 
 
=20m
c. Số dao động mà vật thực hiện được:
2
A Ak A
N
A 4 mg 4 g


  
  
= 100
Năng lượng trung bình mất đi trong một chu kỳ
W kA
W
N N
  
2
2

Năng lượng trung bình mất đi trong 1s:
W kA
T NT


2
2

Năng lượng cần cung cấp trong một tuần lễ:
kA
. .
NT
2
7 86400
2
= 38522,3J
Bài 30: Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,15kg. Quả cầu có thể
trượt trên dây kim loại căng ngang trùng với trục lò xo và xuyên tâm quả cầu. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm rồi thả cho
quả cầu dao động. Do ma sát quả cầu dao động tắt dần chậm. Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại. Lấy g = 10m/s

2
.
a. Độ giảm biên độ trong mỗi dao động tính bằng công thức nào.
b. Tính hệ số ma sát μ.
Hướng dẫn giải:
a. Độ giảm biên độ trong mỗi chu kỳ dao động là:
4 mg
A
k

 
b. Sau 200 dao động thì vật dừng lại nên ta có N = 200. Áp dụng công thức:
0 0
A kA
N
A 4 mg
 
 

với k = 300 và A
0
= 2cm, m = 0,15kg, g = 10m/s
2
ta được:
300.0,02
200 0,005
4 .0,15.10
   


Bài 31: Một vật khối lượng m = 100g gắn với một lò xo mà cứ kéo một lực F = 1N thì dãn thêm
l

=1cm. Đầu còn lại của lò xo
gắn vào điểm cố định sao cho vật dao động dọc theo trục Ox song song với mặt phẳng ngang Kéo vật khỏi vị trí cân bằng để lò xo
dãn một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho hệ dao động. Chọn gốc toạ độ O là vị trí cân bằng, chiều dương của trục ngược với chiều
kéo ra nói trên. Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
, π
2
= 10. Hệ số ma sát giữa m
và mặt phẳng ngang là  = 0,1
a. Tìm tổng chiều dài quãng đường s mà vật đi được cho tới lúc dừng lại.
b. Tìm thời gian từ lúc buông tay cho đến lúc m dừng lại.
Hướng dẫn giải:
a. Độ cứng của lò xo:
F
k 100
l
 

N/m.
Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:
1
2
0 2
mg
A , cm
k


  
Lập tỉ số:
 
0
50 50 0
A
n ;q
A
  


Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là:
2 2 2
kA A
s
2 mg 2 g

 
 
= 5m
b. Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:
AkT A
t N.T
4 mg 2 g

   
 
= 5s
Bài 32: Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lượng m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi vị
trí cân bằng 1 góc 

0
= 6
0
rồi thả nhẹ cho dao động. Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn coi như không đổi
sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là  = 3
0
coi chu kỳ dao động của con lắc như khi không có lực cản.
a. Tính lực cản.
b. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có công suất tối thiểu bằng bao nhiêu. (g = 10m/s
2
,
2
10
 
2
).
Hướng dẫn giải
a. Độ giảm biên độ trong 1 chu kỳ:
C
F
mg
     
0
4

Độ giảm biên độ trong N chu kì là:
n
s

=

C
n n
F
N
mg
     
0
4



n
C
mg
F
N
  
 
0
4
= 6,55.10
- 4
N
b. Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc
Chu kì dao động của con lắc T =
l
2 2s
g
 

Độ giảm năng lượng trong N chu kì là
 
2 2 2 2 2
0 0
1 1 1
2 08 10
2 2 2
W mgl mgl mg , . J

         
Công suất của động cơ là
5
W W
P 1,04.10 W
t nT

 
  
Bài 33: Một con lắc đơn l = 5m, m = 0,1kg, có đâu trên cố định. Vật được thả không vận tốc từ vị trí dây treo lệch một góc

0

=9
0
so với phương thẳng đứng. Lấy

2
=10, g= 10m/s
2
. Thực tế do có ma sát nên con lắc dao động tắt dần. Sau 4 dao động biên

độ dao động của con lắc chỉ còn là 8
0
. Hãy tính năng lượng phải bổ sung cho nó trong một tuần để nó dao động với biên độ góc
0

=9
0
.
Hướng dẫn giải:
Chu kỳ dao động : T =
2π
= 2
πs
ω

Độ giảm cơ năng sau 4 dao động:
 
2 '2
0 0
1
ΔW = mgl α -α
2

Năng lượng phải bổ sung sau một tuần là : W =
 
2
2
1 π
.0,1.10 81- 64 .
ΔW

2 180
.7.86400 = x7.86400 = 892,95J
4T
4 2π

Bài 34: Con lắc đơn l = 1m, vật năng có khối lượng m = 900g dao động với biên độ góc ban đầu
0
0
α = 5
tại nơi có g = 10m/s
2
.
Do có lực cản nhỏ nên sau 10 dao động biên độ góc còn lại là 4
0
. Hỏi để duy trì dao động với biên độ
0
0
5
 
cần phải cung cấp
cho nó năng lượng với công suất bao nhiêu? Lấy
2
π = 10
và 1' = 3.10
-4
rad.
Hướng dẫn giải:
Chu kỳ dao động : T = 2
l
π

g

Năng lượng dao động của con lắc đơn: W =
   
2 2
2 2
0 0 0
1 1 1 g 1
mv = m
ωs = m lα = mglα
2 2 2 l 2

Độ giảm năng lượng sau 10 dao động:
 
2 2
0 01
1
W mgl
2
    

Để duy trì dao động của con lắc phải bổ sung năng lượng bằng năng lượng hao phí với công suất :
P =
-4
ΔW
= 6,561.10 W
10T

Bài 35: Một con lắc đơn có chiều dài l = 0,248m, quả cầu nhỏ có khối lượng m = 100g. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng
trường g = 9,8m/s

2
với biên độ góc α
0
= 0,07rad trong môi trường dưới tác dụng của lực cản (có độ lớn không đổi) thì nó sẽ dao
động tắt dần có cùng chu kì như khi không có lực cản. Biết con lắc đơn chỉ dao động được 100s thì ngừng hẳn.Xác định độ lớn
của lực cản.

Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc đơn:
l
T 2 1s
g
  

Sau mỗi chu kì biên độ góc giảm một lượng không đổi:
C
4F
mg
 

Số dao động thực hiện được:
0
N




Mặt khác, số dao động thực hiện được từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn theo bài ra:
t 100
N 100

T 1
  
Suy ra, độ lớn của lực cản:
3
C 0
mg
F 0,17.10 N
4N

  
Bài 36: Một con lắc đơn có chiều dài l = 0,5m, quả cầu nhỏ có khối lượng m = 100g. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng
trường g=9,8m/s
2
với biên độ góc
0

= 0,14rad. Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ có độ
lớn không đổi F
C
= 0,002N thì nó sẽ dao động tắt dần. Dao động tắt dần có cùng chu kì như khi không có lực cản.
a. Tính độ giảm biên độ góc sau mỗi chu kỳ.
b. Tính khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn
Hướng dẫn giải:
a. Chu kì dao động của con lắc đơn:
l
T 2 1,42s
g
  

Độ giảm biên độ góc sau mỗi chu kỳ:

C
4F
mg
 
= 0,0082rad
b. Số dao động thực hiện được:
0
N




Khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn là:
0
t NT T 24,24s

  


Bài 37: Một con lắc đơn có chiều dài l = 0,992m, quả cầu nhỏ có khối lượng m = 25g. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng
trường g= 9,8m/s
2
với biên độ góc α
0
= 4
0
trong môi trường có lực cản tác dụng. Biết con lắc đơn chỉ dao động được 50s thì
ngừng hẳn.
a. Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì.
b. Tính lực cản tác dụng vào vật nặng.

c. Độ giảm biên độ góc trong một chu kỳ
Hướng dẫn giải:
a. Chu kì dao động của con lắc đơn:
l
T 2 2s
g
  

Số dao động thực hiện được:
t 50
N 25
T 2
  

Năng lượng dao động ban đầu của con lắc đơn dao động nhỏ tính theo công thức:
2 5
0 0
1
W mgl 0,6.10 (J)
2

  
Độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì:
5
0
W
W 2,4.10 N
N

  

b. Ta có: N =
0 0
C
C
mg mg
F
4F 4N
 
 
= 1,75.10
- 4
N
c. Độ giảm biên độ trong 1 chu kỳ:
s

= s
0
– s
1
=
C
4F l
mg
hoặc
C
F
mg
     
0
4

= 2,8.10
-3
rad
Bài 38: Một con lắc đơn có dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s
2
với chu kì T = 2s. Quả cầu nhỏ của con lắc
có khối lượng m = 50g. Cho nó dao động với biên độ góc α
0
= 015rad trong môi trường có lực cản tác dụng thì nó chỉ dao động
được 200s thì ngừng hẳn.
a. Tính số dao động thực hiện được, cơ năng ban đầu và độ giảm cơ năng trung bình sau mỗi chu kì.
b. Người ta có thể duy trì dao động bằng cách dùng một hệ thống lên giây cót đồng hồ sao cho nó chạy được trong một
tuần lễ với biên độ góc
0
0
4

. Tính công cần thiết để lên giây cót. Biết
%80
năng lượng được dùng để thắng lực ma sát do hệ
thống các bánh răng cưa.
Hướng dẫn giải:
a. Số dao động thực hiện được:
t
N
T

=100
Chiều dài của con lắc đơn suy ra từ công thức tính chu kì:
2

2
T g
l 0,993m
4
 


Cơ năng ban đầu của con lắc đơn dao động nhỏ tính theo công thức:
2 4
0 0
1
W mgl 0,55.10 J
2

  
Độ hao hụt năng lượng sau mỗi chu kì dao động:.
4
0
W
W 0,55.10 N
N

  
b. Năng lượng hao hụt sau một đơn vị thời gian:
4
W
W 0,275.10
T



  J/s.
Năng lượng cần bổ sung trong một đơn vị thời gian chính bằng 0,275.10
-4
J/s
Năng lượng cần bổ sung trong một tuần lễ sẽ là: 7.86400.W = 16,632J
Vì 80% năng lượng được dùng để thắng lực ma sát do hệ thống các bánh răng cưa nên chỉ có 20% năng lượng có ích, nên
công toàn phần cần thiết để lên giây cót đồng hồ là:
16,832
83,16J
0,2

.
Bài 39: Một con lắc đơn có chiều dài
l 0,992m

, quả cầu nhỏ có khối lượng
m 25g

. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc
trọng trường
2
g 9,8m / s
 với biên độ góc
0
0
4
 
trong môi trường có lực cản tác dụng. Biết con lắc đơn chỉ dao động được
50 s
 

thì ngừng hẳn.
a. Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì.
b. Để duy trì dao động, người ta dùng một bộ phận bổ sung năng lượng, cung cấp cho con lắc sau mỗi chu kì. Bộ phận này
hoạt động nhờ một pin tạo hiệu điện thế U = 3V, có hiệu suất
%25
. Pin dự trữ một điện lượng
3
Q 10 C
 . Tính thời gian hoạt
động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin.
Hướng dẫn giải:
a. Chu kì dao động của con lắc đơn:
l 0,992
T 2 2.3,1416. 2s
g 9,8
   

Số dao động thực hiện được:
50
N 25
T 2

  

Năng lượng dao động ban đầu của con lắc đơn dao động nhỏ tính theo công thức:
2
2 3
0 0
1 1 4
E mg 0,025.9,8.0,992. 0,6.10 J

2 2 180


 
   
 
 
 .
Độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì:
3
5
0
E 0,6.10
E 2,4.10 J
N 25


   
b. Gọi t là thời gian hoạt động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin thì năng lượng điện toàn phần tạo ra trong thời gian đó là:
A U.I.t U.Q
 

Năng lượng có ích cung cấp cho đồng hồ sau một lần thay pin:
0,25.U.Q

Năng lượng có ích cung cấp cho đồng hồ sau một chu kì dao động: T.
t
Q.U.,250
. Năng lượng đó bằng độ hao hụt của
năng lượng sau mỗi chu kì dao động do lực cản:



E , tức là:
0,25.U.Q
.T E
t
 

Suy ra:
3
5
5
0,25.U.Q.T 0,25.3.10 .2
t 625.10 s
E 2,4.10

  


Bài 40: Một con lắc đơn có dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường
2
g 9,8m / s
 với chu kì
T 2s

. Quả cầu nhỏ của con
lắc có khối lượng
m 50g

. Cho nó dao động với biên độ góc

0
0,15rad
  trong môi trường có lực cản tác dụng thì nó chỉ
dao động được
200s
 
thì ngừng hẳn.
a. Tính số dao động thực hiện được, cơ năng ban đầu và độ giảm cơ năng trung bình sau mỗi chu kì.
b. Người ta có thể duy trì dao động bằng cách dùng một hệ thống lên giây cót đồng hồ sao cho nó chạy được trong một
tuần lễ với biên độ góc
0
0
4
 
. Tính công cần thiết để lên giây cót. Biết
%80
năng lượng được dùng để thắng lực ma sát do hệ
thống các bánh răng cưa.
Hướng dẫn giải:
a. Số dao động thực hiện được:
200
N 100
T 2

  
Chiều dài của con lắc đơn suy ra từ công thức tính chu kì:
2
2
l T g
T 2 l 0,993m

g 4
    


Cơ năng ban đầu của con lắc đơn dao động nhỏ tính theo công thức:
2 2 2
0 0
1 1
W mg 0,05.9,8.0,993.0,15 0,55.10 J
2 2

    .
Độ hao hụt năng lượng sau mỗi chu kì dao động:
2
4
0
W 0,55.10
W 0,55.10 J
N 100


    .
b. Năng lượng hao hụt sau một đơn vị thời gian:
4
W
0,275.10 J / s
T


 .

Năng lượng cần bổ sung trong một tuần lễ sẽ là:
4
7.86400.0,275.10 16,632J


Vì 80% năng lượng được dùng để thắng lực ma sát do hệ thống các bánh răng cưa nên chỉ có 20% năng lượng có ích, nên
công toàn phần cần thiết để lên giây cót đồng hồ là:
16,832
83,16J
0,2

.
Bài 41: Một người đi bộ với vận tốc v = 3m/s. Mỗi bước đi dài 0,6m.
a. Xác định chu kì và tần số của hiện tượng tuần hoàn của người đi bộ.
b. Nếu người đó xách một xô nước mà nước trong xô dao động với tần số 3Hz. Người đó đi với vận tốc bao nhiêu thì
nước trong xô bắn toé ra ngoài mạnh nhất.
Hướng dẫn giải:
a. Chu kì của hiện tượng tuần hoàn của người đi bộ là thời gian để bước đi một bước:
1
s
T 0,2s
v
  .
Tần số của hiện tượng này là:
1
1
1
f 5Hz
T
 

b. Để nước trong xô bắn toé ra ngoài mạnh nhất thì chu kì dao động của bước đi phải bằng chu kì dao động của nước trong
xô (hiện tượng cộng hưởng), tức là:
1 2 2
2
s 1
T T v s.f 1,2
v f
      m/s
Suy ra, vận tốc của người đi bộ 1,2m/s
Bài 42: Một con lắc lò xo gồm lò xo có hệ số đàn hồi k = 60N/m và quả cầu có khối lượng m = 60g, dao động trong một chất
lỏng với biên độ ban đầu A = 12cm. Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi F
C
.
Xác định độ lớn của lực cản đó. Biết khoảng thời gian từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn là 120s. Cho
2
10
 
.
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc:
m 0,06
T 2 2 0,2s
k 60
    
Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát cản trở trong chu kì đó:
     
2 2
C C C
kA kA' k k
F .4A A A' A A' F .4A A 2.A F .4A

2 2 2 2
        
Suy ra độ giảm biên độ sau một chu kì:
C
4F
A
k
 
Số dao động thực hiện được:
C
A kA
N
A 4F
 


Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:
C
kAT
N.T
4F
  
Suy ra, độ lớn lực cản:
C
kAT 60.0,12.0,2
F 0,003 N
4 4.120
  


Bài 43: Một con lắc đơn có chiều dài
l 0,5m

, quả cầu nhỏ có khối lượng
m 100g

. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc
trọng trường g = 9,8m/s
2
với biên độ góc
0
0,14rad
  . Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát
nhỏ có độ lớn không đổi F
C
= 0,002N thì nó sẽ dao động tắt dần. Dao động tắt dần có cùng chu kì như khi không có lực cản. .
Tính khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn.
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc đơn:
l
T 2 1,42s
g
  

Độ giảm biên độ dao động sau 1 chu kì bằng:
C
4F
mg
 
=

4.0,002
0,0082rad
0,1.9,8


Số dao động thực hiện được:
0
N




Khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn là:
0
0,14
N.T .T .1,42 24,24s
0,0082

    


Bài 44: Một con lắc đơn có chiều dài l = 0,248m, quả cầu nhỏ có khối lượng m = 100g. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc
trọng trường g = 0,8m
2
với biên độ góc
0
0,07rad
  trong môi trường dưới tác dụng của lực cản (có độ lớn không đổi) thì
nó sẽ dao động tắt dần có cùng chu kì như khi không có lực cản. Xác định độ lớn của lực cản. Biết con lắc đơn chỉ dao động được
100s thì ngừng hẳn.

Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc đơn:
l 0,248
T 2 2.3,1416. 1s
g 9,8
   

Số dao động thực hiện được:
0 0
C
mg
N
4F
 
 


Mặt khác, số dao động thực hiện được từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn theo bài ra:
N 100
T

  .
Suy ra, độ lớn của lực cản:
3
C 0
mg 0,1.9,8
F .0,07 0,1715.10 N
4N 4.100

   

Bài 45: Một người xách một xô nước đi trên đường, mỗi bước đi được 50cm. Chu kỳ dao động riêng của nước trong xô là 1s.
Để nước trong xô sóng sánh mạnh nhất thì người đó phải đi với vận tốc bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Để nước trong xô sóng sánh mạnh nhất thì dao động của nước trong xô phải xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tức là mỗi
bước đi người đó phải mất một thời gian bằng chu kỳ dao động riêng của nước (t = T) trong xô.
Vận tốc của người đó là
v =
s
T
=50cm/s.
Bài 46: Một người đèo hai thùng nước ở phía sau xe đạp và đạp xe trên một con đường lát bê tông. Cứ cách 3m, trên đường lại có
một rãnh nhỏ. Chu kỳ dao động riêng của nước trong thùng là 0,6s. Để nước trong thùng sóng sánh mạnh nhất thì người đó phải
đi với vận tốc bằng bao nhiêu.
Hướng dẫn giải:
Để nước trong thùng sóng sánh mạnh nhất thì dao động của nước trong thùng phải xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tức là
thời gian giữa hai lần liên tiếp qua rãnh phải mất một thời gian bằng chu kỳ dao động riêng của nước (t = T) trong thùng.
Vận tốc của người đó là:
v =
s
T
=5m/s.
Bài 47: Một hành khách dùng dây chằng cao su treo một chiếc ba lô lên trần toa tầu, ngay phía trên một trục bánh xe của toa tầu.
Khối lượng ba lô là 16kg, hệ số cứng của dây chằng cao su là 900N/m, chiều dài mỗi thanh ray là 12,5m, ở chỗ nối hai thanh ray
có một khe hở nhỏ. Để ba lô dao động mạnh nhất thì tầu phải chạy với vận tốc bằng bao nhiêu
Hướng dẫn giải:
Chu kỳ dao động riêng của ba lô là
m
T 2
k
  .

Để ba lô mạnh nhất phải xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tức là thời gian giữa hai lần liên tiếp qua rãnh nối hai thanh phải
mất một thời gian bằng chu kỳ dao động riêng của ba lô (t = T).
Vận tốc của đoàn tàu:
v =
s k
2 m

=15m/s.
Bài 48: Một chiếc xe chạy trên con đường lát gạch, cứ sau 15m trên đường lại có một chiếc rãnh nhỏ. Biết chu kỳ dao động riêng
của khung xe trên các lò xo giảm xóc là 1,5s. Hỏi vận tốc của xe bằng bao nhiêu thì xe bị xóc mạnh nhất?
Hướng dẫn giải:
Chu kỳ của ngoại lực tác dụng lên xe:
L
T
v


Xe bị xóc mạnh nhất khi:
0 0
0
L L
T T T v 10m / s
v T
     
Bài 49: Một con lắc đơn dài 0,3m được treo vào trần của một toa xe lửa. Con lắc bị kích động mỗi khi bánh xe của toa xe gặp chỗ
nối nhau của các đoạn đượng ray. Khi con tàu chuyển động thẳng đều với tốc độ bằng bao nhiêu thì biên độ dao động của con lắc
là lớn nhất? Cho biết khoảng cách giữa hai mối nối là 12,5m. Lấy g=9,8m/s
2
.
Hướng dẫn giải:

Ta có:
l
T 2 1,09s
g
  

v =
l l
11,47m / s
t T
 