He thuc Vi-Et va ung dung

Giáo viên: Lê Văn Quỹ
Trường: THCS Việt Thống

1
;
2
b
x
a
− + ∆
=
2
2
b
x
a
− − ∆
=
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0).
Hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình
trong trường hợp  > 0 ?
Khi  > 0: Phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
có hai nghiệm phân biệt:
Với  = b
2
– 4acĐáp án:

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Khi phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm thì
nghiệm của phương trình luôn viết được dưới dạng:

Hãy tính a) x
1
+ x
2
b) x
1
.x
2
1
;
2
b
x
a
− + ∆
=
2
2
b
x
a
− − ∆

=
=+
xx
21
a2
b
∆
−−
+
a2
bb
∆∆
−−+−
=
a2
b2−
=
a
b−
=
=
xx
2.1
a2
b
∆
+−
a2
b
.

∆
−−
2
22
a4
)()b(
∆
−−
=
2
2
a4
b
∆
−
=
2
22
a4
ac4bb +−
=
a
c
=
a2
b
∆
+−
Đáp án:

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:

Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - mất 1603)
tại Pháp.
-
Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí
hiệu các ẩn, các hệ số của phương
trình và dùng chúng để biến đổi và giải
phương trình nhờ cách đó mà nó thúc

đẩy Đại số phát triển mạnh.
- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ
giữa các nghiệm và các hệ số của
phương trình.
- Ông là người nổi tiếng trong giải mật
mã.
- Ông còn là một luật sư, một chính trị
gia nổi tiếng.
Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=

.
21
* Định lí VI-ÉT:
Δ =
x
1
+ x
2
=

x
1
. x
2
=
Δ =
x
1
+ x
2
=
x
1
. x
2
=
Bµi tËp 25(Sgk/52): Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x
1
và x
2

là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào
những chỗ trống (…).
a, 2x
2
- 17x + 1 = 0
(-17)
2
– 4.2.1 = 281 > 0
1
2
17
2
c, 8x
2
- x + 1 = 0
(-1)
2
– 4.8.1= -31 < 0
Kh«ng cã gi¸ trÞ
Kh«ng cã gi¸ trÞ

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
Cho PT: 2x
2
- 5x + 3 = 0
a, Xác định các hệ số a, b, c rồi
tính a + b + c.
b, Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm
của phương trình.
c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x

2
.
? 2 – SGK:
Ta cã a =
a + b + c =

2 -5 3
2 + (-5) + 3
= 0
Thay x
1
= 1 vµo VT cña PT ta cã:
VT = 2.1
2
- 5.1 + 3 = 0
VËy x
1
= 1 lµ mét nghiÖm cña PT.
Theo ®Þnh lý Vi-Ðt thì:
1 2
.
c
x x
a
=
Mµ x
1

= 1
a,

b,
c,
2
3
a
c
x
2
==⇒
a
c
x
2
=
= VP
; b = ; c =

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx

−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
Cho PT: 3x
2
+ 7x + 4 = 0
a, Chỉ rõ các hệ số a, b, c rồi tính
a - b + c.
b, Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm
của phương trình.
c, Tìm x
2
.
? 3 – SGK:
Ta cã a = ; b = ; c =
a - b + c =

3 7 4
3 - 7 + 4
= 0
Thay x
1
= -1 vµo VT cña PT ta cã:
VT = 3.(-1)
2
+ 7.(-1) + 4 = 0 = VP
VËy x
1
= -1 lµ mét nghiÖm cña PT.
Theo ®Þnh lý Vi-Ðt thì:
1 2
.
c
x x
a
=
Mµ x
1
= -1
a,
b,
c,
3
4
a
c

x
2
−
=−=⇒
a
c
x
2
=

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.

21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
? 4 – SGK: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) -5x
2
+ 3x + 2 = 0
b) 2004x
2

+ 2005x +1 = 0
Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0
Vậy x
1
= 1;
5
2
−
Có a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0
Vậy x
1
= -1;
2004
1
−
x
2
=
x
2
=

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1

= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax

2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Bài toán: Tìm hai số biết
tổng của chúng bằng S và
tích của chúng bằng P.
Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là
(S - x).
Tích hai số bằng P nên: x(S – x) = P
 x
2

– Sx + P = 0 (1)
Nếu  = S
2
– 4P ≥ 0 thì PT (1) có
nghiệm. Các nghiệm này chính là các
số cần tìm.

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax

2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của PT: x
2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0
Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.

Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x
2
– 27x + 180 = 0
x
1
= 15 ; x
2
= 12.
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
 = (-27)
2
- 4.1.180 = 9

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c

xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của PT: x

2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0
? 5 – SGK: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Hai số cần tìm là nghiệm của PT: x
2
– x + 5 = 0.
 = (-1)
2
– 4.1.5 = - 19 < 0
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1, tích bằng 5.

Ti T 57:Ế
ĐẠI SỐ 9
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a

c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT
có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm

của PT: x
2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của PT x
2
– 5x + 6 = 0.
Giải: Vì 2 + 3 = 5; 2.3 = 6
nên x
1
= 2, x
2
=3 là hai nghiệm của PT đã cho.

HíngdÉnvÒnhµ
- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích
của chúng.
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp đặc
biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.
- Bài tập về nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.


Chúc các thầy cô giáo sức khoẻ, hạnh phúc và thành
đạt.
Chúc các em học sinh học giỏi, chăm ngoan.