Hệ thức vieete và ứng dụng

Bùi Thị Thuý Nga
I ) Lý do chọn đề tài
Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phơng
trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi ét để tính toán . Hệ thức còn
giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là
bao nhiêu .
Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài
toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các
phép tính trên 2 nghiệm ... của phơng trình . Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình
theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham số .
Trong trờng hợp đó hệ thức Vi ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại
toán này .
Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp .
Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan
trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp
chọn ...Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn
học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
II ) Nội dung đề tài
A) Kiến thức cơ bản :
1) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S =
1 2
b
x x

a
+ =
và P =
1 2
.
c
x x
a
=
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có các nghiệm số là
1 2
1,
c
x x
a
= =
b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có các nghiệm số là
1
Bùi Thị Thuý Nga
1 2
1,

c
x x
a
= =
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phơng
trình bậc hai :
2
0x Sx P
+ =
B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng trình
Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)
2
13 40 0x x
+ =
b)
2
5 7 1 0x x
+ + =
c)
2
3 5 1 0x x
+ =
Giải
a) Theo hệ thức Vi ét có S =
1 2
13
b

x x
a
+ = =
P =
1 2
. 40
c
x x
a
= =
Vì P > 0 nên 2 nghiệm x
1
và x
2
cùng dấu
S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng
b) Theo hệ thức Vi ét có P =
1 2
1
. 0
5
c
x x
a
= = >
nên 2 nghiệm cùng dấu
S =
1 2
7
0

5
b
x x
a

+ = = <
nên 2 nghiệm cùng dấu âm
c) P =
1 2
1
. 0
3
c
x x
a

= = <
nên 2 nghiệm trái dấu
S =
1 2
5
0
3
b
x x
a
+ = = <

Bài tập 2 : Cho phơng trình
2 2

10 0x x m =
(1)
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của
2
Bùi Thị Thuý Nga
m

0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m
2
< 0 với mọi m

0
Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức
Vi - ét : P =
2
1 2
,x x m
=
< 0 . Do đó
1
x
và
2
x
trái dấu
S =
1 2

10x x+ =
nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 2000) (3đ)
Cho phơng trình
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =
(1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

m
c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2
Tìm m để biểu thức
3 3
1 2
2 1
x x
A
x x

= +
ữ ữ

đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc
2

4 0
1 4.( 4) 17 0
x x
=
= = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1
2
1 17
2
1 17
2
x
x
+
=

=
b)Xét
2 2 2 2
1 1 3 1 3
2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1
2 4 4 2 4
ac m m m m m m m

= + = + = + + = +

Có
2 2
1 1 3 3 3
0 1 1 1 0
2 2 4 4 4
m m P P m

+ <
ữ ữ

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
m

c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2

Từ kết quả phần b có x
1
, x
2


0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x
1
, x
2
tính theo
3

Bùi Thị Thuý Nga
m và
3
1 2
2 1
( ) 0;( ) 0
x x
x x
> <

Đặt
3
1
2
( )
x
a
x
=
Với a > 0
3
2
1
1
( )
x
x a
=

Có A = -a +

1
a
mang giá trị âm
A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
Có A = a +
2
1 1a
a a
+
=

Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và
1
a
( vì a > 0 và
1
0
a
>
)
Có
1 1
( ) : 2 .
1
( ) : 2 1
1
2
a a
a a
a

a
a
a
+
+
+
Vậy A

2 nên A có giá trị nhỏ nhất là 2 <=> A

2 nên A có GTLN là - 2

2
2
2
1
* 2 2
1
2
. 1 2
2 1 0
2 1 0
( 1) 0
1
A a
a
a
a
a a a
a a

a a
a
a
= + =

=
=
+ =
+ =
=
=
( thoả mãn điều kiện a > 0 )
Với a = 1 thì
3
1 1
1 2
2 2
( ) 1 1
x x
x x
x x
= = =

Theo kết quả
1 2
x x
=
có
1 2 2 2
0

b
S x x x x
a
= + = + = =
4
Bùi Thị Thuý Nga

( 1) 0
1 0
1
m
m
m
=
=
=
* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2
2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Bài tập 4: Cho phơng trình :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm là x
1
và x
2
tìm giá trị của m để
2 2
1 2

x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0

2 2
2
2
2 ( 2)
1 7
( )
4 4
1 7 7
( ) 0
2 4 4
c m m m m
m m
m
= + = +
= + +

= <
a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m
Theo hệ thức Vi ét P =
2
1 2
. 2 0
c
x x m m
a

= = + <
do đó 2 nghiệm trái dấu
b) Ta có

2 2
( 1) 2( 2)m m m
= +
=
2
2 2
2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m + + + = +

2 2
4 5 2 4 11
3 3( 2 )
3 3 3 9 9
m m m m

= + = + +
ữ


2
2 11 11
3( )
3 3 3
m= +
Vậy Min
( )
2 2

1 2
11
3
x x
+ =
khi m =
2
3

5
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x
+ = +
Bùi Thị Thuý Nga
Bài tập 5:
Cho phơng trình
2 2
2 ( 2) 7 0x m x m
+ + =
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá
trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phong trình có 2 nghiệm trái dấu
2
7 0 7 7m m + < < <
Với điều kiện này giả sử x
1
< 0 ,x

2
> 0 theo đề ra ta có
2
2 2
1 1 2
2
1 7
1 ( ) 1 7 2 5 5
2
m
x x x m m m
x
+
= = = = = =
Vì m > 0 nên ta chọn m =
5
( thoả mãn điều kiện
7 7m < <
)
Kết luận : Vậy với m =
5
thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm
âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia .
Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 2007 ) (2 đ)
Xét phơng trình :
4 2 2
2( 2) 5 3 0x m m + + + =
(1) với m là tham số
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm
phân biệt

2) Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là
1 2 3 4
, , ,x x x x
. Hãy tính theo m giá trị
của biểu thức M =
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
+ + +
Giải :
1) Đặt x
2
= y ( ĐK : y

0 ) Pt (1) trở thành
2 2 2
2( 2) 5 3 0y m y m
+ + + =
(2)
6
2
, 2 2
( 2) (5 3)m m

= + +

Bùi Thị Thuý Nga

2 2 2

4 2 2
4 2
2 2 2
2 2
( 2) (5 3)
4 4 5 3
1
1 1 3
( ) 2 .
2 4 4
1 3
( )
2 4
m m
m m m
m m
m m
m
= + +
= + +
= +
= + +
= +
Có
2 2 2 2
1 1 3 3
( ) 0 ( )
2 2 4 4
m m
+

nên
,
0


Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi ét có
2
2
1 2
2( 2)
2( 2)
1
b m
S y y m
a
+
= + = = = +
2
1 2
. 5 3
c
P y y m
a
= = = +
Xét
2
5 3P m
= +
có

2 2 2
0 5 0 5 3 3m m m
+

nên P > 0 với mọi m

Z
1 2
,y y

cùng dấu
Xét
2
1 2
2( 2)
b
S y y m
a

= + = = +
.
Vì
2 2 2
0 2 2 2( 2) 4m m m + +
nên S > 0
1 2
,y y

cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y

0)
Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình (1) có
4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một .
2) Theo kết quả phần a có
1 2 3 4
, , , 0x x x x

và
1 1 2 1
,x y x y
= =


3 2 4 2
,x y x y
= =

7
Bùi Thị Thuý Nga
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
M
y y y y
= + + +


1 1 2 2
1 2

1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1 1
2 2
2 2
.
2( )
.
y y y y
y y
y y
y y
y y
y y
= + + +
= +
+
=
+
=
Thay kết quả S và P vào M ta đợc
2 2
2 2
2.2( 2) 4( 2)
5 3 5 3
m m
M
m m

+ +
= =
+ +
Kết luận:
2
2
4( 2)
5 3
m
M
m
+
=
+
Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ)
Cho phơng trình
2
2( 1) 0x m x m
+ + =
( mlà tham số)
a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Trong trờng hợp m > 0 và
1 2
,x x
là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy
tìm GTLN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
1 2
3( ) 6x x x x

A
x x
+ + +
=
Giải:
a)
[ ]
2
,
( 1)m m
= +

2
2
( 1)
2 1
m m
m m m
= +
= + +
8