phương trình bậc hai một ẩn số

Ngêi d¹y: NguyÔn Nh Hoµng
Gi¸o viªn Trêng PTDT néi tró

TiÕt 51 – Bµi 3
TiÕt 51 – Bµi 3
Ph¬ng tr×nh bËc hai
Ph¬ng tr×nh bËc hai
mét Èn
mét Èn


Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m, chiều rộng là
24m, ngời ta định làm một vờn cây cảnh có con đờng đi xung
quanh. Hỏi bề rộng của mặt đờng là bao nhiêu để diện tích phần đất
còn lại bằng 560m.
560m

32m
24m
x
x
x
x
1. Bài toán mở đầu.
Gọi bề rộng của mặt đờng là x (m),
(0 < 2x < 24).
Khi đó phần đất còn lại là hình chữ nhật có:
Chiều dài là : 32 2x (m),
Chiều rộng là : 24 2x (m),

Diện tích là : (32 2x).(24 2x) (m ).
Theo đầu bài ta có ph$ơng trình:
(32 2x) . (24 2x) = 560
hay x - 28x + 52 = 0
Giải
Đợc gọi là phơng trình bậc hai một ẩn
Muốn giải bài toán này ta làm nh thế nào?
Để giải bài toán bằng cách lập phơng trình ta có
thể làm theo ba bớc sau :
Bớc 1 : Lập phơng trình.
-
Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
-
Biểu diễn các đại l$ợng ch$a biết theo ẩn và các
đại l$ợng đã biết.
-
Lập ph$ơng trình biểu thị sự t$ơng quan giữa
các đại l$ợng.
Bớc 2 : Giải phơng trình vừa thu đợc.
Bớc 3 : So sánh nghiệm của phơng trình với
điều kiện của ẩn và trả lời.


Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình
bậc hai) là phơng trình có dạng:
ax + bx + c = 0
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc
gọi là các hệ số và a 0.
Ví dụ :
Ví dụ :

a/ x + 50x - 15000 = 0
với ẩn x, các hệ số là: a = 1, b = 50, c = -15000
b/ -2y + 5y = 0
với ẩn y, các hệ số là: a = -2, b = 5, c = 0
c/ 2t - 8 = 0
với ẩn t, các hệ số là: a = 2, b = 0, c = -8
2. Định nghĩa.




Trong các phơng trình sau, phơng trình nào là
Trong các phơng trình sau, phơng trình nào là
phơng trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi
phơng trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi
phơng trình ấy:
phơng trình ấy:
a/ x - 4 = 0

b/ x + 4x - 2 = 0
c/ 2x + 5x = 0

d/ 4x - 5 = 0
e/ -3x = 0

?1
có a = 1, b = 0, c = -4
Không phải là phơng trình bậc hai
có a = 2, b = 5, c = 0
Không phải là phơng trình bậc hai

có a = -3, b = 0, c = 0


Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x - 6x = 0²
VÝ dô 1
Gi¶i: Ta cã 3x - 6x = 0 ² ⇔ 3x(x 2) = 0–
⇔ 3x = 0 hoÆc x 2 = 0 – ⇔ x = 0 hoÆc x = 2
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x
1
= 0 ; x
2
= 2
?2
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a/ 4x - 8x = 0 ²
b/ 2x + 5x = 0²
c/ -7x + 21x = 0²

3. Mét sè vÝ dô vÒ gi¶i ph#¬ng tr×nh bËc hai.


Gi¶i:
Gi¶i:
a/ Ta cã 4x - 8x = 0² ⇔ 4x(x 2) = 0–
⇔ 4x = 0 hoÆc x 2 = 0–
⇔ x = 0 hoÆc x = 2
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x
1
= 0 , x
2

= 2
b/ Ta cã 2x + 5x = 0² ⇔ x(2x + 5) = 0
⇔ x = 0 hoÆc 2x + 5 = 0
⇔ x = 0 hoÆc x = -2,5
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x
1
= 0 , x
2
= -2,5
c/ Ta cã -7x + 21x = 0² ⇔ 7x(-x + 3) = 0
⇔ 7x = 0 hoÆc -x + 3 = 0
⇔ x = 0 hoÆc x = 3
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x
1
= 0 , x
2
= 3


-
Muốn giải phơng trình bậc hai khuyết hệ số c, ta phân tích vế trái thành
nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung. Rồi áp dụng cách giải phơng trình
tích để giải.
-
Phơng trình bậc hai khuyết hệ số c luôn có hai nghiệm, trong đó có một
nghiệm bằng 0 và một nghiệm bằng (-b/a)
Tổng quát và cách giải phơng trình bậc hai khuyết hệ số c
ax + bx = 0 (a 0)
x(ax + b) = 0
x = 0 hoặc ax + b = 0

x = 0 hoặc x = -b/a
Vậy phơng trình có hai nghiệm : x
1
= 0 , x
2
= -b/a
Nhận xét 1.


Giải phơng trình x - 3 = 0
Ví dụ 2
Giải : Ta có x - 3 = 0 x
2
= 3 tức là x =
Vậy phơng trình có hai nghiệm : x
1
= , x
2
=
?3
Giải các phơng trình sau :
a/ 3x - 2 = 0
b/ x + 5 = 0
c/ -15 + 5x = 0

3

3
3

Giải:
Giải:
a/ Ta có 3x - 2 = 0 3x
2
= 2 tức là x =
Vậy phơng trình có hai nghiệm : x
1
= ; x
2
=
3
2

3
2
3
2

b/ Ta có x + 5 = 0 x
2
= -5 < 0
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
c/ Ta có -15 + 5x = 0 5x
2
= 15 x
2
= 3
Suy ra x =

Vậy phơng trình có hai nghiệm : x
1
= ; x
2
=
3

3
3



- Muốn giải phơng trình bậc hai khuyết hệ số b, ta chuyển hệ số c sang
vế phải, rồi tìm căn bậc hai của .
- Phơng trình bậc hai khuyết hệ số b có thể có hai nghiệm hoặc có thể
vô nghiệm.
Tổng quát và cách giải phơng trình bậc hai khuyết hệ số b
ax + c = 0 (a 0)
ax
2
= -c
x
2
=
+) Nếu < 0 pt vô nghiệm
+) Nếu > 0 pt có hai nghiệm x
1,2
=
c
a

Nhận xét 2.
c
a

c
a

c
a

c
a



Giải phơng trình bằng cách điền vào chỗ
trống ( ) trong các đẳng thức sau :
Vậy phơng trình có hai nghiệm là:
( )
2
7
2x
2
=
( )
2
1 2
7
x 2 x 2 x

2

x , x
= = =
= =
?4
2
14
2

2
7

2
144
+
2
144

?5
Giải phơng trình :
2
7
44xx
2
=+
2
1
4xx
2

=
18x2x
2
=
?6
?7
Giải phơng trình:
Giải phơng trình :
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
7
2
+ =
2
x 4x 4
?5

2
7
2)(x
2
=
2
144
x;
2
144
x

21

=
+
=
Biến đổi vế trái của phơng trình, ta đợc:
Theo kết quả ?4 phơng trình có hai nghiệm là:


?7
?6
18x2x
2
=
7
2
+ =
2
x 4x 4
?5
2x - 8x + 1 = 0 (*)
Ví dụ 3
(chuyển 1 sang vế phải)

2
7
2)(x
2
=
2

144
x;
2
144
x
21

=
+
=
2
1
4xx
2
=
1
2
+ = +
2
x 4x 4 4
Biến đổi vế trái của phơng trình, ta đợc:
Theo kết quả ?4 phơng trình có hai nghiệm là:
Thêm 4 vào hai vế của phơng trình, ta đợc:
Chia hai vế của phơng trình cho 2, ta đợc:
Biến đổi vế phải của phơng trình, ta đợc:
Giải phơng trình 2x - 8x + 1 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm là:


Các kiến thức cần nhớ trong tiết học:

*) Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn:
Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc hai) là ph
ơng trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 Trong đó x là ẩn; a, b, c là những
số cho trớc gọi là các hệ số và a 0
*) Cách giải pt bậc hai khuyết b:
ax
2
+ c = 0 ax
2
= - c
> =
1,2
c c
*) Nếu - 0 pt có nghiệm x
a a
2
c
x
a
=
<
c
*) Nếu - 0 pt vô nghiệm
a
x 0
ax b 0
=

+ =

x 0
b
x
a
=




=

*) Cách giải pt bậc hai khuyết c:
ax
2
+ bx = 0 x(ax + b) = 0
Vậy pt có nghiệm x
1
= 0; x
2
= -b/a
*) Cách giải pt bậc hai đầy đủ theo VD3 trong bài học.


1/ Học bài theo SGK và vở ghi.
2/ Nắm chắc định nghĩa và một số cách giải phơng trình bậc
hai dạng đặc biệt (b = 0 hoặc c = 0) và phơng trình đầy đủ.

3/ Làm các bài tập 12, 13 (Sgk-42, 43).
4/ Đọc và nghiên cứu trớc bài Công thức nghiệm của phơng
trình bậc hai .
H#ớng dẫn về nhà.


§a c¸c ph¬ng tr×nh sau vÒ d¹ng ax + bx + c = 0 ²
§a c¸c ph¬ng tr×nh sau vÒ d¹ng ax + bx + c = 0 ²
vµ chØ râ c¸c hÖ sè a, b, c :
vµ chØ râ c¸c hÖ sè a, b, c :
a/ 5x + 2x = 4 x –²
b/
c/
d/ 2x + m = 2(m 1)x (–² ² m lµ mét h»ng sè)
Bµi tËp 11 (Sgk-42)
2
1
3x72xx
5
3
2
+=−+
1x33x2x
2
+=−+


a/ 5x + 2x = 4 x –² ⇔ 5x + 2x + x 4 = 0 –²
⇔ 5x + 3x 4 = 0 –²
Cã a = 5 , b = 3 , c = -4

b/
c/
d/ 2x + m = 2(m 1)x –² ² ⇔ 2x - 2(m 1)x + m = 0–² ²
Cã a = 2 , b = - 2(m 1)– , c = m²
Gi¶i
2
15
c , 1- b
5
3
a Cã
0
2
15
x-x
5
3

0
2
1
-7 3x -2xx
5
3

2
1
3x72xx
5
3

2
22
−===
=−⇔
=−+⇔+=−+
,
1)3( c , 31 b , 2 a Cã
01)3()x3(12x 1x33x2x
22
+−=−==
=+−−+⇔+=−+


Gi¶i ph¬ng tr×nh sau :
Gi¶i ph¬ng tr×nh sau :
2x + 5x + 2 = 0²
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
Bµi tËp 14 (Sgk-43)
2
.x2
2
2
−=−=
=−=⇔
±=+⇔=







+⇔
+−=






++⇔
−=+⇔=+⇔=++
21
2
222
x;
2
1
x
2- xhoÆc
2
1
x
4
3
4
5
x
16
9
4

5
x

16
25
1
4
5

4
5
x
1x
2
5
x -25x2x 025x2x


Bµi gi¶ng ®Õn ®©y lµ kÕt thóc.