duong tron(Nguyen Van Khai- Que Phong)

Cho đờng tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính bằng 5.
Điểm nào sau đây thuộc (C):
A(-4; -5), B(-2; 0), D(3; 2), E(-1; -1)
( ) ( )
532
22
=+
yx
( ) 5M C IM
=
Giải thích:
Vì IB = 5, IE = 5 nên B, E thuộc (C)
Vì IA = 10 > 5 nên A không thuộc (C)
2
Vì ID = < 5 nên D không thuộc (C)
Vậy cho M(x, y). Toạ độ của M thoả
mãn điều kiện gì thì điểm M thuộc (C)?
( ) ( )
2532
22
=+
yx
M(x, y)
.
I
5
0 x
y
2

3

M(x, y)
I(a, b)
a
b
X
Y
O
Bµi 4: §êng trßn
1. Ph¬ng tr×nh ®êng trßn
Trªn mp Oxy cho ®êng trßn (C) t©m
I(a; b), b¸n kÝnh R.
M(x; y) (C)
∈
⇔
IM = R
Rbyax
=−+−⇔
22
)()(
)1()()(
222
Rbyax
=−+−⇔
Ph¬ng tr×nh (1) ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh
®êng trßn t©m I(a; b) b¸n kÝnh R.
VÝ dô 1:
Ph¬ng tr×nh cña ®êng trßn cã t©m I(-4; 1), b¸n kÝnh R = 1 lµ:
A. (x + 1)

2
+ (y - 4)
2
= 1 B. (x + 4)
2
+ (y - 1)
2
= 1
C. (x - 1)
2
+ (y + 4)
2
= 1 D. (x - 4)
2
+ (y + 1)
2
= 1

Ph¬ng tr×nh ®êng trßn t©m I(a, b) b¸n kÝnh R lµ:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
VÝ dô 2:
A.Pt cña ®êng trßn cã t©m O(0; 0), b¸n kÝnh R = 1 lµ
x
2
+ y

2
= 1
B. Pt cña ®êng trßn cã t©m K(-2; 0), b¸n kÝnh R = 4 lµ
(x + 2)
2
+ y
2
= 4
C. Pt cña ®êng trßn cã ®êng kÝnh MN, M(-1; 2), N(3; -1)
lµ (x - 1)
2
+ (y - 1/2)
2
= 25/4
D. Pt cña ®êng trßn ®i qua 3 ®iÓm A(2; 1), B(0; -1), C(-2;1)
lµ: x
2
+ (y - 1)
2
= 4
Trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau kh¼ng ®Þnh nµo sai:

Ví dụ 3: Hãy nối mỗi dòng ở cột 1 với một dòng ở cột 2 để
đợc một khẳng định đúng
Cột 1
1. x
2
+ (y + 6)
2
= 5 là pt của

2. (x-1)
2
+ y
2
= 25 là pt của
3. (x+3)
2
+ y
2
= 3/2 là pt của
4. x
2
+ (y+6)
2
= 6 là pt của
Cột 2
a. Đtròn tâm (0; -6), bk
6
2
b. Đtròn tâm (-3; 0), bk
6
2
c. Đtròn tâm (0; -6), bk 5
d. Đtròn tâm (1; 0), bk 5
Phơng trình đờng tròn tâm I(a, b) bán kính R là:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
= R

2

H·y khai triÓn c¸c ph¬ng tr×nh ®êng trßn sau:
(C): (x - 7)
2
+ (y + 3)
2
= 12
2 2
14 6 46 0x y x y
⇔ + − + + =

Pt x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 cã ch¾c
ch¾n lµ 1 pt cña mét ®êng trßn nµo ®ã kh«ng?
Ta cã: x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0
⇔
x
2
+ 2Ax + A
2
+ y
2

+ 2By + B
2
- (A
2
+ B
2
- C)=0
⇔
(x + A)
2
+ (y + B)
2
= A
2
+ B
2
– C (*)

NÕu A
2
+ B
2
- C > 0 th× (*) lµ pt ®êng trßn
t©m I(-A; -B), b¸n kÝnh b»ng

Pt x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 (2)

Víi A
2
+ B
2
- C > 0, lµ pt cña ®êng trßn t©m
I(-A; -B), bk R =
2 2
A B C
+ −
2 2
A B C
+ −

Ví dụ 4: Phơng trình sau đây có phải là phơng trình
của một đờng tròn không? Nếu là phơng trình đờng
tròn hãy xác định tâm và bán kính của đờng tròn đó.
(1): x
2
+ y
2
- 6x + 2y + 6 = 0
(2): x
2
+ y
2
-8x -10y + 50 = 0
(3): 2x
2
+ 2y
2

+ 8y -10 = 0
Pt (1) viết lại: x
2
+ y
2
+ 2(-3)x + 2(1)y + 6 = 0
Có (-3)
2
+ (1)
2
-6 = 4 > 0. Vậy (1) là pt của đờng tròn tâm
I(3; -1), bán kính R = 2
Pt (2) viết lại: x
2
+ y
2
+ 2(-4)x + 2(-5)y + 50 = 0
Có (-4)
2
+ (-5)
2
- 50 = -9 < 0. Vậy (2) không phải là pt của đ
ờng tròn nào cả
Pt (3) viết lại: x
2
+ y
2
+ 2(0)x + 2(2)y - 5 = 0
Có (0)
2

+ (2)
2
+ 5 = 9 > 0. Vậy (3) là pt của đờng tròn tâm
I(0; -2), bán kính R = 3

Pt: x
2
+ 4y
2
- 4y - 3 = 0 (1)
và x
2
+ y
2
+ 4xy - 2y - 5 = 0 (2)
Có phải là pt của một đờng tròn không?
Ta có: x
2
+ 4y
2
-4y -3 = 0
2 2
2 2
(2 ) 2(2 ).1 1 1 3 0
(2 1) 4
x y y
x y
+ + =
+ =
Các phơng trình trên không phải là phơng trình của đờng tròn

Chú ý: 1. Một phơng trình mà các hệ số của x
2
và y
2

khác nhau thì không phải là phơng trình của đờng tròn.
2. Một phơng trình mà có chứa biểu thức x.y thì
không phải là phơng trình của đờng tròn.
x
2
+ y
2
+ 4xy - 2y - 5 = 0 (x+2y)
2
-3(y+1/3)
2
=14/3

Đưa phương trình bậc hai về dạng:
Cách 1:
(1)
2 2
( ) ( )x a y b m
− + − =
* Nếu m > 0 thì (1) là phương trìmh đường
tròn tâm I( a; b ) và bán kính
R m
=
* Nếu m < 0 thì (1) không tồn tại phương

trình đường tròn.
VËy ®Ó nhận dạng một phương trình bậc hai cã ph¶i lµ phương
trình của mét đường tròn hay kh«ng. Ta cã thÓ lµm theo nh÷ng
c¸ch nµo?

Bước 1:
Đưa phương trình bậc hai về dạng:
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
Bước 2:
Tìm a, b, c.
Bước 3: Tính:
2 2
a b c
+ −
Cách 2:
* NÕu a
2
+ b
2
- c ≤ 0 th× (2) kh«ng lµ ph¬ng tr×nh cña
mét ®êng trßn nµo c¶.
* NÕu a
2
+ b
2
- c > 0 th× (2) lµ ph¬ng tr×nh cña mét ®
êng trßn cã t©m I(a, b) b¸n kÝnh
2 2
R a b c

= + −
(2)

Bài toán: Cho điểm M
0
(x
0
;y
0
) (C) tâm I(a; b)
Gọi là tiếp tuyến với (C) tại M
0

I(a; b)

M
0
.
Bài 4: Đờng tròn
1. Phơng trình đờng tròn
2. Nhận dạng phơng trình đờng tròn
3. Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn
Hãy viết phơng trình đờng thẳng của

Đt có:

=
);(
);(
000
000
byaxIMVTPT
yxM
Phơng trình là:
(x
0
- a)(x x
0
) + (y
0
b)(y y
0
) = 0 (2)

Phơng trình (2) đợc gọi là phơng
trình tiếp tuyến của đờng tròn (C) tại
điểm M
0
nằm trên đờng tròn

Cho ®iÓm M
0
(x
0
;y
0

) (C) t©m I(a; b)
∈
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M
0
lµ:
(x
0
- a)(x x–
0
) + (y
0
b)(y y– –
0
) = 0 (2)
VÝ dô1: Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M(1; 4) thuéc ®êng trßn
(C) : (x 1)–
2
+ (y 2)–
2
= 4 lµ:
A. x+ y = 1 B. x = 1
B. x 2y= 0– D. y = 4
NÕu M
0
(x
0
; y
0
) kh«ng thuéc (C) th× ph
¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) qua M

0
sÏ
®îc lËp nh thÕ nµo
?
3. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn

Giải: Đờng tròn (C) có tâm I(1, 2) bán kính R=2
Đờng thẳng qua M có phơng trình
a(x-1) + b(y-5) = 0 với a
2
+ b
2
0
Khoảng cách từ tâm I đến là:
Để là tiếp tuyến của (C) thì điều kiện cần và đủ là:
Giải đk thu đợc

2222
3)52()11(
),(
ba
b
ba
ba
Id
+

=
+
+

=
Ví dụ 2: Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn
(C) : (x 1)
2
+ (y 2)
2
= 4 qua M(1; 5)
22
22
232
3
),( bab
ba
b
RId
+==
+

=
10525:
2
5
1
+



=
=
yx

b
a
10525:
2
5
2
++



=
=
yx
b
a

M
.
I(1; 2)

Để lập phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm M
0
(x
0
, y
0
) nằm
ngoài đờng tròn (C) có tâm I bán kính R với đờng tròn ta
làm nh sau:

M
0 .
I(a; b)
Bớc 1: Lập phơng trình đờng
thẳng qua điểm M sẽ có dạng:
a(x - x
0
) + b(y - y
0
) = 0 () với a
2
+ b
2
0
Bớc 2: Tính khoảng cách d(I, )
Bớc 3: Để là tiếp tuyến của (C) thì điều kiện
sẽ là d(I, ) = R. Giải đk chọn a, b thích hợp
thay vào pt ta đợc pt tiếp tuyến của đờng
tròn (C).

PhÇn Cñng cè
Bµi1. Trªn mp Oxy ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) t©m I(a; b),
b¸n kÝnh R lµ:
A. (x - a)
2
- (y - b)
2
= R
2
B. (x - a

)2+
(y - b)
2
= R
C. (x - a)
2
+ (y + b)
2
= R
2
D. (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
D
Bµi2. Ph¬ng tr×nh x
2
+ y
2
2ax 2by + c = 0 (C) lµ ph¬ng – –
tr×nh ®êng trßn nÕu:
A. a + b c = 0– B. a
2
+ b
2
c > 0–
C. a
2

+ b
2
c < 0– D. a
2
+ b
2
c = 0–
B.
A
Bµi3. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C): (x- a)
2
+ (y - b)
2
= R
2

t¹i

M
0
(x
0
; y
0
) (C) lµ :
A. (x
0
- a)(x x–
0
) + (y

0
b)(y y– –
0
) = 0
B. (x
0
- a)(x + x
0
) + (y
0
b)(y + y–
0
) = 0
C. (x
0
+ a)(x – x
0
) + (y
0
– b)(y – y
0
) = 0
∈
∈

§6 ®êng Trßn

Ph¬ng tr×nh cña ®êng trßn
 Cho ®êng trßn (C) t©m I(a; b) b¸n kÝnh R.
2 2 2

( ; ) ( ) ( ) ( ) (1)M x y C x a y b R
∈ ⇔ − + − =
Ph¬ng tr×nh(1) gäi lµ ph¬ng tr×nh cña ®êng trßn t©m I(a; b), b¸n kÝnh
R.
 Ph¬ng tr×nh x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 (2), víi A
2
+ B
2
- C > 0 lµ
ph¬ng tr×nh cña ®êng trßn t©m I(-A; -B), b¸n kÝnh R = .
2 2
A B C+ −
Cho ®iÓm M
0
(x
0
;y
0
) (C) t©m I(a; b)
∈
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M
0
lµ:
(x
0
- a)(x x–

0
) + (y
0
b)(y y– –
0
) = 0 (2)
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn