Hai mặt phẳng vuông góc (tiết 1)

Kiểm tra bài cũ
Nhắc lại định nghĩa góc giữa 2
đường thẳng và góc giữa đường
thẳng với mặt phẳng?

•
Góc giữa 2đt a và b
là góc giữa 2đt a’ và
b’ cùng đi qua 1
điểm và lần lượt
song song (hoặc
trùng) với a và b.
a
a'
b'
b
α
Nhắc lại định nghĩa góc giữa 2 đường thẳng và
góc giữa đường thẳng với mặt phẳng?
M

Nhắc lại định nghĩa góc giữa 2 đường thẳng và
góc giữa đường thẳng với mặt phẳng?
•
Góc giữa đường thẳng
a và mp (P):
_ Nếu a vuông góc với
(P) thì góc giữa dt a và
mp (P) là .

_ Nếu a không vuông
góc với (P) thì góc
giữa dt a và mp (P) là
góc giữa hình chiếu a’
của a lên mp (P).

Bài 4
Hai mặt phẳng
vuông góc

P
Q
b
a
P
a

I. Góc giữa hai mặt phẳng:
1. Định nghĩa:
Góc giữa 2 mp là góc giữa 2 đt
lần lượt vuông góc với 2 mp đó.

Lấy sao cho
Dễ thấy
( )
,a b R
⊂
a p
b q
⊥



⊥

( )
( )
a P
b Q
⊥


⇒

⊥




( ) ( )
( )
( )
, ,P Q a b
⇒ ∠ = ∠
( ) ( )
, ,a b p q
∠ = ∠
( ) ( )
( )
( )
, ,P Q p q

⇒ ∠ = ∠
P
Q
R
p q
ba
∆

2. Phương pháp xác định góc giữa
2 mặt phẳng:
Phương pháp xác định góc giữa 2mp (P) và (Q):
•
Tìm
•
Đỉnh góc là điểm
•
Hai tia của góc là đường thẳng p, q nằm trên
mp (P), (Q) và cùng vuông góc với tại M
•


( ) ( )
P Q
∆ =
I
∈∆
( ) ( )
( )
( )
, ,P Q p q

∠ = ∠
∆

VD: Cho hình chóp SABC có . Gọi là
góc giữa mp (ABC) và (SBC). Hãy xác định và
CMR:
ϕ
ϕ
( )
SA ABC
⊥
ϕ
.cos
ABC SBC
S S
ϕ
=
•
Xác định góc
•
Trong (SBC) dựng
tại H (2)
tại H (3)
Từ (1),(2),(3) tao có
( ) ( )
(1)ABC SBC BC
∩ =
( )
( )
SA ABC SA BC

BC SAH
BC AH


⊥ ⇒ ⊥

⇒ ⊥
⇒ ⊥
( ) ( )
( )
( )
, ,SBC ABC SH AH
ϕ
= ∠ = ∠
SH BC
⊥
A
B
C
S
H

VD: Cho hình chóp SABC có . Gọi là
góc giữa mp (ABC) và (SBC). Hãy xác định và
CMR:
ϕ
( )
SA ABC
⊥
ϕ

.cos
ABC SBC
S S
ϕ
=
•
CM:
vuông tại A
.cos
ABC SBC
S S
ϕ
=
( )
( )
SA ABC
SA AH
AH ABC
⊥ 

⇒ ⊥

⊂


SAH
⇒∆
.cosAH SH
ϕ
⇒ =

1
.
2
ABC
S AH BC
⇒ =
1
.cos .
2
SH BC
ϕ
=
.cos
ABC SBC
S S
ϕ
⇒ =
H
S
H
A
B
C

3. Định lí 1:
S: dtích đa giác H trong mp (P)
S’: dtích hình H’ H
: góc giữa 2 mp (P) và (P’) thì ta có
( ')P
hc

=
ϕ
' .cosS S
ϕ
=

II. Hai mặt phẳng vuông góc:
1. Định nghĩa:
Hai mp (P) và (Q) gọi là vuông góc với
nhau nếu góc giữa chúng bằng .
"í hiệu: hay
90
°
( ) ( )
P Q
⊥
( ) ( )
Q P
⊥

VD: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi
một vuông góc nhau. Hãy tìm ra 3 cặp mp
vuông góc nhau trong tứ diện đã cho.
( ) ( )
ABC ABD⊥
B
D
C
A
( ) ( )

ABD ACD
⊥
( ) ( )
ABC ACD
⊥

2. Điều kiện để 2mp vuông góc:
Định lí 2: Nếu một mặt phẳng chứa
một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng khác thì 2 mặt phẳng đó vuông
góc.

Chứng minh định lý 2
CM: Giả sử
Khi đó
( ) ( )
P a Q
⊃ ⊥
( )
( ) ( )
,
H a Q
H c P Q
b H b c
= ∩
⇒ ∈ = ∩
∋ ⊥
( ) ( )
( )
( )

( )
( ) ( )
, ,P Q a b
P Q
a Q a b

∠ = ∠

⇒ ⊥

⊥ ⇒ ⊥


c
H
b
a
P
Q

Phương pháp CM 2 mp vuông góc:
•
CM
( ) ( )
P Q
⊥
( )
( )
( ) ( )
a P

P Q
a Q
⊂


⇒ ⊥

⊥



VD: Cho đều, I là trung điểm của BC, D đối
xứng với A qua I, . CM
D đx A qua I (gt)
I là trung điểm AD
I là trung điểm BC
ABCD là hbh
Mà đều AB=AC
ABCD là hình thoi
⇒
ABC
∆
( )
SD ABC
⊥
( ) ( )
SBC SAD
⊥
I
C

D
B
A
S
⇒
ABC∆
⇒
⇒
AD BC
SD BC
⇒ ⊥
⊥
( )
( )
BC SAD
BC SBC
⇒ ⊥
⊂
( ) ( )
SAD SBC
⇒ ⊥

3. Tính chất của 2 mp vuông góc:
Định lí 3:
( ) ( ),( ) ( )
( ),
( )
P Q P Q c
a P a c
a Q

⊥ ∩ =


⊂ ⊥

⇒ ⊥
Q
P
c
a
(Phương pháp CM đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng)

Hệ quả 1
( )
( ) ( ), ( )
( ),
P Q A P
a P
a Q A a
⊥ ∈

⇒ ⊂

⊥ ∈

Q
P
a
A

Hệ quả 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
P Q a
P R a R
Q R

=

⊥ ⇒ ⊥


⊥

I
Q
P
R
a
(Phương pháp CM đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng)

Hệ quả 3
Qua đt a không vuông
góc với mp (P) có duy
nhất một mp (Q) vuông
góc với mp (P)

Q
P
b
a
O

Củng cố
•
Khái niệm góc giữa hai mp
•
Định nghĩa hai mp vuông góc
•
Điều kiện để hai mp vuông góc
•
Phương pháp chứng minh hai mp vuông g
óc
•
Phương pháp chứng minh đường thẳng v
uông góc mặt phẳng



A
A Góc SOC
B
B
Góc SBA
D
D
Góc SAO

C
C
Góc SOA
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA=x
và SA vuông góc với (ABCD). Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên
SB và SD.
Câu 1: Góc giữa (SBD) và (ABCD) là? Hãy chọn câu đúng.
B’
B
C
D
D’
S
O
A



A
A (SAB) ⊥ (SAD)
B
B
(SAC) ⊥ (ABD)
D
D
(SAC) ⊥ (ABCD)
C
C
(SBD) ⊥ (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA=x

và SA vuông góc với (ABCD). Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên
SB và SD.
Câu 2: Chọn một kết luận sai.
B’
B
C
D
D’
S
O
A