DUONG TRON

O
R
CHUYÊN ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRÒN
Tiết 21: XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG TRÒN.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Định nghĩa đường tròn, hình tròn:
- Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, ký
hiệu (O ; R), hoặc (O)
* Định nghĩa hình tròn:
- Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm
nằm bên trong đường tròn đó.

+ Tính chất của đường tròn:
- Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
- Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
Ví dụ: Cho hình vẽ:
Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn.
Giải:
- O là tâm đối xứng.
- AB, CD là trục đối xứng của đường tròn.
* Cung và dây cung:
- Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O. Hai điểm này chia đường tròn thành
hai phần mỗi phần gọi là một cung tròn (Gọi tắt là cung).
- Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung.
- Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất.
* Sự xác định đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác:
- Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó hoặc khi
biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.
1
R
O

DC
O
A
D
B
C
A
A
A
B
O
Hình.1
Hình.
2
Hình.3
Hình.4
Hình.5
O
A'
A
Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B
Vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó.
Giải:
Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB=> (O;
2
AB
)
Ví dụ 2 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Vẽ một đường tròn đi qua ba điểm đó.
Giải:

Vẽ các đường trung trực ba cạnh của ∆ABC
O là giao của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác => O là tâm của
đường tròn đi qua đi qua ba điểm A, B, C.
- Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một đường tròn. Nói cách khác qua ba đỉnh của một tam giác ABC
bao giờ cũng dựng được một đường tròn xác định. Ta nói đường tròn đó ngoại tiếp tam giác, hay tam giác đó nội tiếp
đường tròn.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm của hai đường chéo.
OA =
2
cm. Vẽ (A; 2cm). Trong 5 điểm: A, B, C, D, O điểm nào nằm trên đường
tròn ? Điểm nào nằm trong đường tròn ?. Điểm nào nằm ngoài đường tròn ?.
Giải:
OA =
2
< 2 => O và A nằm trong đường tròn tâm A.
AB = AD = 2 => B và D nằm trên đường tròn tâm A.
AC = 2
2
> 2 => C nằm ngoài đường tròn tâm A.
Bài 2: Cho (O), dây AB. Biết M là trung điểm của AB, cho OA = 5cm, OM = 3cm .
Tính AB ?
Giải:
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông OAM
ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
OA AM OM
AM OA OM

AM OA OM 5 3 4
= +
⇒ = −
⇒ = − = − =
Vậy AB = 2AM = 8 cm.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung
điểm của cạnh huyền.
Chứng minh:
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A.
Gọi O là trung điểm của BC => OB = OC
Nối O với A => OA là đường trung tuyến
Do đó OA =
1
2
BC => OA = OB = OC
=> O là tâm đường tròn đi qua A, B, C
Vậy tâm của (O) ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC
Tiết 22: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

a) Tâm đối xứng:
A’ đối xứng với A qua O.
Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn.
2
C
O
B
A
5

3
O
M
B
A
A
B
C
O
2
2
A
B
D
C
O
Hình.6
Hình.7
Hình.8
Hình.9
Hình.10
O
R
I
O
C'
C
B
A
F

E
D
C
O
B
A
O
D
C
B
A
M
O
b) Trục đối xứng:
C’ đối xứng với C qua đường kính
thẳng AB.
Do đó đường kính AB là một trục đối
xứng của (O)
Vậy, bất kỳ đường kính nào cũng là một trục đối xứng của đường tròn; đường tròn có vô số
trục đối xứng.
c) Đường kính và dây của đường tròn.
Định lí 1: Trong các dây của một
đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
AB
≥
CD; AB
≥
EF
d) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây

Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông
góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
AB là đường kính, CD là một dây của (O);
Nếu AB
⊥
CD tại I thì IC = ID
I
D
C
O
B
A

Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung
điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây
ấy.
AB là đường kính, CD là một dây khác đường kính của (O);
Nếu AB
∩
CD = I
Và IC = ID thì AB
⊥
CD
I
D
C
O
B
A

Ví dụ:
Đường kính AB đi qua trung điểm của dây CD
nhưng không vuông góc với CD.
(Vì dây CD đi qua tâm O)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:
3
Hình.1
1
Hình.1
2
Hình.1
3
Hình.1
4
Hình.1
5
M'
M
O
I
C'
C
O
B
A
Cho hình vẽ, tìm điểm M’ đối xứng với M qua
O?
Học sinh dựng đường thẳng MO cắt đường

tròn (O) tại điểm thứ hai là M’, khi đó M’ là
điểm đối xứng với M qua O
(Vì OM’ = OM)
Bài 2:
Cho hình vẽ, tìm điểm C’ đối xứng với C qua
đường thẳng AB?
C
O
B
A
Giải:
Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt
AB tại I, cắt (O) tại C’, khi đó C’ là điểm đối
xứng với C qua AB
(Vì AB
⊥
CC’ và IC = IC’)
Bài 3:
Cho hình vẽ, biết OA = 5 cm;
OM = 3 cm. Tính AB =?
Hướng dẫn: Đường kính OM
⊥
AB nên
M là trung điểm của AB
⇒
AB = 2AM. Xét tam giác vuông
AMO để tính AM từ đó tính AB.
M
B
A

O
3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A,B, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b) AB > HK
Hướng dẫn: a) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABH (Tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABH là trung điểm I của AB)
+ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABK (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK là
trung điểm I của AB)
+ (I) đường kính AB có đi qua bốn điểm A, B, H, K không? ( Đường tròn (I) đi qua bốn điểm A, B, H,
K )
b) AB là gì của (I)? ( AB là đường kính của (I) )
HK là gì của (I)? ( HK là dây của (I) )
So sánh đường kính AB và dây HK trong ( O )
Bài 5:
4
Hình.1
6
Hình.1
7
Hình.1
8
Hình.1
9
Hình.2
0
Cho hình vẽ, biết OA = 10 cm;
OM = 6 cm. Tính AB =?
Hướng dẫn: Dây AB không đi qua tâm, đường kính OM đi qua trung điểm M
của AB nên OM

⊥
AB
⇒
AB = 2AM.
Xét tam giác vuông AMO để tính AM
⇒
AB = 2AM
M
B
A
O
5
Hình.2
1
TIẾT 23: DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Dây cung và khoảng cách đến tâm
+ Định lý : Trong một đường tròn
Định lí 1: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lí 1: - Dây lớn hơn thì gần tâm hơn
- Dây gần tâm hơn thì lớn hơn
H
K
O
A
B
D
C

+Ví dụ : Cho AB và CD là 2 dây khác đường kính của đường tròn ( O ; R ) gọi
OH,OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB ,CD
- dây AB = CD
⇔
OH = OK
- dây AB > CD
⇔
OH < OK
2. Vị trí tương đối của dường thẳng và đường tròn :
Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. OH là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường
thẳng a; (OH = d).
+ Đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
Ta có:
A B
+ Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.
Ta có:
a
6
Hình.2
2
d < R
H
d
R
d = R
H
O
O
Hình.2
3

Hình.2
4
+ Đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
Ta có:
a
VD1: d = 3cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn cắt nhau )
VD2: d = 7cm , R = 7cm ( Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau )
VD3: d = 6cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn không giao nhau )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho hình vẽ, trong đó hai dây MN ; PQ bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. IM =
2cm ; IN = 14cm . Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.
Giải
Kẻ OH
⊥
MN
OK
⊥
PQ
MN = MI + IN = 2 + 14 = 16 (cm)
MH =
1
2
MN = 8(cm)
IH = MH – MI = 8 – 2 = 6(cm)
Do MN = PQ nên OH = OK

I
K
H
O

Q
P
NM
Tứ giác OHIK là hình chữ nhật lại có OH = OK nên OHIK là hình vuông .
Do đó OH = OK = IH = 6(cm)
Bài 2 : Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng
cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng) :
R d
Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
5cm
7cm
6cm
3cm
……..
8cm
……………….
Tiếp xúc nhau
…………..
Giải
R d
Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
5 cm
7 cm
6 cm
3 cm
7 cm
8 cm
Đường thẳng cắt đường tròn

Tiếp xúc nhau
Đường thảng và đường tròn không giao nhau
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho (O; 12cm) đường kính CD vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho
·
NID
= 30
o
. Tính
độ dài dây MN.
Hướng dẫn
- Kẻ OH
⊥
MN
- Xét tam giác vuông HOI Có :
·
HIO
= 30
o
do đó OH =
0
2
I
= 3 (cm)
- Xét tam giác vuông HON có :
HN
2
= NO
2
– OH

2

⇒
HN =
3 15
(cm)
Vì MN = 2 HN vậy MN =
6 15
(cm)


H
I
M
O
N
D
C

7
Hình.2
5
H
d
R
d > R
O
Hình.2
5
Hình.2

6
Bài 2 . Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 6 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 10cm.
a. Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn tâm O ? Vì sao ?
b. Gọi B và C là giao điểm của đường thẳng a và đường tròn O. Tính độ dài BC.
Hướng dẫn
a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) vì OH = 6 cm, OB = 10 cm; OH < OB
hay d < R
b) HC =
22
OHOB
−
=
22
610
−
= 8 (cm)
BC = 16 cm
TIẾT 26: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn
+ Định lý:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng
ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Ví dụ 1:
Hình 38. Đường thẳng xy đi qua điểm C của đường tròn (0) và
vuông góc với bán kính OC
⇒
đường thẳng xy là tiếp tuyến của

đường tròn (0)
O
C
y
x
- Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (hình 39)
8
B C
10
6
O
H
Hình.3
8
+ A cách đều hai tiếp điểm B và C
+ Tia AO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến AB,
AC.
+Tia OA là tia phân giác tạo bởi hai bán kính OB, OC.
Ví dụ 2 : Trên hình 43 ta có:
BA và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (0).
Theo tính chất tiếp tuyến ta có :
AB
⊥
OB, AC
⊥
OC . Hai tam giác vuông OAB và OAC có OB = OC , OA là cạnh chung. Do đó
∆
OAB =
∆
OAC

(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC.
·
·
OAB OAC
=
nên AO là tia phân giác của
·
BAC
.
·
·
AOB AOC
=
nên OA là tia phân giác của
·
BOC
.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC=5cm . Vẽ đường tròn (B, BA). Chứng minh rằng AC là tiếp
tuyến của đường tròn .
Chứng minh :
Theo giả thiết ta có :
∆
ABC có AB =3, AC = 4, BC =5 nên BC2 = 52 = 25
AB
2
+ AC
2
= 32 + 42 = 25 vậy BC

2
= AB
2
+ AC
2
⇒
∆
ABC vuông tại A. Cũng theo giả thiết thì
A ∈ (B;BA) nên AC là tiếp tuyến (B,BA).
Bài 2 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) ,
kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các
tiếp điểm).Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với
đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở
D, E . Chứng minh rằng chu vi
∆
ADE bằng 2AB.
Chứng minh:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :
AB = AC, DM = DB, EM = EC.
Vậy chu vi tam giác ADE bằng :
AD + DE + AE = AD + (DM + ME) + AE
= AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B, BA) và đường tròn (C, CA), chúng cắt nhau
tại điểm D (khác A) . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB (Ax , By và
nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với
nửa đường tròn cắt By ở N.
a, Tính số đo
·

MON
?
b, Chứng minh rằng MN = AM + BN.
9
Hình.4
0
Hình.4
1
Hình
39
c, Chứng minh rằng AM. BN = R2 (R là bán kính của đường tròn).

10
Tiết 24: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
11
12
Ba vị trí tương đối của đường tròn.
* Hai đường tròn cắt nhau:
+ Hai đường tròn có 2 điểm chung A và B
+ Hai điểm chung A và B được gọi là 2 giao điểm.
+ Đoạn thẳng nối 2 giao điểm AB gọi là dây chung.
+ OO’ gọi là đoạn nối tâm.
+ R - R’ < OO' < R + R’
* Hai đường tròn tiếp xúc nhau:
+ Hai đường tròn có 1 điểm chung A
+ Điểm chung A được gọi là giao điểm.
a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:
OO' = R + R’
b) Hai đường tròn tiếp xúc trong:

OO' = R – R’
+ Hai đường tròn không có điểm chung.
a) Nếu (O) và (O’) ở ngoài nhau thì: OO’ > R + R’
b) Nếu (O) đựng (O’) thì: OO’ < R + R’
c) (O) và (O’) đồng tâm thì: OO’ = 0
* Hai đường tròn không giao nhau:
* Tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
+ d1, d2 là hai tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường
tròn (O) và (O’)

+ m1 và m2 là 2 tiếp tuyến chung trong của 2 đường
tròn (O) và (O’)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
13
Hình.2
6
Hình.2
Hình.3
0
Hình.3
1
Hình.2
7
Hình.2
8
Tiết 25: GÓC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG
LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc ở tâm , số đo cung
1.Góc ở tâm :

+ Định nghĩa : Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi
là góc ở tâm.
VD:
·
AOB
( hình 32) là góc ở tâm
- Cung AB được ký hiệu là:
»
AB
,
¼
AmB
là cung nhỏ,
¼
AnB
là cung lớn.
- Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn
VD:
¼
AmB
là cung bị chắn bởi
·
AOB

A
B
O
m
n
2. Số đo cung:

+ Định nghĩa :
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360
0
và số đo của cung nhỏ
Số đo của nửa đường tròn bằng 180
0
+ Kí hiệu : Số đo của cung AB được kí hiệu Sđ
»
AB
14
Hình.3
2
100
o
VD: Hình 39 cung nhỏ
¼
AmB
có Sđ là 100
0

cung lớn Sđ
¼
AnB
= 360
0
- 100
0
Sđ
¼

AnB
= 260
0
A
B
O
m
n
100
3. So sánh hai cung
+ Khái niệm : Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
+ VD: - Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là
»
AB
=
»
CD
- Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là
»
EF
<
¼
GH
hay
¼
GH
>
»
EF

2. Liên hệ giữa cung và dây
2. 1. Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
GT
(0); A,B,C,D
∈
(0)
O
D
C
B
A
KL
a; AB = CD =>
»
AB
=
»
CD
b;
»
AB
=
»
CD
=> AB = CD
2.2. Định lí 2 :
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:
a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?
b) Từ 1 giờ đến 1 giờ 30 phút thì kim phút quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?
Bài giải.
Với mặt đồng hồ như đường tròn, thì mỗi giờ các kim quay được một góc 30
0
.
Do đó kết quả ý a, là: 60
0
; ý b, là: 180
0
.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho:
AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH,
OK xuống BC và BD ( H
∈
BC, K
∈
BD).
a)Chứng minh rằng OH < OK
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
gt
(0); A,B,C,D
∈
(0)
O
D
C

B
A
kl
a;
»
AB
>
»
CD
=> AB>CD
b; AB >CD =>
»
AB
>
»
CD

15
Hình.3
3
Hình.3
4
Hình.3
5
O
C
B
A
D
H

K
Bài giải
a, Trong tam giác ABC theo bất đẳng thức tam giác ta có: BC > AB – AC
Do AC = AD nên BC > AB – AD hay BC > BD
Theo định lý về dây cung và khoảng cách đến tâm, từ BC > BD suy ra OH <
OK
b, Theo ý a, BC > BD suy ra BC > BD
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Hai tiếp tiếp tuyến tại A, B của đường tròn tâm (O;R) Cắt nhau tại M. Biết OM = 2R.
Tính số đo của góc ở tâm AOB ?
Bài giải
Vì OM = 2R nên ON = NM, MA
⊥
OM suy ra AN = ON = OA
⇒
∆
AON
đều, nên
·
AOB
= 60
0
.
Vậy
·
AOB
= 2
·
AOM
= 120

0
.
A
O
M
B
N
Tiết 27 : GÓC NỘI TIẾP
VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA GÓC NỘI TIẾP VÀ CUNG BỊ CHẮN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
+ Định nghĩa góc nội tiếp :
- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn
đó.
- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
Ví dụ :
B
O
C
A
B
C
O
A
Hình 42 (a;b) :
·
BAC
là góc nội tiếp.
+ Tính chất của góc nội tiếp :
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị
chắn.

Ví dụ : sđ
·
BAC
=
1
2
sđ
»
BC
+ Hệ quả :
Trong một đường tròn :
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
16
Hình.3
6
Hình.3
7
B
O
C
A
Hình.43
Hình.42.b
Hình.42.a