Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên miền ngoài đường tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm 5

12

CHDONG 2
CONG C{)
Trang chuong nay chung Wi n~u m<)ts6 b6 d~ va cae h~ qua ciln thiet cho
vi~c danh gia cac d(;liIuqng sau nay.
2.1 Rd de' Carleman va cae h~ qua
B6 de 2.1 (Carleman)
Gia siXw = f(z) Ia m9t PBHBG don di~p hlnh vanh khan (0 <)r < Izi< R(< r:fJ)
I~n m9t mi~n nhi Ii~n D kh6ng chua

00,

v6i bi~n trang c] va bi~n ngoai C2 saD

cho Izi= R tuongU'ngv6i C2. G9i S Ia di~ntich (trong)cua mi~ndo C2 baa b9C, s

Ia di~n tich (ngoai) cua t~p dong do CI baa b9C.Khi do ta co
S~(~)2S

(2.1)

D~ng thuc xay ra <=>
f(z) = az + b v6i cac htmg s6 a,b,a"# O.

Chzmgminh: Xem ([sltr.212) ho~c ([131tr,6).
Til b6 d~ nay ta suy ra ba h~ qua rift qUail tr9ng d6i v6i PBHBG mi~n nhi
li~n:
H~ qua 2.1 (dinh nghia m6dun mi~n nhi li~n)
Gia siX mi~n nhi li~n D co cac thanh phan bi~n kh6ng thoai hoa thanh m<)t
di~m qua cac PBHBG don di~p f va 1; Ian Iuqt bien l~n hai hlnh vanh khan

H : r < IwI< R,
HI :rl
Khi do
R=!!l
r rl
Ty s6 nay g9i la m6dun cua mi~n nhi li~n D va duqc ky hi~u la mod (D).
Chzmg minh:

(2.2)


13

Xet hai PBHBG 101;-J mi~n HJ len H va 1;ol-J mi~n H len HJ . Tirb6 d~
2.1, ta suy fa

(~r ~(~IJ va(~r ~(~1)2
Tir d6 suy fa (2.2).
H~ qua 2.2 (Tinh bat bien cua modun mi~n nhi lien)
Neu mi~n nhi lien A c6 cac thanh phan bien kh6ng thoai h6a thanh m(>tdi~m
duQ'c
bien baa giac dcmdi~p len mi~n nhi lien B thl
mod(A)

= mod(B)

(2.3)

ChUng minh:

GQi 1 la PBHBG dcmdi~p mi~n A len mi~n B . Xet hai PBHBG g mi~n A
len hlnh

v~mh khan

A': rJ < Isl< RJ va

h

B' : r2 < It I < R2' Tir h~ qua 2.1, ta suy fa mod(A)=

mi~n

~
rJ

Bien

hlnh

vanh khan

va mod(B)= R2 .
r2

GQi rp= hot thl rpIa PBHBG dcmdi~p mi~n A len mi~n B'. Khi d6 theo h~
RJ
qua,2 1, ta co. - - -, tuc (2 .3) .
- R2

?

/,

/

rJ

r2

H~ qua 2.3 (Tinh dcmdi~u cua m6dun mi~n nhi lien)
Gia si'rcac mi~n nhi lien D va D] v6'im6dun tucmg tffig R va ~, c6 tinh
r

rj

chat D c DJ va D ngan cach hai thanh phan bien cua DJ' Khi d6
R
-:::;- RJ
r
rJ

(2.4 )

D!ng thuc Kaykhi va chi khi D == DJ'
ChUng minh:

<
Xet 1 la PBHBG dcmdi~p mi~n DJ len hlnh vanh khan HJ : rJ cho

Iwl

= RJ tucmg tffig bien trong cua DJ' Khi d6 mi~n nhi lien D(c DJ) qua phep


14

bien hinh 1 se trd thanh mi~n nhi li~n H v6i bi~n trong C1 (C1 baa quanh ho~c
trung duang troll

Iwl

= rl) tuong ling v6i bi~n trong cua D va bi~n ngoai Cz (Cz

chua trong duang troll

Iwl

= RI

ho~c trung Iwl= R1).

G9i S la di~n tich (trong) cua t~p md do Cz baa b9C va s la di~n tich (ngoai)

cua t~p dong do C] baa b9C.G9i g la PBHBG don di~p mi~n H l~n hin~ vanh khan
r < Iwl< R . Theoh~qua 2.2 ta co R .la m6duncua mi~n H va theob6 d~2.1
r

~ ~(~r

M~t khac, ta co bat ding thuc hi~n nhi~n S ~ iCR]z ~ TCr/
,s
.

Dodo

( ~' ) 2 ~ ~ ~ ( ~

r

TiI d6 e6 (2.4) v6i dang !hue Kay fa <0>(~1

r

~

~

~

(~r.

Theo b6 d~ 2.1, g-] la phep bien hinh nguQ'c tu hinh vanh khan l~n H phai la phep
bien hinh tuyen tinh nguy~n, C] va Cz phai la duang troll

Iwl

= r] va Iwl = R], tuc la

D=D1B6 de 2.2 (Mdn?ng b6 d~ 2.1 cho PBHKABG bdi Thao([181tr.S21))

Gia Slr w = I(z) la m9t PBHKABG hinh vanh khan (0 <)r < Izl< R« 00) l~n
m9t mi~n nhi li~n D kh6ng chua di~m

00,

v6'i bi~n trong C] va bi~n ngoai Cz sao

cho Izl = R tuong ling v6i Cz. G9i S la di~n tich (trong) cua mi~n do Cz baa b9C, s

la di~n tich (ngoai) cua t~p dong do C1baa b9C.Khi do, ta co
z

S~(:)KS.
1

Ding thuc xay ra ~ I(z) = alzlK-1 + b v6i cac hang so a(:t: va b.
z
0)
ChUngminh:

(2.5)


15

R6 rang t6n t<:timqt PBHBG don di~p t = g(w) bien mi~n D leD hlnh v~mh

khan rl < It I < RI saDcho

CI tuong Ung v6i du6ng troll It1= rl . Apdt;mg d~2.1cho

b6

phep bien hlnh nguqc g-I, ta c6

s ~(

(2.6)

~} ,

trong d6 ding thuc xity ra <=> = g-I (t)= alt + bl ' v6i cac hang so al (;t 0) va bl,
w
Mifltkhac phep bien hlnh hqp t = g[f(z)] la mqt PBHKABG hlnh vanh khan
r < Izi< R leD hlnh vanh khan rl < It I < RI trong d6

D~t z = ~)
1< H <:

~

~ ' ta tMy

Izi

= r tuong Ung ItI= rj .

; =t( ;) = ~ g[I(r;)]

Iii

m\Jt PBHKABG

bien

leD 1< < ~I trong d61;1 = 1 tuong Ung It I = 1, Den theo (2.2) va (1.6) ta
It I

c6:
I

!!l '?
rl

R

(r)

K,
I

trong d6 ding thuc xay ra

<=>

t(;) = cl;ITI ;,Icl= 1, hay
I

t = g[f(z)] = c4-lzlTI z,lcl= 1.
rK

Ket hqp bat ding thuc vita neu v6i (2.6) ta duqc (2.5) v6i ket lu~n v~ kha Dang xay
ra ding thuc trong d6 a = rlC~I(:;t0), b = bl

.

rK

2.2 Lj thuytt dt) ddi c,!c trf
Ly thuyet dq dai qTc tri tuc cac bat ditng thuc lien h~ gifra modun cua mqt tu
giac hay mi~n nhi lien, di~n tich mi~n d6 va dq dai ngtm nhat cua duang cong thuqc
mqt hQduang trai trong mi~n d6 tinh theo dq do bat ky duqc Ahlfors va Beuding

[1]

d~ xu6ng Dam 1950 da tro thanh cong C\lhfru hi~u d~ giiti rat nhi~u bai toaD toi un
trong ly thuet hlnh hQcham bien phuc.


16

Trang m~t phlmg z = x + iy, cho tu ghic cong Q vai cae dinh A,B,C,D co
th~

bien

baa

giac

don

di~p

Q' ={u+iv:O~u~a,O~v~b}

bOi w= f(z) = u + iv ten hlnh chfr nh~t

saocho A'B' =a,B'C' =b.

G9i:

- r la h9 cae dubng cong tron tUngkhuc

r

nam trang Q n6i hai e(;lnh d6i

di~n AB va CD cua tu giac cong Q.

-


"

la h9 cae ham d9 do p = p(z) ~ 0, Z E Q saDcho di~n tich cua tu giac Q

theo d9 do p la hfru h(;lntuc la Sp (Q)= jfp2 (z)cis < +00.
Q

- Ip (r) = fp(z ~dzl,r E r, P E r

B6de 2.3
Vai cae ky hi~u lIen, ta co:
S p (Q) ~ a l~ v6'i Ip = inf Ip
b
ref

(r) .

(2.7)

Ding thue xay ra <::)p(z) = 1/ (z~,z EQ.

ChUngminh: Xem ([19Jtr.64)ho~c ([41tr.11).

B6de 2.4
V6'icae gia thiet va ky hi~u nhu b6 d~ 2.3 nhung f la PBHKABG, ta co:
1a

Sp

(Q) ~--lp
Kb

2

.

(2.8)

Ding thuc co th~ xay ra trong (2.8) .
ChUng minh: Xem ([41tr.19-20).

2.3 Cae bat ddng thfte khae:
B6 de 2.5 (Mo rQng bat diing thuc Grotzsch[71tr.372) bOiThao Q191tr.63)
Gia Slr A la hlnh vanh khan v6'i R < Izl < 1 vai np(p EN, n E N u {O})nhat eiit
nam lIen cae dubng troll d6ng tam 0 saD eho A tIlIng v6'i chfnh no bai phep quay
z exp(2ni / p). Gia Slr f la PBHKABG mi~n A ten mi~n B nam trang 0 < !wi< 1saD


17

cho duang troll

Izi

= R tuong ilng v6i bi~n trong c giai h~n ml)t t~p dong chua g6c

t<;>a
dl), duang troll Izi = 1 tuong ilng vai bi~n ngoai C cua B. Hon nfra gia thiet B

trung vai chinh no boi phep quay wexp(2JZip). Khi do:
/
(2.9)

M,; T(p>R7,mJ
vai M = max~wl;
WEc},m = min~wl;w

EcX~0)
1

Ding thuc xay ra

trong (2.9) ~

f(z) = ah(t),Ial= l;t = bzlzlK-lIbl= 1, h Ia
,
1

phep bien hlnh baa giac hlnh VaM khan RK < It I < 1 l~n mi~n nhi li~n D sao cho
1
It I

= 1 tuong

ilng

C = {wllwl = 111tl = RK

vai

ilng

tuong

v6i

bi~n

trong

c = {wi = m}U {wlargw= 27rj p,m:S; Iwl:s; ,j = O..p-1}.
Iwi
/
M

ChUngminh: Xem ([191tr.63) hoiflc ([131tr.33).

B6de 2.6
Gia Slr A la hlnh vanh khan Q < Izl< R bi c~t d<;>cp(nEN, pEN u {O})cung
n
troll d6ng tam sao cho A trung vai chinh no boi phep quay zexp(2iJZ" Gia Slr f
/ p).
la ml)t phep bien hlnh K-a baa giac mi~n A l~n mi~n B nam trong 0 < Iwl< r:f) sao
cho

Izi

= Q tuong ilng vai bi~n trong C1 cua B , C1 baa g6c t<;>al), Izl= R tuong ilng
d
2n:
I-

vai bi~n ngoai C2, B trung vai chinh no boi phep quay we

Khi do

m2 ~

(2.10)

K

ml

T p, ( R ) ' M2

[

mj

~

.

ml2-

Q

trong do

P

]

= miniwllwE CJj = 1,2

M2 =max~~lwEC2X

1

Ding thuc trong (2.10) xay ra ~ f(z) = aH(t),Ial= 1,t = bzlzlK-lIbl= 1, H la phep
,
1

bien hlnh baa giac hlnh vanh khan

1

QK < It I < RK l~n mi~n nhi li~n E sao

1

cho It = QKwong
I

C2

1

ilng

Cj

= {wllwl = ml }

va

It I

= RK

= {wllwl = M2}U {wlm2:s;!wI:s;M2,argw = 27rj/ p,j = O..p -I}

tuong

ilng

vai


18

ChUng minh : B6 d~ 2.6 suy tir b6 d~. 2.5 nha cac phep bien d6i

B6 de 2.7 (Bat dfingthirc cua Gr~tzsch[91tr.220

; = Q , ~ = !!!l.
z
w

IDa r(mg)

Gia Slr w = I(z)la phep bien hinh K-a bao giac don di~p hinh v~mhkhan
A = {zl(O < Izl< I} len mi~n nhi lien B n~m trong hinh troll !wi< 1 gi6i h.~mbbi
<)r
bien ngoai C2 va bien trong C1 sao cho Izi= 1tuong lh1g v6i C2.
Khi do duang kinh D cua C1 thoa

(2.11)
D,; Do = 2T( 2,r* ,oJ
trong do D = Dokhi va chi khi C1 la d<;>an
thlmg nh~n w = 0 lam trung di~m.
tr.I8 - 22)
ChUng minh: (xem [141
Chli y: Neu hinh vanh khan A = {zio~ r ~ Izl~ R} thi

D <; Do

~

2RT( 2,r * ,0)

B6 de 2.8 (Bat dfing thirc cua K ~hnau[I2]
Trong m~t phing

IDa r(mg)

z cho m9t mi~n nhi lien A gi6i h<:lnbbi duang troll

Izi

=1

va nhM cttt L(t) = {zio~ Izl~ t« l),arg z = o}. G<;>i ; la tat ca cac ham w = f(z) co tinh
F

chat: m6i ham

1 E F;

bien bao giac don di~p mi~nA len mi~n Bf co bien ngoai

C (I) va bien trong c(/) sao cho L(t) thanh c(f) v6i duang kinh D(f) = 1,V EF; .
f
G<;>i (f),f
S

E F; la di~n tich (trong) cua mi~n do bien ngoai C(f) bao b<;>c.
Khi do ,

m9t ham 10 E F; thoa man:

S(/) ~ S(/o)' Vf E F;,
,

co d<:lng

In(1( ) In 1-

10 z

= (

- 7r
.
tz) ,
( ) In 1- t
t 2) va S fa = (

2)'

(2.12)
(2.13)


19

~
/-----------

/

-"'-"

;

\

z

-',

t}

A0
-"-.
~_/

/ .I

G:.v

Br

'-

\

w

~\1
O~t)

fa

Hinh 2.1.
Chztng minh: (xem [121tr.288).
Chti y: Trong

b6 d~ tren, n€u thay cae ham w = f{z 1z E A, f E F;. bOi cae ham

w = f{z), Z E A, thu<)e lap n?ng bon 1<; trong do D(f)
D > 0 hilt ky thi nha ph6p co clan w =~;, We f{z)
D
1

"

co D

(j)

-

= D D (f )

s(.r)

D2(f)

~

=D = const, V f

= ~ f{z),z
D

E 1<; vro

E A,f E F; , ro rang ta

1
"
"
"
"
d
= D D = 1 tUe f E F;.. TIT 0 V'f E F;. ta co:

(2.14)

s(~) ~S(r);,S(ro)=~,
D

Trong do f EF;.la ham tuong tfug vro f va fa xae dinh bOi(2.13).
B6 de'2.9: (Modun eua mi~n giro h~ bOi2 duang trOlll~h tfun).
N€u mi~n nhi lien A giro h~ bOi hIDduang tronlzl = 1 va Iz -

hi

= 7] vro

0 < h < 1,0<
r = r{7],h) = 1- h2 + 712 ~(1- h2 - 7]2) - 4h27]2
27]

(2.15)


20

Ch{(ng minh:

~ 1-za
u=-

/

z
1

1
A

Hinh 2. 2
Hi giao di~m cua duOng trOll Iz- ~ = 7] vm ~c thtJc ta CO

Gc=h-lj,

b=h+r],
Neu bu<)c z = 1 tuong Ung vm w = 1 thi theo dinh 19 v~ stJ t6n ~i va duy nh~t

cua PBHBG don di~p mi~n nhi li~n l~n hinh vanh khan va theo nguy~n 19 d6i xUng
thi t6n t~ duy nh~t di~m a E (c,b) saD cho qua phep bien hinh bien hiOOtrOll don vi

l~n thanh chinh no u=u(z)= z-a - = 1-az ,u(a) = O,u(l)= 1, mi~n A bien thanh
z-a
1-az

hinh vanh khan B: r < Iwl< 1.
Gia ta se xac dinh di~m a va ban kinh r do.
c-a
(
R6 rang, -r =u\c ) =-,
1-ac
n~n taco: u(c)=-u(b),

b-a
r=u (b) =1-ab

tuc

c-a

b-a

1-ac

= - ( 1-ab ) =>

=> c-abc

-a+a2b

c-a

a-b

1-ac

= 1-ab

= a-a2c

-b+abc

=> a2(b +c)- 2a(bc + 1)+ b + c = 0

vi

i. = (bc + 1Y - (b + cY = (1- b2X1- c2 ) > 0


21

nen a = be+ 1:t
A

~(1- b2Xl- e2)
b+e
- 1 < e < a < b < 1.

ta co di~u ki~n eua ala:

Bay gia ta ki~rn tra: neu rnqt trong hai nghi~rn kh6ng thoa di~u ki~n thi
nghi~rn con l<:ti htm ehtm se la nghi~rn.
e
A A
,.
That yay VOl a + = be+l+~(I-b2Xl-e2)
,
.
b+e

-

,a =

be+l-~(I-b2Xl-e2)

b+e

theo dinh 1.9Viet ta co:
+ --- b+e =1
a a - b+e

la+I>la-ll

IDa

la+lla-I = 1f => la+1 > 1 kh6ng

thoa.

,
A
V a y a = a- = be + 1- ~(1- b2Xl- e2) 1a ngh tern.
' A

.

b+e

Vi v~y r = u(b) -

'

b- be+ 1- ~(1- b2)(1- e2)
b+e
be + 1- ~ (1- b 2)(1- e 2)

I-b

(

b+e

J

Sau khi nit gQn ta co:
r

= 1- be -~(1- e2)(1- b2)
b-e

thay e = h - rl, b = h + rl vao ta co:
r- 1- (h + r]Xh- rl)- ~(1- (h + rl YXl- (h - rl Y)
(h + r]) - (h - r])
I
I-h2 +r2 -~(I-h2

]
-2hr ] -r2Xl-h2

2rl

_1-h2

tile (2.15).

+rl2 -~(I-h2
-rl2Y -4h2r]2
2r]

I
+2hr ] -r2)


22

Chli y: Neu trong b6 d~ 2.9 mi~n nhi lien A giai h.;mb6i
0 < h < r2'0 < r] < r2 - h thl nha phep co clan

r]

Ian 111qtdl1qc thay b6i .!!.- va!l
r2

r2

; =!..r2

Izl

= r2 va

Iz - hi = rJ vai

va ap dvng (2.15), trong d6 h va

sau khi gian uac ta dl1qc:

r = r(rpr2,h) = r22
-h2 +r]2-Jh2

-h2 -r/ l-4h2r]2

(2.16)

2r]r2

B6 de 2.10:

Trong m~t phiing w cho m9t tu giac cong B c6 hai c~nh n~m tren hai dl1O'ng
troll Iwl = c,lwl = d,O < c < d < +00.

D~t 0 < O(r) =

fl

c,

dlp I~00 ~ 2n-, trong d6 lp = arg w va Cr = B

n{w :1w 1=r}

va

gia sir O(r) lien wc tren do~n [C, ]. Ram so z = g(w) thlJc hi~n m9t phep bien hint
d
K-a bao giac mi~n B len mi~n A cua m~t phiing z.
Ta d~t: Cr = g(CJ trong d6 c ~ r ~ d .
Ron nua gia sir p = p(z) ~ 0 dl1qc xac dinh trong A (bao d6ng cua A )sao cho

Ip(Cr) = fp(z)ldzl~oo,cc,

va Sp(A) = ffp2 dxdy < 00, z = x + iy , t6n t~i theo nghIa Lebesgue
A

Ngoaira lp(Cr)~I~,c2d

K
Khi d6 ta c6 ~(l~)

ChUng minh

f r.Or
d()

c

~ Sp(A)

(2.17)

23

~
d
r+dr
D

(=lnw

~

I

dr
-

n(r)

r
-----l
H'mh2. 3
GQi Bo = B (\ {w:r < Iwl< r + dr}, e ~ r < r + dr ~ d va dr(> 0) rat be.
Do tinh lien tgc cua ham n(r) tren [e,d) va dr rat be lien ta co th~ thay
Bo bilng Eo = {wlr< Iwl
< a +n(r )}.

Ham t = Inw bi€n mi~n Bo thanh hinh chii' nh~t D co cae c~nh n(r)
r+dr

fir dr
'
In 1+In-=
~nhU hInh ve.

va

-

r

(

r )

r

dr
~

-;

dr

Vi v~y mod(Bo)~ mod( Bo) = n(r)=rn(r).
GQi dSp (A) la vi phan cua Sp (A) tuO'Ilg
tfug v6i [r,r +dr], tuc la di~n tich gfuIdung
cua Ao =g(Bo). Theo «31trI9) taco:

~~r dr

1 dr 2 (
( ) K r.n r
) K rn r
dSp A;::::( )lp\!,r+dr ;::::-()
Tu
tuc co (2.17).

do

d

~o r d

dr

.....

c
Sp(A) = fdSp(A);::::~ [r.n(r)


24

Cae danh cia eho lOp ham F.

2.4

D~ xay dvng cac danh gia cho lap ham G chung ta can cac danh gia sau day

= g-l

cho lap ham f E F tuc f

v6i g E G.

Be) de 2.11 (Thao [221tr.1049 -1050)

V6i
f

E

F, Z

E

cac

giii

thi€t

va

ky

hi~u

trong

chuang

1,

v6i

mQi

A,I < Rl < 00,1< R < 00 ta co cac danh gia sau day:

s'(oo,g)~ s(f) + PSl([) ~~~ I
:rr
-:rr

(

:rrRK
1

(2.18 )

)

2

psl(f)~

[nS'(oo,f)-S(f)]RIK

2

(

(2.19)

.

2

2

~ s(f)RK ~ S(R,f)~
J

:rrRK

(2.20)

S'(oo,f):rrRK

(2.21)

M(R,f)~ ~s~) R*
I

(2.22)

m(R,f)~ ~S'(oo,f)RK
1

M(R,f)

1

(2.23)

< 4PM'(oo,f)RK = Mo

(2.24)

m(R,f);" T(P,R~ 'M~T ;"1P,R~ ,or > 4~ Ri
4 ~ Izl~ < T(p,lzl:;,M-'f
-I

1

,;;1/(z1 <4~ M'«XJ,f1zl~

-I

-1

4PR1K
(

)

1

~c~d<4KM'(00,f)R1K

=M

1

=MJ

d
~
(I ~)- < 2PM'(oo,f)
1

ChUng minh:

(2.26)

(2.27)

C

D~ng thuc xay fa tit (2.18)

(2.25)

- (2.22) khi va chi khi f(z) = azlzlK-1v6i lal= 1.


25

Vi~c xay dvng cac danh gia tren chu yell dva VaGcac b6 d~ 2.1, va 2.2 (xem
([221tr, 049-1050)).
1
nhau F va G du<;>,c
th~
Quan h~ giiia " di;!oham" ti;!i 00 cua hai PBHKABG ngu<;>,c
hi~n bOi:
B6 de 2.12: (Thao [22], tr.1050)
Cho w=j(z)Ia
M'(oo,/»

anh xi;!K-a baa giac mQt mi~n chua z=oo v6i 1(00)=00 va

o. Neu g = I-I ta co:
-]

M'(oo,/)=

m*(00,g)K

(2,28)

-1

m'(oo,/)= M*(oo,g)K
ChUng minh:
Cho R du 100, d~t CR = {z: Izi= R} va C~ = I(CR). R5 rang t6n ti;!imQt di~m
w] E

c~ va mQt di~m z] E CR saD cho

M(R,/)= IwII Ij(zl~ = r.
=

D~t Lr = {w : !wi =r} va L', = g(Lr) chu Y

Ia Lrnflm ngoai

ho~c tiep xuc v6i C R trong

1< Iwl < 00 , ta co:
m(r,g)= Ig(wI~= IzII= R.
TudoVl M'(oo,/) > 0 tacoketIu~n
r

m(r,g)
'
M (00 I) = I1m M(R,/) = I1m
= I1m
,
R~ifj
~
r~ifj
~
( rK )
RK
mr,gK )
(
'

'

'

r~ifj

Tuong tv ta co (2.28).

-I
K

*
=m

=!.

(00 g ) K
'