Tải bản đầy đủ (.pdf) (12 trang)

Một số dạng toán về số phức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (336.07 KB, 12 trang )

1

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC
Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức
Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn
3
18 26
z i
= +

Giải:
3
18 26
z i
= +
( )
( ) ( )
3 2
3
2 3 3 2
2 3
3 18
18 26 18 3 26 3
3 26
x xy
x yi i x y y x xy
x y y


− =

⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −

− =



Gi

i ph
ươ
ng trình b

ng cách
ñặ
t y=tx ta
ñượ
c
1
3, 1
3
t x y
= ⇒ = =
. Vậy z=3+i
Ví dụ 2) Cho hai số phức
1 2
;
z z
thoả mãn

1 2 1 2
; 3
z z z z= + = Tính
1 2
z z


Giải:
Đặ
t
1 1 1 2 2 2
;
z a bi z a b i
= + = +
. Từ giả thiết ta có
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b

+ = + =


+ + + =




( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 1
a b a b a a b b z z
⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − =

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức
Ví dụ 1) Giải phương trình sau:
2
8(1 ) 63 16 0
z i z i
− − + − =

Giải:
Ta có
( )
2
2
' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8
i i i i
∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là
1 2
5 12 , 3 4
z i z i
= − = +

Ví dụ 2) Giải phương trình sau:

2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0
i z i z i
+ − − − − =

Giải:
Ta có

’ = 4(2 – i)
2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
z
1
=
i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2

−=


=
+

=
+
+


z
2
=
i
ii
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
−−=



=
+

=
+



Ví dụ 3) Giải phương trình
3 2
9 14 5 0
z z z
− + − =

Giải:
Ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v

i
(
)
(
)
2

2 1 4 5 0
z z z
− − + =
. T


ñ
ó ta suy ra
ph
ươ
ng trình có 3 nghi

m là
1 2 3
1
; 2 ; 2
2
z z i z i
= = − = +

Ví dụ 4) Giải phương trình:
3 2
2 5 3 3 (2 1) 0
z z z z i
− + + + + =
biết phương trình có
nghiệm thực
Giải:
Vì ph
ươ

ng trình có nghi

m th

c nên
3 2
2 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z

− + + =

+ =

1
2
z

⇒ =
tho
ả mãn cả
hai ph
ương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
2
2 1 3 3 0

z z z i
+ − + + =
. Giải phương trình ta tìm ñược
1
; 2 ; 1
2
z z i z i
= − = − = +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2

Ví dụ 5) Giải phương trình:
3 2
(1 2 ) (1 ) 2 0
z i z i z i
+ − + − − =
biết phương trình có
nghiệm thuần ảo:
Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có
( ) ( )
3 2
2 3 2
(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0
bi i bi i bi i b b b b b i
+ − + − − = ⇔ − + − + + − =

2
3 2

0
1
2 2 0
b b
b z i
b b b

− =

⇔ ⇒ = ⇒ =

− + + − =


là nghi

m, t


ñ
ó ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v

i
(

)
(
)
2
(1 ) 2 0
z i z i z
− + − + =
. Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm
Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau:
2
z z
=
.
Giải:
Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có
( )
2
a bi a bi
+ = +

2 2
2
a b a
ab b

− =


= −


Gi
ải hệ trên ta tìm ñược
1 3
( , ) (0;0),(1;0),( ; )
2 2
a b = − ±
. V
ậy phương
trình có 4 nghi
ệm là
1 3
0; 1;
2 2
z z z i
= = = − ±
Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức:
Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:
1 2 2
z i z i
+ − = − +

5
z i− =
Giải:
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i
 + + − = − + −



+ − =



( )
( )
2
2 2 2
2
2
1 ( 2) ( 2) (1 )
1 5
x y x y
x y

+ + − = − + −



+ − =


2
3
10 6 4 0
y x
x x
=




− − =

1, 3
x y
⇔ = =
hoặc
2 6
,
5 5
x y
= − = −
. Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện.
Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn
;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i

= ∈
− −

a) Tìm m ñể
1
.
2
z z

=

b)Tìm m ñể
1
4
z i
− ≤

c) Tìm số phức z có modun lớn nhất.
Giải:
a) Ta có
(
)
(
)
( )( )
( )
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
1 2
(1 ) 2 (1 2 )
1 2
1 2 1 2
1 4
i m m mi
i m m m m m m

z
m mi
m mi m mi
m m
− − −
− − − + + − +
= = =
− +
− + − −
− +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
3

( )
2 2
2
2 2 2 2
2
(1 ) (1 ) 1 1
1 1 1 1
1
m m i m m m
i z i
m m m m
m
+ + +
= = + ⇒ = −
+ + + +

+

( )
2
2
2
2
1 1 1
. 1 2 1
2 2
1
m
z z m m
m
+
⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
+

b) Ta có
2
2 2 2 2
1 1 1 1
1
4 1 1 4 1 1 4
m m m
z i i i
m m m m
 
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤
 

+ + + +
 


2 4 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
16 1
(1 ) (1 ) 16 1 6
15 15
m m m
m m m
m m m
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤
+ + +

c) Ta có
( )
2
max
2
2
2
1 1
1 | | 1 0
1
1
m
z z m

m
m
+
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
+
+

Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện
2 4 5
z i− − = Tìm số phức z có
modun lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra
( ) ( )
2 2
2 4 5
x y
− + − =
Suy ra tập hợp
ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính
5
R =

D
ễ dàng có ñược
(2 5 sin ;4 5 cos )
M
α α
+ +
. Modun s

ố phức z chính là ñộ dài véc tơ
OM.
Ta có |z|
2
=
2 2 2
(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )
OM
α α α α
= + + + = + +

Theo BDT Bunhiacopxki ta có
(
)
2 2 2
(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5
α α α α
+ ≤ + + =

5 sin 2cos 5
α α
⇒ − ≤ + ≤
5 3 5
z⇒ ≤ ≤ . Vậy
min
1 2
| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2
5 5
z x y z i
α α α α

− −
= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
max
1 2
| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6
5 5
z x y z i
α α α α
= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +

Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
.Tìm số phức z có
moodun nhỏ nhất.
Giải:
Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 4 2 4 0
x y x y x y
− + − = + − ⇔ + − =
Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn
s
ố phức z là ñường thẳng y=-x+4
Ta có
2 2 2 2 2 2
(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2

z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ ñó suy
min
2 2 2 2 2 2
z x y z i
= ⇔ = ⇒ = ⇒ = +

Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết:
a)
3
z
z i
=

b)
3 4
z z i
= − +
c)
4
z i z i
− + + =

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
4

Giải:
Gọi z=x+yi
a) Từ giả thiết ta có

2 2 2 2 2 2
9 9
3 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − =
V
ậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm
9 3
(0; ),
8 8
I R
=

b) T
ừ giả thiết ta có
( )
2
2 2 2
3 (4 ) 6 8 25
x y x y x y
+ = − + − ⇔ + =
. Vậy tập hợp các ñiểm
M là
ñường thẳng 6x+8y-25=0
c) Gi
ả sử z =x+yi thì
4
z i z i
− + + =
( )

( )
2 2
2 2
1 1 4
x y x y
⇔ + − + + + = ⇔

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2
1 16
1 4
2 1 4
1 16 8 1 1
x y
x y
x y y
x y x y x y



+ + ≤
+ + ≤
 
⇔ ⇔
 
+ − = +
 
+ − = − + + + + +



( )
( )
2
2
2
2
2 2
2 2 2
1 16(1)
1 16
4 4 8 4 8 16 1(2)
3 4
4
4(3)
x y
x y
x y
x y y y y
y

y

+ + ≤

+ + ≤




⇔ + + + = + + ⇔ + =
 
 
≥ −
≥ −
 



Ta th

y các
ñ
i

m n

m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung
ñộ
các
ñ

i

m n

m trên (Elip)
luôn tho

mãn
ñ
i

u ki

n y >-4. V

y t

p h

p
ñ
i

m M là Elip có pt
2 2
1
3 4
x y
+ =
.


Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số
phức
(
)
1 3 2
i z
ω
= + +
biết rằng số phức z thoả mãn:
1
z
− ≤
2.
Giải:

Đặ
t
(
)
,
z a bi a b R
= + ∈

Ta có
1
z
− ≤
2
( )

2
2
1 4
a b
⇔ − + ≤
(1)
T

( )
( )
( )
3 2 3 1 3
1 3 2 1 3 2
3 3 3( 1)
x a b x a b
i z x yi i a bi
y a b y a b
ω
 
= − + − = − +
 
= + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔
 
= + − = − +
 
 
T
ừ ñó
( )
(

)
( )
2
2 2
2
3 3 4 1 16
x y a b
 
− + − ≤ − + ≤
 
do (1)
V
ậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn
( )
(
)
2
2
3 3 16
x y
− + − ≤
; tâm
(
)
3; 3
I
, bán
kính R=4.
Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức z sao cho số

2
2
z
z

+
có acgumen bằng
3
π
.
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
5

Giả sử z=x+yi, thì
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2 2
2
2
2 2

2
x yi x yi
x yi
z
z x yi
x y
− + + +
   
− +

   
= =
+ + +
+ +

(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 2
4 4
2 2 2
x y yi x x
x y y
i

x y x y x y
− + + + − +
+ −
= = +
+ + − + − +
(1)
Vì s

ph

c
2
2
z
z

+
có acgumen bằng
3
π
, nên ta có:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4 4
cos sin
3 3
2 2

x y y
i i
x y x y
π π
τ
+ −
 
+ = +
 
 
− + − +
v

i
0
τ
>

( )
( )
2 2
2
2
2
2
4
2
2
4 3
2

2
x y
x y
y
x y
τ
τ

+ −
=

− +




=

− +



T
ừ ñó suy ra y>0 (1) và
2 2
2 2 2
2 2
4 4 2 4
3 4 (2)
4

3 3 3
y y
x y x y
x y
   
= ⇔ + − = ⇔ + − =
   
+ −
   
.T
ừ (1) và (2) suy ra
t
ập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox).
Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức:
Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu
1
z

thì
2 1
1
2
z
iz


+

Giải:
Gi


s

z =a+bi (a, b

R) thì
2 2 2 2
1 1
z a b a b
= + ≤ ⇔ + ≤
. Ta có
2 2
2 2
4 (2 1)
2 1 2 (2 1)
2 (2 )
(2 )
a b
z a b i
iz b ai
b a
+ −
− + −
= =
+ − +
− +
.Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương
v
ới
2 2

2 2 2 2 2 2
2 2
4 (2 1)
1 4 (2 1) (2 ) 1
(2 )
a b
a b b a a b dpcm
b a
+ −
≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒
− +

Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện
3
3
1
2
z
z
+ ≤
. Chứng minh
rằng:
1
2
z
z
+ ≤

Giải:
Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức

1 2
,
z z
bất kỳ ta có
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
Ta có
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3z z z z z z z
z z z z z z z
   
+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +
   
   

Đặt
1
z
z
+
=a ta có
( )( )
2
3
3 2 0 2 1 0
a a a a dpcm

− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
6

II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
(
)
(
)
1 cos sin 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
 

 

Giải:

a)
(
)
(
)
( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − −
=
+ + + +

2
2
2sin 2 sin cos sin cos
2 2 2 2 2
tan tan
2 2
2cos 2 sin cos cos sin
2 2 2 2 2
i i
i

i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
= = = −
+ +

- Khi
tan 0
2
ϕ
>
d
ạng lượng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2

ϕ
<
dạng lượng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− +
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2
ϕ
=
thì không có dạng lượng giác.

(
)
(
)
) 1 cos sin 1 cos sin
2sin sin cos .cos cos sin
2 2 2 2 2 2
b i i

i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + + 
 
   
= − +
   
   

2sin cos isin
2 2
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d

ng l

ượ
ng giác không xác
ñị
nh.
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d

ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
sin 0
ϕ
<

thì d

ng l
ượ
ng giác là:
( 2sin ) cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 
   
 

Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +

b)
[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
Giải:
a)
( )
2
sin cos
1 cos sin
1 cos sin
2 2
tan tan
1 cos sin 2 2
2cos 2 sin .cos cos sin
2 2 2 2 2
i
i
i
i
i
i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ

− +
− −
= = = −
+ +
+ −

Khi
tan
2
ϕ
>0 thì dạng lượng giác là
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 
   
− + −
   
 
   
 

TEL:0988844088

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
7

Khi
tan
2
ϕ
<0 thì dạng lượng giác là -
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 
   
+
   
 
   
 

Khi
tan
2
ϕ
=0 thì không tồn tại dạng lượng giác.
b)

[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +

2sin sin cos .2cos cos sin
2 2 2 2 2 2
2sin cos sin
2 2
i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ
   
= − +
   
   
 
   
= − + −
   
 
   
 


-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d

ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d

ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + −
   

 
   
 

- Khi
sin 0
ϕ
<
thì d

ng l
ượ
ng giác là:
( )
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 
   
 

Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2

2 2 3
z i
= − +

Giải:
Ta có:

2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +
 
 

Do
ñ
ó:
2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +
 

 

2 2
2 cos sin
1 3
3 3
1 3
2 cos sin
3 3
z i
z i
z i
z i
π π
π π

 
= +
 


= +
 

⇔ ⇔


 
= − −



= − +

 
 


T


ñ
ó suy ra ph

n th

c và ph

n

o c

a z t
ươ
ng

ng là 1 và
3
ho

c -1 và

3


Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức:
(
)
1 3
z i− +
biết một acgumen của z
bằng
3
π

Giải:
z có m

t acgumen b

ng
3
π

nên
1 3
2 2
z z i
 
= +
 
 

 

Do
ñ
ó:

(
)
1 3
z i− +
=
1 3
( 2)
2 2
z i
 
− +
 
 
 

- Khi
2
z
>
, m

t aacgumen c

a

(
)
1 3
z i− +

3
π

- Khi
0 2
z
< <
, một acgumen của
(
)
1 3
z i− +

4
3
π

TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
8

- Khi
2
z

=
thì
(
)
1 3
z i− +
=0 nên acgumen không xác ñịnh.
Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là
ϕ
, tìm một
acgumen của:
a)
2
2
z
b)
1
2
z

c)
z z
+
d)
2
z z
+

Giải:


1
z
=
, z có m

t acgumen là
ϕ
. Do
ñ
ó
cos sin
z i
ϕ ϕ
= +

a)
(
)
(
)
2 2
cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = + ⇒ = −

V
ậy 2z
2
có một acgumen là

2
ϕ

b)
(
)
cos sin cos sin 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = − ⇒ = −
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1
cos sin cos sin
2 2
2
1 1 1
cos sin cos sin
2 2
2
i i
z
i i
z
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π

⇒ = − − − = +
⇒ − = − − = + + +

V

y
1
2
z

có m

t acgumen là
ϕ π
+

c) Ta có:
2cos
z z
ϕ
+ =

N
ếu
cos 0
ϕ
>
thì có một acgumen là 0
N
ếu

cos 0
ϕ
<
thì có một acgumen là
π

N
ếu
cos 0
ϕ
=
thì acgumen không xác ñịnh.
d)
2
cos2 sin 2 , cos sin
z z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + = −

( )
2
3 3
cos2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin
2 2 2 2
3
2cos cos sin
2 2 2
z z i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒ + = + + − = +
 
= +
 
 

V
ậy acgumen
2
z z
+

2
ϕ
nếu
3
cos 0
2
ϕ
>
, là
2
ϕ
π
+
nếu
3
cos 0

2
ϕ
<
và không xác ñịnh
n
ếu
3
cos 0
2
ϕ
=

Ví dụ 4) Cho số phức
1 cos sin
7 7
z i
π π
= − −
. Tính môñun, acgumen và viết z dưới
dạng lượng giác.
Giải:
Ta có:
2
2
8 4
1 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos
7 7 7 7 7
z
π π π π π
     

= − + = − = + =
     
     

Đặt
(
)
arg
z
ϕ
= thì
2
8
sin sin
4
7 7
tan cot tan
4
7 14
1 cos 2sin
7 7
π π
π π
ϕ
π π

 
= = = = −
 
 



www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
9

Suy ra:
,
14
k k z
π
ϕ π
= − + ∈

Vì ph
ần thực
1 cos 0
7
π
− >
, phần ảo
sin 0
7
π
− <
nên chọn một acgumen là
14
π



V
ậy
4
2cos cos isin
7 14 14
z
π π π
 
   
= − + −
   
 
   
 

Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho
1
3
z
=
và một
acgumen của
1
z
i
+

3
4
π



Giải:
Theo giả thiết
1
3
z
=
thì
( )
1
cos sin
3
z i
ϕ ϕ
= +

( )
( ) ( )
( )
1 1
cos sin cos sin
3 3
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
⇒ = − = − + −


1 2
1 2 2 cos sin

2 2 4 4
i i i
π π
 
 
+ = + = +
 
 
 
 
 

Nên
1
os sin
1 4 4
3 2
z
c i
i
π π
ϕ ϕ
 
   
= − − + − −
   
 
+
   
 


Do
ñ
ó:
3
2 2 , .
4 4 2
k k k
π π π
ϕ π ϕ π
− − = − + ⇔ = + ∈Ζ
v

y
1
os sin .
3 2 2
z c i
π π
 
= +
 
 

Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho:
3
1
z i
z i
+

=
+
và z+1 có một ácgumen là
6
π


Giải:
T

gi

thi
ế
t
3
1
z i
z i
+
=
+
( ) ( )
2 2
2 2
3 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y


+ = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +

= −

z+1 có 1 acgumen b

ng
6
π


t

c là
( )
1 [ os sin ] 3
6 6 2
z c i i
π π τ
τ
   
+ = − + − = −
   
   
v

i r>0.
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
3
1

4
2
2 3 1 2
2 3 1
2
2
x
z i
x
τ
τ
τ

+ =

=

 
⇔ ⇒ = − −
 
= −



− = −



Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP
Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1

a)
0 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C

+ + + + +
= − + − + −

b)
1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
− +
+ + + + +
= − + − + −
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
10

Xét
( )
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 ( )
n
n n n n
n n n n n n n n n n
i C iC i C i C C C C i C C C
+
+ + +
+ + + + + + + + + +
+ = + + + + = − + − + − + −
M
ặt khác ta lại có:
( )
2 1
2 1
(2 1) (2 1)
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π π
+
+
+ +
   
+ = + ⇒ + = +
 
 

   

=
(2 1) (2 1) (8 3) (8 3)
2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 4 4 4
n n
n n k k
i i
π π π π
+ + + +
   
+ = +
   
   

3 3
2 2 cos sin 2 2
4 4
n n n
i i
π π
 
= + = − +
 
 

T
ừ ñó ta có
a) S=-2

n

b) S=2
n

Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau:
a)
2 4 6
1
n n n
S C C C= − + − +

b)
1 3 5 7

n n n n
S C C C C= − + − +
Giải:
Xét
( )
0 1 2 2 2 4 1 3 5 7
1 1 ( )
n
n n
n n n n n n n n n n
i C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − +
( )
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n

n
n n
i i i i
π π π π
   
+ = + ⇒ + = +
 
 
   

T
ừ ñó ta có kết quả
a)
2 cos
4
n
n
S
π
=
b)
2 sin
4
n
n
S
π
=

Ví dụ 3) Chứng minh rằng:

3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
+ + + = +
 
 

Giải:
Ta có
0 1 2 3
2
n n
n n n n n
C C C C C
= + + + + (1)
Xét
3
2 2
cos sin 1
3 3
i
π π
ε ε

= + ⇒ =

Ta có
( )
0 1 2 2 0 1 2 2 3 4
1
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + + (2)
(
)
2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4
1 (3)
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + +

Ta có
2 2
1 0;1 os sin ;1 os sin
3 3 3 3
c i c i
π π π π
ε ε ε ε

+ + = + = − + = +

C

ng (1) (2) (3) theo v
ế
ta có
( )
( ) ( )
( )
2 0 3 6 0 3 6
2 1 1 3 2 2cos 3
3
n
n
n n
n n n n n n
n
C C C C C C
π
ε ε
+ + + + = + + + ⇔ + = + + +

3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n

C C
π
 
⇔ + + + = +
 
 


TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
11

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Giải phương trình sau trên tập số phức:
3
)
a z z
=

) 3 4
b z z i
+ = +

( )
2
2
) 4 3
c z z i
− =

2
) 2 1 0
d z z i
+ + − =

2
) 4 5 0
e z z
+ + =

2
)(1 ) 2 11 0
f i z i
+ + + =

2
) 2( ) 4 0
g z z z
− + + =

2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình:
) 1 4 2 5
x
a i

+ − ≤

2
1 7
) log 1

4
i
b x
+
− ≤

2
1 2 2
)1 log 0
2 1
x i
c
 + + − 
− ≥
 

 

3) Tìm số phức z sao cho
( 2)( )
A z z i
= − +
là số thực
4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện
7
5;
1
z i
z
z

+
=
+
là số thực
5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn
ñiều kiện
( )
2
2
) 9
a z z
− =

2
) 4
2
z i
b
z i

=
+

)3 3
c z i z z i
+ = + −

) 3 4 2
d z i
+ − =


) 1
e z z i
+ ≥ +

) 4 3
f z z i
= + −

2
) 1
2
z i
g
z i

>
+

)2 2
h z i z z i
− = − +

1
3
2 2
)log ( ) 1
4 2 1
z
k

z
− +
>
− −

6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện
3
2 3
2
z i
− + =
. Tìm số phức z có modun lớn
nhất,nhỏ nhất.
7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện
(
)
(
)
1 2
z z i
− + là số thực và
z
nhỏ nhất.
8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết
z z i z
+ =

9) Tìm số phức z thoả mãn
2
2

z z
+ =

2
z
=

10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z
 − = − +


− =



1 2
1 2
3
)
1 1 3
5
z z i
b

i
z z
+ = −


+

+ =



2
1 2
2
2 1
1 0
)
1 0
z z
c
z z

− + =


− + =



12 5

8 3
)
4
1
8
z
z i
d
z
z


=






=




3 2
2010 2011
2 2 1 0
)
1 0
z z z

e
z z

+ + + =


+ + =



11) Cho phương trình
3 2
2 (2 1) (9 1) 5 0
z i z i z i
− + + − + =
có nghiệm
thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
12) Tìm phần thực phần ảo của
2011
2011
1
w
w
z = +
biết
1
w 1
w
+ =


13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo:
2 6
)
3 3
n
i
a z
i
 
− +
=
 
 
+
 

4 6
)
1 5
n
i
b z
i
+
 
=
 
− +
 


7 4
)
4 3
n
i
c z
i
+
 
=
 

 

3 3
)
3 3
i
d z
i
 

=
 
 

 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

12

14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng
( )
0 2 4 6 2 2
2 2 2 2 2
2
3 9 27 3 2 cos
3
n
n n
n n n n n
n
C C C C C
π
− + − + + − =
15) Tìm số phức z sao cho
2
z z
= −
và một acgumen của z-2 bằng một acgumen
của z+2 cộng với
2
π

16) Giải phương trình
a)
2 2 0
0
2

tan 10 4 2
os10
z
z i
c
= + + −
b)
2 2 0
0
2
cot 12 6 7
sin12
z
z i
= + + −


Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

×