Một số dạng toán về số phức

1

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC
Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức
Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn
3
18 26
z i
= +

Giải:
3
18 26
z i
= +
( )
( ) ( )
3 2
3
2 3 3 2
2 3
3 18
18 26 18 3 26 3
3 26
x xy
x yi i x y y x xy
x y y


− =

⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −

− =



Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ằ
ng cách
ñặ
t y=tx ta
ñượ
c
1
3, 1
3
t x y
= ⇒ = =
. Vậy z=3+i
Ví dụ 2) Cho hai số phức
1 2
;
z z
thoả mãn

1 2 1 2
; 3
z z z z= + = Tính
1 2
z z
−

Giải:
Đặ
t
1 1 1 2 2 2
;
z a bi z a b i
= + = +
. Từ giả thiết ta có
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b

+ = + =


+ + + =




( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 1
a b a b a a b b z z
⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − =

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức
Ví dụ 1) Giải phương trình sau:
2
8(1 ) 63 16 0
z i z i
− − + − =

Giải:
Ta có
( )
2
2
' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8
i i i i
∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là
1 2
5 12 , 3 4
z i z i
= − = +

Ví dụ 2) Giải phương trình sau:

2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0
i z i z i
+ − − − − =

Giải:
Ta có
∆
’ = 4(2 – i)
2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
z
1
=
i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2

−=
−
−
=
+
−
=
+
+
−

z
2
=
i
ii
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
−−=
−

−
=
+
−
=
+
−
−

Ví dụ 3) Giải phương trình
3 2
9 14 5 0
z z z
− + − =

Giải:
Ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)
2

2 1 4 5 0
z z z
− − + =
. T
ừ

ñ
ó ta suy ra
ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m là
1 2 3
1
; 2 ; 2
2
z z i z i
= = − = +

Ví dụ 4) Giải phương trình:
3 2
2 5 3 3 (2 1) 0
z z z z i
− + + + + =
biết phương trình có
nghiệm thực
Giải:
Vì ph
ươ

ng trình có nghi
ệ
m th
ự
c nên
3 2
2 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z

− + + =

+ =

1
2
z
−
⇒ =
tho
ả mãn cả
hai ph
ương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
2
2 1 3 3 0

z z z i
+ − + + =
. Giải phương trình ta tìm ñược
1
; 2 ; 1
2
z z i z i
= − = − = +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2

Ví dụ 5) Giải phương trình:
3 2
(1 2 ) (1 ) 2 0
z i z i z i
+ − + − − =
biết phương trình có
nghiệm thuần ảo:
Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có
( ) ( )
3 2
2 3 2
(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0
bi i bi i bi i b b b b b i
+ − + − − = ⇔ − + − + + − =

2
3 2

0
1
2 2 0
b b
b z i
b b b

− =

⇔ ⇒ = ⇒ =

− + + − =


là nghi
ệ
m, t
ừ

ñ
ó ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(

)
(
)
2
(1 ) 2 0
z i z i z
− + − + =
. Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm
Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau:
2
z z
=
.
Giải:
Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có
( )
2
a bi a bi
+ = +

2 2
2
a b a
ab b

− =
⇔

= −


Gi
ải hệ trên ta tìm ñược
1 3
( , ) (0;0),(1;0),( ; )
2 2
a b = − ±
. V
ậy phương
trình có 4 nghi
ệm là
1 3
0; 1;
2 2
z z z i
= = = − ±
Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức:
Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:
1 2 2
z i z i
+ − = − +
và
5
z i− =
Giải:
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i
 + + − = − + −



+ − =



( )
( )
2
2 2 2
2
2
1 ( 2) ( 2) (1 )
1 5
x y x y
x y

+ + − = − + −

⇔

+ − =


2
3
10 6 4 0
y x
x x
=


⇔

− − =

1, 3
x y
⇔ = =
hoặc
2 6
,
5 5
x y
= − = −
. Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện.
Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn
;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i
−
= ∈
− −

a) Tìm m ñể
1
.
2
z z

=

b)Tìm m ñể
1
4
z i
− ≤

c) Tìm số phức z có modun lớn nhất.
Giải:
a) Ta có
(
)
(
)
( )( )
( )
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
1 2
(1 ) 2 (1 2 )
1 2
1 2 1 2
1 4
i m m mi
i m m m m m m

z
m mi
m mi m mi
m m
− − −
− − − + + − +
= = =
− +
− + − −
− +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
3

( )
2 2
2
2 2 2 2
2
(1 ) (1 ) 1 1
1 1 1 1
1
m m i m m m
i z i
m m m m
m
+ + +
= = + ⇒ = −
+ + + +

+

( )
2
2
2
2
1 1 1
. 1 2 1
2 2
1
m
z z m m
m
+
⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
+

b) Ta có
2
2 2 2 2
1 1 1 1
1
4 1 1 4 1 1 4
m m m
z i i i
m m m m
 
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤
 

+ + + +
 
⇔

2 4 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
16 1
(1 ) (1 ) 16 1 6
15 15
m m m
m m m
m m m
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤
+ + +

c) Ta có
( )
2
max
2
2
2
1 1
1 | | 1 0
1
1
m
z z m

m
m
+
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
+
+

Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện
2 4 5
z i− − = Tìm số phức z có
modun lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra
( ) ( )
2 2
2 4 5
x y
− + − =
Suy ra tập hợp
ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính
5
R =

D
ễ dàng có ñược
(2 5 sin ;4 5 cos )
M
α α
+ +
. Modun s

ố phức z chính là ñộ dài véc tơ
OM.
Ta có |z|
2
=
2 2 2
(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )
OM
α α α α
= + + + = + +

Theo BDT Bunhiacopxki ta có
(
)
2 2 2
(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5
α α α α
+ ≤ + + =

5 sin 2cos 5
α α
⇒ − ≤ + ≤
5 3 5
z⇒ ≤ ≤ . Vậy
min
1 2
| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2
5 5
z x y z i
α α α α

− −
= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
max
1 2
| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6
5 5
z x y z i
α α α α
= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +

Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
.Tìm số phức z có
moodun nhỏ nhất.
Giải:
Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 4 2 4 0
x y x y x y
− + − = + − ⇔ + − =
Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn
s
ố phức z là ñường thẳng y=-x+4
Ta có
2 2 2 2 2 2
(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2

z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ ñó suy
min
2 2 2 2 2 2
z x y z i
= ⇔ = ⇒ = ⇒ = +

Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết:
a)
3
z
z i
=
−
b)
3 4
z z i
= − +
c)
4
z i z i
− + + =

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
4

Giải:
Gọi z=x+yi
a) Từ giả thiết ta có

2 2 2 2 2 2
9 9
3 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − =
V
ậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm
9 3
(0; ),
8 8
I R
=

b) T
ừ giả thiết ta có
( )
2
2 2 2
3 (4 ) 6 8 25
x y x y x y
+ = − + − ⇔ + =
. Vậy tập hợp các ñiểm
M là
ñường thẳng 6x+8y-25=0
c) Gi
ả sử z =x+yi thì
4
z i z i
− + + =
( )

( )
2 2
2 2
1 1 4
x y x y
⇔ + − + + + = ⇔

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2
1 16
1 4
2 1 4
1 16 8 1 1
x y
x y
x y y
x y x y x y



+ + ≤
+ + ≤
 
⇔ ⇔
 
+ − = +
 
+ − = − + + + + +



( )
( )
2
2
2
2
2 2
2 2 2
1 16(1)
1 16
4 4 8 4 8 16 1(2)
3 4
4
4(3)
x y
x y
x y
x y y y y
y

y

+ + ≤

+ + ≤




⇔ + + + = + + ⇔ + =
 
 
≥ −
≥ −
 



Ta th
ấ
y các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung
ñộ
các
ñ

i
ể
m n
ằ
m trên (Elip)
luôn tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n y >-4. V
ậ
y t
ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M là Elip có pt
2 2
1
3 4
x y
+ =
.

Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số
phức
(
)
1 3 2
i z
ω
= + +
biết rằng số phức z thoả mãn:
1
z
− ≤
2.
Giải:

Đặ
t
(
)
,
z a bi a b R
= + ∈

Ta có
1
z
− ≤
2
( )

2
2
1 4
a b
⇔ − + ≤
(1)
T
ừ
( )
( )
( )
3 2 3 1 3
1 3 2 1 3 2
3 3 3( 1)
x a b x a b
i z x yi i a bi
y a b y a b
ω
 
= − + − = − +
 
= + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔
 
= + − = − +
 
 
T
ừ ñó
( )
(

)
( )
2
2 2
2
3 3 4 1 16
x y a b
 
− + − ≤ − + ≤
 
do (1)
V
ậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn
( )
(
)
2
2
3 3 16
x y
− + − ≤
; tâm
(
)
3; 3
I
, bán
kính R=4.
Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức z sao cho số

2
2
z
z
−
+
có acgumen bằng
3
π
.
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
5

Giả sử z=x+yi, thì
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2 2
2
2
2 2

2
x yi x yi
x yi
z
z x yi
x y
− + + +
   
− +
−
   
= =
+ + +
+ +

(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 2
4 4
2 2 2
x y yi x x
x y y
i

x y x y x y
− + + + − +
+ −
= = +
+ + − + − +
(1)
Vì s
ố
ph
ứ
c
2
2
z
z
−
+
có acgumen bằng
3
π
, nên ta có:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4 4
cos sin
3 3
2 2

x y y
i i
x y x y
π π
τ
+ −
 
+ = +
 
 
− + − +
v
ớ
i
0
τ
>

( )
( )
2 2
2
2
2
2
4
2
2
4 3
2

2
x y
x y
y
x y
τ
τ

+ −
=

− +

⇒


=

− +



T
ừ ñó suy ra y>0 (1) và
2 2
2 2 2
2 2
4 4 2 4
3 4 (2)
4

3 3 3
y y
x y x y
x y
   
= ⇔ + − = ⇔ + − =
   
+ −
   
.T
ừ (1) và (2) suy ra
t
ập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox).
Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức:
Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu
1
z
≤
thì
2 1
1
2
z
iz
−
≤
+

Giải:
Gi

ả
s
ử
z =a+bi (a, b
∈
R) thì
2 2 2 2
1 1
z a b a b
= + ≤ ⇔ + ≤
. Ta có
2 2
2 2
4 (2 1)
2 1 2 (2 1)
2 (2 )
(2 )
a b
z a b i
iz b ai
b a
+ −
− + −
= =
+ − +
− +
.Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương
v
ới
2 2

2 2 2 2 2 2
2 2
4 (2 1)
1 4 (2 1) (2 ) 1
(2 )
a b
a b b a a b dpcm
b a
+ −
≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒
− +

Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện
3
3
1
2
z
z
+ ≤
. Chứng minh
rằng:
1
2
z
z
+ ≤

Giải:
Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức

1 2
,
z z
bất kỳ ta có
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
Ta có
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3z z z z z z z
z z z z z z z
   
+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +
   
   

Đặt
1
z
z
+
=a ta có
( )( )
2
3
3 2 0 2 1 0
a a a a dpcm

− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
6

II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
(
)
(
)
1 cos sin 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
 

 

Giải:

a)
(
)
(
)
( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − −
=
+ + + +

2
2
2sin 2 sin cos sin cos
2 2 2 2 2
tan tan
2 2
2cos 2 sin cos cos sin
2 2 2 2 2
i i
i

i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
= = = −
+ +

- Khi
tan 0
2
ϕ
>
d
ạng lượng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2

ϕ
<
dạng lượng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− +
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2
ϕ
=
thì không có dạng lượng giác.

(
)
(
)
) 1 cos sin 1 cos sin
2sin sin cos .cos cos sin
2 2 2 2 2 2
b i i

i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + + 
 
   
= − +
   
   

2sin cos isin
2 2
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l

ượ
ng giác không xác
ñị
nh.
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
sin 0
ϕ
<

thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
( 2sin ) cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 
   
 

Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +

b)
[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
Giải:
a)
( )
2
sin cos
1 cos sin
1 cos sin
2 2
tan tan
1 cos sin 2 2
2cos 2 sin .cos cos sin
2 2 2 2 2
i
i
i
i
i
i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
− +
− −
= = = −
+ +
+ −

Khi
tan
2
ϕ
>0 thì dạng lượng giác là
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 
   
− + −
   
 
   
 

TEL:0988844088

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
7

Khi
tan
2
ϕ
<0 thì dạng lượng giác là -
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 
   
+
   
 
   
 

Khi
tan
2
ϕ
=0 thì không tồn tại dạng lượng giác.
b)

[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +

2sin sin cos .2cos cos sin
2 2 2 2 2 2
2sin cos sin
2 2
i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ
   
= − +
   
   
 
   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + −
   

 
   
 

- Khi
sin 0
ϕ
<
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
( )
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 
   
 

Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2

2 2 3
z i
= − +

Giải:
Ta có:

2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +
 
 

Do
ñ
ó:
2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +
 

 

2 2
2 cos sin
1 3
3 3
1 3
2 cos sin
3 3
z i
z i
z i
z i
π π
π π

 
= +
 


= +
 

⇔ ⇔


 
= − −



= − +

 
 


T
ừ

ñ
ó suy ra ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a z t
ươ
ng
ứ
ng là 1 và
3
ho
ặ
c -1 và

3
−

Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức:
(
)
1 3
z i− +
biết một acgumen của z
bằng
3
π

Giải:
z có m
ộ
t acgumen b
ằ
ng
3
π

nên
1 3
2 2
z z i
 
= +
 
 

 

Do
ñ
ó:

(
)
1 3
z i− +
=
1 3
( 2)
2 2
z i
 
− +
 
 
 

- Khi
2
z
>
, m
ộ
t aacgumen c
ủ
a

(
)
1 3
z i− +
là
3
π

- Khi
0 2
z
< <
, một acgumen của
(
)
1 3
z i− +
là
4
3
π

TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
8

- Khi
2
z

=
thì
(
)
1 3
z i− +
=0 nên acgumen không xác ñịnh.
Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là
ϕ
, tìm một
acgumen của:
a)
2
2
z
b)
1
2
z
−
c)
z z
+
d)
2
z z
+

Giải:

1
z
=
, z có m
ộ
t acgumen là
ϕ
. Do
ñ
ó
cos sin
z i
ϕ ϕ
= +

a)
(
)
(
)
2 2
cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = + ⇒ = −

V
ậy 2z
2
có một acgumen là

2
ϕ

b)
(
)
cos sin cos sin 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = − ⇒ = −
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1
cos sin cos sin
2 2
2
1 1 1
cos sin cos sin
2 2
2
i i
z
i i
z
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π

⇒ = − − − = +
⇒ − = − − = + + +

V
ậ
y
1
2
z
−
có m
ộ
t acgumen là
ϕ π
+

c) Ta có:
2cos
z z
ϕ
+ =

N
ếu
cos 0
ϕ
>
thì có một acgumen là 0
N
ếu

cos 0
ϕ
<
thì có một acgumen là
π

N
ếu
cos 0
ϕ
=
thì acgumen không xác ñịnh.
d)
2
cos2 sin 2 , cos sin
z z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + = −

( )
2
3 3
cos2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin
2 2 2 2
3
2cos cos sin
2 2 2
z z i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒ + = + + − = +
 
= +
 
 

V
ậy acgumen
2
z z
+
là
2
ϕ
nếu
3
cos 0
2
ϕ
>
, là
2
ϕ
π
+
nếu
3
cos 0

2
ϕ
<
và không xác ñịnh
n
ếu
3
cos 0
2
ϕ
=

Ví dụ 4) Cho số phức
1 cos sin
7 7
z i
π π
= − −
. Tính môñun, acgumen và viết z dưới
dạng lượng giác.
Giải:
Ta có:
2
2
8 4
1 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos
7 7 7 7 7
z
π π π π π
     

= − + = − = + =
     
     

Đặt
(
)
arg
z
ϕ
= thì
2
8
sin sin
4
7 7
tan cot tan
4
7 14
1 cos 2sin
7 7
π π
π π
ϕ
π π
−
 
= = = = −
 
 

−

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
9

Suy ra:
,
14
k k z
π
ϕ π
= − + ∈

Vì ph
ần thực
1 cos 0
7
π
− >
, phần ảo
sin 0
7
π
− <
nên chọn một acgumen là
14
π
−

V
ậy
4
2cos cos isin
7 14 14
z
π π π
 
   
= − + −
   
 
   
 

Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho
1
3
z
=
và một
acgumen của
1
z
i
+
là
3
4
π

−

Giải:
Theo giả thiết
1
3
z
=
thì
( )
1
cos sin
3
z i
ϕ ϕ
= +

( )
( ) ( )
( )
1 1
cos sin cos sin
3 3
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
⇒ = − = − + −

Vì
1 2
1 2 2 cos sin

2 2 4 4
i i i
π π
 
 
+ = + = +
 
 
 
 
 

Nên
1
os sin
1 4 4
3 2
z
c i
i
π π
ϕ ϕ
 
   
= − − + − −
   
 
+
   
 

Do
ñ
ó:
3
2 2 , .
4 4 2
k k k
π π π
ϕ π ϕ π
− − = − + ⇔ = + ∈Ζ
v
ậ
y
1
os sin .
3 2 2
z c i
π π
 
= +
 
 

Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho:
3
1
z i
z i
+

=
+
và z+1 có một ácgumen là
6
π
−

Giải:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
3
1
z i
z i
+
=
+
( ) ( )
2 2
2 2
3 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y
⇒

+ = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +
⇒
= −

z+1 có 1 acgumen b
ằ
ng
6
π
−

t
ứ
c là
( )
1 [ os sin ] 3
6 6 2
z c i i
π π τ
τ
   
+ = − + − = −
   
   
v
ớ
i r>0.
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
3
1

4
2
2 3 1 2
2 3 1
2
2
x
z i
x
τ
τ
τ

+ =

=

 
⇔ ⇒ = − −
 
= −



− = −



Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP
Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1

a)
0 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
−
+ + + + +
= − + − + −

b)
1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
− +
+ + + + +
= − + − + −
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
10

Xét
( )
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 ( )
n
n n n n
n n n n n n n n n n
i C iC i C i C C C C i C C C
+
+ + +
+ + + + + + + + + +
+ = + + + + = − + − + − + −
M
ặt khác ta lại có:
( )
2 1
2 1
(2 1) (2 1)
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π π
+
+
+ +
   
+ = + ⇒ + = +
 
 

   

=
(2 1) (2 1) (8 3) (8 3)
2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 4 4 4
n n
n n k k
i i
π π π π
+ + + +
   
+ = +
   
   

3 3
2 2 cos sin 2 2
4 4
n n n
i i
π π
 
= + = − +
 
 

T
ừ ñó ta có
a) S=-2

n

b) S=2
n

Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau:
a)
2 4 6
1
n n n
S C C C= − + − +

b)
1 3 5 7

n n n n
S C C C C= − + − +
Giải:
Xét
( )
0 1 2 2 2 4 1 3 5 7
1 1 ( )
n
n n
n n n n n n n n n n
i C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − +
( )
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n

n
n n
i i i i
π π π π
   
+ = + ⇒ + = +
 
 
   

T
ừ ñó ta có kết quả
a)
2 cos
4
n
n
S
π
=
b)
2 sin
4
n
n
S
π
=

Ví dụ 3) Chứng minh rằng:

3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
+ + + = +
 
 

Giải:
Ta có
0 1 2 3
2
n n
n n n n n
C C C C C
= + + + + (1)
Xét
3
2 2
cos sin 1
3 3
i
π π
ε ε

= + ⇒ =

Ta có
( )
0 1 2 2 0 1 2 2 3 4
1
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + + (2)
(
)
2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4
1 (3)
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + +

Ta có
2 2
1 0;1 os sin ;1 os sin
3 3 3 3
c i c i
π π π π
ε ε ε ε

+ + = + = − + = +

C
ộ
ng (1) (2) (3) theo v
ế
ta có
( )
( ) ( )
( )
2 0 3 6 0 3 6
2 1 1 3 2 2cos 3
3
n
n
n n
n n n n n n
n
C C C C C C
π
ε ε
+ + + + = + + + ⇔ + = + + +

3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n

C C
π
 
⇔ + + + = +
 
 


TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
11

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Giải phương trình sau trên tập số phức:
3
)
a z z
=

) 3 4
b z z i
+ = +

( )
2
2
) 4 3
c z z i
− =

2
) 2 1 0
d z z i
+ + − =

2
) 4 5 0
e z z
+ + =

2
)(1 ) 2 11 0
f i z i
+ + + =

2
) 2( ) 4 0
g z z z
− + + =

2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình:
) 1 4 2 5
x
a i
−
+ − ≤

2
1 7
) log 1

4
i
b x
+
− ≤

2
1 2 2
)1 log 0
2 1
x i
c
 + + − 
− ≥
 
−
 

3) Tìm số phức z sao cho
( 2)( )
A z z i
= − +
là số thực
4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện
7
5;
1
z i
z
z

+
=
+
là số thực
5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn
ñiều kiện
( )
2
2
) 9
a z z
− =

2
) 4
2
z i
b
z i
−
=
+

)3 3
c z i z z i
+ = + −

) 3 4 2
d z i
+ − =

) 1
e z z i
+ ≥ +

) 4 3
f z z i
= + −

2
) 1
2
z i
g
z i
−
>
+

)2 2
h z i z z i
− = − +

1
3
2 2
)log ( ) 1
4 2 1
z
k

z
− +
>
− −

6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện
3
2 3
2
z i
− + =
. Tìm số phức z có modun lớn
nhất,nhỏ nhất.
7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện
(
)
(
)
1 2
z z i
− + là số thực và
z
nhỏ nhất.
8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết
z z i z
+ =

9) Tìm số phức z thoả mãn
2
2

z z
+ =
và
2
z
=

10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z
 − = − +


− =



1 2
1 2
3
)
1 1 3
5
z z i
b

i
z z
+ = −


+

+ =



2
1 2
2
2 1
1 0
)
1 0
z z
c
z z

− + =


− + =



12 5

8 3
)
4
1
8
z
z i
d
z
z

−
=

−


−

=

−


3 2
2010 2011
2 2 1 0
)
1 0
z z z

e
z z

+ + + =


+ + =



11) Cho phương trình
3 2
2 (2 1) (9 1) 5 0
z i z i z i
− + + − + =
có nghiệm
thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
12) Tìm phần thực phần ảo của
2011
2011
1
w
w
z = +
biết
1
w 1
w
+ =

13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo:
2 6
)
3 3
n
i
a z
i
 
− +
=
 
 
+
 

4 6
)
1 5
n
i
b z
i
+
 
=
 
− +
 

7 4
)
4 3
n
i
c z
i
+
 
=
 
−
 

3 3
)
3 3
i
d z
i
 
−
=
 
 
−
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

12

14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng
( )
0 2 4 6 2 2
2 2 2 2 2
2
3 9 27 3 2 cos
3
n
n n
n n n n n
n
C C C C C
π
− + − + + − =
15) Tìm số phức z sao cho
2
z z
= −
và một acgumen của z-2 bằng một acgumen
của z+2 cộng với
2
π

16) Giải phương trình
a)
2 2 0
0
2

tan 10 4 2
os10
z
z i
c
= + + −
b)
2 2 0
0
2
cot 12 6 7
sin12
z
z i
= + + −


Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com