Bài 3: Đạo hàm các hàm số lượng giác

1
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG
LỚP ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG TOÁN 08
Bài dạy:
ĐẠO HÀM CỦA CÁC
HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Năm học: 2009 - 2010
SV: Phan Hiếu Trung
2
KIỂM TRA BÀI CŨ
Nêu quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp ?
g’(x) = f’[u(x)].u’(x)
Với g là hàm số hợp của hai hàm số f và u,
với u = u(x) gọi là hàm số trung gian.
Quy tắc trên còn có thể viết gọn là :
g’
x
= f’
u
.u’
x
3
Bài 3:
ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC
sin x
x
1. Giới hạn
x
rian
0,999949321 0,999987307 0,999996826 0,999999492 0,999999943

sin x
x
180
π
360
π
720
π
1800
π
5400
π
Em có nhận xét gì về giá trò của
khi x nhận các giá trò dương và rất gần điểm 0 ?
sin x
x
Dùng máy tính ta tính được các giá trò trong
bảng sau:
4
Đònh lí 1
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
0
0

0
( ) 0 ,
sin ( )
lim 1
lim ( ) 0
( )
x x
x x
u x x x
u x
u x
u x
→
→
≠ ≠


⇒ =

=


Bài 3:
ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC
sin x
x
1. Giới hạn
5
0
tan

) lim
x
x
a
x
→
0
sin 3
) lim
x
x
b
x
→
0
sin 1
lim .
osx
x
x
x c
→
 
=
 ÷
 
1=
0 0
sin 1
lim .lim

osx
x x
x
x c
→ →
=
0
sin 3
lim3
3
x
x
x
→
 
=
 ÷
 
0
sin 3
3lim
3
x
x
x
→
=
3=
Ví duï 1: tính
0

tan
) lim
x
x
a
x
→
0
sin 3
) lim
x
x
b
x
→
Giaûi
6
Đònh lí 1
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
0
0
0
( ) 0 ,

sin ( )
lim 1
lim ( ) 0
( )
x x
x x
u x x x
u x
u x
u x
→
→
≠ ≠


⇒ =

=


Bài 3:
ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC
sin x
x
1. Giới hạn
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
7
Haừy tớnh ủaùo haứm cuỷa sinx baống ủũnh nghúa
1.G/s x

l s gia ca x.
2 os x + .sin
2 2
x x
c


=
ữ

y

= sin(x + x ) - sinx
sin
2
2. 2 os x +
2
x
y x
c
x x



=
ữ


sin
2

os x +
2
2
x
x
c
x



=
ữ


0 0 0
sin
2
3. lim lim os x + lim
2
2
x x x
x
y x
c
x
x

=
ữ



os xc=
x Ă
8
Đònh lí 1
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
0
0
0
( ) 0 ,
sin ( )
lim 1
lim ( ) 0
( )
x x
x x
u x x x
u x
u x

u x
→
→
≠ ≠


⇒ =

=


Bài 3:
ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC
sin x
x
1. Giới hạn
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Đònh lí 2
a). Hàm số y = sinx có đạo hàm trên R và (sinx)’ = cosx
b). Hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì trên J ta cũng
có (sin(u(x))’ = cos(u(x)).u’(x)
9
Chứng minh:
- Gọi g(x) = sin(u(x)) là hàm số hợp của hàm số f(u) =
sinu và hàm số trung gian u = u(x)
- Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta
được:
g’(x) = f’[u(x)].u’(x)
=[cos u(x)].u’(x)
- Theo đònh lí ta có: f’(u) = (sinu)’ = cosu

Công thức trên còn được viết gọn là:
(sinu)’ = (cosu).u’ = u’cosu
(sin(u(x))’ = cos(u(x)).u’(x)
10
a) y = sin(x
2
+ 1)
) sin
2
b y x
π
 
= −
 ÷
 
'
/ ' sin os
2 2 2
b y x x c x
π π π
′
 
     
= − = − −
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
os
2

c x
π
 
= − −
 ÷
 
sin x= −
a/ y’ = (sin(x
2
+1))’ = (x
2
+1)’.cos(x
2
+1)
= 2x.cos(x
2
+1)
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
Giải
11
( )
3
1
3
3sin
.3
1
.3coslim
3sin
1

.3coslim
3sin
3cos
.lim3cot.lim
=












=













=






==
→→
→→
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxm
oxox
oxox
( )
xxm
x
3cot.lim
0→
=
H1
Cho hãy tìm kết quả đúng
trong các kết quả sau đây:

A. m = 0
B. m = 3
C. m = 1
D. m = 1/3
Hướng dẫn
12
x
x
y
2
cos
'=
x
x
y
cos
'=
xy cos'=
x
y
2
1
cos'=
( )( )
x
x
x
x
xxy
2

cos
cos.
2
1
cos'
'
=
==
xy sin=
H2
Cho hàm số . Hãy chọn kết quả
đúng trong các kết quả sau đây:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn
13
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
-
Xem kỹ đònh lí 1, 2
-
Làm bài tập 28 trang 211, bài 29b
trang 211