Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli villars trong điện động lực học lượng tử

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 5
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH PAULI-VILLARS 8
1.1. Phương trình Pauli-Villars 8
1.2. Phương trình Dirac 9
1.3. Các bổ chính 12
CHƯƠNG 2. CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN 20
2.1. S-Ma trận 20
2.2. Các giản đồ Feynman 24
2.3. Hệ số dạng điện từ 25
CHƯƠNG 3. BỔ CHÍNH CHO MOMENT 28
3.1. Bổ chính cho moment 28
3.2. Moment từ dị thường 37
KẾT LUẬN 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
PHỤ LỤC A 42
PHỤ LỤC B 46
1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là
điện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển
của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R.
Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái
chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công
các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng. Ví dụ như sự
dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ
dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng
nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của
electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới. Cường độ
của tương tác này được mô tả bằng moment từ electron

µ
, và nó bằng
0 0
0
0 0
| 1
2 2
e e
c
m c m
µ µ
= = =
= =
h
h
(
0
m
và
0
e
là khối lượng “trần” và điện tích “trần” của
electron,
0
µ
- gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi
tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho moment từ
electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron
( )
0 R

m m→
và điện tích electron
( )
0 R
e e→
sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó được gọi là moment từ dị thường.
Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực
nghiệm.
Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng
0
1,003875
µ µ
=
, giá trị này được gọi là moment từ dị thường của electron. J.
Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của
electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ
chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai
số tính toán với thực nghiệm vào khoảng
10
10 %
−
). Biểu thức giải tích của moment
từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được
2

2 3
0
2 3
1 0,32748 1,184175
2

ly thuyet
α α α
µ µ
π π π
 
= + − +
 
 
(0.1)

( )
0
1,001159652236 28 .
µ
=
( )
0
1,00115965241 20 .
R
µ µ
=
(0.2)
Ở đây về cơ bản các giá trị moment được tính bằng lý thuyết theo thuyết
nhiễu loạn (0.1) và giá trị được lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp
với nhau.
Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho
moment từ dị thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình
tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars.
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, Kết
luận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo.

Chương 1. Phương trình Pauli và moment từ của electron. Phương trình
Pauli và moment từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất
phát từphương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương
trình Pauli với số hạng tương tác của moment từ electron với trương ngoài /1/. Mục
1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tương đối
tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng
( )
v
c
, v – là vận tốc
của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tương đối tính tiếp theo cho phương
trình Pauli ở gần đúng bậc
cao hơn
( )
v
c
thu được bằng việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen ở
mục 1.3.

Chương 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường
của electron. Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta nêu
vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với
trường điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần
đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho
3
việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi
tương đối tính.

Chương 3. Moment từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng.
Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp Pauly-Villars ( P-V ) ta tách phần hữu hạn và

phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức
bổ chính cho moment từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục
3.2.

Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng
quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự. Trong Bản luận văn này chúng
tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử

1c= =h
và metric Feynman. Các véctơ phản
biến là tọa độ

( )
( )
0 1 2 3
, , , ,x x t x x x y x z t x
µ
= = = = = =
r

thì các véctơ tọa độ hiệp biến

( ) ( )
0 1 2 3
, , , ,x g x x t x x x y x z t x
ν
µ µν
= = = = − = − = − = −
r
,

trong đó
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
g g
µν
µν
 
 ÷
−
 ÷
= =
 ÷
−
 ÷
−
 
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
4
CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ ELECTRON
Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa moment từ của electron với trường
điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình
Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của moment từ với
trường ngoài được giới thiệu ở mục $1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở
trường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc
( )
v
c

ta có phương trình Pauli cho electron với moment từ. Nghiên cứu các bổ
chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng
phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen.

1.1. Phương trình Pauli
Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ
ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phương trình
Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm
sóng
ψ
trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần
( )
,r t
ψ
r
phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin
của hạt là
z
s
. Kết quả để cho hàm sóng
( )
, ,
z
r s t
ψ
r
là một spinor hai thành phần

( )
1

2
, ,
2
, ,
, ,
2
z
r t
r s t
r t
ψ
ψ ψ
ψ
 
 
+
 ÷
 ÷
 
 ÷
= =
 ÷
 
−
 ÷
 ÷
 
 
h
r

r
hr
(1.1)
Vì hạt có spin nên nó có momen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann momen từ
của hạt với spin bằng
2
h
.
5

0
,
µ µ σ
=
r r
(1.2)
0
µ
- là magneton Bohr, còn
σ
r
là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ
ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ.

( )
0
0
2
e
e

U H s sH
mc m c
µ µ
 
∆ = − = = =
 ÷
 
r r
r r r h r
(1.3)
Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng

2
0
( )
2
p
H U r
m
= +
r
(1.4)
Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới
đây trong phương trình Schrodinger

0
0
e
p p A
c

E E e
ϕ
→ −
→ −
r
r r
(1.5)
Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ
( )
0
0
2
e
U H sH
m c
µ
∆ = − =
r r
r h r
. Kết quả ta thu được phương trình

( )
( ) ( ) ( )
2
0 0
0
0 0
, ,
1
, ,

2 2
z
z
r s t
e e
i p A e r U r sH r s t
t m c m c
ψ
ϕ ψ
 
∂
 
= − + + +
 
 ÷
∂
 
 
 
r
r
r
r h r r
h
(1.6)
ở đây
( )
r
ϕ
,

( )A r
r
là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ. Phương trình
(1.6) là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann.

1.2. Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương
đối tính
Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta
có:
0 2
0
0 0
( )
( )
e
x
i c p A e A m c x
t c
ψ
α β ψ
 
∂
 
= − + +
 ÷
 
∂
 
 
r

r
r
h
(1.7)
Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết
các spinor hai thành phần
6
1 3
2 4
, ,
u
u d
d
ψ
ψ ψ
ψ ψ ψ
ψ
ψ ψ
    
= = =
 ÷ ÷  ÷
     
(1.8)
Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình
( )
( )
0 2
0
0 0
0 2

9
0 0
u
d u
d
u d
e
i c p A e A m c
t c
e
i c p A e A m c
t c
ψ
σ ψ ψ
ψ
σ ψ ψ

∂
 
= − + +
 ÷

∂
  

∂
 

= − + +
 ÷


∂
 

r
r r
h
r
r
h
(1.9)
Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai thành phần
dưới). Kể thêm
2
0 ( ) 2 ( )
0 , 0 ,
2
1
u d u d
v
i e A m c O
t c
ψ ψ
± ±
 
 
∂
 
− = ± +
 

 ÷
 ÷
∂
 
 
 
h
(1.10)
Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+)
( )
2
( )
0
2
0
2
d u
e
v
p A O
m c c c
σ
ψ ψ
+
+
 
 
= − +
 ÷
 ÷

 
 
r
r
r
(1.11)
Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (-)
2
( ) ( )
0
2
0
2
u d
e
v
p A O
m c c c
σ
ψ ψ
− −
 
 
= − +
 ÷
 ÷
 
 
r
r

r
(1.12)
Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor
d
ψ
liên hệ
với
u
ψ
và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor
u
ψ
liên hệ với
d
ψ
thừa số
( )
v
c
.
Thay (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta
có
1
( / )
u
O v c
ψ ψ
 
=
 ÷

 
(1.13)
2
3
2 0
0
3
0
1
2
d
u
e v
i p A m c eA O
t m c c
ψ
σ ψ
 
 
∂  
 
 
= − + + +
 
 ÷
 ÷
 
∂
 
 

 
 
 
r
r r
h
và để cho nghiệm âm
( / )
1
d
O v c
ψ ψ
 
=
 ÷
 
(1.14)
7
2
3
2 0
0
3
0
1
2
u
d
e v
i p A m c eA O

t m c c
ψ
σ ψ
 
 
∂  
 
 
= − − − + +
 
 ÷
 ÷
 
∂
 
 
 
 
 
r
r r
h
Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau
( )
( )
( ) ( )A B AB i A B
σ σ σ
= + ×
r r r
r r r

r r r
,

e e e
p A p A B
c c ic
   
− × − = −
 ÷  ÷
   
r r
r
r r
h
(1.15)
Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac
2
3
2 0
0
3
0 0
1
ˆ
,
2 2
0
ˆ
0
nr

nr
i H
t
e e v
H m c p A eA B O
m c m c c
ψ
ψ
β σ
σ
σ
σ
∂

=

∂

 

 
 

= + − + − +
 
 ÷
 ÷

 
 

 
 


 

=
 ÷

 

h
r
r
r
h
r
r
r
r
(1.16)
đúng đến bậc
(
)
2
2
v
c
cùng với toán tử và tự liên hợp .
nr

H
. Nếu chúng ta giới hạn
ở nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phương trình này với độ chính
xác
2
0
m c
trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ
ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của
phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác
MB−
r r
giữa moment từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có
moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn
( )
0 0
, 2
2 2
e
e eg
M S g
m c m c
σ
= = =
h
(thừa số Lande) (1.17)
Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo kiểu
hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”.
Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình giới
hạn trên dẫn đến các kết quả sai

( )
( )
/
p
p
M eS m c= −
r
r
. Rõ ràng trong những trường
hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài. Chính vì vậy
để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối tính
với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các
số hạng moment.(xem them bài tập 11 và 22)
8
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ
xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính
xác
(
)
2
2
v
c
.
( )
† † † †
2
,
2
ie

j A
im c
ρ ψ ψ ψ β ψ ψ βψ ψ βψ
 
= = ∇ − ∇ −
 
 
h
h
(1.18)
Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục
/ 0t j
ρ
∂ ∂ + ∇ =
và trong trường
hợp nghiệm dương , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tương
đối tính.
1.3. Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở
trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc
(
)
2
2
v
c
và sai sót trong
Hamilton ở bậc
(
)

3
3
v
c
. Trong giới hạn này
nr
H
là chéo nhưng các nghiệm âm và
dương là hoàn toàn “phân ly ” . Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn
một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử
dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac.
Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc
( )
/v c
và phương trình Dirac ở dạng
2
0
0,m c K K
ψ β ε ω
= = + +
(1.19)
cùng
2 2
0
2 2 2
0
1
(1) ,
v v
i eA O O O

m c t c c
ε β ε
   
∂
 
= − − = + + =
 ÷  ÷
 ÷
∂
 
   
h
(1.20)
và
2
0
c e v
p A O
m c c c
α
ω
   
= − =
 ÷  ÷
   
(1.21)
ở đây
ε
và
( )

β ε
+
là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng
việc chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp
, ,
iS iS
U e U e
′
′
= =
với
mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó
ω
cao hơn và cao hơn bậc
( )
/v c
9
sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới
bậc
( )
/v c
. Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta thu được
2 1
0
0, ,m c K U K UKU
ψ ψ ψ
−
′ ′ ′ ′
= = =
(1.22)

2 3
2 3
, ,
v v
K O O
c c
β ε ω β ε ω
   
′′ ′ ′ ′ ′
= + + + = =
 ÷  ÷
   
(hay cao hơn) (1.23)
Và phép biến đổi thứ hai ta có
2 1
0
0, ,m c K U K U K U
ψ ψ ψ
−
′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′
= = =
(1.24)
2 5
2 5
, ,
v v
K O O
c c
β ε ω β ε ω
   

′′ ′′ ′′ ′′ ′′
= + + + = =
 ÷  ÷
   
(hay cao hơn) (1.25)
và tiếp tục. Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là
,
2
iS
i
U e S
βω
′
′
′
= = −
(1.26)
Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng như
công thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán
3
τ β
→
cho việc tính
toán kết quả K. Điều này sẽ dẫn đến
K
β ε ω
′′ ′′ ′′
= + +
(1.27)
cùng

[ ]
2 6 12 8
2 6 12 8
2 4 2
2
1
, ,
2 8 8
v v v v
O O O O
c c c c
v
O
c
βω βω
ε ε ω ω ε
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
↓ ↓ ↓ ↓
′ ′
 
′′ ′ ′ ′ ′
 
= + − − + =
 ÷
 
 
(1.28)
với

[ ] [ ]
3 5
5
, , , ,
3 2 48
v
O
c
ω β β
ω ω ε ω ω ω ε
′
 
 
′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
 
= − + + + =
 ÷
 
 
 
(1.29)
Như ta đã thấy
ω
′
bây giờ đã nâng lên hai bậc
( )
/v c
. Từ đây chúng ta nhận được
toán tử
K

β ε
′
= +
đúng đến bậc
(
)
3
3
v
c
, đúng trong phương trình Pauli (1.16)
10
Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép
biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với
K
′
cùng
,
2
iS
i
U e S
βω
′
′
′ ′
= = −
(1.30)
Từ đây suy ra
K

β ε ω
′′ ′′ ′′
= + +
(1.31)
cùng với
[ ]
2 6 12 8
2 6 12 8
2 4 2
2
1
, ,
2 8 8
v v v v
O O O O
c c c c
v
O
c
βω βω
ε ε ω ω ε
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
↓ ↓ ↓ ↓
′ ′
 
′′ ′ ′ ′ ′
 
= + − − + =

 ÷
 
 
(1.32)
và
[ ] [ ]
3 5
5
, , , ,
3 2 48
v
O
c
ω β β
ω ω ε ω ω ω ε
′
 
 
′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
 
= − + + + =
 ÷
 
 
 
(1.33)
Bỏ qua tất cả các số hạng
(
)
5

5
v
O
c
(hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn
[ ]
2 4 5
5
1
, ,
2 8 8
v
K O
c
βω βω
β ε ω ω ε
 
′′
 
= + + − − +
 ÷
 
 
(1.34)
Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac
i H
t
ψ
ψ
′′

∂
′′ ′′
=
∂
h
(1.35)
Sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen ta tính một số công thức sau

2
2 2
0
1 e e
p A p A
m c c c
ω α α
   
   
= − −
 ÷  ÷
   
   
   


2 2
,
0
1
i j i i j j
i j

e e
p A p A
m c c c
α α
  
= − −
 ÷ ÷
  
∑



2
2 2 2 2
, ,
0 0
1
ˆ
ijk k i i j j
i j k
i e e e
p A p A p A
m c c c m c c
ε σ
    
= − − + −
 ÷ ÷  ÷
    
∑

11
( )
2
3 2 2
0 0
1
ˆ
ie e
p A p A
m c m c c
σ
 
= − × + −
 ÷
 



2
3 2 2
0 0
1
ˆ
e e
B p A
m c m c c
σ
 
= − + −

 ÷
 
h
(1.36)
Tiếp theo ta tính giao hoán tử

[ ]
0
2 3
0
1
, ,
e
p A i eA
m c c t
ω ε α
 ∂ 
 
= − − −
 ÷
 
∂
 
 
h


0
2 3
0

1
, ,
ie
e p A A
m c c t
α
 ∂ 
 
 
= +
 
 
 
∂
 
 
h


0
2 3 2 3
0 0
1ie ie
A A E
m c c m c
α α
 
= − ∇ + =
 ÷
 

h h

[ ]
3 4
0
, , ,
ie e
p A E
m c c
ω ω ε α α
 
 
 
= −
 ÷
 
 
 
 
h


[ ]
3 4
0
,
ie
p E
m c
α α

=
h


( )
3 4
,
0
i j i j i j
i j
ie
p E E p
m c
α α
= −
∑
h


( )
{ }
3 4
,
0
,
i j i j i j j i
i j
ie
p E E p
m c

α α α α
 
= +
 
∑
h


( ) ( )
3 4
, , ,
0
ˆ ˆ
2
ijk k ij i j ijk k j i
i j k i j
ie
i p E i E p
m c
ε σ δ ε σ
 
= + +
 
 
∑ ∑
h



( ) ( )

2 2
3 4 3 4 3 4
0 0 0
2
ˆ ˆ
ie e e
E E E p
m c m c m c
σ σ
= ∇× + ∇ + ×
h h h
(1.37)
12
Khi tính các công thức (1.36-1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau
, , 2
i j i jk k i j i j k k
i i
α α ε α α α ε σ
 
= =
 
)
(1.38)
Đúng đắn đến bậc
(
)
4
4
v
O

c
với việc chéo hóa Hamilton
2
2 0
0
0 0
1
ˆ
2 2
e e
H m c p A B eA
m c m c
β σ
 
 
′′
= + − − +
 
 ÷
 
 
 
h
4
2 2
2
3 2 3 4
0 0
1
8 8

e e
p A B
m c c m c
β
 
 
− − +
 
 ÷
 
 
 
h
( ) ( )
2 2 5
2 2 2 2 2 2 5
0 0 0
ˆ ˆ
8 8 4
e ie e v
E E E p O
m c m c m c c
σ σ
 
− ∇ − ∇× − × +
 ÷
 
h h h
(1.39)
Và ta có hàm sóng

( ) ( )
/2 /2i i
x e e x
βω βω
ψ ψ
′
− −
′′
=
(1.40)
Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho
những bậc cao hơn có thể thực hiện
( )
/v c
Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây
- Khi các
, , S S
′
.là tự liên hơp , thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen
, , U U
′
cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị
trung bình như phép biến đổi
[ ]
1
. .U U
−
- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa
/ 0A t∂ ∂ =
khi sự biến đổi

1 †
0 0, ,K K K UKU UKU U
ψ ψ ψ ψ
−
′ ′ ′ ′
= → = = = =
(1.41)
tương đương với
†
,i H i H H U H i U
t t t
ψ ψ
ψ ψ
′
∂ ∂ ∂
 
′ ′ ′
= → = = −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
h h h
(1.42)
- Các toán tử một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép
biến đổi cho các toán tử ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các phần chéo.
Phương pháp Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm
sóng cùng với kích thước so với bước són Compton của hạt.
13
- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong
vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ.

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac đã cung cấp phương pháp
chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phương trình Dirac
(1.7) dưới dạng
2 (0) (0) (0) (0) (0)
0
0,m c K K
ψ β ε ω
= = + +
(1.43)
Cùng với các toán tử chẵn
( )
0
ε
,
( )
(0) 2 2
/O v c
β ε
+ =
và toán tử lẻ
( )
( )
0
/O v c
ω
=
lặp lại các hệ thức này theo
( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)†n n n n n n
K U K U
β ε ω

− − −
= + + =
(1.44)
( )
( ) ( )
( )
1 1
( )
n n
n
x U x
ψ ψ
− −
=
(1.45)
( )
( )
exp
2
n
n
i
U
βω
 
= −
 ÷
 
(1.46)
Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó

2 2 1
( ) ( )
2 2 1
,
n
n n
n
v v
O O
c c
β ε ω
+
+
   
+ = =
 ÷  ÷
   
(1.47)
Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn của dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho hạt
và phản hạt và đúng cho bậc
(
)
2 1
2 1
n
n
v
O
c
−

−
.
- Để kết thúc ta trở lại phương trình (2.98). Phương trình này có thể dẫn đến dạng
quen thuộc bằng việc xem xét trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện
( )
( )
0
, 0eA V x V r A= = =
(1.48)
Trong trường hợp này ta có
0
1
0, , 0
x V
B E A E
e r r
∂
= = −∇ = − ∇× =
∂
(1.49)
Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tương ứng
( )
2 4 2
2 2
0
3 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
2 8 8 4
u

p p V
H m c V r V L
m m c m c m c r r
σ
∂
′′
= + + − + ∇ +
∂
h h
(1.50)
14
Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng. Thành phần
thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và
có thể gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa năng lượng
tương tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và moment góc quỹ đạo .
Nhận thấy rằng trong thành phần này ? được lấy một cách chính xác bang thừa số
4 trong mẫu số
1
. Trong trường hợp của thế Coulomb
( )
2
/V r Ze r= −
hai thành
phần cuối cùng là
( )
2 2
2 2
0
2
Ze

r
m c
π
δ
h
và
2
2 2 3
0
4
Ze
L
m c r
σ
r
r
h
(1.51)
Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các s-trạng thái.
TỔNG KẾT
- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tương đối tính) phép gần đúng phi tương đối tính của
phương trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp . Từ đây
suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nó đồng nhất cho
phương trình phi tương đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½.
- Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ
là gần đúng. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy –
Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc cao
hơn
( )
/v c

. Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tự
liên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu
( )
/v c
, mà từ đây ta thu được lý
thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt.
1
Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau:
Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với
spin của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do
xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2.
15
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach-Villars ,
là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài có
thể so sánh với bước sóng Compton.
- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất
phép khai triển
( )
/v c
là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận.
Hamiltonian của phương trình có dạng
( )
2
1
2
H p eA e H
m
ϕ µ
= − − + −
r

r
r r
H
µ
r
r
mô tả tương tác của moment từ riêng
µ
r
với từ trường ngoai
H
r
. Hạt có spin
bằng ½ có điện tích e, sẽ có moment từ
0
2
e e
S
mc mc
µ µ σ σ
= = =
r
h hr r r

- Moment từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman
Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng

0
2
e

mc
µ
=
h
- magneton Bohr
Theo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thường của electron

( )
0
1 a
µ µ
= +

0
a
µ
- gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân
không ở đây là chân không toán học - không có gì. Trong QED ta xem xét dưới đây
là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với chân
không vật lý.
16
CHƯƠNG 2
CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP
VÀO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON
Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài ta viết S-
matrận tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài
( )
ext
A x
µ

. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng
cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo
luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đăc biết trong gần đúng phi tương đối
tính
2.1. S-ma trận
Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài. Nếu trường
ngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng về
nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ được mô tả
bằng S-ma trận /1/

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ex
int int
0 1
int
4
4 4
exp ; ;
1; ;
t
ext
S T L x d x L x ieN A

S S T L x d x T ie N A x d x
µ µ
µ µ
ψγ ψ
ψγ ψ
= =
∫
= = =
∫ ∫
(2.1)
trong đó T là T-tích, N là N-tích.
Sử dụng khai triển hàm mũ

( )
( )
2 3
0
4
1 ,
2! 3! !
n
Z
n
ext
Z Z Z
e Z
n
Z ie N A x d x
µ µ
ψγ ψ

∞
=
= + + + + =
=
∫
∑
(2.2)
Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp
biến có thể viết:
17
( )
( )
2 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
| | | | | | | |
4
|

| |
p S p p S p p S p p S p
ext
p p ieT p N A x d x p
ψγ ψ
µ µ
=
+ +
∫
+ + +
=
(2.3)

trong đó
1 2
,p p
là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron.
Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo
điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá
trình tán xạ này (xem Hình 1).
(a) (b1) (b2)
(b3) (b4)
Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng
đường electron
trường điện từ ngoài
đường photon
Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (1a) electron có xung lượng
1
p
bay vào vùng có
trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng
2
p
ở gần đúng bậc thấp nhất. Các
18
giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân không vật
lý- chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron.
Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1)
cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2),
(b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích
của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài.

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với
giản đồ Hình 1. (a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
( )
2 1 0 2 1
4
1
| |
| ( ) ( ) ( )|
ext
p S p e
d xb p N x x A x p
µ µ
ψ γ ψ
∞
−∞
= −
∫
. (2.4)
Vì trường ngoài
( )
ext
A x
µ
không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta
có thể bỏ ra ngoài N-tích và
2 1
| |p p
, đồng thời khai triển các toán tử
( )x
ψ

và
( )x
ψ
thành các toán tử sinh hủy hạt.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )N x x N
µ µ µ µ µ
ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ
+ + − + − − + −
 
= + + +
 
,
với:
( )
( )
x
ψ
+
:toán tử hủy
e
+
;
( )
( )
x
ψ
+
:toán tử hủy

e
−
;

( )
( )
x
ψ
−
:toán tử sinh
e
−
;
( )
( )
x
ψ
−
:toán tử sinh
e
+
.
Vì
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
N N

µ α µ µ α µ
β β
αβ βα
ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ
+ − − +
− +
+ −
= = − = −
%

nên
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )N x x N
µ µ µ µ µ
ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ
+ + − + − − + −
 
= + + +
 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
µ µ µ µ
ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ ψ γ ψ
+ + − + − − − +
= + + −
%
(2.5)
Xét yếu tố ma trận:

19
( )
( )
( )
( )
2 1 2 1
| || 0 | 0N c Np p p c p
µ µ
ψγ ψ ψγ ψ
+
〈 〉 = 〈 〉
{ ( ) ( )
}
2 2
| | 0 ; | | 0p c p p c p
+ +
〉 = 〉 〉 = 〉

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 1 2 1
| |0 | 0 0 | 0c cp c p p c p
µ µ
ψ γ ψ ψ γ ψ
+ + + −
+ +
= −〈 〉 + 〈 〉

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 1 2 1
| |
0 |0 0 | 0
c c
p c p p c p
γ
µ µ
ψ ψ ψ γ ψ
− − − +
+ +
+〈 〉 − 〈 〉
%
(2.6)
Khi chuyển các toán tử sinh electron
1
( )c p
+
từ phải sang trái và chuyển các
toán tử hủy electron
2
( )
c
p

từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ
tư của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận.

( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 1
| |
| 0 | 0
N c
p p p c p
µ µ
ψγ ψ ψ γ ψ
− + +
〈 〉 = 〈 〉

( ) ( )
2 1
| |p p
µ
ψ γ ψ
− +
= 〈 〉

( ) ( )
( ) ( )
2 1
| || 0 0 |p x x p
µ
ψ γ ψ

− +
〈= 〈 〉 〉

( )
( )
( )
( )
3
3
2 1
20
2
2
1
1
2
2
10
2 1
1 1
2
2
ip x ip x
m m
u p u p
p p
e e
µ
γ
π

π
 
 
 ÷
 ÷
 
 
−
=
( )
( ) ( )
2 1
1
2
3
10 20
2
2 1
.
1
2
i p p x
m
u p u p
p p
e
µ
γ
π
 

 ÷
 
 
 ÷
 
− −
=
(2.7)
Thay (2.6) vào (2.3) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

( )
( ) ( ) ( )
0
2 1 0 2 1 2 1
1
2
ex
10 20
2
1
| |
t
m
p S p e u p u p A p p
p p
µ
µ
γ
= − −

, (2.8)
trong đó:
( )
1
u p
: spinor của electron ở trạng thái đầu ;
( )
( )
( )
2 2
4
.u p u p
γ
+
=
;
( ) ( )
2 1
ex ex 4
2 1
i p p x
t t
A p p e A x d x
µ µ
 
 ÷
 
− −
− =
∫

20
là thế điện từ ngoài.
Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dưới dạng tương tự:
( )
2 1 1 20 10 fi
p S p p p R
δ
= −
(2.9)
trong đó
fi
R
được xác định bằng công thức:
( ) ( ) ( )
1 2
2
0
0 2 1 2 1
10 20
2
/
ext
fi
m
R e . u p u p A p p
p p
µ µ
π γ
 

= − −
 ÷
 
(2.10)
và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường
thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron.
2.2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường
Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay
2 1
u u
µ
γ
bằng đại lượng
tổng quát hơn mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồ
đỉnh. Những giản đồ này được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực và loại giản
đồ không đích thực
2
. Các giản đồ đích thực trước đây được gọi là « một hạt bất
khả quy » được kết nối với nhau mà ta không thể tách làm hai phần bằng việc cắt bỏ
một đường trong. Các giản đồ không đích thực được lồng vào các đường ngoài của
giản đồ và chúng cho đóng góp vào việc tái chuẩn hóa lại khối lượng của các đường
ngoài, tương ứng với các hạt ngoài.
Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, ta xác định
« phần đỉnh đích thực »
µ
Λ

( ) ( )
1 2 1 2
, ,p p p p

µ µ µ
γ
Γ = + Λ
(2.11)
trong đó
µ
γ
là đỉnh « trần » , còn
( )
1 2
,p p
µ
Λ
được xác định bằng tập hợp các giản
đồ Hình 1. Tiết diện tán xạ ở bậc nhất theo trường ngoài cùng với tất cả các bổ
chính được kể đến, được xác định bằng, mà trong đó ta thay
2 1
u u
µ
γ
bằng
2 1
u u
µ
Γ
.
2
Tiếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và « không
Compact », có thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp ».
21

2.3. Hệ số dạng điện từ
Yếu tố ma trận của tán xạ electron với trường ngoài ở bậc thấp nhất
( ) ( ) ( )
2 1 1 0 2 1 2 1
01 02
| |
ext
m
p S p e u p u p A p p
p p
µ
µ
γ
 
〈 〉 = − −
 ÷
 ÷
 
(2.12)
Trường ngoài tĩnh
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 20 10 0 2 1 2 1
01 02
| | 2
ext
m
p S p p p e u p u p A p p
p p
µ
µ

πδ γ
 
〈 〉 = − − −
 ÷
 ÷
 
(2.13)
Bỏ qua việc chuẩn hóa các hàm sóng ngoài , thì hàm đỉnh
( ) ( )
2 1 2 1
, ,p p p p
µ µ µ
γ
Γ = + Λ
(2.14)
trong đó số hạng
µ
γ
là đỉnh “trần” , còn
( )
2 1
,p p
µ
Λ
được xác định bởi tập hợp
các giản đồ. Tiết diện tán xạ ở gần đúng bậc nhất với trường ngoài, cùng với các bổ
chính thì biểu thức
( ) ( )
2 1
u p u p

µ
γ
được thay thế bằng
( ) ( ) ( )
2 2 1 1
,u p p p u p
µ
Γ
.
Bằng lập luận bất biến Lorentz, hàm đỉnh có thể biểu diễn dưới dạng
( )
2 1 1 1 2 2 3 4 1 5 2
,p p c p c p c c p c p
µ µ µ µ µν µν
ν ν
γ σ σ
Γ = + + + +
(2.15)
trong đó
, 1,2,3, 4,5
i
c i =
là các hàm số của của
1
p
và
2
p
, Đặt
1 2

P p p
µ µ µ
= +
(2.16)

1 2
k p p
µ µ µ
= −
Khi các đường ngoài nằm trên mặt khối lượng
2 2 2
1 2
p p m
= =
, thì chỉ có một biến độc
lập bất biến mà ta chọn là
2
k
. Định luật bảo toàn dòng
( ) ( ) ( )
2 2 1 1
, 0k u p p p u p
µ
µ
Γ =
. (2.17)
Điều này dẫn đến các điều kiện sau
1 2
0c c
= =

và
4 5
0c c
+ =
. Hệ quả chỉ còn lại hàm
số độc lập
3
c
và
4
c
, chúng ta viết lại toán tử đỉnh dưới dạng

( )
( ) ( )
2 2
2 1 1 2
1
,
2
p p F k F k i
m
µ µ µν
γ σ
Γ = +
(2.18)
Cần nhấn mạnh các thừa số dạng tồn tại khi các xung lượng không nằm trên mặt
khối lượng
22
Sử dụng sự khai triển của Gordon

( )
2 1 2 1
1
2
u u u P i k u
m
µ µ µν
ν
γ σ
= +
(2.19)
Ta có thể viết
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1 1 2 1 2 1
1
,
2
u p p u u F k P i k F k i k u
m
µ µ µν µ µν
ν ν
σ γ σ
 
Γ = + +
 
=

( )
2 1 1 2 1
1
2
u F P F F i k u
m
µ µν
ν
σ
 
= + +
 


2 1
1
2
E M
u F P F i k u
m
µ µν
ν
σ
 
= +
 
(2.20)
Hai thừa số dạng
1E
F F=

;
1 2M
F F F= +
(2.21)
tương ứng với với hệ số dạng điện và hệ số dạng từ.
Yếu tố S-ma trận để cho tương tác với trường ngoài yếu cùng với tất cả bổ chính
có dạng
( ) ( )
4
2 1 0 2 2 1 1
| | ,
ikx ext
p S p ie N d x e u p p u A x
µ
µ
〈 〉 = − Γ
∫
(2.22)
Để cho trường tĩnh công thức này có dạng
( ) ( )
3
2
2 1 0 20 10 2 1 1
| | 2
2
ikx ext
F
p S p ie N p p d x e u F i k u A x
m
µ µν

ν µ
πδ γ σ
 
〈 〉 = − − +
 
 
∫
r
r
r
(2.23)
Để làm rõ ý nghĩa vật lý của các hệ số dạng, chúng ta xem xét trường hợp tán xạ
phía trước ở gần đúng phi tương đối tính mà trong đó
0
0, 2 , 1k P m N
→ → →
r
(2.24)
Nhận thấy số hạng trong phần đỉnh. Sử dụng khai triển Gordon để viết lại
2 1
u u
µ
γ
ta có thể viết giới hạn phi tương đối tính dưới dạng
( )
( ) ( )
0
3
2 1 1 20 10 2 1
0

| | 2
2
ikx ext
ie F
p S p p p d x e u P i k u A x
m
µ µν
ν µ
πδ σ
 
〈 〉 → − − +
 
∫
r
r
r
(2.25)
Để cho thế tĩnh điện, số hạng thứ hai triệt tiêu khi
0k →
và ta có
( ) ( ) ( )
3
2 1 1 0 20 10 2 1
| | 0 2
ikx
p S p ie F p p d x e V x u u
πδ
〈 〉 → − −
∫
r

r
r
(2.26)
23
Điều này chỉ ra rằng hằng số tương tác cho thế tĩnh điện là
( )
0 1
0e F
mà nó được
định nghĩa
( )
0 1
0e e F
=

(2.27)
Bây giờ ta chọn trường ngoài là từ trương tĩnh
B
r
với
0
0,
2
B
A A r
= = ×
r
r
r
. Ta có

( )
( )
1 2
.
ext ij
i j
A P i k A p p iA k
µ µν
µ ν
σ σ
+ = − + +
r
r r
(2.28)
Số hạng đầu không cho đóng góp vào giới hạn vì . Số hạng thứ hai có thể biến đổi
như sau
( )
( )
. . .
ij i j k ij
i j i j
A k A k A k A i i B
σ ε σ σ σ σ
= = × → × ∇ =
r
r r
r r
r r r
(2.29)
như vậy

( )
3
2 1 1 10 20 2 1
| | 2 .
ikr
ie
p S p p p d r e u S Bu
m
πδ
−
〈 〉 → −
∫
r
r
r
r
(2.30)
trong đó
2S
σ
=
r
r
. Công thức này mô tả tán xạ của hạt với moment từ
0
e
S
m
µ
=

r
r
(2.31)
mà nó là moment Dirac, cùng với g thừa số 2
Bây giờ xem số hạng
2
F
µν
σ
ở phần đỉnh . Yếu tố S-ma trận để cho tán xạ phía
trước trong từ trường ngoài ở gần đúng phi tương đối tính bằng
( ) ( )
3
0
2 2 1 2 10 20 2 1
| | 0 2 .
ikr
e
p S p F i p p d r e u S Bu
m
π δ
−
〈 〉 → −
∫
r
r
r
r
(2.32)
mà nó mô tả hiệu ứng của moment từ bổ xung

( )
0
1 2
0
e
F S
m
µ
=
r
(2.33)
Số hạng này gọi là moment từ dị thường . Tổng moment như vậy bằng
( )
( )
2
1
0
1
0
F
e
S
m F
µ
 
= +
 
 
r
r

(2.34)
Và nhân tử g được xác định
( )
( )
2
1
0
2 1
0
F
g
F
 
= +
 
 
Thừa số 2 xuất phát từ việc biểu diễn moment từ qua đơn vị magneton
/ 2e mch
.
24
CHƯƠNG 3
BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG
Moment từ của electron theo lý thuyết Dirac: được xác định bằng hệ thức
0
2
e
mc
m =
h
. Năm 1947 thực nghiệm tìm ra giá trị

( )
0
1 a
µ
µ µ
= +
, trong đó
0
a
µ
µ
là
phần dị thường của moment từ của electron mà nó không thể giải thích trong khuôn
khổ của cơ học lượng tử. Nguyên nhân chủ yếu là cơ học lượng tử mới chỉ xem xét
tương tác của electron với trường ngoài chứ chưa xem xét tương tác của electron
với chân không vật lý của trường điện từ.
Việc kể thêm tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện
từ sẽ dẫn đến số hạng bổ sung cho moment, kết quả ta có moment từ dị thường.
Việc tính lượng bổ chính cho moment từ dị thường ta gặp phải các tích phân theo
các đường trong là các tích phân phân kỳ. Để tách các phần phân kỳ, thông thường
người ta sử dụng các phương pháp khử phân kỳ sau đây: phương pháp cắt xung
lượng lớn, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, phương pháp điều chỉnh Pauli-
Villars.
Trong Luận văn này tôi sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars và
cuối cùng tôi thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm. Trong mục.3.1 tôi trình
bày tính toán bổ chính cho moment từ trong gần đúng một vòng bằng phương pháp
điều chỉnh Pauli-Villars.
3.1. Bổ chính cho moment dị thường trong gần đúng một vòng
Từ giản đồ Feynman bậc hai trong Hình 1 ta có
25