Day So

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

TOÁN 1 – HỌC KỲ 1 0708
BÀI 1: DÃY SỐ. GIỚI HẠN DÃY SỐ (SV)
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (9/2007)
Giải tích hàm 1 biến – Đỗ Công Khanh
Toán học cao cấp – Tập hai – Nguyễn Đình Trí (chủ biên)
SGK: Giải tích hàm 1 biến – BM Toán Ứng Dụng (ĐHBK)

NỘI DUNG
-
1- KHÁI NIỆM DÃY SỐ
2- DÃY TĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN, DÃY CON
3- GIỚI HẠN DÃY SỐ
4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN
5- TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN
6- GIỚI HẠN KẸP

KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG – ĐẠI HỌC)
-
Giới hạn: Khái niệm cơ bản của Giải tích. “Không có giới
hạn thì giải tích không tồn tại. Mỗi khái niệm của giải tích
đều là giới hạn theo một nghóa nào đó”
Đạo hàm (theo đònh nghóa): giới hạn ∆y / ∆x
Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến = lim Hsgóc dây cung
Ứng dụng vật lý: Vận tốc tức thời = lim Vận tốc trung bình
Độ dài đường cong = lim độ dài đường gấp khúc nội tiếp
Diện tích hình thang cong (tích phân) = lim S hình chữ nhật
Giới hạn:




số hàm hạnGiới
số dãy hạnGiới

DÃY SỐ THỰC
-
Tập hợp vô hạn các số được đánh số từ 1 đến ∞: x
1
, x
2
… x
n
…
⇒ Dãy số {x
n
}
n ≥ 1
(hoặc từ 0 đến ∞: x
0
, x
1
… x
n
… → {x
n
}
n ≥ 0

)
VD: Dãy số nguyên dương:1, 2, 3, 4 … Dãy số chẵn: 2, 4, 6 …
Câu hỏi: Tìm số hạng cuối cùng của 1 dãy số?
Thông thường, dãy số được xác đònh theo 1 công thức tổng
quát dành cho số hạng thứ n
VD: Dãy
{ }






+
→






+
=
≥

14
3
,
3
2

,
2
1
1
1
n
n
n
n
x
n
n
{ } ( )
{ }
( ) ( )
{ }
 112,1,01
1
0
−−−→−=
−
≥
nnx
n
n
n
n
x
n-1
: số hạng thứ

n của {x
n
}
n ≥ 0
!

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT – SỐ HẠNG THỨ n
-
VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của các dãy {x
n
}
n≥1
:
,
8
1
,
4
1
,
2
1
/a
,
4
3
,
3
2
,

2
1
/
−
b
,5,3,1/c
1/ Dãy hằng 1, 1 … 1 …: Hữu hạn giá trò & vẫn vô hạn phần tử
2/ Dãy các số nguyên tố: 1, 2, 3, 5 … : Công thức tổng quát?
Có thể xem dãy số {x
n
} với số hạng tổng quát: x
n
= f(n) như
hàm số từ tập số nguyên dương N* → R.
VD: Dãy số chính phương 1, 4, 9, 16 … ⇒ x
n
= n
2
⇒ f(x) = x
2
ĐS:
n
a
2
1
/
( )
1
1/
1

+
−
+
n
n
b
n
12/ −nc
Maple: > n^2 $n = 1 5;
> array( [ [n, n^2]$
n = 1 5 ]);

DÃY TĂNG – GIẢM: ĐƠN ĐIỆU

{x
n
} TĂNG: x
n
≤ x
n+1
∀ n ≥ 1. Tổng quát: x
n
≤ x
n+1
∀ n ≥ N
0
VD:
nnn
xx
n

xa −→+++=
+1
:
1
2
1
1/ HIỆUxét nênTỔNG chứa
{x
n
} GIẢM: x
n
≥ x
n+1
∀ n ≥ 1. Tổng quát: x
n
≥ x
n+1
∀ n ≥ N
0
n
n
n
x
x
n
n
x
1
2,
1

1
2
1
1
+
→≥






−






−= THƯƠNG Xét TÍCH dạng dương,:
Dãy {x
n
} LUÔN tăng hoặc LUÔN giảm (từ N
0
nào đó): dãy
ĐƠN ĐIỆU
:
43
32
/

−
−
=
n
n
xb
n
( )
!'&
43
32
f
x
x
xf tính xét SỐ HÀM giống bthức
−
−
=→

DÃY BỊ CHẶN – DÃY CON

{ }
∞=<<<
∞→
k
k
knn
nnnxx
k
lim,,,,,

1
1

{x
n
} ⇒ Dãy con

VD: Dãy
→






−− 
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
{x
n
} bò chặn trên: x

n
≤ M ∀ n ≥ 1. Tổng quát: x
n
≤ M ∀ n ≥ N
0
Dãy bò chặn trên lẫn dưới: gọi chung bò chặn ⇒ m ≤ x
n
≤ M
{x
n
} bò chặn dưới: x
n
≥ m ∀ n ≥ 1. Tổng quát: x
n
≥ m ∀ n ≥ N
0
VD: Xét tính bò chặn của các dãy
{ }
( )
{ }
ncb
n
a
n
n
1/3/
1
/
2
−







a/ Bò chặn. Trên: 1, Dưới: 0. b/ Dưới: 0. c/ K0 bò chặn trên, dưới
Chú ý: Từ dãy {x
n
} → Hay xét 2 dãy con {x
2n – 1
} & {x
2n
}
Dãy con
↓






−−↑






:

5
4
,
3
2
&:
4
3
,
2
1


GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ CHỊU”
-
Lập bảng giá trò 2 dãy số sau. Quan sát và rút ra kết luận
1
/
+
=
n
n
xa
n
( )
1
1/
+
−=
n

n
yb
n
n

































5 0.835 -0.835
10 0.910 0.910
15 0.940 -0.940
20 0.950 0.950
25 0.960 -0.960
30 0.970 0.970
Nhận xét: n tăng, x
n
đến gần 1 còn y
n
đến
gần ±1 ⇒ Khi n → ∞: Giá trò x
n
≈ 1, còn
y
n
KHÔNG đến gần giá trò cụ thể nào!
Đònh nghóa (“dễ chòu”): Dãy {x
n
} có
giới hạn bằng a ⇔ x
n
≈ a khi n đủ lớn
Mánh: n đủ lớn (n = 1000) &

MTBTúi → 0.50025 → (b)!
:
2
sin
lim
2
23
nn
nn
n
−
+
∞→
0/a
21/b
1/c
∞/d

GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ
-
Có ghạn: Hội
tụ. K0 có ghạn
(hoặc lim = ∞):
phân kỳ
Dãy {x
n
} hội tụ về a ⇔
00
:,0 NnaxNN
n

≥∀<−∈∃>∀⇔
εε
00
:,0 NnaxaN
n
≥∀+≤≤−∃>∀⇔
εεε
hạn hữu:lim ax
n
n
=
∞→
a
ε
−
a
ε
+
a
1
x
1000
x
0
N
x
1
0
+
N

x
Toán học (ngôn ngữ ε – N
0
):
x
n
“rất gần” a, n đủ lớn ⇔ ∀ε > 0 ∃ N
0
: | x
n
– a | < ε ∀ n ≥ N
0
VD: Xét dãy {n/(n + 1)} a/ “Đoán” lim x
n
b/ Với lim vừa đoán & ε = 10
-2
, 10
-3
⇒ N
0
= ?
c/ Chứng minh chặt chẽ (a)
1
1
lim =
+
∞→
n
n
n

Đoán""
?
101
1
0
1
=≥⇒
=≤−
+
−
Nn
n
n
ε

GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY PHÂN KỲ
-
00
:, lim NnMxNNMx
nn
n
≥∀>∈∃∀⇔∞=
∞→
bất kỳlớn
Giới hạn = ±∞ (vẫn là phân kỳ): Không thể xét | x
n
– a | !
Đònh nghóa {x
n
} phân kỳ: Phủ đònh (lôgich) mệnh đề hội tụ

Hội tụ:
00
:0, NnaxNNRa
n
≥∀<−∈∃>∀∈∃
εε
luôn
εε
≥−≥∃∈∀>∃∈∀ axNnNNRa
n
để
00
:0,
Phân kỳ:
00
:,( lim NnMxNNMx
nn
n
≥∀<∈∃∀⇔∞=
∞→
ýtuỳ âm)
Thực tế tìm giới hạn: Ít dùng cách chứng minh = đònh nghóa!

TÍNH CHẤT GIỚI HẠN

( )
( )
( )








≥≥=
≠=
±=±
⇒∃
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→
0lim&0limlim
0limlimlimlim
limlimlim
lim,lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn

n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
xxxx
yyxyx
yxyx
yx
n
:ĐK
:ĐK
lim tổng (hiệu, tích, thương, căn v.v…) = Tổng (hiệu … ) lim
lim x
n
= a ⇔ Mọi dãy con của {x
n
} đều → a:
ax
k
n
k
=
∞→

lim
Dãy {x
n
} phân kỳ ⇔
∃ một dãy con phân kỳ của {x
n
}
∃ hai dãy con hội tụ có lim ≠ nhau
VD: Chứng tỏ dãy {x
n
} = {(–1)
n
} phân kỳ

GIỚI HẠN CƠ BẢN






=⇒<<
∞=⇒>
∞→
∞→
0lim10
lim1
n
n
n

n
aa
aa





=⇒<
∞=⇒>
∞→
∞→
0lim0
lim0
α
α
α
α
n
n
n
n
Hàm mũ:Lũy thừa:
∞=
∞→
2
lim/ na
n
0
1

limlim/
21
==
∞→
−
∞→
n
nb
nn
VD: (Tổng cấp số nhân)






++++
∞→
n
n
2
1
4
1
2
1
1lim 
KQ:
2
211

1
=
−
( )
n
n
qqq ++++
∞→

2
1lim
Tổng quát:
Hdẫn:
q
q
qq
n
n
−
−
=+++
+
1
1
1
1

Số e:
a
n

n
n
n
e
n
a
e
n
=






+=






+
∞→∞→
1lim&
1
1lim
1lim
=
∞→

n
n
n
Hay gặp:
0
3
1
lim&2lim/ =






∞=
∞→∞→
n
n
n
n
c

NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN

Biến đổi biểu thức cần tính lim về giới hạn cơ bản & thay vào
VD: Tính giới hạn:
1
12
lim
2

2
−
+
∞→
n
n
n
nn
nn
n
524
253
lim
⋅+
−⋅
∞→
( )
1lim −−
∞→
nn
n
Giải:
[ ]
[ ]
( )
( )
2
01
02
1lim1

1lim2
11
12
lim
1
12
lim
2
2
22
22
2
2
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
∞→
∞→
∞→∞→
n
n

nn
nn
n
n
n
n
nn
( )
[ ]
( )
[ ]
2
3
2545
5235
lim
524
253
lim =
+
−
=
⋅+
−⋅
∞→∞→
n
n
n
n
n

nn
nn
n
( )
( )
( )
0
111
1
lim
1
1
lim1lim =
−+
=
−+
−−
=−−
∞→∞→∞→
nnnn
nn
nn
nnn
Thực tế:
:
1
12
lim
1
12

lim
2
2
2
2
−
+
→
−
+
∞→∞→
x
x
n
n
xn
Giới hạn hàm → Lôpitan …

GIỚI HẠN KẸP

Cho 3 dãy {x
n
}, {y
n
}, {z
n
}






==
≥∀≤≤
∞→∞→
azx
Nnzyx
n
n
n
n
nnn
limlim
0
ayy
n
n
n
n
=∃⇒
∞→∞→
lim&lim
nnn
zyx ≤≤
a
Hệ quả (hay sử dụng):
0lim0lim&0 =⇒=∀≤≤
∞→∞→
n
n

n
n
nn
xynyx
VD:
1
sin
lim
2
+
∞→
n
nn
n
n
n
n






∞→
1000
lim
n
n
n
n!

lim
∞→
VD:
n
n
n
∞→
lim
0
121!
0 →≤
⋅
⋅
=<
nnnn
n
n
n
n


0
11
sin
0
22
→
+
≤
+

≤
n
n
n
nn
Với n ≥ 2000:
0
2
11000
0 →






≤






<
nn
n
Côsi:
1
11
111

→
+++
≤⋅⋅=≤
n
nn
nnn
n
n



TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS
-
Tiêu chuẩn Weirstrass: Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ
Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ
Chứng minh dãy hội tụ → Hay dùng: Tính đơn điệu & bò chặn
VD: Chứng minh tồn tại giới hạn (số e)
n
n
n






+
∞→
1
1lim

Giải: Dãy tăng:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+≤






+⇔






+
+≤







+
+
+
nnnn
n
nnn
Bđt Côsi:
( ) ( )
1
1
1
1
111
1
111
1
1
1
1
+
+=
+
++
=

+
+++
≤⋅






+
+
nn
nn
n
n
n
n
n

Bò chặn trên: Xem SGK, Đỗ Công Khanh, trang 18 – 19

TỔNG KẾT

Các kỹ thuật chứng minh dãy hội tụ
Chứng minh dãy phân kỳ: Chỉ ra 2 dãy con có lim khác
nhau hoặc tối thiểu một dãy con không có giới hạn

Bằng đònh nghóa: Tìm giá trò a = limx
n
. Giải |x

n
− a| ≤ ε

Chặn x
n
từ 2 phía ⇒ Tính chất 3 dãy kẹp

Chứng minh dãy tăng & chặn trên (giảm & chặn dưới)

Tính giới hạn: Đưa về biểu thức theo các giới hạn cơ bản
BT: Sách giáo khoa & Bổ sung (xem trên web)
Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/(n+1), n=infinity)