Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

biện luận phương trình mũ và logarit

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (109.72 KB, 6 trang )

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
B. Giải và biện luận phương trình logarit:
I. Nhắc lại về hàm số logarit:
1. Khái niệm: Hàm số logarit có dạng
xlogy
a
=
( a > 0,
1a

)
TXĐ: x > 0.
2. Tính chất:
. a > 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số đồng biến
. 0 < a < 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số nghịch biến.
.
1alog
a
=
,
01log
a
=


,
x)a(log
x
a
=
,
xa
xlog
a
=
.
2a1a21a
xlogxlog)x.x(log +=
.
2a1a
2
1
a
xlogxlog
x
x
log −=
.
)0x,Rm(xlogmxlog
a
m
a
>∈=
.
)0,0x(xlog

1
xlog
a
a
≠α>
α
=
α
.
)0x,1b,a,b,a0(xlog.blogxlog
baa
>≠<=
.
alog
1
blog
b
a
=
II. Phương trình logarit:
1. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.
2. Phương trình logarit đơn giản:
.
blogxlog
aa
=
(a > 0, a

1, b > 0)


x = b
.
c
a
axcxlog =⇔=
(x > 0, a > 0, a

1)
. Dạng tổng quát:
)x(hlog)x(flog
)x(g)x(g
=




>=
≠>
0)x(h)x(f
1)x(g,0)x(g
3. Phương pháp giải:
a. Phương pháp mũ hoá ( chuyển về cùng 1 cơ số):
Ví dụ 1. Giải phương trình:
)1(xlogxlogxlogxlog
10432
=++
Giải.
đk: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
xlog.logxlog

233
2=
;
xlog.logxlog
244
2=
;
xlog.logxlog
21010
2=
(1)


02221
10432
=−++ )logloglog(xlog



0
2
=xlog


x = 1.
Ví dụ 2. (Đề 81) Giải phương trình
3
4
1
3

4
1
2
4
1
)6x(log)x4(log3)2x(log
2
3
++−=−+
(1)
Giải.
Ta có:
222
4
1
2
4
1
+=+ xlog)x(log
xlog)x(log −=− 434
4
1
3
4
1
636
4
1
3
4

1
+=+ xlog)x(log
Đk:





>+
>−
>+
06
04
02
x
x
x




<<−
−<<−
42
26
x
x
(1)

)x(log)x(logxlog 6343323

4
1
4
1
4
1
++−=−+


)]x)(x[(logxlog 6412
4
1
4
1
+−=−+



)]x)(x[(logxlog 6424
4
1
4
1
+−=+


06424 >+−=+ )x)(x(x





−+=+
+−−=+
24224
24224
2
2
xx)x(
xx)x(






=−−
=−+
0222
0166
2
2
xx
xx









±=
−=
=
331
8
2
x
x
x


nghiệm:



−=
=
331
2
x
x
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình:
2x3xlog
2
32
+−
+
+
1xlog

32


=
[ ]
)2x(alog
347
+

, a > 0 (1)
Giải.
Đk:
2
x
– 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0

x > 2
Ta có:
))(( 3232 −+
= 1


1
32


xlog
=
1
1

32


+
xlog
)(
=
1
32
−−
+
xlog
23
2
32
+−
+
xxlog
+
1
32


xlog
=
1
23
2
32


+−
+
x
xx
log
=
)x(log 2
2
1
32

+
[ ]
)x(alog 2
347
+

=
[ ]
)x(alog
)(
2
2
32
+

=
[ ]
)x(alog 2
2

1
32
+

=
[ ]
)x(alog 2
2
1
32
+−
+
(1)


)x(log 2
2
1
32

+
=
[ ]
)x(alog 2
2
1
32
+−
+



x – 2 =
[ ]
1
2

+ )x(a



2
x
– 4 =
a
1


2
x
= 4 +
a
1
a > 0

nghiệm: x =
a
1
4 +±
.
x > 2


x =
a
1
4 +
.
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình:
a)
)(log
x
44
1
2
+
+
.
)(log
x
14
2
+
=
8
1
2
1
log
b)
3

x
log
+
xlog
3
=
3
x
log
+
xlog
3
+
2
1
c)
)x(log
x
125
.
xlog
2
25
= 1
d)
)xsin
x
(sinlog −
2
3

+
)xcos
x
(sinlog 2
2
3
1
+
= 0. (Đề 3)
2) Xác định m để phương trình:
)mmxx(log
22
4
4222 −+−
+
)mmxx(log
22
2
1
2−+
= 0
có nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn:
2
1

x
+
2
2
x
> 1.
Hướng dẫn:
pt


)mmxx(log
22
2
4222 −+−
=
)mmxx(log
22
2
2−+




>−+
−+=−+−
02
2422
22
2222
mmxx

mmxxmmxx




>−+
=−++−
02
0221
22
22
mmxx
mmx)m(x







>−+



−=
=
)(mmxx
mx
mx
202

1
2
22
2
1
phương trình có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
nên
1
x
,
2
x
điều kiện (2)

– 1 < 0

m <
2
1
2
1
x
+
2
2

x
> 1







<<
<<−
2
1
5
2
01
m
m
3) Tìm a để phương trình
)x(log
)ax(log
1
5
5
+
= 2 có nghiệm duy nhất. (đề 120)
Hướng dẫn:
pt







+=
≠+>+
>
2
55
1
1101
0
)x(log)ax(log
x;x
ax

2
x
+ (2 – a)x + 1 = 0 (2)
phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn:



≠<−
>
01
0
x
ax
4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)

b. Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình
[ ]
)x(log
)x(
14
2
1


= 8
3
1)x( −
Giải.
Đk:



>−
>−
01
014
x
)x(
Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:
[ ]
)x(log
)x(log
14
2

2
1


=
[ ]
3
2
18 )x(log −



[ ]
)x(log 14
2

.
)x(log 1
2

= 3 + 3
)x(log 1
2



[ ]
)x(log 12
2
−+

.
)x(log 1
2

= 3 + 3
)x(log 1
2

(1)
Đặt t =
)x(log 1
2



(1)


2
t
– t – 3 = 0.

phương trình có nghiệm:
2
131
1

=t
;
2

131
2
+
=t
.
2
131
1

=t



2
131
1
21

+=x
.
2
131
2
+
=t



2
131

2
21
+
+=x
Ví dụ 2. Giải phương trình
2.
2
2
2
)x( −
=
)x(log 2
2
Giải.
Đk:



≥−
>
02
02
x
x



2≥x
Đặt
1

2
−x
= y;
2≥y


x =
ylog
2
+ 1

Ta được hệ phương trình:



=
=
ylogx
xlogy
2
2
2
2





=
=

y
x
x
y
22
22


y.
y
2
= x.
x
2
(1)
Xét hàm số: f(z) = z.
z
e
; f'(z) =
z
e
+ 2
z
e
> 0
2≥∀z
f(z) đồng biến trên [2;
∞+
). Từ (1)


x = y


x
x
22 =
.
Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y =
x
2
tại 2 điểm:
1
x
= 1;
2
x
= 2.
từ
2≥x


x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình
9
2
log
x
=
2
x

.
xlog
2
3

3
2
log
x
(1)
Giải.
Đk: x>0
áp dụng công thức:
clog
b
a
=
alog
b
c
(1)


xlog
2
9
=
2
x
.

xlog
2
3

xlog
2
3



xlog
2
3
=
2
x
– 1.
Đặt t =
xlog
2



t
3
+ 1 =
t
4




t






4
3
+
t






4
1
= 1 (2)
Xét f(t) =
t






4

3
+
t






4
1
là hàm nghịch biến

(2) có nghiệm duy nhất t = 1

x = 2 là
nghiệm của (1)
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a)
)xx(log 1
2
2
−−
)xx(l og 1
2
3
−+
=
1

2
6
−− xxlog
b)
)(log
x
13
3

)(log
x
33
1
3

+
= 6
c)
xloglog
24
+
xloglog
42
= 2
d)
3
x
log
+
xlog

3
=
3
x
log
+
xlog
3
+
2
1
2) Giải và biện luận theo a
a)
axlog
x
.
xlog
a
= –
2
b) (
xlog
a
2
+ 2).
alog
xa
2
=
alog

x
a
x
log
a
2
3) Cho phương trình: (m – 3)
)x(log 4
2
2
1

– (2m + 1)
)x(log 4
2
1

+ m + 2 = 0
tìm m để phương trình có 2 nghiệm
21
x,x
thoả mãn 4 <
1
x
<
2
x
< 6
c. Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất:
Ví dụ 1. Giải phương trình:

)xxlg( 6
2
−−
+ x =
)xlg( 2+
+ 4 (1)
Giải.
Đk:
06
2
>−− xx
, x + 2 > 0

x > 3.
(1)

)xxlg( 6
2
−−

)xlg( 2+
= 4 – x


2
6
2
+
−−
x

xx
lg
= 4 – x

lg(x – 3) = 4 – x (2)
Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2).
y = lg(x – 3); y' =
3
1
−x
> 0 là hàm đồng biến
y = 4 – x là nghịch biến

x = 4 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2. Giải phương trình
)xx(log 22
2
322
−−
+
=
)xx(log 32
2
32
−−
+
(1)
Giải.
Đk:




>−−
>−−
032
022
2
2
xx
xx




>
−<
3
1
x
x
(1)


)xx(log 22
2
348
−−
+
=
)xx(log 32

2
347
−−
+
(2)
Đặt: a = 7 + 4
3
; t =
32
2
−− xx
(2)


)t(log
a
1
1
+
+
=
tlog
a
(3)
Đặt: y =
tlog
a
. (3)





+=+
=
y
y
)a(t
at
11

1+
y
a
=
y
)a( 1+



y
a
a






+1
+

y
a






+1
1
= 1
(4)
y = 1 là nghiệm của (4)
y > 1

VT < VP
y < 1

VT > VP

y = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
)x(log 3
5
2
+
= x.
Giải.
Đk: x > – 3
– 3 < x


0: phương trình vô nghiệm.
x > 0: Đặt
)x(log 3
5
+
= t





=
=+
x
t)x(log
t
2
3
5






=
=+
t
t

x
x
2
53

3
t






5
1
+
t






5
2
=1 (*)
t = 1 là nghiệm. VT của (*) là hàm nghịch biến

t = 1 là nghiệm duy nhất


x = 2 là
nghiệm duy nhất.
Bái tập áp dụng:
1) Tìm m để phương trình:
)x10(lg
2
+ lgx = m
a) có nghiệm.
b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10.
2) Giải phương trình:
)3x(log
xlog
2
6
+
=
xlog
6
.

×