biện luận phương trình mũ và logarit

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
B. Giải và biện luận phương trình logarit:
I. Nhắc lại về hàm số logarit:
1. Khái niệm: Hàm số logarit có dạng
xlogy
a
=
( a > 0,
1a
≠
)
TXĐ: x > 0.
2. Tính chất:
. a > 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số đồng biến
. 0 < a < 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số nghịch biến.
.
1alog
a
=
,
01log
a
=

,
x)a(log
x
a
=
,
xa
xlog
a
=
.
2a1a21a
xlogxlog)x.x(log +=
.
2a1a
2
1
a
xlogxlog
x
x
log −=
.
)0x,Rm(xlogmxlog
a
m
a
>∈=
.
)0,0x(xlog

1
xlog
a
a
≠α>
α
=
α
.
)0x,1b,a,b,a0(xlog.blogxlog
baa
>≠<=
.
alog
1
blog
b
a
=
II. Phương trình logarit:
1. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.
2. Phương trình logarit đơn giản:
.
blogxlog
aa
=
(a > 0, a
≠
1, b > 0)
⇔

x = b
.
c
a
axcxlog =⇔=
(x > 0, a > 0, a
≠
1)
. Dạng tổng quát:
)x(hlog)x(flog
)x(g)x(g
=
⇔



>=
≠>
0)x(h)x(f
1)x(g,0)x(g
3. Phương pháp giải:
a. Phương pháp mũ hoá ( chuyển về cùng 1 cơ số):
Ví dụ 1. Giải phương trình:
)1(xlogxlogxlogxlog
10432
=++
Giải.
đk: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
xlog.logxlog

233
2=
;
xlog.logxlog
244
2=
;
xlog.logxlog
21010
2=
(1)
⇔

02221
10432
=−++ )logloglog(xlog

⇔

0
2
=xlog

⇔
x = 1.
Ví dụ 2. (Đề 81) Giải phương trình
3
4
1
3

4
1
2
4
1
)6x(log)x4(log3)2x(log
2
3
++−=−+
(1)
Giải.
Ta có:
222
4
1
2
4
1
+=+ xlog)x(log
xlog)x(log −=− 434
4
1
3
4
1
636
4
1
3
4

1
+=+ xlog)x(log
Đk:





>+
>−
>+
06
04
02
x
x
x
⇔



<<−
−<<−
42
26
x
x
(1)
⇔
)x(log)x(logxlog 6343323

4
1
4
1
4
1
++−=−+

⇔
)]x)(x[(logxlog 6412
4
1
4
1
+−=−+

⇔

)]x)(x[(logxlog 6424
4
1
4
1
+−=+

⇔
06424 >+−=+ )x)(x(x
⇔




−+=+
+−−=+
24224
24224
2
2
xx)x(
xx)x(

⇔




=−−
=−+
0222
0166
2
2
xx
xx

⇔







±=
−=
=
331
8
2
x
x
x

⇒
nghiệm:



−=
=
331
2
x
x
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình:
2x3xlog
2
32
+−
+
+
1xlog

32
−
−
=
[ ]
)2x(alog
347
+
−
, a > 0 (1)
Giải.
Đk:
2
x
– 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0
⇒
x > 2
Ta có:
))(( 3232 −+
= 1
⇒

1
32
−
−
xlog
=
1
1

32
−
−
+
xlog
)(
=
1
32
−−
+
xlog
23
2
32
+−
+
xxlog
+
1
32
−
−
xlog
=
1
23
2
32
−

+−
+
x
xx
log
=
)x(log 2
2
1
32
−
+
[ ]
)x(alog 2
347
+
−
=
[ ]
)x(alog
)(
2
2
32
+
−
=
[ ]
)x(alog 2
2

1
32
+
−
=
[ ]
)x(alog 2
2
1
32
+−
+
(1)
⇔

)x(log 2
2
1
32
−
+
=
[ ]
)x(alog 2
2
1
32
+−
+

⇔
x – 2 =
[ ]
1
2
−
+ )x(a

⇔

2
x
– 4 =
a
1
⇔

2
x
= 4 +
a
1
a > 0
⇒
nghiệm: x =
a
1
4 +±
.
x > 2

⇒
x =
a
1
4 +
.
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình:
a)
)(log
x
44
1
2
+
+
.
)(log
x
14
2
+
=
8
1
2
1
log
b)
3

x
log
+
xlog
3
=
3
x
log
+
xlog
3
+
2
1
c)
)x(log
x
125
.
xlog
2
25
= 1
d)
)xsin
x
(sinlog −
2
3

+
)xcos
x
(sinlog 2
2
3
1
+
= 0. (Đề 3)
2) Xác định m để phương trình:
)mmxx(log
22
4
4222 −+−
+
)mmxx(log
22
2
1
2−+
= 0
có nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn:
2
1

x
+
2
2
x
> 1.
Hướng dẫn:
pt
⇔

)mmxx(log
22
2
4222 −+−
=
)mmxx(log
22
2
2−+
⇔



>−+
−+=−+−
02
2422
22
2222
mmxx

mmxxmmxx
⇔



>−+
=−++−
02
0221
22
22
mmxx
mmx)m(x

⇔





>−+



−=
=
)(mmxx
mx
mx
202

1
2
22
2
1
phương trình có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
nên
1
x
,
2
x
điều kiện (2)
⇒
– 1 < 0
≠
m <
2
1
2
1
x
+
2
2

x
> 1
⇒






<<
<<−
2
1
5
2
01
m
m
3) Tìm a để phương trình
)x(log
)ax(log
1
5
5
+
= 2 có nghiệm duy nhất. (đề 120)
Hướng dẫn:
pt
⇔






+=
≠+>+
>
2
55
1
1101
0
)x(log)ax(log
x;x
ax
⇔
2
x
+ (2 – a)x + 1 = 0 (2)
phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn:



≠<−
>
01
0
x
ax
4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)

b. Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình
[ ]
)x(log
)x(
14
2
1
−
−
= 8
3
1)x( −
Giải.
Đk:



>−
>−
01
014
x
)x(
Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:
[ ]
)x(log
)x(log
14
2

2
1
−
−
=
[ ]
3
2
18 )x(log −

⇔

[ ]
)x(log 14
2
−
.
)x(log 1
2
−
= 3 + 3
)x(log 1
2
−
⇔

[ ]
)x(log 12
2
−+

.
)x(log 1
2
−
= 3 + 3
)x(log 1
2
−
(1)
Đặt t =
)x(log 1
2
−

⇒
(1)
⇔

2
t
– t – 3 = 0.
⇒
phương trình có nghiệm:
2
131
1
−
=t
;
2

131
2
+
=t
.
2
131
1
−
=t

⇒

2
131
1
21
−
+=x
.
2
131
2
+
=t

⇒

2
131

2
21
+
+=x
Ví dụ 2. Giải phương trình
2.
2
2
2
)x( −
=
)x(log 2
2
Giải.
Đk:



≥−
>
02
02
x
x

⇒

2≥x
Đặt
1

2
−x
= y;
2≥y

⇒
x =
ylog
2
+ 1
⇒
Ta được hệ phương trình:



=
=
ylogx
xlogy
2
2
2
2

⇔



=
=

y
x
x
y
22
22

⇔
y.
y
2
= x.
x
2
(1)
Xét hàm số: f(z) = z.
z
e
; f'(z) =
z
e
+ 2
z
e
> 0
2≥∀z
f(z) đồng biến trên [2;
∞+
). Từ (1)
⇔

x = y
⇒

x
x
22 =
.
Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y =
x
2
tại 2 điểm:
1
x
= 1;
2
x
= 2.
từ
2≥x

⇒
x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình
9
2
log
x
=
2
x

.
xlog
2
3
–
3
2
log
x
(1)
Giải.
Đk: x>0
áp dụng công thức:
clog
b
a
=
alog
b
c
(1)
⇔

xlog
2
9
=
2
x
.

xlog
2
3
–
xlog
2
3

⇔

xlog
2
3
=
2
x
– 1.
Đặt t =
xlog
2

⇒

t
3
+ 1 =
t
4

⇔

t






4
3
+
t






4
1
= 1 (2)
Xét f(t) =
t






4

3
+
t






4
1
là hàm nghịch biến
⇒
(2) có nghiệm duy nhất t = 1
⇒
x = 2 là
nghiệm của (1)
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a)
)xx(log 1
2
2
−−
)xx(l og 1
2
3
−+
=
1

2
6
−− xxlog
b)
)(log
x
13
3
−
)(log
x
33
1
3
−
+
= 6
c)
xloglog
24
+
xloglog
42
= 2
d)
3
x
log
+
xlog

3
=
3
x
log
+
xlog
3
+
2
1
2) Giải và biện luận theo a
a)
axlog
x
.
xlog
a
= –
2
b) (
xlog
a
2
+ 2).
alog
xa
2
=
alog

x
a
x
log
a
2
3) Cho phương trình: (m – 3)
)x(log 4
2
2
1
−
– (2m + 1)
)x(log 4
2
1
−
+ m + 2 = 0
tìm m để phương trình có 2 nghiệm
21
x,x
thoả mãn 4 <
1
x
<
2
x
< 6
c. Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất:
Ví dụ 1. Giải phương trình:

)xxlg( 6
2
−−
+ x =
)xlg( 2+
+ 4 (1)
Giải.
Đk:
06
2
>−− xx
, x + 2 > 0
⇒
x > 3.
(1)
⇔
)xxlg( 6
2
−−
–
)xlg( 2+
= 4 – x
⇔

2
6
2
+
−−
x

xx
lg
= 4 – x
⇔
lg(x – 3) = 4 – x (2)
Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2).
y = lg(x – 3); y' =
3
1
−x
> 0 là hàm đồng biến
y = 4 – x là nghịch biến
⇒
x = 4 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2. Giải phương trình
)xx(log 22
2
322
−−
+
=
)xx(log 32
2
32
−−
+
(1)
Giải.
Đk:




>−−
>−−
032
022
2
2
xx
xx
⇒



>
−<
3
1
x
x
(1)
⇔

)xx(log 22
2
348
−−
+
=
)xx(log 32

2
347
−−
+
(2)
Đặt: a = 7 + 4
3
; t =
32
2
−− xx
(2)
⇔

)t(log
a
1
1
+
+
=
tlog
a
(3)
Đặt: y =
tlog
a
. (3)
⇔




+=+
=
y
y
)a(t
at
11
⇔
1+
y
a
=
y
)a( 1+

⇔

y
a
a






+1
+

y
a






+1
1
= 1
(4)
y = 1 là nghiệm của (4)
y > 1
⇒
VT < VP
y < 1
⇒
VT > VP
⇒
y = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
)x(log 3
5
2
+
= x.
Giải.
Đk: x > – 3
– 3 < x

≤
0: phương trình vô nghiệm.
x > 0: Đặt
)x(log 3
5
+
= t
⇒




=
=+
x
t)x(log
t
2
3
5

⇔




=
=+
t
t

x
x
2
53
⇒
3
t






5
1
+
t






5
2
=1 (*)
t = 1 là nghiệm. VT của (*) là hàm nghịch biến
⇒
t = 1 là nghiệm duy nhất
⇒

x = 2 là
nghiệm duy nhất.
Bái tập áp dụng:
1) Tìm m để phương trình:
)x10(lg
2
+ lgx = m
a) có nghiệm.
b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10.
2) Giải phương trình:
)3x(log
xlog
2
6
+
=
xlog
6
.