các bài toán bất phương trình, phương trình chứa tham số

1

MỘT VÀI DẠNG TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG CÁC KÌ THI ðẠI HỌC, CAO ðẲNG
Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long. E-mail:
*****
Bài toán tìm tham số, thường là
m
, ñể phương trình, hệ phương trình, bất phương trình (ñại số) có
nghiệm, vô nghiệm hoặc nghiệm ñúng trong một ñoạn, khoảng, nửa khoảng nào ñó trong cấu trúc của ñề thi
tuyển sinh ñại học, cao ñẳng thường ở mức ñộ khó, ñể giải ñược những dạng toán này, học sinh cần nắm vững
cơ sở lý thuyết liên quan.
Cho tập
D
≠ ∅
. Khi ñó
a) Dạng 1. Phương trình
(
)
m f x
=
có nghiệm trên
D

(
)
(
)
min max
f x m f x
⇔ ≤ ≤

.
b) Dạng 2.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
m f x
>
có nghi
ệ
m trên
D

(
)
min
m f x
⇔ >
.
c) Dạng 3.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)

m f x
≥
có nghi
ệ
m trên
D

(
)
min
m f x
⇔ ≥
.
d) Dạng 4.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
m f x
<
có nghi
ệ
m trên
D

(
)

max
m f x
⇔ <
.
e) Dạng 5.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
m f x
≤
có nghi
ệ
m trên
D

(
)
max
m f x
⇔ ≤
.
f) Dạng 6.
B
ấ
t ph
ươ

ng trình
(
)
m f x
>
nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x D
∈
(
)
max
m f x
⇔ >
.
g) Dạng 7.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)

m f x
≥
nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x D
∈
(
)
max
m f x
⇔ ≥
.
h) Dạng 8.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
m f x
<
nghi

ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x D
∈
(
)
min
m f x
⇔ <
.
i) Dạng 9.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
m f x
≤
nghi
ệ
m
ñ

úng v
ớ
i m
ọ
i
x D
∈
(
)
min
m f x
⇔ ≤
.
j) Dạng 10.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
m f x
>
vô nghi
ệ
m
⇔
B
ấ
t ph

ươ
ng trình
(
)
m f x
≤
có nghi
ệ
m.
L
ư
u ý: Gi
ả
s
ử

(
)
f x
là m
ộ
t hàm
ñơ
n
ñ
i
ệ
u trên
D
.

N
ế
u
[
]
,
D a b
=
thì hàm s
ố

(
)
f x
luôn t
ồ
n t
ạ
i giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ

t.
N
ế
u
[
)
,
D a b
=
ho
ặ
c
(
]
,
a b
ho
ặ
c
(
)
,
a b
,
a
có th
ể
là
−∞
,

b
có th
ể
là
+∞
, thì hàm s
ố
có th
ể
không
t
ồ
n t
ạ
i giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t. Trong tr
ườ
ng h
ợ

p này thì ta c
ầ
n l
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố

ñể

kh
ả
o sát.
T
ừ
nh
ữ
ng l
ư
u ý này, ta nh
ậ
n th
ấ
y r
ằ

ng, vi
ệ
c xác
ñị
nh chính xác t
ậ
p
D
là r
ấ
t quan tr
ọ
ng, ta c
ầ
n có các
k
ỉ
n
ă
ng
ñ
ánh giá
ñể
tìm t
ậ
p
D

ở
m

ỗ
i bài toán c
ụ
th
ể
.
Sau
ñ
ây là m
ộ
t s
ố
ví d
ụ
minh h
ọ
a cho d
ạ
ng toán này.
Bài toán 1.
Xác
ñị
nh
m

ñể
ph
ươ
ng trình
(

)
(
)
2
2 1 3 2 7 0
x x m x x m
− − + − + + + =
(1) có nghiệm.
Lời giải. ðặt
( )( ) ( )
2
1 3 1 4
t x x x
= − + = − + +
. Do
ñ
ó
0 2
t
≤ ≤
. Ph
ươ
ng trình trên tr
ở
thành
2
2
4
2
2 4 0

t
t
t mt m m
+
+
+ + + = ⇔ =−

(2).
Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m n
ế
u ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
[
]
0,2
t
∈
hay
[ ]
(
)
[ ]
(

)
0,2
0,2
min max
f t m f t
≤ ≤
, trong
ñ
ó
(
)
2
4
2
t
t
f t
+
+
= −
.

Xét hàm s
ố

(
)
2
4
2

t
t
f t
+
+
= −
,
[
]
0, 2
t
∈
.
ðạ
o hàm c
ủ
a hàm này là
( )
( )
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2 2 4
4 4
2 2
'
t t t

t t
t t
f t
+ − +
+ −
+ +
= − = −
.
Ta có
(
)
' 0 2 2 2 2 2 2( )
f t t t l
= ⇔ = − ∨ = − −
.

2

Giá trị của hàm số tại ñiểm tới hạn và ñiểm biên:
(
)
(
)
(
)
0 2, 2 2 2 4 4 2, 2 2
f f f
= − − = − = −
.
Do

ñó
[ ]
(
)
[ ]
(
)
0,2
0,2
min 2,max 4 4 2
f t f t
= − = −
. Suy ra
2 4 4 2
m
− ≤ ≤ −
.
Bài toán 2.
Xác
ñị
nh
m

ñể
ph
ươ
ng trình
4 2
cos sin cos 2
x x x m

− = +
có nghi
ệ
m.
Lời giải. Chú ý rằng
2 2
cos 2 cos sin
x x x
= −
. Do ñó nếu ñặt
2
cos
t x
=
, phương trình ñã cho ñược viết
lại dưới dạng
2
m t t
= −
hay
(
)
m f t
=
(3), trong ñó
(
)
[
]
2

, 0,1
f t t t t
= − ∈
.
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
ph
ươ
ng trình (3) có nghi
ệ
m là
[ ]
(
)
[ ]
(
)
0,1
0,1
min max
f t m f t
≤ ≤
.
Xét hàm s
ố

(
)
[
]
2
, 0,1
f t t t t
= − ∈
. Ta có
(
)
(
)
[
]
1
2
' 2 1, ' 0 0,1
f t t f t t
= − = ⇔ = ∈
.
Giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ

i các
ñ
i
ể
m biên và
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n là
(
)
(
)
(
)
1 1
2 4
0 0, 1 0,f f f
= = = −
.
Do
ñ
ó
[ ]
(
)

[ ]
(
)
1
4
0,1
0,1
min , max 0
f t f t
= − =
. Suy ra
1
4
0
m
− ≤ ≤
.
Bài toán 3. Xác ñịnh
m
ñể phương trình
2 2 2
sin cos sin
1
3
2 .3 .12
x x x
m
+ =
có nghi
ệ

m thu
ộ
c
ñ
o
ạ
n
[
]
4
0,
π
.
Lời giải. Phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
2 2
2 2 2
sin sin
sin sin sin
1 1
6 36
2 3 .12
x x
x x x
m m
−
+ = ⇔ + =

.
ðặt
(
)
2
sin
1
6
x
t =
, phương trình ñược viết lại dưới dạng
2
t t m
+ =
(4).
Vì
4
0 x
π
≤ ≤
nên
2
1
2
0 sin x
≤ ≤
, suy ra
1
6
1

t
≤ ≤
.
Ph
ươ
ng trình (4) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi
(
)
(
)
1 1
6 6
,1 ,1
min min
f t m f t
   
   
   
≤ ≤
, trong
ñ
ó
(
)
2
f t t t

= +
.
Vì
(
)
f t
là hàm
ñồ
ng bi
ế
n trên
ñ
o
ạ
n
[
]
1,2
nên
(
)
(
)
1 6
1
6
6
1 2
f m f m
+

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
.
V
ậ
y
1 6
6
2
m
+
≤ ≤
.
Bài toán 4.
Xác
ñị
nh
m

ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2
1 1

3 1 0
x x
x x
m
+ +
+ + − >
(5) th
ỏ
a mãn v
ớ
i m
ọ
i
0
x
>

Lời giải. ðặt
1
x
x
t
+
=
, với
0
x
>
ta có
2

2
x
x
t
≥ =
.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình (5)
ñượ
c vi
ế
t l
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng
2
3 1
t t m
+ + >
.
Xét hàm s
ố
(
)

2
3 1
f t t t
= + +
,
[
)
2,
t
∈ +∞
. Ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên


T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên, ta th
ấ
y r
ằ
ng b
ấ
t ph

ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi
[
)
(
)
2,
min
m f t
+∞
<
hay
11
m
<
.
Bài toán 5.
Xác
ñị
nh
m

ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình

(
)
1
2
2
log 2 3
x x m
− + > −
(6)
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x
thu
ộ
c
[
]
0, 2
.
Lời giải.
Ta c
ầ
n xác
ñị
nh
m

sao cho v
ớ
i m
ọ
i
[
]
0,2
x
∈
, ta ph
ả
i có
t

2
+∞

(
)
'
f t

+
(
)
f t


+∞

11

3

( )
2
3
2
1
2
2
2 (6.1)
0 2
8 2 (6.2)
m x x
x x m
m x x
−


> − +

< − + < ⇔


− <− +


.

ðiều kiện ñể (6.1) xảy ra là
[ ]
(
)
0,2
max
m f x
>
,
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
(6.2) x
ả
y ra là
[ ]
(
)
0,2
8 min
m f x
− <
, trong
ñ
ó
(

)
2
2
f x x x
= − +
.
Xét hàm s
ố

(
)
2
2
f x x x
= − +
,
[
]
0,2
x
∈
. Ta có
(
)
(
)
' 2 2, ' 0 1
f x x f x x
= − + = ⇔ =
.

Giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i các
ñ
i
ể
m biên và
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n là
(
)
(
)
(
)
0 0, 1 1, 2 0
f f f
= = =

.
Do
ñ
ó
[ ]
(
)
[ ]
(
)
0,2
0,2
max 1,min 0
f x f x
= =
. Suy ra
1 8
m
< <
.
Bài toán 6.

[Khối A_2002] Cho phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
(7). ðịnh
m

ñể phương
trình trên có ít nhất một nghiệm thuộc
3
1,3
 
 
 
.
Lời giải.

ðặ
t
2
3
log 1
t x
= +
, phương trình (7) ñược viết lại dưới dạng
2
2 2
t t m
+ = +
(8).
V
ới
3
1,3
x
 
∈

 
 
thì
[
]
1,2
t
∈
. Ph
ươ
ng trình (7) có nghi
ệ
m
3
1,3
x
 
∈
 
 
khi và ch
ỉ
khi ph
ươ
ng trình (8) có
nghi
ệ
m
[
]

1,2
t
∈
hay
[ ]
(
)
[ ]
(
)
1,2
1,2
min 2 2 max
f t m f t
≤ + ≤
, trong
ñ
ó
(
)
2
f t t t
= +
.
Vì
(
)
f t
là hàm
ñồ

ng bi
ế
n trên
ñ
o
ạ
n
[
]
1,2
nên
(
)
(
)
1 2 2 2 2 2 2 6 0 2
f m f m m
≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤
.
V
ậ
y
0 2
m
≤ ≤

Bài toán 7 [Khối D_2004]
Tìm
m

ñể
h
ệ
ph
ươ
ng trình
1
1 3
x y
x x y y m


+ =




+ = −



có nghi
ệ
m.
Lời giải.

ðặ
t
, , 0, 0
a x b y a b

= = ≥ ≥
. H
ệ

ñ
ã cho tr
ở
thành
3 3
1 1
1 3
a b a b
a b m ab m
 
+ = + =
 
 
⇔
 
 
+ = − =
 
 

Nh
ư vậy
,
a b
là hai nghiệm của phương trình
2

0
t t m
− + =
(9). Vì
, 0
a b
≥
và
1
a b
+ =
nên
[
]
0,1
t
∈
.
Phương trình (9) có nghiệm
[
]
0,1
t
∈
khi và chỉ khi
[ ]
(
)
[ ]
(

)
0,1
0,1
min max
f t m f t
≤− ≤
, v
ớ
i
(
)
2
f t t t
= −
.
Ta có
(
)
(
)
1
2
' 2 1, ' 0f t t f t t
= − = ⇔ =
.
Giá tr
ị
c
ủ
a

(
)
f t
t
ạ
i
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n và
ñ
i
ể
m biên là
(
)
(
)
(
)
1 1
2 4
0 1 0,f f f
= = = −
.
Do

ñ
ó
[ ]
( )
[ ]
( )
0,1
0,1
1
min ,max 0
4
f t f t
= − =
. Suy ra
1
4
0
m
− ≤− ≤
hay
1
4
0 m
≤ ≤
.
Bài toán 8 [Khối A_2007] Tìm
m
ñể phương trình
2
4

3 1 1 2 1
x m x x
− + + = −
(10) có nghiệm.
Lời giải. ðiều kiện
1
x
≥
. Phương trình (10) tương ñương với
24
1 1
1 1
3 1 2 1 1 3 2
x x
x x
x x m x m
− −
+ +
− − + − = + ⇔ − + =
(11).
ðặt
1
2
4
4
1 1
1
x
x x
t

−
+ +
= = −
, vì
1
x
≥
nên
0 1
t
≤ <
. Phương trình (11) trở thành
2
3 2
t t m
− + =
(12).
Nh
ư vậy phương trình (10) có nghiệm khi và chỉ khi (12) có nghiệm
[
)
0,1
t
∈
.
ðặt
(
)
2
f t t t

= −
, ta có
(
)
(
)
1
3
' 6 2, ' 0f t t f t t
= − + = ⇔ =
.

4

Hàm số
(
)
f t
ñồng biến trong
(
)
1
3
0,
, nghị
ch bi
ế
n trong
(
)

1
3
,1
và
(
)
(
)
(
)
1 1
3 3
1
0 0, , lim 1
t
f f f t
→
= = = −
.
Do
ñó
1
3
1 m
− < ≤
.
Một số bài tập tự luyện
1. Xác ñịnh
m
ñể phương trình

(
)
(
)
3 6 3 6
x x x x m
+ + − − + − =
có nghiệm. ðS.
6 2 9
2
3
m
−
≤ ≤
.
2. Xác
ñị
nh
m

ñể
ph
ươ
ng trình
6 4 4 2 2
3cos 2 sin cos 2 cos . 1 3cos 2
x x x m x x
+ + − = +
có nghi
ệ

m.
ð
S.
3. Xác
ñị
nh
m

ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình
2
2 3 1
x x m x
− + ≥ −
th
ỏ
a mãn v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
ℝ
.
ð

S.
2 2
m
≤
.
4. Xác
ñị
nh
m

ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình
2
2 5
x x m
+ − <
có nghi
ệ
m.
ð
S.
2 5
m
>
.
5. Xác

ñị
nh
m

ñể
ph
ươ
ng trình
2 2
cos 4 cos 3 sin
x x m x
= +
có nghi
ệ
m trong
(
)
2
0,
π
. ðS.
3 1
m
− ≤ <
.
6. Xác ñịnh
m
ñể bất phương trình
(
)

2
.4 1 .2 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >

ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
ℝ
.
ð
S.
1
m
≤
.
7. Xác
ñị
nh
m

ñể
ph

ươ
ng trình
2 2
9 4.3 0
x x
m
− − − −
− − =
có nghiệm. ðS.
3 0
m
− ≤ <
.
8. Xác
ñịnh
m
ñể bất phương trình
(
)
(
)
1
4
2
4
log 1 2 log 1 2 0
x m x m
+ + + + + >
ñúng với mọi
1

x
≥
. ðS.
2
m
<
.
9. [Kh
ối B_2007] Chứng minh rằng phương trình
(
)
2
2 8 2
x x m x
+ − = −
có hai nghiệm thực phân
bi
ệt với mọi giá trị dương của tham số
m
.
10. [Kh
ối D_2007] Tìm giá trị của tham số
m
ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực
3 3
1 1
3 3
1 1
5
15 10

x y
x y
x y
x y m

+ + + =





+ + + = −


