các bài toán hệ phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (325.7 KB, 15 trang )
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2015
Bài viết tổng hợp từ TOPIC của k2pi.net.vn. Bao gồm đề và lời giải của một số thầy (cô)
anh chị em của wed.
Bài 1: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng) :
3 2 3 2
2 2
3 3 2 6 6 1
2
x x x y y y
x y y x x y x y y x
Hướng dẫn giải:
(Nguyễn Văn Quốc Tuấn)
Điều kiện:
0, 0x x y y y x
Ta có:
2 2
2 2
2 2
2
3
2
x xy y
y x x y
y x x y x y y x x y
x xy y
x y y x
Khi đó:
2 2
1 5
1 5
2
1 5
2
, 0
2
2
1 5
, 0
, 0
1 5
2
0
2
, 0
, 0
x y
x y
x y
x y
y x xy
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
Với
1 5
2
, 0
x y
x y
thay lên phương trình còn lại ta được:
3 2
3 2
3 2
1 5 1 5 1 5
3 3. 2 6 6
2 2 2
3 3 5 15 3 5
4 5 0 0 0
2 2
y y y y y y
y y y y x
Với
0x y
thay lên phương trình trên thỏa mãn.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
; 0;0x y
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Bài 2: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3 2 3 2
2 2
3 3 2 6 6
2
x x x y y y
x y y x x y x y y x
Hướng dẫn giải:
(Hbtoanag)
Từ phương trình thứ 2 của hệ:
2 2
2 2
3 3
2 2
2
2 2
2
y x x y x y y x x y
y x x y x y y x
xy x y
y x x y x y y x xy
x y
y x x y x y y x
2
2 2
4
2
3
2
4 2
16
16 0
y x x y x y xy x y
y x x y x y
x y x y xy
Nếu một trong hai số
0x
hoặc
0y
thì từ phương trình thứ nhất nhận được số còn lại
là 0, nó cũng thỏa phương trình còn lại nên
0;0
là một nghiệm của hệ.
Đặt
3 2
( ) 3 3f t t t t
thì phương trình thứ nhất của hệ là
2f x f y
Do
2 2
( ) 3 6 3 3( 1) 0f t t t t
nên
f
đồng biến trên
.
Khi đó nếu
0x
thì
0 (0) ( ) 2 ( ) ( ) 0 0f f x f y f y y
.
Tương tự nếu
0x
thì dẫn đến
0y
.
Bây giờ ta lần lượt xét các trường hợp sau
Nếu
0x
thì
0y
khi đó phương trình thứ hai
2 2
0 2 ( ) ( ) 0x y y x x y x y y x
Với
0x
thì
0y
, đặt
y tx
,
0t
và thay vào phương trình thứ hai của hệ
2 2 2
2 ( ) ( )x t x tx x x tx x tx tx x
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
2
2
2 2
2
2
1
1 ,( )
2
( 1) 1
2
1
1 2 ,( )
t
t t t t a
t t t
t t t t
t t t t t b
Cộng hai phương trình
a
và
b
theo vế
2
2
2
2
2
4 1
2 1
2
3( 2 1)
2 1 1
2
2 1 3 1
t t
t t
t t
t t t t
t t t
2 1 3 1t t t
1
2
2 6 3 2
2 6 3 2
t
t
Với
1
2 6 3 2t
ta thay
1
y t x
vào phương trình thứ nhất của hệ được
3 3 2 2
1 1 1
(2 1) (6 3) (6 3) 0.t x t x t x
Để ý thấy các hệ số đều dương nên phương trình không thể có nghiệm dương.
Tương tự phương trình cũng vô nghiệm với trường hợp
2
t
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
0;0
.
Bài 4. Giải hệ phương trình (Phạm Kim Chung):
2
2 1 1 2
1
y x y y
x x y x x y
Hướng dẫn giải:
Phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
1
( )
1
2
2
4
0
y x x y x x
x y x
xy y x y y x
xy y x y
x x x
y x x y
y x x x y
xy y x x
x x
y x x x x y
y x x x x y
y x x y x x
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Bài 5: Giải hệ phương trình sau
2 2
3 2 2
3
( 1)( 1) 2
18 16 40 34 9 2 1. 1 3
x x y y
x y xy x x x
Hướng dẫn giải:
Bài 6: Giải hệ phương trình sau
(Nguyễn Duy Hồng)
3
3 2 3 2
3 2 3 2
3 3 3 3
4 6 3 4 6 3 2015
x x x y y y xy
y y y x x x xy
Hướng dẫn giải:
Bài 7: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3 4 4 3
3 3
2
2
y y x y x x
x y
x y xy
xy x y
Hướng dẫn giải:
(Trần Quốc Tuấn)
Ta thấy xy = 0 không phải là nghiệm của pt (2)
Chia cả 2 vế pt 2 cho xy ta được:
2
1
2. 1
(1 )
x y
xy
x y
xy
Đặt
x y
t
xy
Phương trình trở thành
2
2
0
1
2 1 1 1 2 1
3
1
2
t
t t t
t
t
Với
0 0t x
Thay vào phương trình (1) được nghiệm
4
1
2
x y
Với
3
2 3 0
2
t x y xy
(VN)
Bài 8: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3
3
3 3
2
2 2
1 1 1 1
1 1 2 1 3
x y y y x x
x x y y xy
Hướng dẫn giải:
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Bài 9: Giải hệ phương trình (Lê Đình Mẫn)
2014
2015
( 1) 2
( , )
2 3 4
x y x
x y
x x y
Hướng dẫn giải:
(Hbtoanag)
Điều kiện
0x
Xét phương trình thứ nhất của hệ
2014 2014
( 1) 2 1 1 [ 1;1].x y x x y y
Khi đó
2015 2
0 2 4 3 2 4 3 1 2( 1) 0x x y x x x
Do đó
1x
và
1y
Bài 10: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3 3 2
2 2
4 2 3
4 1 2 1 3
x y y x y y x
x x y y xy
Hướng dẫn giải:
(Hbtoanag)
Ta có
2 2
3 4 1 2 1 0xy x x y y
. Nhận thấy
0xy
không là nghiệm nên xét hai
trường hợp sau
Nếu
0x
thì
0y
và có
2 2
3 4 1 2 1 2 2 9 3 9.xy x x y y x x y y xy
Nếu
0x
thì
0y
và xét phương trình thứ nhất
3 2 2
4
0 3 2 3 3 2 2 0 2 .
2 2
x y y
xy x y xy xy x y x y y x
y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ, nhận được
2 2 2
4 1 2 2 4 1 6x x x x x
2
2 2 2
1
4 1 3 4 1 3
2 3
x x x x x x x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1 2
; ;
2 3 2 3
x y
Bài 11: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
4 4 4 4
2 2
9 11 2
2 1 2 1 9
x y x y
x x y y xy
Hướng dẫn giải:
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Bài 12: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
29 8 4 16 3
xy x x y y x y
y y y xy xy x y y xy
Hướng dẫn giải:
Bài 13: Giải hệ phương trình (Trần Quốc Tuấn)
2
8
4
2
2 4 8 1 1 2 4 ( ) 2 3 1
2 2 0
xy x y x xy x xy x y y x y
x y xy x y
Hướng dẫn giải:
Bài 14 : Giải hệ phương trình (Con Phố Quen)
2
2 2
5 8 1
8 8
1
8( ) 5
y y
y x xy
x x xy
x y
xy
Hướng dẫn giải:
Bài 15: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
2 2
2 2
2
10 7 16 10
x y
x y y x
x y x y xy
Hướng dẫn giải:
Bài 16: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
2
1 1 1
3 4 1 3 1 12 12 1
x x y y
y x x y
Hướng dẫn giải:
Điều kiện
1
3
1
x
y
Phương trình thứ nhất tương đương với
2 2
1 ( ) ( ) 1x x y y y x
Thay vào phương trình còn lại
2
2
3 4 1 3 1 12 12 1
12 1 4 2 1 3 3 12 9 0
4 1
1 12 3 1 ( 3) 0
2 1 3
x x x x
x x x x
x
x x x
x
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Ta có
2
1
2
x
x
nên
3
3 1 ( 3) (2 )( 3) ( )
2
x x x x f x
Dễ dàng có được
1
;1
3
1 35
min ( )
3 3
x
f x f
Do đó
4 1 35 1
12 3 1 ( 3) 12 0
3 3
2 1 3
x
x x
x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 1; 1x y
Bài 16*: Giải hệ phương trình (Đặng Thành Nam)
2 2
2
1 1 1
3 4 1 3 1 12 12 1
y x x y
y x x y
Hướng dẫn giải:
(Nguyễn Thế Duy)
Xử lý phương trình một như sau :
Đặt
2
2
2
2
1
2
1 0
1
1
2
a
x
a
a x x a
a
x
a
Và
2
2
2
2
1
2
1 0
1
1
2
b
y
b
b y y b
b
y
b
Khi đó phương trình
1
trở thành:
2 2 2 2
1 1 1 1
1
2 2 2 2
a b a b
a b a b
2 2
1
0 ( 0)
ab
ab a b a b VT
Bài 17: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2
2 2
2 2
3
1 1 2
x y xy
x y y x x y
Hướng dẫn giải:
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Cách 1: (Nguyễn Thế Duy)
Từ phương trình một ta có :
2
2 2 2 2
3 2 2 3 0 3 1x y x y xy xy xy xy
Xét phương trình hai chúng ta được :
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
x y y x x y
xy yx
x y
y x
y x
xy x y
y x
x y y x x y
xy x y
x y
Kết hợp với phương trình đầu ta suy ra được :
0x y
hoặc
2 2
1 1 1 1 3x y xy
Mặt khác :
2 2
4
3 1 1 1 1 4
3
xy x y xy
Kết hợp với điều kiện
xy
mà ta đã tìm ban đầu suy ra hệ phương trình đã cho tương đương
với :
2 2 2 2
0
3
x y
x y x y
Cách 2: (Con Phố Quen)
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 1 1 2 1 1 4 2
2 3 8 2 1 1 0
2 3 3 8 2 1 0
1
5 4 9 0
9
5
x y y x xy x y x y xy
x y x y xy xy x y
x y x y xy xy x y x y
xy
x y xy
xy
Bài 18: Giải hệ phương trình (Hbtoanag)
2 2 2
2
1 ( ) 2 2 2 3( 1)
.
2 2 3 5 6 3 2
x y x y y x x x
xy x x x x y
Hướng dẫn giải:
(Songviuocmo123)
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
2 2
1 ( ) 2( ) 2 1 1 (2 1) 2(2 1)x y x y x y x x x
Xét hàm
2
( ) 1 2f t t t t
Với
1t
1
( ) 2 2 0
2 1
f t t
t
Với
1t
Vậy hàm đồng biến
2 1 1x y x y x
Thế vào 2:
2 2
2 4 3 5 6 3 3 2x x x x x
Thấy
2
3
x
không phải là nghiệm nên điều kiện là
2
3
x
2
2 2
3 2
3 2
5 6 3 2 4 3
x x
x
x x x x
2 2
5 6 3 2 4 3x x x x x
2 2
2 2
2
2 2
5 6 3 2 4 3
3 2 5 6 3 2 4 3
2 1 5 6 3
1
5 1 5
2
4 4 1 5 6 3
x x x x x
x x x x x
x x x
x
x y
x x x x
Nghiệm
; 5 1; 5x y
Bài 19: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3 2 3
2 2 2 2
2 3 2015
1 1
x x y x x y y
x y y x x y
Hướng dẫn giải:
Bài 20: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
2 2
1 1
2 1 1
x y y y x
x y y x
Hướng dẫn giải:
(Hbtoanag)
Do
2x
không là nghiệm nên chia theo vế, ta nhận được
2
( 2) 1
x
y
x x
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Thay vào phương trình thứ nhất, ta được
2 2
2 2
2
1
1
( 2) ( 1) ( 2)
( 2) 1
x x x x
x
x x x
x x
4 3 2 2
4 6 4 4 1x x x x x x
do
0x
không là nghiệm và
2x
.
3 2
1 2 5
6 3 6 3 0
2 15
x x x x y
Bài 21
Tìm nghiệm dương của hệ phương trình (Hbtoanag)
2
2 2
(2 1) 3 1
.
2 3 4 1
xy x y y x y x
x xy x y y
Hướng dẫn giải:
(Thanh Phong)
Đặt
, 1, 1 3a x y b y c x
Ta có hệ sau :
2 2 2
(2 )
2
ab a b c
a c b
Cộng chéo vế ta được :
2 2
( ) ( ) 2 0a c b a c b
( 2 )( ) 0a c b a c b
Tới đây có :
1 3 2x x y
hoặc
1 2 1 3 0x y x
Thay y theo x vào phuơng trình 2 ta tìm được x.
Bài 20: Giải hệ phương trình (Trần Quốc Tuấn)
3 2
2 2
2 1 2 1 4 3 2
2 3 2 2 4 4
2
6 2 2
x y x x y
x x y x x y
Hướng dẫn giải:
Bài 23: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
3 2
1 1 2015
4 5 2
x y y x xy
x x x y x y x y y xy
Hướng dẫn giải:
(Nguyễn Thế Duy)
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Phương trình hai được viết lại thành:
2 2
4 3 2 5 0x y x xy y x y x y x y
Bài 24: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3
2 2
2
8 8 4 4
2 2
3 2 1 8
x y y x xy
x y x y xy
Hướng dẫn giải:
Bài 25: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
4 2 4 2
3 3 3 3
2015
1 1 1 1
x x x y y y
x y
xy xy x y x y
Hướng dẫn giải:
Bài 26: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3 2
12 1 8 1 4 1 7
3 2 1
y x y x
x y x x y x y y xy
Hướng dẫn giải:
Bài 27: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
1 1
1 1 1
x y y x x y xy
x y y x
Hướng dẫn giải:
(Past Present)
Điều kiện:
, 0x y
Đặt
1
1
a x x
b y y
(Với
, 1a b
)
1 1
2
1 1
1
1
1
2
1
1 1
1
2
1 1
1
2
x a
a
x a
x x
a
a
y y
y b
b
b
y b
b
1 1 1x y x y
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
1 1 1 1
4a b a b
b a b a
2
2 2
4 4
2 2
1 1 1 1
4 2 0
a b a b
a b
b a a b b a
Mà
4
4
1 0
1 0
a
b
Dấu "=" xảy ra khi
1a b
. Hay
0x y
Thay
0x y
vào phương trình
1
thỏa.
Nghiệm của hệ là
0;0
.
Bài 28: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3
8 5 7 1 1 3
16 1 12 1 8 1 9
x y y x y
x y y x
Hướng dẫn giải:
Bài 29: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
2
1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 1 2 1
x y y x
x y y x
Hướng dẫn giải:
(Lazyman)
Điều kiện của hệ phương trình:
1
1; .
2
x y
Phương trình thứ hai
2
1 2 1 2 (2 1) 1 2 1 .x y y x y
+ Nếu
0y
hệ có nghiệm
; 0;0x y
+ Nếu
0y
hệ tương đương với:
2
2
2
2 1
2 1
1
2 1 1
2 1 1
1
x
y y
x
x
y
x
2
2
2
2
2
2 1 1
( 2 1 1)
1
2 1 1
2 1 1
1
x
y
x
x
y
x
Từ đây suy ra
2
2 10
2 1 2 1
2
x x x
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Bài 30: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
2 2 2 2
3 1 1 2
2 5 30 6 10 1 5
x x y y x
y x x y xy y x
Hướng dẫn giải:
Bài 31: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
28
2 23
x x y y
x y x y xy
Hướng dẫn giải:
Bài 32: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2014 2014
2015 2015
2
2
x y
x y
Hướng dẫn giải:
Bài 33: Giải hệ phương trình sau ( Nguyễn Ngân)
3 3
2 (3 7) 3 1 2
(2 2) 27(2 5) 54
x y y x
x y y x
Hướng dẫn giải:
Bài 34: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2
35
6 175 25
x x y y
x y x y
Hướng dẫn giải:
Bài 35: Giải hệ phương trình (Trần Quốc Tuấn)
3 3
8( ) 9( 9) 0
2 1 0
x y x
xy
Hướng dẫn giải:
Bài 36: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
4 4 2 2 3 3
2 2
2
2 2 2 2
5
2 2 2 4
2
x y x y x y xy
x y
x y x y x y
Hướng dẫn giải:
Bài 37: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2
2 4
4 3
x y x y
x y xy
Hướng dẫn giải:
Bài 38: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
4
4 4
6 6
5
8 1125
x y xy
x y
Hướng dẫn giải:
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Bài 39: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2
3 36 18
24
2 9 9 4
3
x y x y
x y x y
x y
Hướng dẫn giải:
Bài 40: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2
2
2 1 1 2 1
1 2 1 1
y x x y
y x y y x
Hướng dẫn giải:
Bài 41: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2
21 7 315
7 1 7 14
x y x y
xy x y x
Hướng dẫn giải:
(Thanh phong)
Từ phương trình thứ hai của hệ ta thay
2
7 21 21y x x
vào phương trình đầu tiên:
2 2
( ) 7 21 21 15x x x x x
2
2
1 ( )( 4)
( 1)[ 7( 2)] 0
1
7 21 21
x x x
x x
x
x x
Vì
0 1x x
Vậy
, 1, 49x y
Bài 42: Giải hệ phương trình (Hungdang)
3 2 2 2
3 2
3 4 4 2 4 (1 2)( )
3 4 2( 2 1)
x xy x x y
y yx y xy
Hướng dẫn giải:
Bài 43: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
3
4 2
x x y y xy
x y x y xy
Hướng dẫn giải:
Bài 45: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3 2 3 3
3
3 2 3 3
3
3 3 1
3 3 1
x
x x x x y
y
y
y y y y x
x
Hướng dẫn giải:
Quảng Ngãi 02/19
Nothing Is Impossible
Bài 46: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3 3 2
3
3
2 2 2
1 1 2
1
9 3 9
x xy x y y xy xy
x x x xy y x xy
y
Hướng dẫn giải:
Bài 47: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
3
2 2
4
2 2 2 3 4
x y xy x y x y xy
x x y y y x xy x y
Hướng dẫn giải:
Bài 51: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
3
4 6 1 3 4 6
4 2 2 6 7 8 3 8 23
x y y x x y
y x y x y x
Hướng dẫn giải:
Bài 52: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2 2
3 2 2
3 1
1
x xy y x
x x y x x
Hướng dẫn giải:
Bài 53: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)
2
2 2 3 1
8 2 2( 2) 2 3
x y x y
x x y x x y
Hướng dẫn giải:
