tích phân xác định

1
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG

1.1.1 §Þnh nghÜa:
 !"
#$%&' !"($$)*$+
,
-
.

.
/
. .…
0
.
0#
. .…

,
#1*2$3 
04
!
0
"567$)*

60859:+
1 1
( )
n
S f x
x

= D
2 2
( ) f x
x
+ +D
( )
n n
f x
x
+ D
( )
1
n
k k
k
f x
x
=
= D
å
k
ξ
O
x
y
x
k – 1
ξ
k
f(ξ

k
)
x
k
2
#;<%0$=*!

>?@$*A$@$3
0BC%A$ !"D
$)*      3  
04
E 
0
" 8 $@$ 3 F GH D$ 5 
I*=J !"!0'$K%5

L$FF$0M !"
([a,b] lµ kho¶ng lÊy tÝch ph©n, a lµ cËn díi , b lµ cËn trªn, x lµ
biÕn sè lÊy tÝch ph©n, f(x) lµ h m s díi dÊu tÝch ph©n, f(x)dx à ố
lµ biÓu thøc díi dÊu tÝch ph©n).
n → +∞
k
x
( )
b
a
f x dx
∫
#;<% *= 5$C !" *=Jà ố ặ
FN%3$)*$ 3 !"8F0M 

!"
0
k
x∆ →
3
$ -E"3OP%567$)*
5?%*QM$I*2$3O!0$FF+
∆
0
,!,
0
,00,!/! !*0$… 

1
2
0
x dx
∫
1
2
0
x dx
∫
( )
2
max 0
1
lim
k
n

k k
x
k
x
x
D ®
=
= D
å
k
ξ
1
n
0
k
x
∆ →
1.1.2. VD:1

k
ξ
R8,
/
5$C -E"F0M -E"!>F
F+
1
n
n
→ ∞
4

1
2
0
x dx =
ò
2
1
1 1
lim .
n
n
k
k
n n
¥®
=
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
å
2
3
1
1
lim

n
n
k
k
n
¥®
=
=
å
2 2 2
3
1
lim (1 2 )
n
n
n
¥®
= + + +
3
( 1)(2 1)
li m
6
n
n n n
n
¥®
+ +
=
1
2

0
1
3
x dx =
ò
Vậy,
1
3
=
Do đó:
5
( )
b
a
f x dx
∫
S;<%-!∈ E"8-

S;<%≥

!∈ E"8+ ≥

S;<%*≤≤T!∀∈ E"T!*5P=J8+

*4≤≤T4
/6I
( )
*
b
a

k f x dx
ò
( )
*
b
a
f x dx
ò
( )
* [ ( )]
b
a
f x g x dx+
ò
( )
a
b
f x dx=-
ò
( )
b
a
f x dx
ò
( )
c
a
f x dx= +
ò
( )

b
c
f x d x
∫
( )
*
b
a
f x dx
ò
≥
∀
( )
b
a
f x d x= +
ò
( )
b
a
g x dx
∫
∀
( )
b
a
k f x dx=
ò
≥
( )

b
a
g x dx
∫
( )
b
a
f x dx
ò
6
* Giả sử trên [a, b], m ≤ f(x) ≤ M và g(x) khả tích.
+Nếu g(x) không đổi dấu trên [a, b] thì ∃ µ ∈ [m, M] sao cho :
f(x)g(x)dx ≤ µ g(x)dx.
Hệ quả: g(x) = 1: ∃ µ ∈ [m, M] sao cho f(x)dx = µ (b – a)
+Nếu f(x) ∈ C[a, b] thì ∃c ∈[a, b] sao cho:
f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx
Hệ quả: g(x) = 1: ∃c ∈[a, b] sao cho f(x)dx = f(c)(b – a).
*Tích phân trên miền đối xứng của hàm chẵn, hàm lẻ
+Nếu f( – x) = – f(x) thì f(x)dx = 0,
+Nếu f( – x) = f(x) thì f(x)dx = 2 f(x)dx
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b

a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
7
Vì 0 ≤ sin
2
x ≤ 1 trên [0; ] nên 1≤ .
2
2
0
1
1 sin
2
xdx
π
+

∫
2
1 3
1 sin
2 2
x
+ ≤
2
π
2
2
0
1
1 sin
2
xdx
p
+£ £
ò
3
2 2
π
VD:U@5GH$á I1V+W,ị
2
p
Do đó:

hay 1,57 ≤ I ≤ 1,92
8
dx x C

= +
∫
1
ln , ( 0)dx x C x
x
= + >
∫
1
, ( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C
= +
∫
,( 0, 1)
ln
x
x
a
a dx C a a

a
= + > ≠
∫
sinx osdx c x C
= − +
∫
os sinc dx x C
= +
∫
2
1
os
dx tgx C
c x
= +
∫
2
1
sin
dx cotgx C
x
=− +
∫
2 2
dx x
arctg C
a x a
= +
+
∫

2 2
1
ln
2
dx a x
C
a x a a x
+
= +
− −
∫
2 2
arcsin
dx x
C
a
a x
= +
−
∫
2 2
2 2
ln
dx
x x a C
x a
= + ± +
±
∫
1.3.Cách tính tích phân xác định

1.3.1.Các tích phân cơ bản
9
( )
( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = -
ò
0
sin ( cos ) os + cos0= 2
0
xd x x c
p
p
p
= - = -
ò
1.3.2Công thức Newton –Leibniz: Nếu F(x) là nguyên hàm của
hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì:

* VD:

10
1.4.1 Dạng 1: Cho trong đó f(x) liên tục trên [a;b],
thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t). Nếu:

+ ϕ(α) =a , ϕ( ) = b

+ ϕ(t) và ϕ’(t) liên tục trên [α; ].

+ f[ϕ(t)] liên tục trên [α; ]

( )
b
a
f x dx
∫
β
β
( )
b
a
f x dx =
ò
( ) ( )
'f t t dt
β
α
ϕ ϕ
 
 
∫
β
Khi đó ta có:
1.4. Phép đổi biến trong tích phân xác định
11
1

2
0
1 x dx
−
∫
2 2
t
π π
− ≤ ≤
2 2
1 cos cosx t t
− = =
1
2
0
1 x dx
−
∫
2
2
0
cos tdt
p
=
ò
2
0
1
(1 cos 2 )
2

t dt
p
= +
ò
1 sin 2
2
2 2
0
t
t
p
é ù
ê ú
= + =
ê ú
ë û
4
π
* VD: Tính:

Đổi biến x = sint với
;
2
p
Ta có: 0 = sin0; 1 = sin
Vậy
12
N<%5*5X
;<%5*Y
( )

0
0
2 ( )
a
a
a
f x dx
f x dx
−


=



∫
∫
( )
a
a
f x dx
−
=
∫
( )
0
a
f x dx
-
=

ò
( )
0
a
f x dx+
ò
( )
0
a
f x dx
−
∫
( )
0
a
f t dt- -
ò
( )
0
a
f x dx= -
ò
( )
a
a
f x dx
−
=
∫
[ ]

0
( ) ( )
a
f x f x dx
+ −
∫
( )
0
0
2 ( )
a
a
a
f x dx
f x dx
−


=



∫
∫
N<%5*5X
;<%5*Y
* VD: CMR nếu f(x) liên tục [-a;a] thì:

Thật vậy, ta có:
Trong tích phân thứ nhất ở VP đặt x = - t =>dx = - dt ta có:

ZF+
R97+
13
;<%*=J>G@$>6%F>3, ϕ"ϕ 8’
)
:$$<=Jϕ,;<%ϕ$<$[$K%F3
*ϕ 5$C E"\5$C ’ ϕEϕ"!
FB]+

( )
b
a
f x dx
∫
( ) ( )
'
b
a
g x x dx
j j
é ù
=
ê ú
ë û
ò
( )
b
a
f x dx
∫

( ) ( )
'
b
a
g x x dx
j j
é ù
=
ê ú
ë û
ò
( )
( )
( )
b
a
g t dt
j
j
=
ò
1.4.2.D¹ng 2:
14
2
2
0
cos
1 sin
x
dx

x
π
+
∫
0;
2
π
 
 
 
2
2
0
cos
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
1
2
0
1
dt
t
=
+
ò

4
p
=
* VD 1:1
,=$!F*,=$$<$[$K%!
>,=>
15
1
2
1
, (0 )
2 cos 1
dx
x x
a p
a
-
< <
- +
ò
1
2
1
2 cos 1
dx
x x
α
−
− +
∫

1
2 2
1
( cos ) si n
dx
x
a a
-
=
- +
ò
1
2
1
2 cos 1
dx
x x
α
−
− +
∫
1 cos
2 2
1 cos
sin
dt
t
a
a
a

-
- -
=
+
ò
1 1 cos 1 cos
( )
sin sin sin
arctg arctg
a a
a a a
- +
= +
2
2 sin
1 cos
2
,
sin 2
2 sin cos
2 2
tg
a
a a
a a a
-
= =
1 cos
cot ( )
sin 2 2 2

g tg
α α π α
α
+
= = −
1
2
1
1
( )
2 cos 1 sin 2 2 2 2sin
dx
x x
α π α π
α α α
−
= + − =
− +
∫
* VD 2:1
1F
;G8+
;+
Đặt t = x – cos , ta có dt = dx và:
a
16
^Vép lấy _?
`$ả sử %!5N*=JF3*5$C
E"!0$F+
b b

a a
b
udv uv vdu
a
= −
∫ ∫
* VD 1: 1
1
ln
e
xdx
∫
1F%,5,a>%,>
>,>,a,
1 1
ln ln ln ln1 ( 1) 1
1
e e
e
xdx x x dx e e e
= − = − − − =
∫ ∫
17
%,=$
4
!>,=$>!F>%,4=$
4/
=>!,4=
ZF+W,4==$
4

#4
2
0
x
π
2
2 2
0
sin cos
n
x xdx
π
−
∫
2
2 2
0
( 1) sin (1 si n )
n
n x x dx
p
-
= - -
ò
,4W
4/
44W

4
3

2
n
n
I
n
−
−
−
2
1
n n
n
I I
n
-
-
=Þ
2 2
2
0 0
( 1)[ sin sin ]
n n
n xdx xdx
p p
-
= - -
ò ò
17,4/!GH+W
4/
,

2
0
sin
n
xdx
π
∫
* VD 2:1W,!%7>G[
18
1$<CG97!F+
2
0
0
sin xdx
p
=
ò
2
0
sin cos 1
2
0
xdx x
p
p
= = - =
ò
W
-
<%Y

( ) ( )
( )
2
2 1 2 3 3.1.
.
2
2 2 2 4.2
m
m m
I
m m
p
- -
=
-
( ) ( )
( )
2 1
2 2 2 4.2.
(2 1) 2 1 5.3
m
m m
I
m m
+
-
=
+ -
2
p

=
W

<%5ẻ
Như vậy,
+ Nếu n chẵn (n = 2m) thì
+ Nếu n lẻ (n =2m+1) thì
2
0
dx
p
=
ò
19
2 2
3 3
x
− ≤ ≤
2
3
3 4
0
2.2 1 9S x x dx
p
= +
ò
25
9
2
3

25
9
1
4
36
dt
S t
p
=
ò
25
9
1
2
1
9
t dt
p
=
ò
3
2
25
2
9
9 3
1
t
p
=

125
( 1)
27 27
p
= -
# VD:1>$K*\7=$($=bc%7c%C
dI%7,
e
@$
R8J$]IGf7,
e
!g?h/>$K*
\7]@$$<$_-<
Ta có:
:$$<#i
j
,!GHek
e
>,>!
,0$,-!,0$,
2
3
Do đó: