SKKN Phát triển tính sáng tạo của học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cỏch

Phát triển tính sáng tạo cho học sinh
thông qua giải bài toán bằng nhiều cách
I. Lí DO CH N ð TÀI:
Lu t giáo d c ñi u 24 kho n 2 ñã ghi “Phương pháp giáo d c ph thơng
ph i phát huy đư c tính tích c c, t giác, ch ñ ng, sáng t o c a h c sinh; phù
h p v i ñ c ñi m t ng l p h c, môn h c, b i dư ng phương pháp t h c, rèn
luy n kĩ năng v n d ng ki n th c vào th c ti n, tác ñ ng ñ n tình c m đem l i
ni m vui, h ng thú h c t p cho h c sinh”.
Xu t phát t quan ñi m trên, ñ i v i m t trư ng tr ng ñi m ch t lư ng cao
thì cơng tác b i dư ng h c sinh gi i ln là v n đ ñư c ñ t lên hàng ñ u. Trong
quá trình b i dư ng h c sinh gi i, ñi u quan tr ng nh t là cho các em th y đư c
v đ p c a Tốn h c, ph i phát huy đư c tính tích c c, ch ñ ng, sáng t o cho
h c sinh. ð c bi t đ i v i b mơn Tốn thì y u t sáng t o là vơ cùng c n thi t,
nó khơng nh ng địi h i ph i n m ch c, v n d ng ki n th c cơ b n làm các bài
t p sách giáo khoa cũng như sách bài t p, mà nó cịn u c u h c sinh khá, gi i
ph i v n d ng t ng h p các ki n th c trên nh m tìm ra các đơn v ki n th c chưa
có s n cũng như khi gi i Tốn thì h c sinh khơng đư c t tho mãn v i phương
pháp, cách gi i c a mình mà ph i ñào sâu, suy nghĩ tìm ra các phương pháp gi i
t t hơn. Mu n có nhi u cách gi i cho m t bài tốn thì h c sinh c n ph i hi u bài
tốn đó, nhìn bài tốn đó dư i nhi u góc đ khác nhau, s d ng t ng h p các
ñơn v ki n th c, bi t ch t l c, v n d ng và sáng t o.
V a qua B Giáo d c và ðào t o ñã t ch c cu c thi gi i toán qua m ng
Internet cho h c sinh c p Ti u h c và Trung h c cơ s . ðây là cu c thi h t s c
b ích đ i v i các em h c sinh và giáo viên trong c nư c.Cu c thi ñã nh n ñư c
s ñ ng tình r t l n trong nhân dân; nh t là các em h c sinh.
Là m t giáo viên d y b i dư ng cho h c sinh l p 9 ơn luy n đ tham gia
cu c thi c p t nh và qu c gia, tơi nh n th y m t đi u là r t nhi u bài khơng có
m t d ng c th nào ho c n u có thì gi i theo d ng đó m t r t nhi u th i gian
nên khơng đáp ng đư c yêu c u, tính ch t c a cu c thi. Do v y s sáng t o v

cách gi i trong cu c thi này là h t s c quan tr ng.

Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 1


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách

ð i v i công tác b i dư ng h c sinh gi i Tốn khơng nh ng làm cho các
em n m ch c ki n th c cơ b n và kh năng v n d ng vào các d ng tốn mà đi u
quan tr ng đó là ngư i giáo viên c n ph i khơi d y ni m ñam mê h c tốn, phát
huy đư c s đ c l p, tích c c, sáng t o trong cách h c toán ñ i v i các em h c
sinh.
ða s các em h c sinh khi gi i m t bài toán nâng cao như m t bài toán v
s h c, ð i s hay Hình h c thì các em r t lúng túng trong vi c không bi t nên
b t ñ u t ñâu, v n d ng ki n th c gì,......
ð i v i m t bài tốn có th có nhi u cách gi i khác nhau, xu t phát t
nh ng góc đ nhìn nh n c a m i em h c sinh cũng như kh năng v n d ng các
ki n th c nào đó mà đi đ n các cách gi i cho m t bài toán. ði u này giúp các em
th y ñư c nét ñ p trong tốn h c, th y đư c nhi u cách gi i khác nhau, cách gi i
nào hay hơn, làm cho các em d hi u hơn, cách gi i nào cịn dài đ t đó các em
có s l a ch n cách gi i bài toán phù h p cho b n thân.
V i nh ng suy nghĩ như trên trong bài vi t này tác gi mong r ng nó s
đóng góp m t ph n h t s c nh bé, nh m bư c ñ u t o cho các em có cách c m
nh n, sáng t o và ngày càng yêu thích mơn Tốn hơn, th y đư c s mn màu
c a Tốn h c nó khơng khơ khan như các em v n th ng ngh.
II. Phạm vi đề tài

bi vi t này tác gi xin ñ c p ñ n ba lĩnh v c đó là: S h c, ð i s và
Hình h c v i các bài tốn sơ c p. Do khn kh bài vi t không dài nên m i lĩnh
v c như v y tác gi ch ñưa ra m t ho c hai ví d cùng v i nhi u cách gi i khác
nhau, ch s d ng ki n th c c p trung h c cơ s , có cách gi i dài, có cách gi i
ng n, có cách gi i hay cũng như có cách gi i chưa hay, có cách gi i các em h c
sinh đã bi t và có cách gi i mà các em chưa ñư c g p. Song ñi u mà tác gi
mong mu n đó là các em h c s nh không nên t tho mãn v i cách gi i c a mình
mà ln ln trăn tr , tìm tịi suy nghĩ đ tìm ra cách gi i đơn gi n hơn, ng n
g n hơn, và nh t là ñó ph i là s n ph m c a chính b n thân các em....
Cũng như trong bài vi t ng n này, dù các ví d khơng đ c p ñ n nhưng tác gi
r t mong các em hãy t nghĩ ra m t đ tốn khác, có th thay đ i m t s y u t ,
sáng t o ra các bài tốn khác, có nhi u cách gi i hay hơn. ð các em tư duy ngày
càng linh ho t hơn, h c gi i hơn.
Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 2


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cỏch

III. Nội dung đề tài
III.1: Kh o sỏt th c t :
• Ưu đi m:
Trư ng đóng trên đ a bàn th tr n nên ph huynh r t quan tâm ñ n vi c h c
t p c a con em mình, h c sinh có đi u ki n ñ mua s m các lo i sách ph c v
cho vi c h c t p c a b n thân.
Là m t trư ng tr ng ñi m ch t lư ng cao c a huy n, có b dày thành tích
trong cơng tác d y và h c, nh t là mũi nh n h c sinh gi i nên ñư c s r t l n c a

các c p, các ngành, ñ a phương, s chăm lo ñ u tư cơ s v t ch t, chun mơn,
đ i m i phương pháp d y h c c a Ban giám hi u nhà trư ng và đ i ngũ giáo
viên có năng l c sư ph m v ng vàng, nhi t tình, ch t lư ng d y h c đã ñư c
kh ng ñ nh qua nhi u năm qua, ñ c bi t công tác b i dư ng h c sinh gi i. ðây là
công vi c h t s c quan tr ng trong giai ño n ñào t o nhân tài cho ñ t nư c.
ða s các em h c sinh c a trư ng đ u thơng minh, chăm ngoan, h c gi i,
có ư c mơ, hồi bão do đó r t thu n l i cho công tác b i dư ng, phát huy kh
năng trí tu cho các em, đ c bi t là mơn Tốn địi h i s sáng t o khơng ng ng.
• Như c đi m:
Trong Tốn h c thì s nó bao hàm r t nhi u n i dung, d ng tốn khác nhau,
khơng có s h n ch trong các d ng toán; Các d ng tốn có th ít liên quan, hay
liên quan m t thi t v i nhau. M t ngư i mu n tr nên gi i Tốn thì c n có m t
tư ch t t t cũng như ngh l c vư t qua m i khó khăn trong quá trình h c t p và
nghiên c u.
ða s h c sinh đ u có tâm lí “s ” Toán. ði u này m t ph n do s “địi h i”
khá cao c a b mơn Tốn ñ i v i h c sinh gi i, m t ph n do tâm lí c a h c sinh
các khố trư c. ðơi khi đ ng trư c m t bài tốn khơng có m t cách gi i t ng
quát nào, h c sinh không bi t nên b t ñ u t ñâu. Nh ng bài tốn như th này
h u h t đ u đư c gi i m t cách khá ñ c bi t. Do đó n u khơng có s sáng t o cao
trong cách gi i thì h c sinh r t khó đ h c t t mơn Tốn.
ð ph n nào giúp các em ngày càng “yêu toán” hơn. Trong bài vi t này tác
gi mu n thông qua nhi u cách gi i cho m t bài toán nh m ph n nào giúp các
Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 3


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách

em h c sinh có “cái nhìn” đa chi u cách gi i cho m t bài toán. Th y đư c s
lung linh di u kì nhưng cũng r t c th c a Toán h c.
III.2: T l kh o sát trong năm h c 2007 - 2008
Trong năm h c 2007 - 2008 Ban giám hi u trư ng THCS Nguy n Hàm
Ninh ñã ti n hành cho h c sinh các l p 6; 7; 8; 9 thi h c sinh gi i c p trư ng.
M t ñi u d nh n ra t cu c thi này đó là đi m s c a các em thi h c sinh gi i
Toán chưa cao. S h c sinh ñ t ñi m trên trung bình cịn ít, các em đ t đư c
đi m 7; 8; 9; 10 h u như khơng có.
Có r t nhi u nguyên nhân d n ñ n k t qu đó. Tuy nhiên c n ph i th y r ng
các ñ thi h c sinh gi i không nh ng yêu c u h c sinh n m ch c và v n d ng
ñư c ki n th c ñã h c mà t nh ng ki n th c đó u c u h c sinh ph i bi t nhìn
đ bài tốn dư i các góc đ khác nhau. Mu n đư c th thì h c sinh c n ph i có
s sáng t o các cách gi i phù h p v i đ tốn. ði u này thư ng thi u h c sinh.
Thông thư ng v i các bài tốn mà có cách gi i c th thì h c sinh s gi i đư c.
Cũng có trư ng h p bài tốn đó đã đư c gi i cho các em xem r i nhưng các em
ñã quên nên khơng th gi i đư c. H u h t các em thư ng có tâm lí ch c n hi u
ñư c m t cách gi i cho bài tốn là đ , thi t nghĩ đi u này khơng h n đúng. C t
lõi c a v n ñ là nên cho h c sinh th y ñư c con ñư ng ñi ñ n cách gi i và giáo
viên ch c n hư ng d n con đư ng đi đ n đích đó tuỳ theo m i trư ng h p, cịn
đi như th nào thì chúng ta hãy t đ các em đi, s n ph m chính các em làm ra
bao gi các em s ghi nh lâu hơn là s n ph m do chúng ta ñem ñ n.
IV: GI I PHÁP TH C HI N
Bài toán 1: “Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n thì n2 + n + 1 không chia
h t cho 9” (1)
Chúng ta th y m t ñi u r ng m t s chia h t cho 9 thì ln ln chia h t
cho 3. Do đó, khi đ ng trư c bài toán trên, các em h c sinh thư ng xét các
trư ng h p c a m t s t nhiên n khi chia cho 3 các kh năng có th x y ra, thay
vào bài tốn cho các trư ng h p c th , sau ñó k t lu n t các trư ng h p riêng
đó. V i suy nghĩ đó chúng ta có th gi i bài toán trên như sau:

Cách 1: * N u n chia h t cho 3 khi đó n = 3k (k ∈ N)
1

ð thi h c sinh gi i l p 9 thành ph H Chí Minh năm h c 2007 - 2008

Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 4


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách

Ta có : n2 + n + 1 = 9k2 + 3k + 1 = 3k(3k + 1) + 1 không chia h t cho 3

=> n2 + n + 1 không chia h t cho 3 nên n2 + n + 1 không chia h t cho 9.
* N u n = 3k + 1 (k ∈ N)
Ta có: n2 + n + 1 = (3k + 1)2 + (3k + 1) + 1 = 9k2 + 6k + 1 + 3k + 1 + 1
= 9k(k + 1) + 3 không chia h t cho 9.
* N u n = 3k + 2 (k ∈ N)
=> n2 + n + 1 = (3k + 2)2 + (3k + 2) + 1 = 9k2 + 12k + 4 + 3k + 2 + 1
= 3k(3k + 5) + 7 không chia h t cho 3 => n2 + n + 1 không chia h t cho 9. .
K t lu n: V y n2 + n + 1 không chia h t cho 9 v i m i s t nhiên n.
Sau đó giáo viên nên h i thêm h c sinh ngồi cách gi i trên có th gi i cách
khác n a không? N u không xét các trư ng h p c a s t nhiên n thì chúng ta có
th phân tích n2 + n + 1 v d ng tích các bi u th c ch a n c ng v i m t s
ngun nào đó thì có ch ng minh đư c không? V i cách suy nghĩ như th yêu
c u h c sinh tìm cách phân tích bi u th c đó dư i d ng trên.
Cách 2:

Ta có: n2 + n + 1 = n2 – n + 2n - 2 + 3 = n(n - 1) + 2(n - 1) + 3 = (n - 1)(n + 2) + 3
Nh n th y: n + 2 - (n - 1) = 3 chia h t cho 3 nên (n - 1) và (n + 2) chia h t
cho 3 ho c khi chia cho 3 có cùng s dư. Ta xét các trư ng h p có th x y ra:
* N u (n - 1) và (n + 2) chia h t cho 3, suy ra: (n - 1)(n + 2) chia h t cho 9,
suy ra (n - 1)(n + 2) + 3 không chia h t cho 9.
* N u (n - 1) và (n + 2) cùng không chia h t cho 3, suy ra: (n - 1)(n + 2)
không chia h t cho 3 => (n - 1)(n + 2) + 3 không chia h t cho 3 nên cũng không
chia h t cho 9.
K t lu n: V y n2 + n + 1 không chia h t cho 9 v i m i s t nhiên n.
Giáo viên có th hư ng d n h c sinh khai thác bài tốn trên theo hư ng
khác. N u chúng ta khơng ch ng minh m t cách tr c ti p mà s d ng phương
pháp ch ng minh gián ti p có đư c khơng?
Cách 3:
Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 5


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách

Gi s : N u n2 + n + 1 chia h t cho 9 như v y n2 + n + 1 = 9m (m ∈

).

=> n2 + n + 1 = 9m <=> n2 + n + 1 - 9m = 0 (*)
Phương trình (*) v i n s là n s có nghi m t nhiên. Suy ra delta ph i là s
chính phương.
Ta l i có: ∆ = 1 - 4 + 36m = 3(12m - 1) chia h t cho 3 nhưng 3(12m - 1) = 36m

- 3 không chia h t cho 9 => nên ∆ khơng ph i là s chính phương hay phương
trình (*) n n khơng có nghi m t nhiên. Như v y ñi u gi s trên là vơ lí.

K t lu n: V y n2 + n + 1 không chia h t cho 9 v i m i s t nhiên n.
Cũng v i suy nghĩ như trên chúng ta có th gi i bài tốn trên theo hư ng khác:

Cách 4:
Gi s t n t i s t nhiên n ñ n2 + n + 1 chia h t cho 9. ð t X = n2 + n + 1.
Suy ra 4X chia h t cho 9

(1) => 4X = 4n2 + 4n + 4 = (2n + 1)2 + 3. Mà 4X chia

h t cho 9 nên 4X chia h t cho 3 => (2n + 1)2 chia h t cho 3 => 2n + 1 chia h t
cho 3 => (2n + 1)2 chia h t cho 9
=> (2n + 1)2 + 3 không chia h t cho 9

(2)

Suy ra: (1) và (2) mâu thu n v i nhau. V y ñi u gi s trên là vơ lí.

K t lu n: V y n2 + n + 1 không chia h t cho 9 v i m i s t nhiên n.
Bây gi chúng ta xét m t ví d v đ i s .

Bài tốn 2: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A = x3 + y3 + xy bi t x + y = 1
Cách 1: Bi u th y qua x r i ñưa v tam th c b c hai n x:
2

1
1
y = 1 - x => A = x3 + 1 - 3x + 3x2 - x3 + x - x2 = 2x2 - 2x + 1 = 2  x - + ;

Vậy giá trị nhỏ nhất của A lµ

1
2

x=y=

2

2

1
;
2

Cách 2: Phân tích bi u th c trên:
A = x3 + y3 + xy = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 + y2
T gi thi t ta có: x + y = 1 => (x + y)2 = 1 <=> x2 + 2xy + y2 = 1 (1)
M t khác: (x - y)2 ≥ 0 <=> x2 - 2xy + y2 ≥ 0
L y (1) c ng v i (2) => 2(x2 + y2) ≥ 1 => x2 + y2 ≥
Nguy n Văn Chương

(2)
1
1

=> A ≥ ;
2
2

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 6


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách
1
1
V y giá tr nh nh t c a A là
x=y= ;
2
2

Cách 3: Ta có th dùng n ph
T gi thi t x + y = 1 giúp ta liên tư ng ñ n m t cách ñ t n ph thư ng
đư c s d ng, đó là: ð t x =

1
1
+ a ; y = −a ;
2
2

2

2

1
 1

1
1
1 1
A = x + y =  + a +  − a = + a + a 2 + − a + a 2 = 2a 2 + ≥ ;
 


 


2
 2

4
4
2 2
2

2

Vì a 2 ≥ 0 v i m i a ∈ ℝ ; V y giá tr nh nh t c a A là

1
2

a = 0 hay x = y =

1
;
2

Cách 4: Ta có th áp d ng b t ñ ng th c Bunhiacopsky
Ta có: (x2 + y2)(12 + 12) ≥ (x.1 + y.1)2 = (x + y)2 = 1; (vì x + y = 1);
=> x2 + y2 ≥

1
1
1
=> A ≥ ; V y giá tr nh nh t c a A là
2
2
2

1
;
2

x=y=

Cách 5: Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy cho hai s không âm x2 và y2; ta có:
x2 + y2 ≥ 2 | x || y | = 2|xy|; D u "=" x y ra khi và ch khi |x| = |y|;
* x = y => x = y =
x=y=
*x=-y

1

1
1
1
=> A ≥ 2. = ; V y giá tr nh nh t c a A là
2
4
2
2

1
;
2

x + y = 0 mà theo gi thi t x + y = 1 (trư ng h p này lo i);

V y giá tr nh nh t c a A là

1
2

x=y=

1
;
2

Bài tốn 3: Cho x + y + z = 3
Tìm giá tr nh nh t c a A = x2 + y2 + z2
Cách 1: Áp d ng b t ñ ng th c Bunhiacopsky, ta có:
(x2 + y2 + z2)(12 + 12 + 12) ≥ (x + y + z)2 = 9 => (x2 + y2 + z2) ≥ 3;

V y giá tr nh nh t c a A là 3 khi và ch khi x = y = z = 1.
Cách 2: Ta có th dùng n ph như sau: ð t x = 1 + a; y = 1 + b; z = 1 + c;
Khi đó: x + y + z = 3 + a + b + c = 3 => a + b + c = 0
=> A = (1 + a)2 + (1 + b)2 + (1 + c)2 = 3 + 2(a + b + c) + a2 + b2 + c2
=> A = a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 3; Vì 2(a + b + c) = 0 ; a2 + b2 + c2 ≥ 0 ; V y giá tr nh
nh t c a A là 3 khi và ch khi a = b = c = 0 hay x = y = z = 1.

Cách 3:
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) => 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)
Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 7


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách
=> x + y2 + z2 = 9 - 2(xy + yz + xz); vì 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + xz) (2)
2

=> 9 - 2(x2 + y2 + z2 ) ≤ 9 - 2(xy + yz + xz) <=>9 - 2(x2 + y2 + z2 ) ≤ x2 + y2 + z2
; => 3(x2 + y2 + z2) ≥ 9 => A ≥ 3;
V y giá tr nh nh t c a A là 3

x = y = z = 1;

Cách 4:
Vì x2; y2; z2 là các s không âm nên t ng c a chúng nh nh t khi và ch khi 3 s đó
b ng nhau t c là x2 = y2 = z2;
Trư ng h p 1: x = y = z => x = y = z = 1 => Giá tr nh nh t c a A là 3.

Trư ng h p 2: Có hai s cùng dương, m t s âm. Ch ng h n: x = y = - z. Khi đó:
x + y + z = 3 <=> - z = 3 => z = - 3 => x = y = 3 => x + y + z = 3. Suy ra
A = 32 + 32 + 32 = 27 > 3.
Trư ng h p 3: Có hai s âm, m t s dương:
Khơng m t tính t ng quát, gi s x > 0; y < 0; z < 0. Khi đó ta có x = - y = - z
=> x + y + z = 3 => z = 3 > 0 (lo i)
Trư ng h p 4: c ba s x, y, z đ u âm. Khi đó: x < 0; y < 0; z < 0.
=> x + y + z = 3 < 0 (vơ lí). V y trư ng h p này không x y ra.
K t lu n: V y giá tr nh nh t c a A là 3 khi và ch khi x = y = z = 1.
Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất cđa A lµ 3
x = y = z = 1;
Chúng ta xét đ n m t bài tốn hình h c sau:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân t i A, ñư ng trung tuy n CD. Trên tia ñ i c a
tia BA l y ñi m K sao cho BK = BA. Ch ng minh r ng CD =

1
CK (3)
2

Khi g p bài toán này, h c sinh thư ng lúng túng không bi t nên gi i như th
nào. B i l ñ gi i ñư c bài toán này h c sinh c n ph i v thêm các y u t ph .
Tuy nhiên yêu c u c a bài toán là ch ng minh CD =

1
CK; đi u đó giúp h c sinh
2

nghĩ ngay ñ n
ki n th c v ñư ng trung bình c a tam giác. Song c n ph i th y m t đi u r ng có
th ch ng minh CD là đư ng trung bình c a m t tam giác nào đó mà có ch a c nh

CK hay khơng. V i hình v như bài ra đã cho thì ch ng minh khơng ph i là đi u
d dàng. Tuy th n u ta khơng ch ng minh CD là là đư ng trung bình c a tam giác
nào đó ch a c nh CK thì ta th ch ng minh đ dài đo n th ng CD b ng n a ñ dài
(2)

x2 -2xy + y2
(đpcm)

(3)

≥

0 => x2 + y2

≥

2xy; t−¬ng tù: y2 + z2

≥

2yz; x2 + z2

≥

2xz => x2 + y2 + z2

≥

xy + yz + zx

Trích Nâng cao và phát tri n toán 7 Nhà xu t b n Giáo d c.

Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 8


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách

m t c nh nào đó mà c nh y l i b ng CK ho c CD b ng đ dài m t c nh nào đó
mà c nh này l i b ng n a ñ dài ño n th ng CK. V i suy nghĩ như trên chúng ta có
th đi vào gi i bài tốn trên b ng m t s cách sau:
V i vi c v n d ng ki n th c trong tam giác cân, hai ñư ng trung tuy n ng v i hai
c nh bên b ng nhau, ta có th t o ra ñư ng trung tuy n BE. D dàng ch ng minh
ñư c BE là ñư ng trung bình c a tam giác ACK.

Cách 1: (Hình 1)
G i E là trung đi m c a AC.

A

Có BE là đư ng trung bình c a ∆ AKC => BE =

1
KC (1)
2

E

D

Xét ∆ BDC và ∆ CEB có:

B

C

1
1
BD = CE (vì BD = AB; CE = AC mà AB = AC); C nh BC
2
2

chung;
DBC = ECB (vì ∆ ABC cân t i A);

K
H.1

V y ∆ BDC = ∆ CEB (c.g.c);
Suy ra CD = BE (hai c nh tương ng)
T (1) và (2) suy ra CD =

(2)

1
CK (đ.p.c.m)
2

Ta có th t o ra các tam giác b ng nhau, như cách gi i sau đây.

Cách 2: (Hình 2)
G i H là trung ñi m c a KC. BH là ñư ng trung bình c a ∆ AKC
=> BH =

A

D

1
AC
2

Xét ∆ BDC và ∆ BHC có:
BD = BH (vì BD =

B

1
1
AB; BH = AC mà AB = AC);
2
2

C

H

HBC = DBC
K

vì DBC = ACB mµ ACB = HBC (do so le trong, BH//AC) ;

H.2

BC c nh chung;
V y ∆ BDC = ∆ BHC (c.g.c)
Suy ra CH = DC (hai c nh tương ng); (1)
Mà H là trung ñi m c a KC nên CH =
Nguy n Văn Chương

1
CK (2).
2

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 9


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách
1
T (1) và (2) suy ra: CD = CK.
2

Chúng ta cũng có th t o ra m t đo n th ng b ng ño n th ng CK và vi c ch ng
minh CD b ng n a ño n th ng ñó tương ñ i d dàng:

Cách 3: (hình 3)
Trên tia đ i c a tia CA l y ñi m M sao cho
CA = CM; CD là đư ng trung bình c a ∆ ABM
=> DC =

1
BM
2

A

D

B

(1)

C

Xét ∆ KBC và ∆ MCB có:
BC c nh chung; KBC = MCB (cùng bù v i ABC );
K
KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC);
V y ∆ KBC = ∆ MCB (c.g.c) => KC = MB (hai c nh tương ng)
T (1) và (2) suy ra DC =

H.3

(2).

1
CK. (đ.p.c.m);
2

Cách 4: (hình 4)
Trên tia đ i c a tia CB l y ñi m N sao cho
CB = CN; Ta có: DC là đư ng trung bình c a
∆ ABN => CD =

M

A

1
AN (1);
2

D

Xét ∆ KBC và ∆ ACN có:

N

C

B

BC = CN; KBC = ACN
(v× KBC = 180 0 − ABC;
ACN = 180 0 − ACB mµ ABC = ACB)

H.4

K

KB = AC (cùng b ng AB);
V y ∆ KBC = ∆ ACN (c.g.c) => CK = AN (hai c nh
A

tương ng) (2);
T (1) và (2) suy ra: CD =

1
CK. (đ.p.c.m);
2

D

Cách 5: (hình 5)
G i P; Q l n lư t là trung ñi m c a BC và BK;
Có DP là đư ng trung bình c a ∆ ABC
=> DP =

B

C

P

Q

1
1
AC = AB = DB ;
2
2

H.5

K

Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 10


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách
DP // AC => DPB = ACP (cùng bù v i DPC ); Theo gi thi t ABC = ACB ( ∆ ABC

cân t i A); DPB = DBP mà
QBP = 1800 − DBP ; DPC = 1800 − DPB => QBP = DPC

Xét ∆ QBP và ∆ DPC có:
QB = DP; QBP = DPC (ch ng minh trên); BP = CP (cùng b ng

1
BC);
2

V y ∆ QBP = ∆ DPC (c.g.c) => DC = QB (1);
M t khác QP là đư ng trung bình c a ∆ KBC nên QP =
T (1) và (2) suy ra: CD =

1
CK (2);
2

1
CK (đ.p.c.m);
2

Cách 6: (Hình 6).
G i E; O l n lư t là trung ñi m c a AC và KC; OE là đư ng
trung bình c a ∆ ACK nên OE =

A

1
AK mà AK = 2AB = 2AC
2

=> OE = AB = AC;
Xét ∆ CDA và ∆ OCE có:
AD = CE (cùng b ng

E

D

C

B

1
AC); OE = CA; DAC = CEO (ñ ng v ,
2

H.6

O

OE // AD);

K

V y ∆ CDA = ∆ OCE (c.g.c) => OC = CD;
M t khác O là trung ñi m CK nên OC =
T (1) và (2) suy ra CD =

(1)

1
CK
2

(2)

A

1
CK. (đ.p.c.m);
2

D

Cách 7: (hình 7)
G i P; O l n lư t là trung ñi m c a BC và CK;

P

B

C

1
DP là ñư ng trung bình c a ∆ ABC nên DP = AC
2

OP là ñư ng trung bình c a ∆ CBK nên OP =

1
BK
2

Theo bài ra, ta có BK = AC nên DP = OP;

O

H .7

K

OPB = DBP (so le trong, OP//DB); DBP = ACP vµ ACP = DPB ⇒ OPB = DPB ⇒ OPC = DPC

Xét ∆ DPC và ∆ OPC có:
DP = OP (c/m trên);
Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 11


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách
OPC = DPC (c/m trên);

C nh PC chung
V y ∆ DPC = ∆ OPC (c.g.c) => OC = CD mà OC =

1
1
CK => CD = CK.
2
2

(đ.p.c.m).

Cách 8: (hình 8)

Trên tia ñ i c a tia DC l y ñi m F sao cho DF = DC;
Xét ∆ BDF và ∆ ADC có:

A

F

DF = DC; DA = DB; FDB = CDA (hai góc đ i đ nh);

D

suy ra: ∆ BDF = ∆ ADC (c.g.c) => BF = AC mà AC = BK
nên BF = BK;
Ta l i có:

C

B

H.8

FBC + ACB = 1800 (BF // AC nªn hai gãc trong cïng phÝa bï nhau);
KBC + ABC = 1800 (hai gãc kÒ bù)

K

m ABC = ACB (ABC cân tại A) => KBC = FBC
Xét ∆ FBC và ∆ KBC có:
FB = KB (c/m trên);
KBC = FBC ;

BC c nh chung;
V y ∆ FBC = ∆ KBC (c.g.c) => FC = CK => 2CD = CK => CD =

1
CK.
2

(đ.p.c.m);

Cách 9: (hình 9);
T B k ñư ng th ng song song v i CK c t AC t i O; T C k ñư ng th ng song
song v i BK c t BO kéo dài t i R;
A
D dàng ch ng minh ñư c CR = BK = AB; BR = CK;
Xét ∆ ROC và ∆ BOA có:
O
D
CRO = ABO (so le trong, CR//AB) ; CR = AB;
B

RCO = BAO (so le trong, CR//AB) Suy ra: ∆ ROC =

C

∆ BOA (g.c.g);

1
1
=> OA = OC = AC = = AB; OB = OR;

2
2

Nguy n Văn Chương

H.9

K

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 12

R


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách
1
1
=> OR = BR = CK; (1);
2
2

Xét ∆ ADC và ∆ COR có:
AD = OC (cùng b ng

1
AB); RCO = DAO (so le trong, CR//AB) ;
2

CR = AC (cùng b ng AB);
V y ∆ ADC = ∆ COR (c.g.c); => OR = CD
T (1) và (2) => CD =

(2);

1
CK. (đ.p.c.m);
2

Cách 10: (hình 10)
Trên tia đ i c a tia BC l y ñi m F sao cho BF = BC; N i FK; G i I là trung ñi m
c a FK;
Xét ∆ FBK và ∆ CBA có:
FB = CB; FBK = CBA (hai gãc ®èi ®Ønh); AB = KB (gi

A

thi t);
nên ∆ FBK = ∆ CBA (c.g.c) => FK = AC
mà AB = AC => FK = AB =>

D

1
1
FK = AB
2
2

B

F

=> FI = DB; (1)
Theo bài ra, ta có:

C

I

ACB = ABC mµ ACB = BFI ⇒ BFI = ABC = DBC

(2)

Xét ∆ FBI và ∆ BCD có:

H.10
K

FB = BC;
(theo (2));
FI = BD (theo (1));
(3);
V y ∆ FBI = ∆ BCD (c.g.c) => BI = CD
M t khác do I; B l n lư t là trung ñi m c a FK và FC => IB là ñư ng trung bình
BFI = DBC

c a ∆ KFC
=> BI =

1
1
CK (4); T (3) và (4) suy ra: CD = CK. (ñ.p.c.m);
2
2

V. K T QU ð T ðƯ C
Trong năm h c này đư c s giúp đ c a Phịng giáo d c và ðào t o Qu ng
Tr ch, Ban giám hi u trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh ñã t o ñi u ki n cho tôi
ñư c tr c ti p b i dư ng h c sinh các l p 6; 7; 8; 9 c a trư ng và b i dư ng h c
Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 13


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách

sinh gi i Toán 9 c a huy n. ði u đó đã giúp cho tơi r t nhi u trong công tác b i
dư ng h c sinh gi i. Do đó trong m y năm qua đ i tuy n Tốn đi thi các c p c a
trư ng ln đ t đư c nhi u k t qu các khích l , cũng như đ t k t qu cao trong
các kì thi h c sinh gi i c a trư ng. ðóng góp ph n h t s c nh bé trong s phát
tri n c a n n giáo d c Qu ng Tr ch nói chung.
ð c bi t trong năm h c này đ i tuy n thi gi i tốn qua m ng Internet c a
huy n Qu ng Tr ch ñã ñánh vang lên m t ti ng chuông l n trong tồn ngành
giáo d c Qu ng Bình đ t 2 gi i nh t, 4 gi i nhì, 3 gi i 3 và 2 gi i khuy n khích.
Có đư c đi u này là nh s quan tâm giúp ñ c a các c p, các ngành. ð c bi t là
s quan tâm ñ c bi t c a Phòng Giáo d c và ðào t o Qu ng Tr ch nói chung và

c a Ban giám hi u trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh nói riêng. Theo b n thân tơi
nh n th y đó là vì chúng ta bư c đ u đã có m t phương pháp giáo d c đúng đ n
và s sáng t o c a h c sinh bư c đ u đã có đư c nhi u k t qu . .
ð i v i h c sinh gi i thi c p trư ng toán 8 k t qu các bài thi đã có s ti n
b rõ r t.
VI. K T LU N CHUNG
ð có th làm t t công tác b i dư ng h c sinh gi i chúng ta c n có nhi u
gi i pháp c th , k t h p ñư c s tham gia c a các t ng l p trong xã h i. Thi t
nghĩ y u t con ngư i là r t quan tr ng, trong đó ngư i giáo viên đóng vai trị
trung tâm t o nên k t qu cao hay th p. ð i v i b mơn Tốn thì s sáng t o là vô
cùng quan tr ng, b i l s đa chi u, mn màu c a nó. Do v y ngư i giáo viên c n
có phương pháp h p lí đ i tuỳ theo ch t lư ng c a các h c sinh. Gi i bài toán b ng
nhi u cách cũng là m t “phương pháp” t o nên s sáng t o đó.
Ch c ch n s không tránh kh i nhi u sai sót. Tác gi mong nh n đư c s
đóng góp ý ki n nh m giúp đ tài này ngày càng t t hơn. ð ngày càng áp d ng
r ng rãi hơn.

Ba ð n, ngày 24 tháng 5 năm 2009

Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 14


Phát tri n tính sáng t o cho h c sinh thơng qua gi i bài tốn b ng nhi u cách

Xác nh n c a HðKH

Ngư i vi t

Nguy n Văn Chương

Nguy n Văn Chương

Trư ng THCS Nguy n Hàm Ninh

Trang 15