Định nghĩa xác suất Toán 11

CHƯƠNG 2
ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
1)Phép thử
Phép thử hay thí nghiệm ngẫu nhiên là thực hiện một
bộ điều kiện xác định và quan sát kết quả sao cho kết
quả của phép thử xẩy ra không xác định trước được.
Ví dụ 1: Gieo một đồng xu có hai mặt sấp, ngửa cân
xứng và đồng chất, kết quả xuất hiện mặt sấp(S) mặt
ngửa(N) là một phép thử.

2) Biến cố liên kết với phép thử
Định nghĩa : Xét một phép thử, Ω là tập tất cả các khả năng có
thể xẩy ra và từng đôi xung khắc với nhau sao cho khi thực hiện
phép thử kết quả đều thuộc về Ω . Khi đó Ω được gọi là không
gian biến cố sơ cấp.Tập con A bất kỳ của Ω được gọi là một
biến cố liên kết với phép thử.
Ví dụ 2: Gieo một đồng xu cân xứng đồng chất có hai mặt S,N .
Không gian biến cố sơ cấp ( Các khả năng có thể) là tâp Ω =
(S,N); biến cố xuất hiện mặt sấp A = (S) ,biến cố xuất hiện mặt
ngửa B = (N) là các biến cố liên kết với phép thử
Ví dụ 3: Gieo một con xúc xắc đồng chất việc xuất hiện mặt
trên trong phép thử là mặt i nào đó ( i = M1; M6). Không gian
biến cố sơ cấp Ω = ( M1,M 2,M3,M4,M5,M6)

3) Các loại biến cố
•
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra theo phép thử.
Ví dụ 4: Ω là biến cố chắc chắn
•
Biến cố bất khả là biến cố không bao giờ xẩy ra. Kí hiệu Ø.

Ví dụ 5 : Biến cố xuất hiện mặt M
7
trong ví dụ 3 là bất khả
•
Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xẩy ra hoặc không xẩy
ra
•
Ví dụ : Biến cố xuất hiện mặt (S) hoặc (N) ví dụ 1, biến cố
xuất hiện một mặt nào đó từ 2, đến 6 ví dụ 3 là các biến cố
ngẫu nhiên.

4) Định nghĩa xác suất ( dạng cổ điển )
Xác suất của biến cố A là một số không âm. Kí hiệu
P(A) biểu thị khả năng xẩy ra biến cố A và xác định
như sau :

( m là khả năng thuận lợi cho A, n là khả năng có thể khi
thực hiện phép thử)
n
m
AP
=
)(
Ví dụ 6: 1) Tìm xác suất xuất hiện mặt sấp ( ví dụ 1)
2) Tìm xác suất xuất hiện mặt số chẵn ( ví dụ 3)

5) Định nghĩa xác suất theo hình học
Một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp đồng
khả năng Ω là một tập vô hạn không đếm được. A là
biến cố bất kỳ được biểu diễn bằng một miền con của

Ω

( m số đo của miền A, n là số đo của Ω )
n
m
AP
=
)(
Ví dụ 7: Hai tàu thủy cùng đến một cầu cảng trả hàng.
Thời gian chúng đến cảng là độc lập nhau trong 24 giờ.
Hãy tính xác suất để chiếc nọ phải chờ chiềc kia để vào cầu
cảng. Biết thời gian trả hàng của chiếc thứ nhất 2 giờ, chiếc
thứ 2 4 giờ.

Giải:
Gọi x, y là thời điểm của tàu thứ nhất và thứ hai cập
cảng Ω = {(x;y)|0≤ x ≤ 24; 0≤ y ≤ 24}
a.Chiếc thứ nhất tới trước chiếc thứ hai đợi
Khi đó x≤ y ≤x+2 (*)
b. Chiếc thứ hai đến trước;
Khi đó y ≤ x ≤ y+4 => x-4 ≤ y < x (**)
E biến cố để chiếc nọ chờ chiếc kia được xác định(*) và
(**)
E={ (x;y)| x≤ y ≤ x+2 ; x-4 ≤ y < x ; x=y }


Ω =ABNO; E = HOKMB
S(Ω)= 24
2
; S(E) =24

2
-[(22
2
+20
2
):2]
P(E) =242 :{242-[(222+202):2]}
H
x
y
2
4
A
B
N
O
Y =x
Y= x-4
Y=x+2
K
M
24
24

6) Định nghĩa xác suất theo thống kê
a) Tần suất của một phép thử : A là biến cố liên kết với
phép thử. Lặp lại phép thử trong n lần thì có m lần luất
hiện A. Khi đó f(A) = được gọi là tần suất xẩy ra
biến cố A

b) Định nghĩa: Tần suất của biến cố A trong một phép thử
khi số lần thử càng lớn thi f(A) = P(A)
n
m
Ví dụ 8: Một xạ thủ bắn 1000 phát vào bia, trong đó có
800 phát trúng bia, A là biến cố bắn trúng bia . Vậy
P(A) = 0,8

7) Mối quan hệ giữa các biến cố
a) Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố Bvà ký hiệu là AB
nếu và chỉ nếu A xẩy ra thì B xẩy ra
b) Quan hệ tương đương , các biến cố A và B tường đương và ký hiệu A=B
khi và chỉ chi AB và B A
c) Tổng của hai biến cố : Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu
là A  B biến cố tổng xẩy ra khi và chỉ khi A xẩy ra hoặc B xẩy ra
d) Tích của hai biến cố: Tích của hai biến cố A và B ký hiệu AB là một biến
cố mà biến cố tích xẩy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xẩy ra.
e) Biến cố xung khắc: A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu A B
= Ø
f) Hiệu hai biến cố là một biến cố kí hiệu A\ B là một biến cố sao cho khi
biến cố hiệu xẩy ra thì A xẩy ra mà không có B.
g) Biến cố đối lập A được gọi là biến cố đối lập của biến cố Akhi và chỉ khi
A xẩy ra thì A không xẩy ra và ngược lại.



8) Một số định lý về xác suất
a) Định lý cộng xác suất:A và B là hai biến cố xung khắc
đều là các biến cố liên kết của một phép thử khi đó ta
có P(AU B) = P(A) + P(B)

Ví dụ 9: Một hộp có 10 viên bi đồng chất cùng kích thước
và khối lượng, trong đó có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Bốc ngẫu
nhiên 2 viên. Tìm xác suất để hai viên cùng màu.


Giải:Các khả năng có thể
A là biến cố 2 viên màu đỏ, khả năng thuận lợi cho A là

B là biến cố 2 viên màu xanh. Khả năng thuận lợi cho B
là
Vậy P(AUB) =P(A)+P(B)=
153.5
)!26!.(2
!6
2
6
==
−
=
C
6
)!24!.(2
!4
2
4
=
−
=

C
45
2
10.9
)!210!.(2
!10
2
10
==
−
=
C
45
6
45
15
+


Hệ quả: A là biến cố đối lập của biến cố A thì P(A )
= 1-P(A)
Ví dụ 10: Trong một hộp đựng 20 sản phẩm, biết có 6
sản phẩm bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm. Tìm xác
suất để có ít nhất một sản phẩm hỏng.
*Gọi A là biến cố cả 5 sản phẩm đều tốt, A là biến cố ít
nhất một sản phẩm hỏng trong 5 sản phẩm lất ra . Vậy
P(A ) = 1- P(A)= 1-
5
20
5

14
C
C

b) Định lý nhân xác suất:
1. Xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện của
biến cố A với điều kiện hiến cố B đã xẩy ra, được
ký hiệu P(A/B), nó biểu thị khả năng xẩy ra biến
cố A khi biến cố B đã xẩy ra
-Số kết quả có thể có khi phép thử thực hiện là n
-Số khả năng thuận lợi cho biến cố B là nB
-Số khả năng thuận lợi cho cả A và M là nAB
P( A/B) =

)(
)(
BP
ABP



Ví dụ11:Một hộp có 4 bi đỏ; 3 bi xanh, giả thiết chúng đều
đồng chất, cùng khối lượng, hình dàng như nhau. Lấy lần
lượt ra 2 viên. Tìm xác suất để viên thứ 2 là bi đỏ, biết viên
thứ nhất cũng là bi đỏ.
Giải :
Ai là biến cố viên lấy thứ i là bi đỏ( i=1,2).
Xác suất để viên thứ 2 bi đỏ là
P( A2/A1) =
2

1
6
3
=


Gọi A sinh viên được chọn là nữ;
Gọi B sinh viên chọn ra thuộc nhóm 2. Ta có
P(A) = ; P(A/B)= ; P(A)
Ví dụ 12: Chia một lớp sinh viên đi thực tập. Nhóm 1 có
30 sinh viên trong đó có 10 nữ, nhóm 2 có 25 sinh viên
trong đó có 10 nữ, nhóm 3 có 25 sinh viên trong đó có 8
nữ. Chọn ngẫu nhiên trong lớp ta một sinh viên .
35,0
80
28
=
4,0
25
10
=
)/( BAP
≠


2) Hai biến cố độc lập:
•
Định nghĩa (a): P(AB) = P(A).P(B)
•
Tính chất 1: A và B độc lập nếu P(A/B)=P(A) hoặc P(B/A) =

P(B)
•
Tính chất 2:Ắt có và đủ A,B độc lập là A và hoặc B và
độc lập. độc lập
•
Định nghĩa 2(b): Các biến cố A,B,C độc lập toàn thể nếu chúng
đôi một độc lập và P(ABC) = P(A)P(B)P(C)
Ví dụ13: Ba xạ thủ cùng thi bắn trúng bia. Mỗi người bắn 3 viên
tính điểm. Các biến cố A xạ thủ 1 nhiều điểm nhất, B xạ thủ 2
nhiều điểm nhất, C xạ thủ thứ 3 nhiều điểm nhất là độc lập .
B
−
A
−
&
A B
− −


* Tính chất của xác suất có điều kiện
1)0≤ P(A/B)≤1
2) P(B/B) = 1
3) Nếu AC =Ø thì P( AC/B) =P(A/B) +P(C/B)
4) P(A/B) = 1- P(A/B)
*Công thức nhân xác suất:
P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)


Ví dụ 14:Một hộp đựng sản phẩm, biết có 6 chính phẩm, 4
phế phẩm. Lần thứ nhất lấy ra 1 sản phẩm nếu là chính

phẩm thì trả lạivà thêm vào 3 chính phẩm. Lần thứ 2 lấy ra
1 sản phẩm.Tìm xác suất để 2 sản phẩm lấy ra trong hai
lần là chính phẩm.
Gọi A i là biến cố lấy ra lấn thứ nhất là chính phẩm( i =
1,2)
A là biến cố cả hai lần lấy đều là chính phẩm . Khi đó A =
A
1
.A
2
. Vậy P(A)= P(A
1
.A
2
) = P(A1) .P(A2/A1)=

13
9
.
10
6


* Công thức nhân mở rộng: Các biến cố A
1
,A
2
,…,A
n
là

các biến cố liên kết trong một phép thử. Khi đó P( A. A
2
.

…A
n
) =P(A
1
).P(A
2
/A
1
)…(PA
n
/A
1
, A
2
, …A
n-1
)
Ví dụ 15: Một hộp đựng các sản phẩm có 4 chính phẩm và
2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm không
bỏ lại để kiểm tra cho tới khi hết 2 phế phẩm thì thôi.Tìm
xác suất :
a.Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra sản phẩm thứ 2
b.Việc kiểm tra dừng lại ở sản phẩm thứ 3.

Giải: Gọi A i là là biến cố kiểm tra lần thứ i là phế phẩm;
Khi đó Ai là biến cố đối lập với Ai (i= 1,2,3). A biến cố
kiểm tra dừng lại sau hai lần kiểm tra
a)A = A
1
.A
2
; P(A) = P(A1).P(A2)=P(A1) . P(A2/A1)=
= 2/6.1/5=1/15
b) Gọi B là biến cố kiểm tra dừng lại ở kiểm tra sản phẩm
thứ 3. Khi đó B = (A1.A2.A3)( A1.A2.A3). Ta có các
biến cố (A1.A2.A3), ( A1.A2.A3) là xung khắc nên
P(B) = P (A1.A2.A3)( A1.A2.A3)=P(A1.A2.A3) + P(
A1.A2.A3)


* P (A
1
.A
2
.A
3
) =P(A
1
).P(A
2
/A
1
).P(A
3

/A
1
,A
2
) =
*P( A
1
.A
2
.A
3
) =
Vậy P(B) =
15
1
4
1
5
2
6
4
=
15
2
15
1
15
1
=+
4

1
5
2
6
4
9)Công thức xác suất toàn phần và định lý Bayses
A-Công thức xác suất toàn phần : Giả sử B
1
,B
2
,…B
n

là một nhóm đầy đủ các biến cố. Biến cố A xẩy ra khi
và chỉ khi các biến cố B
1
,B
2
,…B
n
xẩy ra . Nói cách
khác A xẩy ra thì một biến cố Bi nào đó xẩy ra . Khi
đó :

P(a) =
∑
=
n
i
BiAPBiP

1
)/().(



B- Công thức Bayes :
∑
=
=
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBP
ABP
1
)/().(
)/().(
)/(
Ví dụ 16: Ba hộp đựng các sản phẩm hoàn toàn giống
nhau về hình thức .
Hộp1đựng 4 chính phẩm, 2 phế phẩm; hộp 2 đựng 3 chính
phẩm, 3phế phẩm; hộp 3 đựng 5 chính phẩm, 1 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra một sản phẩm.Tìm
xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm.

Giải: Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là chính phẩm Gọi Ai là biến cố lấy
từ hộp thứ i lấy ra ( i = 1,3)
P(A1) = ; P(A2) = ; P(A3) =
Các biến cố A1, A2, A3 tạo nên hệ đầy đủ
P(A) = P(A
1
).P(A/A1)+P(A
2
).P(A/A2)+P(A
3
).P(A/A3)=
=
3
1
3
1
3
1
3
2
6
5
3
1
6
3
3
1
6
4

3
1
=++



Ví dụ 17:Một cửa hàng bán bóng đèn cùng loại, nhận
sản phẩm của 3 cơ sở sản xuất khác nhau: Cơ sở 1
cung cấp 40%, cơ sở 2 cung cấp 35%, cơ sở 3 cung
cấp 25%. Biết tỷ lệ bóng hỏng do các cơ sở 1,2,3 sản
xuất hỏng tương ứng là2%,,2%,3%. Ta mua ngẫu
nhiên một bóng đèn của cửa hàng:
a)Tìm xác suất để bóng ta mua bị hỏng;
b) Giả sử bóng ta mua bị hỏng. Hỏi bóng ta đã mua khả
năng của cơ sở sản xuất nào là nhiều nhất ?



Giải: a) Gọi Ai là bóng đèn mua thuộc cơ sở i sản xuất( i
= 1,2,3)
Các Ai lập thành một hệ đầy đủ. P(A1) = 0,4; P(A2)= 0,35;
P(A3)=0,25
Gọi A là bóng đèn bị hỏng. Áp dụng công thức toàn phần :
P(A) = P(A
1
).P(A/A
1
)+P(A
2
).P(A/A

2
)+P(A
3
).P(A/A
3
)
=0,4.0,2 + 0,35.0,2 + 0,25.0,3 = 0,0225