Hàm số mũ và logarit

Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
1.Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit.
+) Hàm số dạng y=a
x
: hàm số mũ cơ số a (hàm số mũ)
Với a là một số d ơng và khác 1
+) Hàm số dạng y=log
a
x : hàm số logarit cơ số a (hàm số
lôgarit)
b. Chú ý:
y=logx (hoặc lgx) :hàm số lôgarit cơ số 10
y=lnx : hàm số lôgarit cơ số e
y=e
x
: còn kí hiệu là y=exp(x)
a. định nghĩa (sgk/101)




2. Mét sè giíi h¹n liªn quan ®Õn hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
2.1.Hµm sè y=a
x
liªn tôc trªn R
Hµm sè y=log
a

x liªn tôc trªn R
*
+
VÝ dô 1:
TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
x
x
ea
1
lim)
+∞>−
xb
x
2
8
loglim)
>−
x
x
c
x
sin
loglim)
0>−
2.2. ®Þnh li 1:(sgk/102)
1
)1ln(
lim
0
=

+
>−
x
x
x
1
1
lim
0
=
−
>−
x
e
x
x
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit




3. ®¹o hµm cña hµm sè mò vµ hµm sè logarit.
3.1. ®¹o hµm cña hµm sè mò:
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
a)hµm sè y=a
x
cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x∈Rvµ
( a
x
)’= a

x
.lna; Nãi riªng ta cã (e
x
)’= e
x
b)NÕu hµm sè u=u(x) cã ®¹o hµm trªn J thi hµm sè y=a
u(x)
cã
®¹o hµm trªn J vµ
( a
u(x)
)’= u’(x) a
u(x)
.lna;
Nãi riªng ta cã ( e
u(x)
)’= u’(x) e
u(x)
.




VÝ dô 2:TÝnh ®¹o hµm cña mçi hµm sè sau:
a. y =(x
2
+1)e
x
b. y = (x+1)e
2x

c. y = e
x
sinx
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
a)hµm sè y=a
x
cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x∈Rvµ
( a
x
)’= a
x
.lna; Nãi riªng ta cã (e
x
)’= e
x
b)NÕu hµm sè u=u(x) cã ®¹o hµm trªn J thi hµm sè y=a
u(x)
cã
®¹o hµm trªn J vµ
( a
u(x)
)’= u’(x) a
u(x)
.lna;
Nãi riªng ta cã ( e
u(x)
)’= u’(x) e
u(x)
.

3.2. đạo hàm của hàm số lôgarit
Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
3. đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.
a)hàm số y= log
a
x có đạo hàm tại mọi điểm x R
+
*
và
(log
a
x) = ; Nói riêng ta có (lnx)=
b)Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị d ơng và có đạo hàm trên J
thi hàm số y= log
a
u(x) có đạo hàm trên J
và (log
a
u(x))=

Nói riêng ta có (lnu(x))=
alnx
1
x
1
'( )
( ) ln

u x
u x a
'( )
( )
u x
u x




Ví dụ 3:
a. Tính đạo hàm của hàm số y= ln(x
2
-x+1)
b. CMR [ln(-x)]=1/x với mọi x<0.
Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
a)hàm số y= log
a
x có đạo hàm tại mọi điểm x R
+
*
và
(log
a
x) = ; Nói riêng ta có (lnx)=
b)Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị d ơng và có đạo hàm trên J
thi hàm số y= log
a
u(x) có đạo hàm trên J
và (log

a
u(x))=

Nói riêng ta có (lnu(x))=
alnx
1
x
1
'( )
( ) ln
u x
u x a
'( )
( )
u x
u x

Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
3.2. đạo hàm của hàm số lôgarit
3. đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.
Hệ quả:
a) với mọi x khác 0
b) Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên J thi
với mọi x khác 0
,
1
(ln )x
x
=
'( )

(ln ( ) ) '
( )
u x
u x
u x
=




4. Sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ cña hµm sè mò vµ hµm sè logarit
4.1.Hµm sè y= a
x
a.Tr êng hîp a>1:
B¶ng biªn thiªn
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit


+
+
y = a
y = a
x
x
- +
- +
x
x
∞ ∞
∞

1
0
0




? Dựa vào fần a)
- Nêu kết luận về đ ờng tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y=a
x


-Lập bảng biên thiên của hàm số y=a
x
với 0<a<1
Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit




b.Tr êng hîp 0<a<1:
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Ghi nhớ:
Hàm số y=a
x
+) có tập xác định là R và tập giá trị là khoảng (0; )
+) đồng biên trên R khi a>0, nghịch biến trên R khi
0<a<1;

+) Có đồ thị
-đi qua điểm (0;1)
- nằm ở phía trên trục hoành,
-Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang,
+
a>1
0<a<1




4.2.Hµm sè y= log
a
x
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
a>1




4.2.Hµm sè y= log
a
x
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
0<a<1




Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

4.2.Hµm sè y= log
a
x




VÝ dô 4: lËp b¶ng biÕn thiªn cña
hµm sè y=log
a
x
Th1: a>1
Th2: 0<a<1
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit




Ghi nhớ:
Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Hàm số y= log
a
x
* Có tập xác định là khoảng (0; ) và tập giá trị là R
* đồng biến trên khoảng (0; ) khi a>1, nghịch biến trên khoảng (0; ) khi
0<a<1;
*Có đồ thị :
+) đi qua điểm (1;0)
+) Nằm ở bên phải trục tung,
+) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

+00
+00
+00
a>1
0<a<1




Ghi nhớ:
Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Hàm số y= log
a
x
* Có tập xác định là khoảng (0; ) và tập giá trị là R
* đồng biến trên khoảng (0; ) khi a>1, nghịch biến trên khoảng (0; ) khi
0<a<1;
*Có đồ thị :
+) đi qua điểm (1;0)
+) Nằm ở bên phải trục tung,
+) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
+00
+00
+00
a>1
M
M
0<a<1

-Cñng cè bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
-Bµi tËp sgk/112 vµ 113

Xin chân thành cảm ơn các
thầy cô giáo và các em học
sinh