Hàm số mũ và lôgarits.

1

 !"#
$%&'()*+
2
NỘI DUNG BÀI HỌC
,
Kiểm tra bài cũ
1. Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit.
2. Một số giới hạn liên quan
,
3. Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số
lôgarit
,-
4.Sự biến thiên và đồ thò của hàm số mũ,
hàm số lôgarit
Củng cố
Bài tập làm thêm


3
3
KIỂM TRA BÀI CŨ :
Câu hỏi : Viết công thức tính lãi kép .
p dụng : Một người gửi 15 triệu đồng vào Ngân
hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi
suất 7,56% một năm . Hỏi số tiền người đó nhận
được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm, sau 5 năm là bao
nhiêu triệu đồng .(Làm tròn đến chữ số thập phân
thứ hai )

4
4
#.
(/01* : C= A(1 + r)
N

A : Số tiền gửi ban đầu
r : lãi suất
N : Số kì hạn
C : Số tiền thu được ( cả vốn lẫn lãi )
p dụng :
C= 15(1 + 0,0756)
N
N = 2 : C = 17 triệu 35
N = 5 : C = 21 triệu 59


5
5
&/23*&1*+&10%4*(0%(5&67&2
x
x
-2
-2
0
0
1
1
2

2




2
2
x
x






x
x


1
1


2
2
4
4
log
log
2

2
x
x
8,9:8
4
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1 2
4
2
-1
0 1


6
6
;<&1++=>?&@?7(A?2!&@?7(AB(/&%+0
&C4D& : Cho a là số thực dương, khác 1.
+ Hàm số y = a
x
, xác đònh trên R
được gọi là hàm số mũ cơ số a .
+ Hàm số y = log

a
x , xác đònh trên (0; + ∞) được
gọi là hàm số lôgarit cơ số a .
521E1
+ Hàm số y = e
x
kí hiệu y = exp(x).
+ Hàm số y =logx = log
10
x (hoặc y= lgx) ,
+ Hàm số y = lnx = log
e
x .


7
7
3
) 5
x
a y
=
) 4
x
b y
−
=
)
x
c y

π
=
( )
3
)d y x
=
3
) log=f y x
1
4
) log
=
g y x
) log 5
=
x
h y
) log (2 1)= +
x
j y x
&/2&1*5+=F201*7&25+=F201*&@(B&@&@?7(A
?2G!&@?7(AB(/&%+0;<+H(1*(5+=A0*7(A
e) y = x
x
.
i) y = lnx
8,9:8


8

8
( )
3
3
) 5 5
x
x
a y
= =
1
) 4
4
x
x
b y


= =
ữ

)
x
c y

=
( )
3
)d y x
=
e) y = x

x
.
#.
Haứm soỏ muừ cụ soỏ a =
3
5
Haứm soỏ muừ cụ soỏ a = 1/4
Haứm soỏ muừ cụ soỏ a =
Khoõng phaỷi haứm soỏ muừ
Khoõng phaỷi haứm soỏ muừ


9
9
3
) log=f y x
1
4
) log
=
g y x
) log 5
=
x
h y
) log (2 1)= +
x
j y x
i) y = lnx
#.

Haứm soỏ loõgarit cụ soỏ a = 3
Haứm soỏ loõgarit cụ soỏ a = 1/4
Khoõng phaỷi haứm soỏ loõgarit
Haứm soỏ loõgarit cụ soỏ a = e
Khoõng phaỷi haứm soỏ loõgarit


10
10
0
0
0
, lim
x
x
x x
x R a a
→
∀ ∈ =
0
0 0
(0; ), lim log log
a a
x x
x x x
→
∀ ∈ +∞ =
;(>07(A+1+&)B+=/I2&H=A&@?7(A?2G!&@?7(AB(/&%+0
&3B+=/02)*
Các hàm số y = a

x
, y = log
a
x liên tục trên tập xác đònh của nó :


11
11
1
) lim
x
x
a e
→∞
0
sin
) lim ln
x
x
c
x
→
 
 ÷
 
$3J2) : Tính caùc giôùi haïn sau :
( )
2
8
) lim log

x
b x
→


12
12
1
0
lim 1
x
x
e e
→∞
= =
0
sin
lim ln ln1 0
x
x
x
→
 
= =
 ÷
 

( )
2 2
8

) lim log log 8 3
x
b x
→
= =
a) Khi x  + ∞ ⇒ 1/x  0 . Do ñoù :
c) Khi x  0 ⇒
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
Do ñoù :


13
13
8,9:8
1 1
lim 1 ; lim 1
t t
x x
e e
t t
→+∞ →−∞
   
+ = + =

 ÷  ÷
   
1
.x
t
= ⇒
( )
1
0
lim 1 (1)
x
x
x e
→
+ =
1ln)1ln(lim
)1ln(
lim
1
00
==+=
+
→→
ex
x
x
x
xx
1
)1ln(

1
lim
)1ln(
lim
1
lim
000
=
+
=
+
=
−
→→→
t
t
t
t
x
e
tt
x
x
1
ln(1 )
2) ln(1 )
+
= +
x
x

x
x
Do đó :
3) Đặt t = e
x
= t => e
x
= t + 1 => x = ln(1 + t )
Khi x  0 khi và chỉ t  0
p dụng công thức (1) . Do tính liên tục của
hàm số lôgarit , ta có :
Đặt :
1) Các em đã biết :


14
14
5CKL:
0
ln(1 )
lim 1 (2)
x
x
x
→
+
=
0
1
lim 1 (3)

x
x
e
x
→
−
=


15
15
1MJ2) : Tính caùc giôùi haïn sau :
3 2 2
0
)
lim
x
x
e e
a
x
+
→
−
0
ln(1 3 )
)
lim
x
x

b
x
→
+


16
16

3 2 2 3 2 2
0 0
.
)
lim lim
+
→ →
− −
=
x x
x x
e e e e e
a
x x
0 0
ln(1 3 ) ln(1 3 )
) 3 3
3
lim lim
x x
x x

b
x x
→ →
+ +
= =
2 3 3
2
0 0
( 1) ( 1)
3 3
3
lim lim
→ →
− −
= = =
x x
x x
e e e
e e
x x


17
17
-;C&)(&@?*26&&@?7(A?2GN&@&@?7(AB(/%&+0
&C&)(&@?*26&&@?7(A?2GL
8,9:8-
a) Phát biểu đònh nghóa đạo hàm của hàm số X:
b) p dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= e
x

Cho x s gia ố ∆x
+ ∆y = f(x + ∆x ) – f(x) = e
x + ∆x
– e
x
= e
x
(e
∆x
– 1).
+ Kết luậnX: (e
x
)’ = e
x
.
x
x
x
x
xx
xx
e
x
e
e
x
ee
x
y
=

∆
−
=
∆
−
=
∆
∆
+
∆
→∆
∆
→∆→∆
)1(
lim
)1(
limlim
000


18
18
8,9:8-
c) Chứng minh (a
x
)’ = a
x
. lna .
Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e
a= e

lna
=> a
x
= e
(lna)x
= e
x.lna
.
Do đó theo công thức đạo hàm của hàm số hợp . Ta
có :
aaaxeea
xaxaxx
ln.)'ln.()'()'(
lnln
===


19
19
CKX:
i) Hàm số y = a
x
có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R và .
(a
x
)’ = a
x
.lna
Đặc biệtX:
(e

x
)’ = e
x
.
ii) Nếu hàm số y = u(x) có đạo hàm trên tập J thì hàm số
y = a
u(x)
có đạo hàm trên J và
(a
u(x)
)’ = u’(x).a
2x)
.lna
Đặc biệtX:
(e
u(x)
)’ =u’(x)e
u(x)
.


20
20
Vớ duù : Tớnh ủaùo haứm caực haứm soỏ sauX:
1)y = (x
2
+ 2x).e
x
.
2) .sin

x
y e x
=
3
3) 2 .( 2)
x
y x
= +


21
21
1)y = (x
2
+ 2x).e
x
.
y’= (2x + 2)e
x
+ (x
2
+ 2x).e
x
y’ = (x
2
+ 4x + 2).e
x
( )
' '. .sin . s
1

' sin cos
2
= +
 
= +
 ÷
 
x x
x
y x e x e co x
y e x x
x
3 2
3 2
' 2 ln 2.( 2) 2 .3
' 2 [ln 2.( 2) 3 ]
= + +
= + +
x x
x
y x x
y x x
GIAÛI :
2) .sin=
x
y e x
3
3) 2 .( 2)
= +
x

y x


22
22
5C&)(&@?*26&&@?7(AB(%&+0
8,9:8O






∆
+=
∆+
=
x
x
x
xx
1lnln
x
x
x
x
x
xx
x
x

x
y
xxx
1
1ln
lim
1
1ln
limlim
000
=
∆






∆
+
=
∆






∆
+

=
∆
∆
→∆→∆→∆
x
x
1
)'(ln =
Do đó :
a) p dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= lnx
Cho x > 0 s gia ố ∆x
+ ∆y = f(x + ∆x ) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx


23
23
8,9:8O
( )
1
log '
.ln
a
x
x a
=
p dụng công thức đổi cơ số a về cơ số e . Ta có :
ln
log . :
ln
a

x
x Suy ra
a
=
( )
1 1
log ' (ln ) '
ln .ln
a
x x
a x a
= =
b) Chứng minh :


24
24
CK-L:
i) Hàm số y =log
a
x có đạo hàm tại mọi điểm x> 0 và
Đặc biệtX:
ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trò dương và có đạo hàm trên tập
J thì hàm số y = log
a
u(x) có đạo hàm trên J và
Đặc biệtX:
( )
ax
x

a
ln.
1
'log =
( )
1
ln 'x
x
=
( )
'( )
log ( ) '
( ).ln
a
u x
u x
u x a
=
( )
'( )
ln ( ) '
( )
u x
u x
u x
=


25
25

Vớ duù : Tớnh ủaùo haứm caực haứm soỏ sauX:
1) y = (x
2
+ 1).lnx
2) y = ln(x
2
x + 1)
3) y = log
2
(2 + sinx).