Ôn tập chương 12

1

1. Xét tính đơn điệu của hàm số của chứa tham số
2. Tìm điều kiện của hàm số có cực trị và điểm cực trị thoả mãn
một tính chất nào đó
3. Giá trị lớn nhất giả trị nhỏ nhất của hàm số
4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
5. Điểm cố định của họ hàm số
6. Sự t ơng giao của hai đồ thị
7. Biện luận số nghiệm của PT d a vào đồ thị hàm số
8. Khoảng cách
Các dạng bài tập liên quan đến
khảo sát hàm số.


2
2
BIEÄN LUAÄN
BIEÄN LUAÄN
SOÁ NGHIEÄM
SOÁ NGHIEÄM
PHÖÔNG
PHÖÔNG
TRÌNH
TRÌNH
BAÈNG ÑOÀ THÒ
BAÈNG ÑOÀ THÒ
3
BTập
BTập
: Cho hàm số

: Cho hàm số
y = x
y = x
3
3
- 3x + 1 ( C)
- 3x + 1 ( C)
GIẢI
GIẢI


1)
1)
Khảo sát hàm số và vẽ
Khảo sát hàm số và vẽ
đ
đ
ồ thò ( C ).
ồ thò ( C ).
2)
2)


Biện luận số nghiệm của PT :
Biện luận số nghiệm của PT :
x – 3x + 1 – m = 0
x – 3x + 1 – m = 0
3
4
1. Miền xác đònh : D = R

y
’
= 3x
2
– 3 =0
x = 1 V x = - 1
Bảng biến thiên:
x
- 1
1
0
0
+ -
+
y’
y
3
- 1
CĐ
CT
y
’’
= 6x=0
x = 0
x
y’’
y
lồi lõm
0
0

-
+
Điểm đặc biệt :
x = 2
y = 3
x = - 2
y = - 1
Điểm uốn I ( 0; 1 )
⇔
∞−
∞−
∞+
∞+
⇔
∞−
∞+
⇒
⇒
5
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x

f(x)
Ñoà thò :
( C ):
y = x
y = x
3
3
- 3x + 1
- 3x + 1
I
CT
CÑ
0
6


biện luận theo tham số m số
biện luận theo tham số m số
nghiệm của phương trình : x
nghiệm của phương trình : x
3
3
- 3x + 1 – m = 0 .
- 3x + 1 – m = 0 .
GIẢI
x
x
3
3
- 3x + 1 = 0 (*)

- 3x + 1 = 0 (*)
x
x
3
3
- 3x + 1 = m (1)
- 3x + 1 = m (1)
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò :
3
( ): 3 1
: ùng phương với trục Ox
C y x x
d y m c
ì
ï
= - +
ï
í
ï
=
ï
ỵ
Dựa vào đồ thò ( C), ta có :

Có nhận xét gì về phương trình (1)
( C )
( d )
–
–
m

m
–
–
m = 0
m = 0
–
–
m
m
Số giao điểm của hai đồ thò bằng với
số nghiệm phương trình hoành độ
giao điểm của hai đồ thò đó.
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)
( C ):
y = x
y = x
3
3
- 3x + 1

- 3x + 1
d:
y = m
y = m
2. Dùng đồ thò ( C ) để
2. Dùng đồ thò ( C ) để
⇔
7
Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của
phương trình f(x,m)=0 ( * )

Chuyển vế phương trình (*) thành dạng f(x)=g(m).

Vẽ (C) : y = f(x) và vẽ d : y = g(m) cùng phương
với Ox trên cùng một hệ trục tọa độ.
(thường là (C) đã được vẽ trong những phần trước)

Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của (1).
Phương pháp:Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của
phương trình f(x,m)=0 ( * ) ?
8


biện luận theo tham số m số
biện luận theo tham số m số
nghiệm của phương trình : x
nghiệm của phương trình : x
3
3
- 3x + 1 – m = 0 .

- 3x + 1 – m = 0 .
GIẢI
x
x
3
3
- 3x + 1 = 0 (*)
- 3x + 1 = 0 (*)
x
x
3
3
- 3x + 1 = m (1)
- 3x + 1 = m (1)
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò :
3
( ): 3 1
: ùng phương với trục Ox
C y x x
d y m c
ì
ï
= - +
ï
í
ï
=
ï
ỵ
Dựa vào đồ thò ( C), ta có :


Có nhận xét gì về phương trình (1)
( C )
( d )
–
–
m
m
–
–
m = 0
m = 0
–
–
m
m
Số giao điểm của hai đồ thò bằng với
số nghiệm phương trình hoành độ
giao điểm của hai đồ thò đó.
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x

f(x)
( C ):
y = x
y = x
3
3
- 3x + 1
- 3x + 1
d:
y = m
y = m
Dùng đồ thò ( C ) để
Dùng đồ thò ( C ) để
⇔
9
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)
Ñoà thò :
( C ):
y = x

y = x
3
3
- 3x + 1
- 3x + 1
I
CT
CÑ
0
d : y=m
10
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)
Đồ thò :
( C ):
y = x
y = x
3
3
- 3x + 1

- 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m< - 1
0
Số giao điểm
của (C) và d là 1
Biện luận :
m <-1: (1) có một nghiệm
x
1
11
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)
Đồ thò :
( C ):
y = x
y = x
3

3
- 3x + 1
- 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m= - 1
0
Số giao điểm
của (C) và d là 2
Biện luận :
m =-1: (1) có hai nghiệm
x
1
x
2
12
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)
Đồ thò :

( C ):
y = x
y = x
3
3
- 3x + 1
- 3x + 1
I
CT
CĐ
-1< y = m < 3
0
Số giao điểm
của (C) và d là 3
Biện luận :
-1 < m < 3: (1) có ba nghiệm
x
1
x
2
x
3
13
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1

2
3
4
x
f(x)
Đồ thò :
( C ):
y = x
y = x
3
3
- 3x + 1
- 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m = 3
0
Số giao điểm
của (C) và d là 2
Biện luận :
m = 3 : (1) có hai nghiệm
x
2
=
x
1
=
14
f(x)=x^3-3x+1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)
Đồ thò :
( C ):
y = x
y = x
3
3
- 3x + 1
- 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m
0
Số giao điểm
của (C) và d là 1
Biện luận :
m > 3 : (1) có một nghiệm
x
1

>3
15
m
Số gđ (C) và
(d)
Số
nghiệm
của (*)
3
-1
1 1
2 2
22
3
1
1
3
f(x)=x^3-3x+1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)
∞−

∞+
Bảng biện luận:
ĐỒ THỊ
Biện luận :
m < - 1 : (1) có một nghiệm
m = -1 : (1) có hai nghiệm
-1 < m < 3 : (1) có ba nghiệm
m = 3 : (1) có hai nghiệm
m > 3 : (1) có một nghiệm
16
1. Ch a nắm chắc kiến thức về sự t ơng giao của hai đồ thị nên
không hiểu tại sao lại phảI biến đổi PT :
f(x, m) = 0 f(x) = g(m)
2. Học sinh th ờng coi PT : f(x) = g(m) giống nh PT f(x) = m trong
phần lí thuyết xây dựng.
3. Học sinh khá, giỏi th ờng cọi m nh là ẩn số nên có suy nghĩ là
hàm số y = g(m) có thể không phảI là đ ờng thẳng song song
với trục ox
4. Khi biến đổi PT: f(x, m) = 0 f(x) = g(m) có thể làm thay đổi
Điều kiện của PT ( khi thực hiện phép chi đa thức )

Những sai lầm mà học sinh th ờng mắc phảI khi làm
bài tập biện luận của PT dựa vào đồ thị
17
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phơngpháp: Gọi (C):
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +
'

0
y

2
' 3 2y ax bx c= + +
1. (C) và 0x có 1 điểm chung
'
max min
0
. 0
y
y y
>



>


Hoặc
18
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phơngpháp: Gọi (C):
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +
2
' 3 2y ax bx c= + +
2. (C) và 0x có 2 điểm chung
'

max min
0
. 0
y
y y
>



=


ycócựctrịbằng0
19
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phơngpháp: Gọi (C):
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +
2
' 3 2y ax bx c= + +
3. (C) và 0x có 3 điểm chung
'
max min
0
. 0
y
y y
>

<


ycó2cựctrịtráidấ u
20
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phơngpháp: Gọi (C):
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +
2
' 3 2y ax bx c= + +
4. (C) cắt 0x tại 3 điểm có hoành độ d ơng
1 2
max min 1 2
1 2
' 0 co 2 nghiem x
. ( ). ( ) 0
. . (0) 0
0 x
y x
y y y x y x
a d a y
x
= <


= <

= <


< <

y(0) = d
21
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm
bậc ba với trục hoành 0x
Phơngpháp: Gọi (C):
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +
2
' 3 2y ax bx c= + +
5. (C) cắt 0x tại 3 điểm có hoành độ âm
1 2
max min 1 2
1 2
' 0 co 2 nghiem x
. ( ). ( ) 0
. . (0) 0
x 0
y x
y y y x y x
a d a y
x
= <

= <


= >


< <

y(0) = d
22
2
4
1
x x
y
x
+ +
=
+
CÂU HỎI 2
2) Đònh m để phương trình: x
2
– m x + 3 – m = 0
có ít nhất một nghiệm âm.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số
23
f(x)=(x^2+x+4)/(x+1)
f(x)=x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
f(x)
2
4
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
+

Đồ thò
0
x = - 1
y

=

x
I
CĐ
CT
Đònh m để phương trình:
x
2
– m x + 3 – m = 0
có ít nhất một nghiệm âm.
24
GIẢI
x
2
– m x + 3 – m = 0 ( 1 )
x
2
+ 3 = m x + m
x
2
+ x + 4 = mx + m + 1 + x
x
2
+ x + 4 = m(x + 1) + (1 + x)

x
2
+ x + 4 = (x + 1) (m + 1) ( 2 )
( x = - 1 không là nghiệm của phương trình (2) )
2
4
1 (3)
1
x x
m
x
+ +
= +
+
2
4
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
+
(3) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò
(C) và đường thẳng d: y = m + 1 cùng phương với trục
Ox. Dựa vào đồ thò :
VT
(2)
= 4 VP

(2)
= 0
- 1
¹
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
25
f(x)=(x^2+x+4)/(x+1)
f(x)=x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7

8
x
f(x)
2
4
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
+
Đồ thò
0
x = - 1
y

=

x
I
CĐ
CT
y=m+1> 4
x
0
x
0
=-3

y=m+1= - 5
y= m+1< - 5
x
1
x
2
y=m+1
x
2
– m x + 3 – m = 0
có ít nhất một nghiệm
âm
⇔
⇔
36 >∨−≤ mm
4151 >+∨−≤+ mm