Nội dung ôn tập GT 12 chuẩn CHƯƠNG I

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP GIẢI TÍCH 12 (CHUẨN) – CHƯƠNG I
I. ĐƠN ĐIỆU:
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a/ y = x
3
– 6x
2
+ 9x (ĐB:
( ;1),(3; )−∞ +∞
; NB: (1; 3))
b/ y = x
4
– 2x
2
(ĐB: (-1; 0),
(1; )+∞
; NB:
( ; 1),(0;1)−∞ −
)
c/ y =
3 2x
x 7
−
+
(NB:
( ; 7),( 7; )−∞ − − +∞
) d/ y =
2
x 5x 3
x 2
− +

−
(ĐB:
( ;2),(2; )−∞ +∞
)
e/ y = x + 2cosx, x
5
;
6 6
π π
 
∈
 ÷
 
(NB:
5
;
6 6
π π
 
 ÷
 
) f/ y =
2
2x x−
(ĐB: (0; 1); NB: (1; 2))
II. CỰC TRỊ:
Tìm cực trị các hàm số sau:
a/ y = x
3
– 3x

2
– 24 + 7 (y
CĐ
= y(-2) = 35; y
CT
= y(4) = -73)
b/ y = x
4
– 5x
2
+ 4 (y
CĐ
= y(0) = 4; y
CT
= y(
5
2
±
) =
9
4
−
)
c/ y =
2
x 3x 3
x 2
− +
−
(y

CĐ
= y(1) = -1; y
CT
= y(3) = 3)
d/ y = sin2x (y
CĐ
= y(
4
π
+ k
π
) = 1; y
CT
= y(
3
4
π
+ k
π
) = -1, k
Z
∈
vì hàm số có chu kì T =
π
)
e/ y =
2
x x 1− +
(y
CT

= y(
1
2
) =
3
2
)
III. GTLN VÀ GTNN:
Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a/ y = x +
4
x
(x > 0)(
(0; )
min y
+∞
=
y(2) = 4) b/ y =
2
x
4 x+
(
( ; )
max y y(0) 4
−∞ +∞
= =
)
c/ y =
1
sin x

trên (
0; )π
(
(0; )
min y
π
=
y(
2
π
) = 1)
d/ y = 2x
3
– 3x
2
– 12x + 10 trên
[ 3;3]−
(
[ 3;3]
max y y( 1) 17
−
= − =
;
[ 3;3]
min y
−
=
y(-3) = -35)
e/ y = x
4

– 3x
2
+ 2 trên
[2;5]
(
[2;5]
max y y(5) 552= =
;
[2;5]
min y =
y(2) = 6)
f/ y =
2 x
1 x
−
−
trên [-3; -2](
[ 3; 2]
4
max y y( 2)
3
− −
= − =
;
[ 3; 2]
min y
− −
=
y(-3) =
5

4
)
g/ y =
2
25 x−
trên [-4; 4] (
[ 4;4]
max y y(0) 5
−
= =
;
[ 4;4]
min y
−
=
y(
4
±
) = 3)
h/ y = 2sin
2
x – cosx + 1
(Biến đổi về dạng: f(t) = -2t
2
– t + 3 trên [-1; 1]) (
[ 1;1]
1 25
max y y( )
4 8
−

= − =
;
[ 1;1]
min y
−
=
y(1) = 0)
i/ y = 2sinx –
4
3
sin
3
x trên [0;
π
]
(Biến đổi về dạng: f(t) = 2t –
4
3
t
3
trên [0; 1]) (
[0;1]
2 2 2
max y y( )
2 3
= =
;
[0;1]
min y =
y(0) = 0)

IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các hàm số sau:
1
a/ y =
2x 1
x 2
−
+
b/ y =
5
2 3x−
c/ y =
2
2
x 12x 27
x 4x 5
− +
− +
d/ y =
2
2
x 3x
x 4
+
−
e/ y =
2
2 x
x 4x 3
−

− +
V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x
3
– 3x
2
b/ y = - x
3
+ 3x – 1 c/ y = 3x – 4x
3
d/ y = x
3
– 3x
2
+ 3x – 2
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x
4
– 2x
2
– 1 b/ y =
4
2
x 3
x
2 2
− + +
c/ y = - x
4

+ 2x
2
d/ y = x
4
+ x
2
– 2
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y =
2x 4
x 1
−
−
b/ y =
1 2x
x 2
−
+
c/ y =
6
x 3+
d/ y =
2x 8
x
−
Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x
3
+ 3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x

3
– 3x – 2 + m = 0
ĐS: * m > 4: 1 n
0
; * m = 4: 2 n
0
; * 0 < m < 4: 3 n
0
; * m = 0: 2 n
0
; * m < 0: 1 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2)
ĐS: y = 3x + 2
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
HD: PT đt đi qua 2 điểm A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) có dạng:
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=

− −
ĐS: y = 2x + 2
Bài 5: Cho hàm số (C): y = x
3
+ 3x
2
+ 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x
3
+ 3x
2
– k = 0
ĐS: * k > 4: 1 n
0
; * k = 4: 2 n
0
; * 0 < k < 4: 3 n
0
; * k = 0: 2 n
0
; * k < 0: 1 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1
HD: Thế x = -1 vào (C)
⇒
y = 3: M(-1; 3)
ĐS: y = -3x
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
ĐS: y = -2x + 1

Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x
4
+ 2x
2
+ 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x
4
+ 2x
2
+ 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n
0
; * m = 2: 2 n
0
; * 1 < m < 2: 4 n
0
; * m = 1: 3 n
0
; * m < 1: 2 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2
HD: Thế y = 2 vào (C)
⇒
x =
±
1: M(-1; 2), N(1; 2)
ĐS: y = 2
Bài 7: Cho hàm số (C
m

): y = 2x
3
+ 3(m – 1)x
2
+ 6(m – 2)x – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm A(1; 4)
ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1)
2
ĐS: y = -1; y =
9
x 1
8
− −
Bài 8: Cho hàm số (C
m
): y = x
4
– (m + 7)x
2
+ 2m – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (C
m
) đi qua điểm A(-1; 10)
ĐS: m = 1
c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x

4
– 8x
2
– k = 0 có 4 nghiệm
phân biệt
ĐS: -14 < k < 0
Bài 9: Cho hàm số (C
m
): y =
mx 1
2x m
−
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C
2
)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng
xác định của nó
HD: Chứng minh tử thức của y
’
> 0 suy ra y
’
> 0(đpcm)
c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1;
2
)
ĐS: m = 2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C
2
) tại điểm (1;

1
4
)
ĐS: y =
3 1
x
8 8
−
Bài 10: Cho hàm số (C
m
): y =
(m 1)x 2m 1
x 1
+ − +
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm B(0; -1)
ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C(
3
; -3)
ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung
⇒
x = 0, thay x = 0 vào (C)
⇒
y = -1: E(0; -1)

ĐS: y = -2x – 1
Bài 11: Cho hàm số (C
m
): y = x
3
+ (m + 3)x
2
+ 1 – m
a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1
HD: * Tìm y
’
, tìm y
”
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x =
α

⇔
a 0
y ( ) 0
y ( ) 0
≠


′
α =


′′
α <



a 0
hay y ( ) 0
y ( ) 0
≠
 


 ÷
′
α =

 ÷

 ÷
′′
α >

 
ĐS: m =
3
2
−
b) Xác định m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại x = -2
HD: (C
m
) cắt trục hoành tại x = -2

⇒
y = 0, thay vào (C
m
) ĐS: m =
5
3
−
Bài 12: Cho hàm số (C
m
): y = x
3
– 3mx
2
+ 3(2m – 1)x + 1
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
3
HD: * Tìm y
’
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định
⇔
y
’

≥
0 (hay y
’

≤
0)

⇔
a 0
0( 0)
>


′
∆ ≤ ∆ ≤


a 0
hay
0( 0)
<
 


 ÷
′
∆ ≤ ∆ ≤

 
* m
2
– 2m + 1
0≤
⇔
m = 1
(vì m
2

– 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu
HD: * Tìm y
’
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số có cực trị (hay có một cực đại và một cực tiểu)
⇔
y
’
= 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔
0(hay 0)
′
∆ > ∆ >
* m
2
– 2m + 1 > 0
⇔
m
≠
1
(vì m
2
– 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m
≠
1
c) Xác định m để y
”
(x) > 6x ĐS: m < 0
Bài 13: Cho hàm số (C

m
): y =
mx 3
x m 2
+
+ +
a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
HD: * Tìm y
’
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó
⇔
y
’
> 0 (hay y
’
< 0)
⇔
tử thức > 0 (hay tử thức < 0) ĐS: - 3 < m < 1
* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu
b) Tìm trên (C
-1
) những điểm có tọa độ nguyên
HD: * Chia tử cho mẫu ta được 2 phần (phần nguyên + phần phân)
* Để x, y nguyên
⇔
phần phân nguyên
⇔
tử thức M mẫu thức
ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2)

Bài 14: Xác định m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ (m + 2)x – m đồng biến trên R
ĐS:
2
m 1
3
− ≤ ≤
Bài 15: Định m để hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị
ĐS: m < 2
Bài 16: Định m để hàm số y = x
3
+ mx
2
– 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3
ĐS: m =
27
4
−
Bài 17: Định m để hàm số y = x
3
+ mx
2
– (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1

HD: * Tìm y
’
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đạt cực trị tại x =
α

⇔
y
’
(
α
) = 0 (giải Pt suy ra giá trị m)
ĐS: m = -4
Bài 18: Định m để hàm số y =
1
3
−
x
3
+ (m – 2)x
2
– mx + 3m giảm trên R
ĐS: 1 m 4≤ ≤
4