Bất phương trình và hệ PT bậc 2

bÊt ph ¬ng tr×nh vµ
hÖ bÊt ph ¬ng tr×nh bËc hai

«n tËp ch ¬ng IV
PhÇn 1: Ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
PhÇn 2: HÖ ph ¬ng tr×nh bËc hai hai Èn
PhÇn 3: BÊt ph ¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
PhÇn 4: Ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh qui vÒ bËc hai

Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức : f(x) = ax

+ bx + c (a 0)
và = b
2
- 4ac.
Định lí.
Nếu < 0

thì

f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x.
Nếu = 0 thì

f(x) cùng dấu với a với mọi x - /.
Nếu > 0 thì

f(x) có hai nghiệm x và x và giả sử x < x.
Thế thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ngoài đoạn [ x ; x ]
(tức là x < x hay x > x ) và f(x) trái dấu với a khi x ở trong

khoảng hai nghiệm ( tức là x < x < x ).

VÝ dô ¸p dông:
Gi¶i c¸c bÊt ph ¬ng tr×nh sau:
a)3x
2
+ 7x - 6 < 0
b) -x
2
+ 6x + 16 ≥ 0
c) 9x
2
+ 6x +19 > 0

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax

+ bx + c (a

0),

R.
af(

) < 0
* f(x) có hai nghiệm phân biệt x

, x

(x

< x

)
1) Định lí.
* x

<

< x

.
Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
2) Hệ quả 1.
Ph ơng trình bậc hai f(x) = ax + bx + c = 0 (a 0) có hai
nghiệm phân biệt x , x (x < x)
3) Hệ quả 2.
Cho tam thức f(x) = ax + bx + c (a 0). Và hai số , ( < ).
Ph ơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm,
một nghiệm

(, ), nghiệm kia
nằm ngoài đoạn [, ]
f().f() < 0 (1)
af( ) < 0. số :

*) Ví dụ áp dụng
Cho tam thức bậc hai
f(x) = ( m
2
+1)x

2
- ( m
4
+ m
2
+ 1 )x + m
4
- m
2
- 1
Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m.
Bài giải
Ta có f(1) = m
2
+ 1 - m
4
- m
2
+ 1 + m
4
- m
2
- 1 = - ( m
2
+ 1)
Do đó a.f(1) = - ( m
2
+ 1)
2
< 0 m.

Theo định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
ph ơng trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m.

So s¸nh mét sè α víi c¸c nghiÖm cña
tam thøc bËc hai
TÝnh af(α)
f(x) cã 2 nghiÖm
x
1
< α < x
2
= 0
α lµ nghiÖm cña
f(x)
-
TÝnh ∆ (∆’)
+
f(x) v« nghiÖm
-
+
TÝnh ( S/2 - α )
= 0
f(x) cã ngkÐp x
0
= -b/2a
vµ so s¸nh x
0
víi α
f(x) cã 2 nghiÖm
α < x

1
< x
2
-
f(x) cã 2 nghiÖm
x
1
<x
2
< α
+

Bµi 8 Trang 129
So s¸nh sè -3 víi c¸c nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh:
(m
2
+1)x
2
- 2(m+ 2)x -2 = 0
Bµi gi¶i:
Ta cã: f(-3) =
9(m
2
+ 1) + 6(m+2) -2 = 9m
2
+ 6m +19 > 0 ∀ m.
af(-3) = (m
2
+ 1)( 9m
2

+ 6m +19) > 0 ∀ m
∆’ = (m+2)
2
+ 2(m
2
+1) = 3m
2
+ 4m + 6 > 0 ∀ m.
m+2
m
2
+1
+3
=
3m
2
+m+5
m
2
+1
> 0 ∀ m.
Do ®ã ph ¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt
x
1
, x
2
(

x
1

< x
2
) vµ -3 < x
1
< x
2
- (-3) =
S
2

Bài 9 Trang 129
Cho ph ơng trình: (m+1)x
2
+ 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
a) Ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1
c) Ph ơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]
Bài giải:
a)Ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu ac < 0
(m+1)(2m-12) < 0
-1 < m < 6

Bài 9 Trang 129
Cho ph ơng trình: (m+1)x
2
+ 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1

Bài giải:
b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 (1 < x
1
< x
2
)

af(1) > 0
> 0

(m+1)(5m - 15) > 0
-m
2
+6m+16 > 0
1- 2m
m+1
> 0

m < -1
m > 3
-2 < m < 8
-1 < m < 1/2
Hệ bất ph ơng trình trên vô nghiệm , suy ra không có giá trị nào của m
thoả mãn yêu cầu bài toán
S
2
- 1 > 0

Bài 9 Trang 129
Cho ph ơng trình: (m+1)x

2
+ 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
c) ph ơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]

m + 1 0
(m-7)(5m-15) < 0
m -1
3 < m < 7


Bài giải:
ph ơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]
a 0

f(-1)f(1) < 0
3 < m < 7