Sáng kiến kinh nghiệm_Phân tích Đa thức thành nhân tử

Phần chung

1. Lí do chọn đề tài
1.1. Cơ sở pháp chế
Đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục
& đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi
là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi
dỡng nhân tài cho đất nớc. Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo,
bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng.
1.2. Cơ sở lý luận
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là
một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm
lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chơng
trình, nội dung của SGK, nắm vững phơng pháp dạy học, để từ đó tìm ra những
biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang
trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thờng xuyên phải làm.
Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dỡng những học
sinh có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh
giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên
môn đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp đ-
ợc tổ chức thờng xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó.
Chơng trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi,
trong đó chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những
chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng
biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn
một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử,
hay việc giải một phơng trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh
không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều
đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm cũng có những bài
toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dỡng
cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những

vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.
1.3. Cơ sở thực tiễn
Năm học này, bản thân tôi đợc Nhà trờng và Phòng giáo dục giao cho nhiệm
vụ đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio. Đây là cơ
hội để tôi đa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi.
Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này.
2. Nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử.
- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phơng
pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài .
- Thực nghiệm việc sử dụng các phơng pháp giải bài tập phân tích đa thức
thành nhân tử trong giảng dạy.
- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
3. Giới hạn của đề tài
Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại hai trờng: Trờng THCS Nguyễn Thái
Học và Trờng THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tợng là học sinh giỏi bộ
môn Toán lớp 9
1
4. Đối tợng nghiên cứu
Học sinh giỏi lớp 9 của Trờng THCS Dân tộc nội trú và Trờng THCS Nguyễn
Thái Học.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phơng pháp sau đây:
a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận.
b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn.
c) Phơng pháp quan sát.
d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
e) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Thời gian nghiên cứu
Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007

7. Tài liệu tham khảo
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9.
- Chuyên đề bồi dỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
- 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp của Nhóm tác giả: Nguyễn
Văn Vĩnh Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp
(NKTH).
Nội dung đề tài
1. Nội dung thực hiện
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta
nói rằng đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của
một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
0
= c(
c
a
n

x
n
+
c
a
n 1
x
n 1
+ +
c
a
0
) ( với c

0, c

1 ).
b) Định nghĩa 2
Giả sử P(x)

P
[ ]
x
là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy
trên trờng P nếu nó không thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc khác
0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc
phân tích đợc trên P.
1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
a)Định lý 1
2

Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả
quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc
0.
b) Định lý 2
Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất
hoặc bậc hai với biệt thức

< 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều
phân tích đợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với

< 0.
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Giả sử f(x) = a
0
+ a
1
x + + a
n
x
n
, n > 1, a
n


0, là một đa thức hệ số
nguyên . Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của a
n
nhng
p là ớc của các hệ số còn lại và p
2

không phải là ớc của các số hạng tự do a
0
. Thế
thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q.
1.2. Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc
thành tích các đa thức trên trờng số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong
thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những kĩ thuật , những thói quen
và kĩ năng sơ cấp. Dới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng
dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
1.2.1. Phơng pháp đặt nhân tử chung
Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng (theo chiều ngợc).
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by)
Giải: Ta có : A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax by)
= 2x
2

(ax + 2by + ax by)
=2x
2
(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (2a
2
3ax)(5y + 2b) (6a
2
4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có: P = (2a
2
3ax)(5y +2b) (6a
2
4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
3ax) (6a
2
4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x
2
(y 2z ) 15x(y 2z)
2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y 2z

Do đó : B = 3x
2
(y 2z) 15x(y 2z)
2
= 3x(y 2z)((x 5(y 2z))
=3x(y 2z)(x 5y + 10z)
Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a
2
3ax)(5c + 2d) (6a
2
4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có: C = (2a
2
3ax)(5c + 2d) (6a
2
4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a
2
3ax 6a
2
+ 4ax)
3
= (5c + 2d)(ax 4a
2
)
= a(5c + 2d)(x 4a)
Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3

y 6x
2
y 3xy
3
6xy
2
z xyz
2
+ 3xy
Giải: Ta có: Q = 3x
3
y 6x
2
y 3xy
3
6xy
2
z xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
2x y
2
2yz z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
2x + 1) (y

2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x 1)
2
(y + z)
2
)
= 3xy((x 1) (y + z))((x 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y z 1)(x + y + z 1)
Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = 16x
2
(y 2z) 10y( y 2z)
Giải: Ta có : A = 16x
2
(y 2z) 10y( y 2z)
= (y 2z)(16x
2
10y)
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6
Giải: Ta có : B = x
3
+ 3x

2
+ 2x + 6
= x
2
(x + 3) + 2( x + 3)
= (x
2
+ 2)(x + 3)
Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
Giải: Ta có : A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
= 3z
2
(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z
2
+ 1)
1.2.2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử
Phơng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất
kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử
chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.
Sau đây là một số ví dụ :

Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy
2
xz
2
+ yz
2
yx
2
+ zx
2
zy
2
Giải: Ta có : B = xy
2
xz
2
+ yz
2
yx
2
+ zx
2
zy
2
= (xy
2
xz
2
) + (yz

2
- zy
2
) + (zx
2
yx
2
)
= x(y
2
z
2
) + yz(z y) + x
2
(z y)
= x(y z)(y + z) yz(y z) x
2
(y z)
= (y z)((x(y + z) yz x
2
))
= (y z)((xy x
2
) + (xz yz)
= (y z)(x(y x) + z(x y))
= (y z)(x y)(z x)
Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
4
A= 4x
5

+6x
3
+6x
2
+9
Gi¶i: Ta cã : A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
= 2x
3
(2x
2
+ 3) + 3(2x
3
+ 3)
= (2x
3
+ 3)(2x
2
+ 3)
Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x
6
+ x
4
+ x

2
+ 1
Gi¶: Ta cã : B = x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
= x
4
(x
2
+ 1) + ( x
2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
Gi¶i: Ta cã: B = x
2
+ 2x + 1 – y
2

= (x
2
+ 2x + 1) – y
2
= (x + 1)
2
– y
2
=(x +1 – y)(x + 1 + y )
Bµi 13 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
Gi¶i: Ta cã : A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
= (x
2
+ 2xy + y
2
) – (xz + yz)
= (x + y)
2
– z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = 2xy + z + 2x + yz
Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Bµi 15: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x - 1
Gi¶i: Ta cã : A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x – 1
= x
m + 3
(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
– 1)
Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = x
2
(y – z) + y
2
(z - x) + z
2
(x – y)

Gi¶i: Khai triÓn hai sè h¹ng cuèi råi nhãm c¸c sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn thõa sè
chung y - z
Ta cã : P = x
2
(y – z) + y
2
z – xy
2
+ xz
2
– yz
2
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y
2
– z
2
)
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
5
= (y – z)((x
2
+ yz – x(y + z))
= (y – z)(x
2
+ yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))

= (y – z)(x – y)(x – z)
NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)
nªn : P = x
2
(y – z) - y
2
((y – z) + (x – y)) + z
2
(x – y)
=(y – z)(x
2
– y
2
) – (x – y)(z
2
– y
2
)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
Bµi 17: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc
2
+ c
2
a + abc – abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c
2
( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c
2
)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Q = a
2
b + ab
2
+ b
2
c +bc
2
+ c
2
a + ca
2
+ 3abc
Gi¶i: Ta cã : Q = a
2
b + ab
2
+ b
2
c +bc
2
+ c

2
a + ca
2
+ 3abc
= (a
2
b + ab
2
+ abc) + (b
2
c +bc
2
+abc) + (c
2
a + ca
2
+ abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bµi 19: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2

c + 2bc
2
– 4abc
Gi¶i: Ta cã : A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
= (2a
2
b + 4ab
2
) – (a
2
c + 2abc) + (ac
2
+ 2bc
2
) – (4b
2
c+ 2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c

2
(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
= (a + 2b)(2ab – ac + c
2
– 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)
Bµi 20: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z – y) – 4z
2
x
2
(2x + z)
Gi¶i: Ta cã : P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z – y) – 4z

2
x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(y
2
(z – y) – 4x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
( y
2
z – y
3
– 8x
3
– 4x
2
z)

6
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y
2
4x
2
) (y
3
+ 8x
3
))
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y 2x)(y + 2x) (y + 2x)(y
2
2xy +
4x
2
))
= (2x + y)( 4x
2

y
2
+ z
3
2xz
3
z
2
y
2
+ 2xyz
2
4x
2
z
2
)
= (2x + y)(4x
2
(y
2
z
2
) z
2
y (y z) +2xz
2
( y z))
= (2x + y)(y z)(4x
2

y + 4x
2
z z
2
y + 2xz
2
)
= (2x + y)( y z)(y(4x
2
z
2
) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y z) (2x + z)(2xy yz + 2xz)
1.2.3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa thức về dạng tích, hoặc
luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thờng dùng là :
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B
2
= (A - B)
2
A

2
- B
2
= (A + B) (A - B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
- B
3
= (A - B)( A

2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B
3
= (A + B)( A
2
- AB + B
2
)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

Giải: Ta có : A = x
4
+ x
2
y
2

+ y
4

= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) - x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
+ xy)(x

2
+ y
2
xy)
Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a
6
b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

Giải: Ta có : B = a
6
b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

= (a
6
b
6
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a
3
+ b
3
) (a
3
- b
3
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

)
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) + (a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
)
a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2

) +(a
2
+ b
2
)
2
a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab +
b
2
)
= (a
2

+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
) ((a b)(a + b) + 1))
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)(a
2
b
2
+ 1)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
7
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2

Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) x
2
+ (x
2
x + 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
x
2
+ (x
2
x + 1)
2
= (x
2

x + 1) (x
2
+ x + 1) + (x
2
x + 1)
2
= (x
2
x + 1) (x
2
+ x + 1 + x
2
x + 1)
= 2(x
2
x + 1)(x
2
+ 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
2x

2
z
2
- 2y
2
z
2
Giải: Ta có: A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
= (x
4
+ y
4
+ z

4
- 2x
2
y
2
2x
2
z
2
+ 2y
2
z
2
) 4y
2
z
2
= (x
2
y
2
z
2
)
2
4y
2
z
2
= (x

2
y
2
z
2
2yz) (x
2
y
2
z
2
+ 2yz)
= (x
2
(y + z)
2
)( x
2
(y - z)
2
)
= (x y z) (x + y + z) (x y + z)(x + y z)
Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)
3
+(x - y)
3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác
giải nh sau :

Cách 1: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))
3
3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x
3
3.2x(x
2
y
2
)
= 2x(4x
2
3(x
2
y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)

3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
(x + y)(x y) + (x y)
2

= 2x(2(x
2
+ y
2
) - (x
2
y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 16x
2
+ 40x + 25
Giải: Ta có: A = 16x
2
+ 40x + 25
= (4x)
2

+ 2.4.5.x + 5
2
= (4x + 5)
2
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = (x - y)
3
+(y - z)
3
+(z - x)
3

Giải: Dễ thấy : x y =(x z) + (z y)
Từ đó ta có : (x - y)
3
= (x z)
3
+ (z y)
3
+ 3(x z)(z y)((x z) + (z
y))
= - (z - x)
3
- (y - z)
3
+ 3(z x)(y z)(x y)
8
= 3(z x)(y z)(x y)
Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c) (a

3
+ b
3
+ c
3
)
Giải: Ta có: A = (a + b+ c) (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= a
3

+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ b
3
+ 3b
2
c + c
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a
2
+ ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
8

2
8

Giải: Ta có : P = x
8
2
8

= (x
4
+ 2
4
) (x
4
- 2
4
)
= (x
4
+ 2
4
)((x
2
)
2
(2
2
)
2
)

= (x
4
+ 2
4
)(x
2
2
2
)(x
2
+ 2
2
)
= (x
4
+ 2
4
)(x
2
+ 2
2
)(x 2)(x + 2)
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = (x
3
1) + (5x
2
5) + (3x 3)
Giải: Ta có: Q = (x
3

1) + (5x
2
5) + (3x 3)
= (x 1)(x
2
+ x + 1) + 5(x 1) (x + 1) + 3(x 1)
= (x 1)( x
2
+ x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x 1)( x
2
+ 6x + 9)
= (x 1)(x + 3)
2

1.2.4. Phơng pháp thực hiện phép chia:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x
a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x a). Sau đó lại
phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x
5
+ 6x
4
+ 13x
3
+ 14x
2
+ 12x + 8

Giải:
Dễ thấy: f(-2) = (-2)
5
+ 6(-2)
4
+ 13(-2)
3
+ 14(-2)
2
+ 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc:
f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc:
g(x) = (x + 2)(x
3
+ 2x
2

+ 2x + 2)
Đặt h(x) = x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
9
Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x
2
+ 1)
= (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ
Hoocne để thực hiện phép chia đợc nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) nh sau :
1 6 13 14 12 8
-2 1 4 5 4 4 0

Vậy f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2

+ 4x + 4)
Chia x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 cho (x + 2) nh sau :
1 4 5 4 4
-2 1 2 2 2 0

Vậy x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Chia x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 cho (x + 2) nh sau :
1 2 2 2
-2 1 0 1 0
Vậy x

3
+ 2x
2
+ 2x + 2 = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy h(x) = (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
4
2x
3
11x
2
+ 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ớc của 36 :

1;

2;

3;

4;

6 ;

9;

12;

18;

36.
Ta thấy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 44 24 +36 = 68 68 = 0
Ta có: P = x
4
+ 2x
3
4x
3
8x
2
3x
2
6x + 18x + 36
= x
3
(x + 2) 4x
2
(x + 2) 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x
3
4x
2

3x + 18)
Lại phân tích Q = x
3
4x
2
3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)
3
4(-2)
2
3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc :
10
Q = (x + 2)(x
2
6x + 9)
= (x + 2)(x 3)
2
Vậy: P = (x + 2)
2
(x 3)
2
1.2.5. Phơng pháp đặt ẩn phụ
Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa một đa
thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này
sẽ dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phơng
pháp đặt ẩn phụ.
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2

+ x) + 4(x
2
+ x) - 12
Giải: Đặt : y = x
2
+ x , đa thức đã cho trở thành :
A = y
2
+ 4y 12
= y
2
2y + 6y 12
= y(y 2) + 6(y 2)
= (y 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x
2
+ x vào (1) ta đợc :
A = (x
2
+ x 2)(x
2
+ x 6)
= (x 1)(x + 2)(x
2
+ x 6)
Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ x + 1)( x
2

+ x + 2) - 12
Giải: A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Đặt y = (x
2
+ x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) 12
= y
2
+ y 12
= y
2
3y + 4y 12
= y(y 3) + 4(y 3)
= (y 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x
2
+ x + 1) vào (*) ta đợc :
A = (x
2
+ x + 1 - 3)(x
2
+ x + 1 + 4)
= (x
2
+ x 2) (x
2

+ x + 6)
= (x 1)(x + 2)(x
2
+ x + 6)
Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
12
3x
6
+ 1
Giải: B = x
12
3x
6
+ 1
Đặt y = x
6
(y
0
)
Đa thức đã cho trở thành :
B = y
2
3y + 1
= y
2
2y + 1 y
= (y 1)
2
y

11
= (y 1 -
y
)(y + 1 +
y
) (*)
Thay : y = x
6
vào (*) đợc :
B = (x
6
1 -
)1)(
66
xyx ++

= (x
6
1 x
3
)(x
6
+ 1 + x
3
)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
3
- 3
2

x
2
+ 3x +
2
- 2
Giải: Đặt : y = x -
2
, ta có x = y +
2
A = (y +
2
)
3
- 3
2
(y +
2
)
2
+ 3(y +
2
) +
2
- 2
= y
3
+ 3y
2
2
+ 3y.2 + 2

2
- 3
2
(y
2
+ 2
2
y + 2) + 3(y +
2
) +
2
- 2
= y
3

- 3y 2
= y
3

- y 2y 2
= y(y
2
1) 2(y + 1)
= y(y 1)(y + 1) 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y 1) 2)
= (y + 1)(y
2
y 2)
= (y + 1)(y + 1)(y 2)
= (y + 1)

2
(y 2) (*)
Thay : y = x -
2
vào (*), đợc :
A = (x -
2
+ 1)
2
(x -
2
- 2)
Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x
2
+ 8x + 7)( x
2
+ 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x
2
+ 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15
= y
2
+ 8y + 15
= y

2
+ 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x
2
+ 8x + 7), ta đợc :
M = (x
2
+ 8x + 10)(x
2
+ 8x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)( x
2
+ 2x + 6x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
12
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân
tích đa thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tơng tự nh bài 36, ta đa đa thức (1) về đa thức bậc hai

và từ đó phân tích đợc đa thức A thành tích các nhân tử.
Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1
Giải: Giả sử x
0

, ta viết đa thức dới dạng :
A = x
2
((x
2
+
2
x
1
) + 6( x -
x
1
) + 7 )
Đặt y = x -
x
1
thì x
2

+
2
x
1
= y
2
+ 2
Do đó : A = x
2
(y
2
+ 2 + 6y + 7)
= x
2
( y + 3)
2

= (xy + 3x)
2

Thay y = x -
x
1
, ta đợc
A =
2
3)
1
(

+ x
x
xx
= (x
2
+ 3x 1)
2

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét :
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa
thức sau thành nhân tử :
A = a
0
x
2n
+ a
1
x
n 1
+.+ a
n 1
x
n 1
+a

n
x
n
+ a
n 1
x
n 1
+ + a
1
x + a
0

Bằng cách đa x
n
làm nhân tử của A, hay :
A = x
n
(a
0
x
n
+ a
1
x
n 1
+ .+ a
n 1
x + a
n
+

x
a
n 1
+ +
1
1
n
x
a
+
n
x
a
0
Sau đó đặt y = x +
x
1
ta sẽ phân tích đợc A thành nhân tử một cách dễ dàng
nh bài tập trên.
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
+ 2xy + y
2
x y - 12
Giải: Ta có: A = x
2
+ 2xy + y
2
x y 12

= (x + y)
2
(x + y) 12
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
A = X
2
X 12
13
= X
2
- 16 X + 4
= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)
= (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta đợc :
A = (x + y 4)( x + y + 3)
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ y
2
+ z
2
)( x + y + z)
2
+ (xy + yz + zx)
2
Giải: A = (x
2
+ y

2
+ z
2
)( x + y + z)
2
+ (xy + yz + zx)
2

Đặt : x
2
+ y
2
+ z
2
= a
xy + yz + zx = b


( x + y + z)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = a + 2b
Đa thức A trở thành :
A = a(a + 2b) + b
2

= a
2
+ 2ab + b
2

= (a + b)
2
(*)
Thay : a = x
2
+ y
2
+ z
2

b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc :
A = (x
2
+ y
2
+ z
2
+

xy + yz + zx)
2
Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (x y)
3

+ (y z)
3
+ (z x)
3

Giải: Đặt : A = x y ; B = y z; C = z x
Ta có : A + B + C = 0. Nên
A + B = - C
Lập phơng hai vế :
(A + B)
3
= - C
3

A
3
+ 3AB(A + B) + B
3
= - C
3

A
3
+ B
3
+ C
3
= - 3AB(A + B)

A

3
+ B
3
+ C
3
= 3ABC
Thay : A = x y ; B = y z; C = z x, ta đợc :
(x y)
3
+ (y z)
3
+ (z x)
3
= 3(x y)(y z)(z x)
1.2.6. Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)
Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử trong
đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách nh sau:
Cách 1: A = x
2
6x + 5
14
= x
2
x 5x + 5

= x(x 1) 5(x 1)
= (x 1)(x 5)
Cách 2 : A = x
2
6x + 5
= (x
2
- 2x + 1) 4x + 4
= (x 1)
2
4(x 1)
= (x 1)(x 1 - 4)
= (x 1)(x 5)
Cách 3 : A = x
2
6x + 5
= (x
2
6x + 9) 4
= (x 3)
2
4
= (x 3 2) (x 3 + 2)
= (x 1)(x 5)
Cách 4 : A = x
2
6x + 5
= (x
2
1) 6x + 6

= (x 1)(x + 1) 6(x 1)
= (x 1)( x + 1 6)
= (x 1)(x 5)
Cách 5 : A = x
2
6x + 5
= (3x
2
6x + 3) 2x
2
+ 2
= 3(x 1)
2
- 2(x
2
1)
= 3(x 1)(3(x 1) 2 ( x + 1))
= (x 1)(x 5)
Cách 6 : A = x
2
6x + 5
= (5x
2
10x + 5) 4x
2
+ 4
= (x 1)
2
4x(x 1)
= (x 1)( (5(x 1) 4x))

= (x 1)(x 5)
Cách 7 : A = x
2
6x + 5
= (6x
2
6x) 5x
2
+ 5
= 6x(x 1) - 5(x 1) (x + 1)
= (x 1)(6x 5(x + 1))
= (x 1)(x 5)
Cách 8 : A = x
2
6x + 5
Đặt f(x) = x
2
6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x 1) đợc thơng là (x 5). Vậy
A = (x 1)(x 5)
15
Chú ý: Để phân tích đa thức ax
2
+ bx + c (c

0) bằng phơng pháp tách số hạng ta
làm nh sau :
Bớc 1 : lấy tích a.c = t
Bớc 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trờng hợp) t = p

i
.q
i
Bơc 3 : tìm trong các cặp nhân tử p
i
, q
i
một cặp p
a
, q
a
sao cho : p
a
+ q
a
= b
Bớc 4 : viết ax
2
+ bx + c = ax
2
+ p
a
x + q
a
x + c
Bớc 5 : từ đây nhóm các số hạng và đa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
4
+ 2x

2
- 3
Giải:
Cách 1: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
x
2
+ 3x
2
3
= x
2
(x
2
1) + 3(x
2
1)
= (x
2
1) (x
2
+ 3)
= (x 1)(x + 1)(x
2
+ 3)

Cách 2: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
+ 3x
2
x
2
3
= x
2
(x
2
+ 3) - (x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)(x
2
1)
= (x
2
+ 3)(x 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x
4
+ 2x

2
- 3
= (x
4
) + 2x
2
1 2
= (x
4
1) + 2x
2
2
= (x
2
1)(x
2
+ 1) + 2(x
2
1)
= (x
2
1)(x
2
+ 3)
= (x 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 4 : B = x
4
+ 2x

2
- 3
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - 4
= (x
2
+ 1)
2
4
= (x
2
+ 1)
2
2
2

= (x
2
+ 1 2)(x
2
+ 1 + 2)
= (x
2
1) (x
2
+ 3)
= (x 1)(x + 1)(x

2
+ 3)
Cách 5 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4
9) + 2x
2
+ 6
= (x
2
+ 3)(x
2
- 3) + 2(x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)( x
2
- 3 + 2)
= (x
2
+ 3)(x
2
1)
= (x

2
+ 3)(x 1)(x + 1)
16
C¸ch 6 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (3x
4
– 3) – 2x
4
+ 2x
2
= 3(x
4
– 1) – 2x
2
(x
2
– 1)
= 3(x
2
– 1)(x
2
+ 1) - 2x
2
(x
2
– 1)

= (x
2
– 1)(3( x
2
+ 1) - 2x
2
)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Bµi 43: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x
4
+ x
2
+ 1
Gi¶i:
C¸ch 1 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ 2x

2
+ 1) - x
2
= (x
2
+ 1)
2
- x
2
= (x
2
+ 1 - x)(x
2
+ 1 + x)
C¸ch 2 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ x
3
+ x
2
) – (x
3
+ x
2
+ x) + (x

2
+ x + 1)
= (x
2
+ 1 - x)(x
2
+ 1 + x)
C¸ch 3 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
- x
3
+ x
2
) + (x
3
- x
2
+ x) + (x
2
- x + 1)
= x
2
(x
2
- x + 1) + x(x

2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x
2
+ x + 1)
Bµi 44: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
F = 5x
2
+ 6xy + y
2
Gi¶i:
C¸ch 1 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy) + (xy + y
2
)
= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
C¸ch 2 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2

= (6x
2
+ 6xy) – (x
2
- y
2
)
= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
= (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y)
C¸ch 3 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (4x
2
+ 4xy) +(x
2
+ 2xy + y
2
)
= 4x(x + y) + (x + y)
2

= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
C¸ch 4 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2

17
= (3x
2
+ 6xy + 3y
2
) + (2x
2
– 2y
2
)
= 3(x + y)
2
+ 2(x
2
– y
2
)
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
= (x + y)(5x + y)
C¸ch 5 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 10xy + y
2
) – (4xy + 4y
2
)

= 5(x + y)
2
– 4y(x + y)
= (x + y)(5(x + y) – 4y))
= (x + y)(5x + y)
C¸ch 6 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
- 5y
2
) + (6xy + y
2
)
= 5(x
2
– y
2
) + 6y(x + y)
= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
= (x + y)(5x – 5y + 6y)
= (x + y)(5x + y)
C¸ch 7 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (9x
2

+ 6xy + y
2
) – 4x
2
=(3x + y)
2
– 4x
2
= (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
= (x + y)(5x + y)
Bµi 44: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
Gi¶i:
Ta cã : P = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= (x
4

+ 2x
2
y
2
+ y
4
) – x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
– (xy)
2
= (x
2
+ y
2
– xy)(x
2
+ y
2
+ xy)
Bµi 45: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x
4

+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
Gi¶i: Ta cã : A = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
= x
4
+ (x
2
– x + 1) + (x
2
– x + 1)
2
+ x
= (x
2
– x + 1)(x
2
– x + 2) + x(x + 1)(x
2
– x + 1)

= (x
2
– x + 1)((x
2
– x + 2) + x(x + 1))
= (x
2
– x + 1)(2x
2
+ 2)
Bµi 46: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = 4x
4
+ 81
Gi¶i: Ta cã : P = 4x
4
+ 81
= 4x
4
+ 36x
2
+ 81 – 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
– (6x)
2
18

=(2x
2
+ 9 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3
7x
2
+ 17x - 5
Giải: Ta có : Q = 3x
3
7x
2
+ 17x - 5
= 3x
3
x
2
6x
2
+ 2x + 15x 5
= x
2
(3x 1) 2x(3x 1) + 5(3x 1)
= (3x 1)(x
2
2x + 5)
Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x
3
x
2
x - 2
Giải: Ta có : A = x
3
x
2
x - 2
= x
3
1 (x
2
+ x + 1)
= (x 1)(x
2
+ x + 1) - (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x 1 1)
= (x
2
+ x + 1)(x 2)
Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
3
+ x

2
x + 2
Giải: Ta có : B = x
3
+ x
2
x + 2
= (x
3
+ 1) + (x
2
- x + 1)
= (x + 1)(x
2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x + 1+ 1)
= (x
2
- x + 1)(x + 2)
Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x
3
6x
2
x + 30
Giải: Ta có : C = x

3
6x
2
x + 30
= x
3
+ 2x
2
8x
2
16x + 15x + 30
= x
2
(x + 2) 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
= (x + 2)(x
2
8x + 16 1)
= (x + 2)((x 4)
2
1))
= (x + 2)(x 4 1)(x 4 + 1)
= (x + 2)(x 5)(x 3)
1.2.7. Phơng pháp hệ số bất định
Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính đợc
các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phơng trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
6x

3
+ 12x
2
14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng :
x
4
6x
3
+ 12x
2
14x + 3 = (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
x
4
6x
3
+ 12x
2
14x + 3 = x
4
+ (a+c )x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
19

Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :








=
=+
=++
=+
3
14
12
16
bd
bcad
dbac
ca
Xét bd = 3 với b, d
Z
, b

}{
3;1
với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :

=+
=
=+
143
8
6
ca
ac
ca
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x
4
6x
3
+ 12x
2
14x + 3
= (x
2
2x + 3)(x
2
4x + 1)
Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x
2

+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng :
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx
2
+ aexy + agx + bdxy + bey
2
+ bgy + cdx + cey + cg
= adx
2
+ ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey
2
+ ( bg + ce )y + cg
= 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :

=
=+
=
=+
=+
=
10
37
7
11
22
3
cg
cebg
be
cdag
bdae
ad

=
=
=
=
=
=
2
7
1
5
1
3
g
e
d
c
b
a
Vậy A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = x
4
8x + 63
Giải: Ta có thể biểu diễn B dới dạng :
B = x
4
8x + 63
= (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
= x
4
+ (a+ c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
20
Đồng nhất hai đa thức ta đợc hệ điều kiện:







=
=+

=++
=+
63
8
0
0
bd
bcad
dbac
ca









=
=
=
=
9
4
7
4
d
c
b

a
Vậy : B = x
4
8x + 63 = (x
2
- 4x + 7)(x
2
+ 4x + 9)
1.2.8. Phơng pháp xét giá trị riêng
Đây là một phơng pháp khó, nhng nếu áp dụng nó một cách linh hoạt thì
có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phơng pháp này ta
xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị
cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y z) + y
2
(z x) + z
2
(x y)
Giải: Thử thay x bởi y thì P = y
2
(y z) + y
2
(z y) = 0
Nh vậy P chứa thừa số x y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta
nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x

y

z

x . Do đó nếu P chứa thừa số
x y thì cũng chứa thừa số y z, z x . Vậy P có dạng :
k(x y)(y z)(z x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn
các tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x
2
(y z) + y
2
(z x) + z
2
(x y) = k(x y)(y z)(z
x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng
hạn x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta đợc:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
k = -1
Vậy P = -1(x y)(y z)(z x)
= (x y)(y z)(x z)
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác
nhau để (x y)(y z)(z x)

0.
Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x

2
y
2
(y x) + y
2
z
2
(z y) + z
2
x
2
(y z)
Giải: Thay x = y thì P = y
2
z
2
(z y) + z
2
x
2
(y z) = 0
Nh vậy P chứa thừa số x y.
Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x

y

z

x. Do đó nếu P
chứa thừa số x y thì cũng chứa thừa số y z, z x . Vậy P có dạng :

k(x y)(y z)(z x)
21
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho
(x y)(y z)(z x) thơng là hằng số k, nghĩa là :
P = k(x y)(y z)(z x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta đợc :
1
2
.(-1)
2
.(-2) + (-1)
2
.0.(0 + 1) + 0
2
.1
2
.(1 0) = k. 2.(-1).(-1)
-2 = 2k
k = -1
Vậy P = -1(x y)(y z)(z x)
= (x y)(y z)(x z)
Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ab(a b) + bc(b c) + ca(c a)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi. Thay a=b vào A
ta có:
A = 0 + bc(b c) + cb(c b) = 0
Do đó A

(a b)

Suy ra A

(b c) và A

(c a). Từ đó :
A

(a b)(b c)(c a)
Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia A cho
(a b)(b c)(c a) thơng là hằng số k, nghĩa là :
A = k(a b)(b c)(c a)
Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta đợc 2 = -2k hay k = - 1
A = -1(a b)(b c)(c a)
= (a b)(b c)(a c)
Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x(y
3
z
3
) + y(z
3
x
3
) + z(x
3
y
3
)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi. Thay z = y vào P

ta có:
P = 0 + z(z
3
- x
3
) + z(x
3
z
3
) = 0
Do đó : P

(y z)
Suy ra P

(z x) và P

(x y). Từ đó :
P

(y z)(z x)(z x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho
(y z)(z x)(z x)đợc thơng là hằng số k, nghĩa là :
P = k(y z)(z x)(z x)
Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc :
2.1
3
+ 1.(-2)
3
+ 0 = k.1.(-2)

- 6 = - 2k
22
k = 3
Vậy P = 3(y z)(z x)(z x)
Hay x(y
3
z
3
) + y(z
3
x
3
) + z(x
3
y
3
) = 3(y z)(z x)(z x)
Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = a(b +c a)
2
+ b(c +a b)
2
+ c(a +b c)
2
+ (a + b c)(b +c a)(c +a
b)
Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi.
Thay a = 0 vào M ta có :
M = 0 + b(c b)
2

+ c(b c)
2
+ (b c)(b + c)(c b) = 0
Do đó M

a
Suy ra M

b và M

c. Từ đó :
M

abc
Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc th-
ơng là hằng số k, nghĩa là :
M = k.abc
Cho a = b = c = 1, ta đợc :
1.1
2
+ 1.1
2
+ 1.1
2
+ 1.1.1 = k.1.1.1
k = 4
Vậy M = 4.abc
Hay: a(b +c a)
2
+ b(c +a b)

2
+ c(a +b c)
2
+ (a +b c)(b +c a)(c +a
b) = 4abc
2. Kết quả
Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải
toán trên máy tính tại Trờng THCS Nguyễn Thái Học và Trờng THCS Dân tộc
Nội trú. Kết quả mà tôi đã thu đợc nh sau:
- Cấp Huyện: Có 11 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải
ba, 4 giải khuyến khích
- Cấp Tỉnh: Có 9 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba,
4 giải khuyến khích
- Cấp Quốc gia: Có 3 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải khuyến khích
3. Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện
Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là ngời trực tiếp thực hiện
việc bồi dỡng học sinh giỏi. Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải
pháp thực hiện nh sau:
- Để thực hiện tốt công tác bồi dỡng học sinh giỏi, trớc hết giáo viên cần phải
có một trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải đợc các
bài toán khó một cách thành thạo. Cần phải có một phơng pháp giảng dạy phù
hợp kích thích đợc sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh.
- Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng. Chính vì vậy,
giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao
gồm tất cả các chuyên đề. Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài
toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khả năng của
mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cùng thể loại.
23
- Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi cần thờng xuyên bám sát đối tợng
học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh.

Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình
ôn luyện, học tập. Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai
sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm
vợt qua những khó khăn bớc đầu khi học tập các chuyên đề bồi dỡng học sinh
giỏi mà giáo viên đa ra.
- Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi cũng cần hết sức tránh cho học sinh
những biểu hiện tự đắc, cho mình là giỏi. Điều này sẽ làm cho các em khó tránh
khỏi những thất bại khi tham dự những cuộc thi lớn. Chính vì vậy, giáo viên cần
luôn có những bài toán khó, những yêu cầu cao để các em thấy đợc quá trình học
bồi dỡng học sinh giỏi là một quá trình không thể diễn ra trong ngày một, ngày
hai, mà là cả một quá trình lâu dài, thờng xuyên, liên tục. Tuy nhiên, cũng cần
tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục không giải đợc các bài toán khó sẽ gây ra
cho các em những sự nản chí, mất niềm tin vào khả năng của mình.
4. Kết luận
Bồi dỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài,
bền bỉ. Bởi vì các em đã có cả một quá trình 9 năm học toán. Để có đợc những
học sinh giỏi, chúng ta cần phải tập trung bồi dỡng cho các em ngay từ năm học
lớp 6. Với 4 năm liên tục, cùng với sự nỗ lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn
chúng ta sẽ có đợc những học sinh giỏi thực sự về bộ môn Toán.
Do năng lực còn hạn chế, và năm học này cũng là năm học thứ hai bản thân
tôi tham gia việc bồi dỡng học sinh giỏi, nên đề tài của tôi không thể tránh đợc
những thiếu sót, bản thân tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các bạn
đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục để đề tài của tôi có thể hoàn thiện hơn.
Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá
trình bồi dỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những
mạch kiến thức rất trọng tâm của chơng trình toán.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp của Trờng
THCS Nguyễn Thái Học và Trờng THCS Dân tộc Nội trú đã có những ý kiến
đóng góp, chỉ đạo thực hiện giúp tôi hoàn thành đề tài này.
5. Kiến nghị đề xuất

- Tăng thêm thời gian bồi dỡng cho học sinh giỏi môn Toán 9 vì thời gian
một tuần 2 buổi không đủ thời gian để thực hiện công tác bồi dỡng.
- Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên về
các môn tự nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội.
đánh giá, nhận xét của tổ chuyên môn và nhà trờng
24
25