skkn kinh nghiệm soạn đề và 1 số dạng bài tập về số phức

Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 0

















Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU
I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI
Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung
“ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà. Đây là vấn đề khá
mới lạ đối với khơng ít giáo viên và học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình và
tài liệu nghiên cứu khơng nhiều), mặc dù nội dung này chiếm một tỉ lệ nhất định trong
các đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Vì thế, việc dạy và học
nội dung “ Số phức” có hiệu quả thật sự là vấn đề cần nghiên cứu. Qua q trình giảng

dạy tơi đã tích lũy một ít kinh nghiệm cho nội dung này. Trong năm học 2010 - 2011,
tơi đã hệ thống những kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài
tập về số phức với hy vọng học sinh sẽ có cái nhìn tồn diện và tự tin hơn khi tiếp cận
các vấn đề liên quan đến số phức.
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lý do chọn đề tài của tơi xuất phát từ những trải nghiệm sau:
* Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên đa phần khi vận dụng còn
ảnh hưởng bởi tính chất của tập hợp số thực đã học từ các lớp dưới. Vì vậy thường tỏ ra
lúng túng khi đối mặt chúng trong các đề thi.
* Trong nhiều trường hợp, có thể vận dụng phương pháp“ Dùng cái phức để giải
quyết cái thực” một cách hữu hiệu.
* Nghiên cứu dạng tốn này còn giúp cho học sinh kết hợp phương pháp đại số và
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết một số dạng tốn nâng cao.
* Đặc biệt, nhằm ứng dụng hiệu quả kiến thức tiếp thu qua các lớp tập huấn về cơng
nghệ thơng tin và bồi dưỡng thường xun, bên cạnh việc hướng dẫn học sinh sử dụng
máy tính cầm tay trong việc tính tốn số phức, bản thân còn ứng dụng phần mềm
Maple để chủ động biên soạn các đề bài tốn số phức phù hợp mục tiêu từng dạng bài.
Từ những suy nghĩ trên, tơi mạn phép trao đổi cùng các anh chị đồng nghiệp và các
em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “KINH NGHIỆM SOẠN ĐỀ VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” nhằm góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học bộ mơn tốn ở trường THPT.
III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
• Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy tốn ở các trường trung
học phổ thơng tham khảo và các em học sinh lớp 12 ơn thi Tốt nghiệp và Cao đẳng -
Đại học.
• Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
* Một số dạng bài tập thường gặp về số phức.
* Ứng dụng số phức tìm để giải quyết một số bài tốn về số thực.
* Các bài tốn tham khảo qua các kì thi.

* Minh họa một số đề bài tốn được biên soạn bởi sự hỗ trợ phần mềm Maple.
IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu:
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
2
* Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về phương pháp
giải một số dạng bài tập về số phức.
* Bản thân rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
* Ứng dụng CNTT trong việc đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thơng.
* Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chun Bến Tre và của Cơng
Đồn ngành Giáo dục phát động.
V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
* SKKN này đã hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý
khi nghiên cứu chương số phức.
* Qua SKKN nầy, học sinh được nắm được phương pháp giải một số dạng tốn về
số phức và các kỹ thuật tính tốn đại số.Cụ thể là:
+ Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài tốn định tính.
+ Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức.
+ Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.
+ Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai.
+ Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức.
+ Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn và số phức.
* SKKN này còn khai thác ý nghĩa hình học về các phép tốn cộng, trừ của số phức
và ứng dụng dạng lượng giác của số phức.
* SKKN này đưa ra nhiều bài tốn mẫu và các bài tập tương tự nhằm mục tiêu giúp
học sinh rèn luyện kỹ năng tính tốn và phát triển tư duy trước mỗi dạng bài.
* Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để có thể
sáng tạo giải quyết các bài tốn nâng cao và tổng hợp khác.

* Đặc biệt, điểm mới cần lưu ý trong SKKN này là bản thân đã khai thác ứng dụng
phần mềm Maple trong việc sáng tác các bài tốn và kiểm tra kết quả theo mục tiêu bài
học.
PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:
* Các kiến thức cơ bản về số phức.
* Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
* Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay.
* Một số lệnh cơ bản của Maple.

II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Trong suốt 12 năm học từ bậc tiểu học đến bậc THPT, hầu hết thời gian làm tốn số
của học sinh là u cầu giải quyết trên tập số thực. Riêng năm học lớp 12 học sinh
được tiếp cận với tập số phức với thời lượng nhất định để nghiên cứu các dạng tốn
liên quan. Vì thế, nếu khơng có sự hướng dẫn đầy đủ và cụ thể của giáo viên thì học
sinh thường có sự nhầm lẫn trong tính tốn và khơng nắm vững phương pháp giải từng
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
3
dạng bài. Đồng thời, học sinh cũng khơng cảm nhận hết“ cái đẹp” của số phức cũng
như khơng thấy rõ mối liên quan giữa các kiến thức tốn học.
Do vậy, việc giải các bài tốn liên quan đến số phức đòi hỏi có sự kết hợp khéo léo
và vận dụng linh hoạt, sáng tạo giữa các kiến thức tốn. Sau đây, tơi xin giới thiệu một
số phương pháp thường dùng để giải các dạng tốn nói trên.
III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1) TĨM TẮT GIÁO KHOA

Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần

lưu ý khi nghiên cứu chương số phức.
Phần 1:
SỐ PHỨC
2
Mỗi là một biểu thức dạng với
, và 1. Kí hiệu số phức đó là z và viết .
được gọi là đơn vò ảo, được gọi là phần thực và được
Đònh nghóa 1:
số phưc
g
ù +
∈=− =+
i

abi
ab i z a bi
ia b
ọi là phần ảo
của số phức .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là .
=+

zabi

Đònh nghóa 2: , Suy ra 0 0.
aa
abi a bi abi ab
bb
′
=

⎧
′′
+=+⇔ +=⇔==
⎨
′
=
⎩
i

Đây là cơ sở của việc ứng dụng số phức để giải quyết các bài toán trong
tập hợp số t
Chú y
ù
:

hực.

33 22
Sau khi học xong công thức Moivre(Moa- vrơ), có thể tính được
cos , sin như sau:
Với 3, xét = cos3 sin3 (1).
Ta có = (cos si
V
n
í dụ:
) (cos 3cos .sin ) (3cos i

.s n
ϕϕ
=ϕ+ϕ

ϕ+ ϕ ⇒ = ϕ− ϕ ϕ + ϕ ϕ
∗
i
nn
nz i
ziz i
3
3
3
sin ); (2)
cos3 4cos 3cos .
Từ (1) và (2) ta được:
sin3 3sin 4sin .
−ϕ
⎧
ϕ= ϕ− ϕ
⎪
⎨
ϕ= ϕ− ϕ
⎪
⎩
i
i

′
′
′′
≥
∗
≤

 Trong không có quan hệ thứ tự, nghóa là không có khái niệm z > z , z < z ,
zz, z
Chú ý:
z.


∗
=+
+
iỨng với mỗi số có duy nhất một điểm
Biểu diễn hình học của số phư
( ; )/ mp và ngược lạ
ù
c:
i.
Kí hiệu: ( ) hay ( ) .
Mabzabi
Ma b
O
M
x
z
y
i


iCác điểm trên trục hoành biểu die
ã
n các số thực; Các điểm trên trục tung
biểu diễn các số ảo.

Ox Oy

Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
4

Cho có vectơ biểu diễ
của ca
n là ( ; )
có vectơ biểu d
ùc phép toán cộng, trừ s
iễn là ( ; )
ố phư :
ù
c
=+
′′′ ′′′
=+


zabi uab
zabi ua b
∗ Y Ù nghóa hình học

biểu diễn cho .
Khi đo:
biểu diễn cho - .
⎧
′′

++
⎪
⎨
′′
−
⎪
⎩


uu zz
ù
uu zz

∗
′
′′
=+ = +
′′′ ′′
=++
Đònh nghóa phép nhân số phức:
Tích của hai số phức va
là số phức - ( ) .
z
abi øz a bi
zz aa bb ab a b i

* Chu ù ý :

"Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách hình thức
tương tự như các phép toán cộng, trư,ø nhân trên tập số thực

"
∗Khái niệm số phức liên hợp và môđun số phức.

22
Phép chia số phức:
Số phức liên hợp của là - .
Mun của số phức z là
Phép chia cho số phức khác kh
= .
Số nghòch đảo của số phức khác
Đònh nghóa:
ông:

∗
=+ =
+
i
i
i
zabizabi
âzab
z
1
2
0 là số
1
= .
−
zz

z

1
2
Thương của phép chia số phức cho số phức 0 là tích của với số phức
nghòch đảo của , tức là . .
Vậy Nếu 0 th .: ì
−
′′
≠=
′
′′
≠
′
′
=
zzz
z
z
zz z
z
z
z
z
z
z
zz


SƠ ĐỒ TRÌNH BÀY KHÁI NIỆM PHÉP CHIA SỐ PHỨC

−
−
⎫
⎪
∗=+ ⇒
⎪
′′
⎪
′
∗=+ ⇒ + ⇒ = ≠
⎬
⎪
⎪
∗≠⇒
⎪
⎭
22 1
2
1
2
= -
=.=
1
Cho 0 =
z a bi z a bi
zzz
zabi z a b zz z
z
z

zzz
z



;(0)




Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
5
′
∗ Chú ý: Trong thực hành, để tính ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu số vớ . i
z
z

z
Phần 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
=∗
∗
≠
2
Đònh nghóa:
Có thể chứng minh đư
" Căn bậc hai của số phức là số phức sao cho "
Mỗi số phức 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số
ợc kết quả

đối nhau (kh
sau
a
:
ù
c0)
wzzw
z
∗
+
Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức
( không được viết )abi
: Chú ý
∗=+
=+
=⇔ − + =+
⎧
−=
∗
⎨
=
⎩
i
i
222
22
Chú ý phương pháp tìm căn bậc hai của số phức :
Giả sử là căn bậc hai của .
Vậy ta có: ( ) 2
Giải hệ phương trình

: ()
2
Vậy việc
wabi
zxyi w
z w x y xyi a bi
xya
xy b
∗ tìm căn bậc hai của số phức được quy về việc giải hpt ( ) bằng phương
pháp thế trong tập hợp số thực.
w


TĨM TẮT CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC






∗
∗
Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0).
Đặc biệt, số thực dương có hai căn bậc hai là và - ; số thực aaaa
−−
âm có hai căn
bậc hai là và - .ai ai

∗ Phương trình bậc hai:

++= ≠
2
0; 0 (1)Az Bz C A


Δ= −
∗Δ≠
−+δ −−δ
==
δΔ
∗Δ =
2
12
Xét biệt thức 4 .
Nếu 0 thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt:
,
22
trong đó là một căn bậc hai của .
0 thì pt (1) có nghiệm kép:

BAC
BB
zz
AA
==−
12

.
2
B
zz
A











:HS sử dụng MTCT để kiểm tra nghiệm pt bậc bậc hai trong tập số phư
ù
c.*Chu ù ý
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 6
Phần 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

=ϕ+ϕ >Dạng (cos sin ) với 0
∗
+
=+ ∈
∗
i


22
PP tìm dạng lượng giác của số phức
Đònh nghóa dạng lượng giác của số phức:

khác 0
Bước 1:Tìm = (mun cu
(; ) cho trươ
ûa so

c:
ù
.zr i r
zabi
rab
ab
ϕϕ∈ϕϕi
á phức).
Bước 2:Tìm (là một acgumen của ); sao cho cos = ; sin = .
ab
z
rr


∗Đònh lý nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:

=ϕ+ϕ
′′ ′ ′ ′
=ϕ+ϕ≥≥
′′ ′ ′
=ϕ+ϕ+ϕ+ϕ
′′
′′
= ϕ −ϕ + ϕ −ϕ >
Nếu (cos sin ),
(cos sin ) ( 0, 0),
thì [cos( ) sin( )],
[cos( ) sin( )](khi 0)

z
ri
zr i r r
zz rr i
zr
ir
zr





∗
ϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ ∈
ϕ+ ϕ = ϕ

=i Đặc biệt khi 1:

r
∗
+ϕ
i[ (cos sin )] (cos sin );
Công th
(
ức Moa-vrơ
cos sin ) cos si

n
:
nn
n
rirninn
inin
tích môđun và tổng acguNhân:
Ch
men.
thương môđun và hi

∗
=ϕ+ϕ>
ϕϕ
ϕϕ ϕ ϕ
⎛⎞
−=π+π
⎜⎟
⎝⎠

Số phức có hai căn bậc hai là
Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
(cos sin ), 0
(cos + sin ) và
22

(cos + sin ) cos( + ) + sin( ) .
22 2
:
2
zr i r
ri
rir i
Ghi nhớ:
*Chu ù ý :

ệu ia acg: umen.
Có thể kết hợp công thức khai triển nhò thức Niu- tơn và công thức Moa-vrơ
để tính tổng.

2) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC


Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
7
Trên đây là những điểm trọng tâm và những điều cần lưu ý của nội dung kiến
thức làm cơ sở nghiên cứu SKKN. Qua đó, ta có thể phân loại các dạng bài tập vận
dụng như sau:

Dạng 1:
CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH
u cầu cần đạt:
- Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính tốn.
- Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
Một số bài tốn minh họa




()( )
+−=+++
2
Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết:
1.2 8(12)(CĐ A,B, D - 20 ) 09
z
iiziiz

(
)
(
)
()( )
()
()( )
+−=+++
⎡⎤
⇔+ −−+ =+
⎣⎦
⇔−−−=+

⎡⎤
⎣⎦
+−
+
⇔= = =−
+
i
i
2
2
Ta có: 1 . 2 8 (1 2 )
1.2 (12)8
2.2 1 2 8
8.12
8
23.
21 5
Vậy có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3.
iiziiz
ii izi
ii iz i
ii
i
zi
i
z



(

)
(
)
2
1/ Cho số phức thỏa điều kiện: 2 3 4 (1 3 )
Tìm phần thực và phần ảo của số phư (C


















Đ-A,B,D-2010)

ùc .
2/ Tìm ph
−++=−+
z

iz iz i
z
()()
2
ần ảo của số phức biết:
2 1 2 .

3/ Tìm phần thực và phần ảo của số p
=+ −
z
zi i (ĐH-A-2010)
hức biết:
55 20
.
34 43

+
=+
−+
z
i
z
ii
(KT giữa HKI 2010-2011-chuyên BT)
(
)
=+
3
1- 3
Cho số phức thỏa: âđun của số phức

i
z
−
.Tìm mo
1
(ĐH -A- 0201 )
zziz
i
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương T Trang 8hò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre










Trong m
=
2
Tìm số phức thỏa mãn ø là số thuần ảo.
( ĐH -D- 2010)
zzz2 va

ột số trường hợp, thực chất u cầu của bài tốn là thực hiện các phép

tính tr



ên tập số phức. Chẳng hạn











()
+−+
−= =
−−
−=−
⎧−
=
⎪
−
⎨
−
=
+
∗

213
1) 2-i 4 0. 2) .
12
3) (KT giữa HKI 2010-2011-ch BT
sau:
Tìm số phức
234.
thỏa:

12
83
4
1
8
)
ii
zz
ii
zz
z
zi
z
z
z
i
∗ Giải các phương trình
5
()()()()
⎪
⎪

⎪
⎩
=+ − − −
∗
−
2 3 2009
Tính tổn
(Giữa HKI 2010-201
11 3+1 3+1
1-ch
3 +
BT)

g
+ 1 3
:
Siii i
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương T Bến Tre Trang 9hò Xuân An – Trường THPT Chuyên
Dạng 2: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
êu cầu bài tốn thường cho

Y
dưới dạng:
t phẳng Oxy (mặt phẳng phức)
ước.


1) Biểu diễn hình học các số phức trong mặ

2) Tìm điểm (tập hợp điểm) biểu diễn số phức z thỏa một hoặc vài điều kiện cho tr

ột số bài tốn minh họa M

























()( )
+

−+
−−
Xét các điểm , , trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ca
ù
c
426
số phức ; 1 . 1 2 ; .
13
1) Chứng minh tam giác vuông cân.
2) Tìm số phức có điểm biểu
A
BC
ii
ii
ii
ABC
z diễn sao cho là hình vuông.DABCD
()( )
=− ⇒ −
−
−+=+⇒
+
=⇒
−
==
=
⎧
⇒
⎨
⊥

⎩

1
1 . 1 2 3 (3;1)
26
2(0;2)
3
Từ đó: 10; 10 và . 0.

Vậy tam giác vuông cân tại B.
i
iiiB
i
iC
i
BC BA BC BA
BC BA
BC BA
ABC
=
4
1) Ta có: 2 2 (2; 2)
i
iA
2) Từ kq câu 1) ta có:
⇔=
=− =−
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨

−=− =−
⎩⎩
=− −
 
là hình vuông khi là hình bình hành

11

23 1
Vậy số phức cần tìm là 1 .
DD
DD
ABCD ABCD
CD BA
xx
yy
zi
+−
−++=
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa
trong các điều kiện sau:
1) 2 = .
2) 4 4 10.
z
một
ziz
zz
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 10

1
() ()
() ()
=+ ∈
+=−⇔ + + =+ −
⇔++=+−⇔++=
i
i
i
22
22
) Gọi biểu diễn số phức ; , .
Ta có 2 2 1
2 1 4 2 3 0 ( )
Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng ( )
M
zxyixy
zizx yixyi
x
yxy xy d
Md

+=−⇔−− =−i1) Ta có 2 ( 2) (1)
−
−
⇔
Gọi là điểm biểu diễn số phức ,
điểm biểu diễn số 2,
điểm biểu diễn số phức
( nghóa
(1)
là ( ; ), ( 2;0), (0;1)
Khi đó
z
iz z zi
Mz
A
Bi
Mxy A B
M =
++=
i Vậy tập hợp điểm cần tìm là
đường trung trực ( ) của đoạn ,
với ( ):4 2 3 0.
AMB

M
dAB
dxy
2) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa:
4 4 1 (Thi thử Đ0. H -D- ch BT-2010)
M
z
zz−++=
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 11
















Tìm tập hợp các điểm trong mặt pha
ú
Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬ

C HAI
u u bài tốn thường chocầ
dưới dạng:
ố thực âm, căn bậc hai của số phứ
2) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phứ

Một số bài tốn minh họa

1) Tìm căn bậc hai của s c.
c.



Pt có hai nghiệm 2 và 1KQ: .
z
iz i
=
=− +
()
ng phức
biểu diễn số phức thỏa: 1 .
(ĐH-B-2010)
M
zziiz−= +
Tìm tập hợp các điểm trong mặt pha
ú
ng phức biểu diễn số phức thỏa:
2. 2
M

z
zi zz i−=−+
2

Tập hợp các điểm cần tìm là parabol (
Kết
):
quả:
.


4

x
MPy=
() ( )
2
Giải phương trình sau trên tập số phức:
121240. iz iz−−+−=
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 12

Các quy tắc nh ường hợp xét pt bậc hai
ên tập số phức. Chẳng hạn:



ẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong tr
tr




(



)
(
)
Ta có: 2 3 4 3 1 0.
151

Vậy pt có hai nghiệm 1 và .
23 1313
ii i
i
z
zi
i
−+−+−=
−
===+
−


Dạng 4:
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp:
- Phương trình có ẩn ở mẫu
- Phương trình bậc cao.

ột số bài tốn minh họa


M



()
2
()

()
2
2
Giải phương trình sau trên tập số phức:
1 63 16 0
5 2 và 3 4
3) 3 1 0;
3 2 13 1 2 13
+
22

KQ:
và
z i
zizi
ziz
1) 32 55 0zizi+− +−=
1 3 và 2 KQ: zizi=− + =− −
2) 8
KQ:
zi
32
z
i
z
+−=
=− =+
−+ +=
++ +−+
=

−
=
−−
13 1 2 13
+
22
+−−+
i
( )
Giải phương trình sau trên tập số phức:
23 3 1 0. i z i−+−+−=
)(
2
4iz
Giải phương trình trên tập số phư
(CĐ-A,B-2009)
ù
c:
437
2.
zi
zi
zi
−−
=−
−
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 13

Phươ i chú ý đặt điều kiện
ho mẫu thức rồi sau đó biến đổi phương trình quy về bậc hai.




ng trình trên thuộc dạng có ẩn dưới mẫu, khi giải phả
c

()()
2
22
Giải phương trình trên tập số phức:
4120.zz zz++ +−=
2
2
2
2
Đ
ặt , phương trình trở thành:
6
4120
2
Phương trình đã cho tương đương với
123
2

60
1
2
cho có bốn nghiệm
tz z
t
tt
t
i
z
zz
z
z
=+
=−
⎡
+−=⇔
⎢
=
⎣
⎡
−−
=
⎢
⎢
⎡
=
⎢
⎢
=−

⎣
i
i
i trên.
123

2
20
i
z
zz
++=
⎢
−+
⇔
=
⎢
⎢
+−=
⎣
⎢
Vậy phương trình đã
()( )
()()
2
22
Điều kiện:
437
2437 .2
34 417 34

i của .
ng trình:
2
1
3
24
z
i
zi
z
()
2
3 4 1 7 0 (1)
Gọi ( , ) là một căn bậc ha
Ta có hệ phươ
iz izizi
zi
iii
x
y
xy
xy
x
≠
−−
=− ⇔ −− = − −
−
Δ= + − + = −
Δ
=

⎧
⎨
=−
⎧
−=
⎩
⇔
⎨
=−
=−
⎩
i
i
()
2
3
(1) thỏa điều kiện
12
Vậy pt (1) có hai nghiệm: 3 và 1 2 .
zi
zi
ziz i⇔− + ++=
xyixyδ= + ∈
i

1y
z
iz i
⎡
⎢

⎢
⎢
⎧
⎢
⎨
⎢
⎣
=+
⎡
⇔
⎢
=+
⎣
=+ =+i
=
⎩
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

H

Để giải phương trình bậc bốn trên, ta có thể đặt ẩn phụ quy về phương trình
ậc hai. Trong nhiều trường hợp, có thể dùng phương pháp giải phương trình đối
ứng hoặc tựa đối xứng như trong tập số thực. Bài tập sau đây minh họa cho trường
ợp nói trên.



SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC GIẢI

b
x
h

GV: Dương Thò Xuân An – Trường T PT Chuyên Bến Tre Trang 14












Dạng 5:
DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

u cầu bài tốn thường cho

dưới dạng:
1) Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượ
2) Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượ
3) Bài tốn ứng d
Một số bài tốn minh họa
ng giác và ngược lại.
ng giác.
ụng cơng thức Moa-vrơ.
2
43
Cho pt: 1 0 (1)
2
z
zz z−+ ++=
2
2
2
pt đã cho tương đương:
11 1
0
2
1
1)Vì 0 không là nghiệm phương trình,
nên
15
0 (1)
2
z

zz

zz
−+ + + =
⎛⎞
zz
zz
=
⎛⎞
⇔− −−+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
2
13
5
2
0
z
i
t
tt
+
⎡
=
⎢
⇔−+=⇔
⎢
1
2)Đặt ,(1) trở thành:
13
2
2

tz
i
t
=−
−
⎢
=
⎢
⎣
()
2
13 1 13
4)Với , ta có
22
2 1 3 2 0
1

11
22
äy pt đã cho có 4 nghiệm trên.
ii
tz
z
ziz
zi
zi
−−
=−=
⇔−− −=
=−

⎡
⎢
⇔
⎢
=− −
⎣
Va
()
2
13 1 13
3)Với , ta có
22
2 1 2 0 (2)
13 3
1
4
8 6 ,(2)
13 3 1 1
422
ii
tz
z
ziz
ii
zi
i
ii
+
3
z

i
+
=−=
⇔−+ −=
+++
⎡
==+
⎢
Δ= + ⇔
⎢
+−−
⎢
==−+
⎢
⎣
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương T 15hò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang

Để giải được dạng bài tập trên, ngồi việc nắm vững định nghĩa dạng lượng giác
ức, h c giá trị lượng giác của các góc
ối liên quan đặc biệt.












của số ph ọc sinh còn phải biết vận dụng cơng thứ
(cung) có m





()
()
Viết các số phức sau dưới dạng lươ
ï
ng giác:

a) 1 3 1 ; b) sin cos .
zi i w i=− + = ϕ+ ϕ
a) Ta có 1 3 2 cos sin
3
ii
⎡π
⎛⎞ ⎛
−= −+ −
⎜⎟ ⎜
⎢
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦








()
()
;
3
1 2 cos sin
44
Vậy 1 3 . 1 2 2 cos sin .
12 12
ii
ii i

π⎤
⎞
⎟
⎥
ππ
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠
i
⎡
ππ⎤
⎛⎞ ⎛⎞
−+= −+−
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦
i
b) sin cos
z
i=ϕ+ ϕ
=cos sin .
22
i
π
⎛⎞ ⎛⎞
−ϕ + −ϕ

⎜⎟ ⎜⎟
π
⎝⎠ ⎝⎠
Tìm một acgumen của số phức sau:
1 sin cos 0
2
zi
π
⎛⎞
=− ϕ+ ϕ <ϕ<
⎜⎟
⎝⎠
2
1 cos sin
22
2sin .2sin
42
Ta có: 1 sin cos ; 0
2
cos
42 42
zi
i
i
π
⎛⎞
=− ϕ+ ϕ <ϕ<
⎜⎟
⎝⎠
ππ

⎛⎞ ⎛⎞
=− −ϕ+ −ϕ
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
πϕ πϕ πϕ
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
=−+ − −
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
πϕ πϕ πϕ
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
2sin sin cos
42 42 42
i=− −+−
⎜⎟⎜⎟ ⎜
⎝⎠⎝⎠ ⎝
2sin
⎟
⎢⎥
⎠
⎣⎦
πϕ⎡ πϕ πϕ⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=−
⎜
cos sin . (1)
42 42 42
Do 0 nên 0 0 2sin 0.
22442242
Vậy (1) chính là dạng lượng giác của số phức trên.

Vì thế
i
⎡⎤
+++
⎟⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
πϕππϕππϕ
⎛⎞
<ϕ< <<⇒<−<⇒ − >
⎜⎟
⎝⎠
chính là một acgumen của số phức .
42

z
πϕ
−
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 16

Thực chất bài tập trên là u cầu viết dạng lượng giác của số phức. Bài tập sau
ây cũng mang ý nghĩa như trên nhưng ở mức độ nâng cao hơn.

Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z
Bước 2: Áp dụng cơng thức Moa-vrơ để tìm w
Bước 3: Kết luận phần thực và phần ảo của w.
( KQ: Phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.)


Trong bài tập trên có thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự. Khi đó
có th vận dụng cơng thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính tốn.

Dạng 6:
đ
ể
NHỊ HỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC

T
u cầu bài tốn thường cho
dưới dạng:
1) Tính tổng.
2) Chứng minh đẳ
minh
ng thức phụ thuộc số tự nhiên.
B

ài tốn họa



)
2008

2008
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
11
, nếu 1. wz z
zz
=+ +=
()( )
22
24 135
Với mọi số nguyên dương n, hãy chứng minh hệ thức sau:
1 2 .
n
nn nnn
CC CCC−+ + −+ =




()
()(
24 135
0
iu- tơn ta có:
1 .
n
nkk
nnnnnn
k
Xét số phức 1 . Theo công thức khai triển nhò thức N
n

z
i=+
z
1
()( )
22
24 135
1 .
n
nn nnn
Mặt khác: =
n
n
iCiCC CCCi
=
=+ = =− + − + − + −
∑
)
2
2 (đpcm).
n
=

zCC CCC
⇒= −+− + −+−

zz
. Suy ra:
()(
2

24 135
1
n nnn
CC CCC−+− + −+−
n


0 2 4
2010 2010 2010
Tính tổng: SC C C=−+−
2004 2006 2008
2010 2010 2010
C C C+−+
2010
Khai triển nhò thức Niu-tơn (1 )i+
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương T Trang 1hò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre
7

2
Tìm số phức biết: 0; , và K .Q:+= = = =−0
z
zz z zizi
()()
22
Tìm tập hợp các điểm trong mặt pha
ú
ng phức biểu diễn
số p (ĐH-D-2009)
KQ:
hức thỏa: (3 4 ) 2.
Đường tròn 3 4 4.
−− =
−++=
M
zzi
xy
3
( ĐH-B-2009)
KQ:
a) Cho số phức thỏa: (2 ) 10 và . 25. Hãy tìm .
34 và 5.

2; 1 3 và 1 3.

−+ = =
=+ =
=− = − = +
z
b) Gpt: 8 0.+=



















()( )()( )
()( ) () )
12
22

12
12
33
Giải các hpt sau
4
1)
52
;3;12 và ;12;3
3(1 )
2)
9( 1 )
;2;12 và ;12;
KQ:
KQ: 2
zz
zz i
zz i i z i
zw i
zw i
(
12
z
trên tập số phức:
i
z
wiizw ii
+=+
⎧
⎨
+=−

⎩
=−+ +
+= +
⎧
⎨
+=−+
⎩
=
=
++ =+ +
KQ:
zi zz z
ziz
zz z
z
123 123
21
123
32
Cho ba điểm , , tương ứng với các số phức , , .
M
MM zzz
z
Chứng minh r
là một s
ằng nếu , , thẳng hàng thì tỉ số
ố thực.

z
MMM

z
−
−
z
022436
1325
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có các hệ thức:
3 3 3 2 cos
3

2
3 3 sin .
3
3
n
nn n n
n
nn n
n
CC C C
n
CC C
π
⎧
−+ − =
⎪
⎪
⎨
π
⎪

−+ −=
⎪
⎩
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 18
3) MINH HỌA VIỆC ỨNG DỤNG MAPLE BIÊN SOẠN CÁC ĐỀ TỐN VỀ
SỐ PHỨC

Khi ra đề kiểm tra về số phức cho học sinh, để tránh phải tính tốn nặng nề, giáo
viên thường trích từ những tài liệu tham khảo có sẵn đáp số hoặc lời giải. Vì thế các
d ập dễ bị trùng lắp và số lượng bài cũng hữu hạn. Còn nếu tự sáng tác đề bài
một cách ngẫu nhiên thì sau đó phải gia cơng tính tốn nặng nề và tốn rất nhiều thời
gian. Phần mềm Maple chính là cơng cụ hữu hiệu giúp giáo viên giải quyết vấn đề một
cách sáng tạo và khoa học. Nhờ đó, GV ra đề bài tập theo chủ ý và nhanh chóng kiểm
tra kết quả. Do khn khổ bài viết có hạn nên tơi xin minh họa qua ba dạng bài tập sau:

a) Dạng : Các phép tính về số phức
Dùng các lệnh: expand (khai triển), solve (giải pt), conjugate (số phức liên
hợp), abs ( mơđun số phức), Re ( phần thực), Im (phần ảo),
Ví dụ 1:
ạng bài t




• Ta có thể thực hiện lệnh khai triển như sau:
()()
+−=+++
2

Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết:
1.2 8(12)(CĐ A,B, D - 20 ) 09
z
iiziiz

• Sau đó dùng lệnh giải phương trình:

• Hoặc thay cả hai lệnh trên bởi lệnh:


• Từ đó dễ dàng kiểm tra phần thực và phần ảo của z.

Chú ý:

Họ
trê hác thì có ngay
i và đáp số tương ứng.
í dụ 2:
c sinh có thể dùng MTCT để tính ở bước cuối rồi kết luận ( tr 7). Với cú pháp
n, GV nhanh chóng tìm được đáp số. Ngồi ra có thể thay bởi số k
một đề mớ
V



3/ Tìm phần thực và phần ảo của so
á
phức biết:
55 20
z

.
34 43
=+
−+
(KT giữa HKI 2010 -2011-chuyên BT)
+ i
z
ii

• Tương tự VD1 hoặc dùng lệnh gán:

Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 19
Ví dụ 3:
(
)




• Ta có thể thực hiện lần lượt các lệnh sau:

• Hoặc để kiểm tra kết quả, ta dùng lệnh gộp sau:

Chú ý:
Có thể tìm phần thực, phần ảo bằng lệnh:

Ví dụ 4:






• Học sinh dùng cơng thức tính tổng CSN, GV kiểm tra KQ bằng lệnh:

Chú ý:
Có thể dùng phím tính tổng trong Maple.
b) Dạng : Phương trình và hệ phương trình
• Dùng Maple, GV dễ dàng kiểm tra nghiệm của pt bậc hai với h ố phức hoặc hệ ệ s
phương trình bằng lệnh solve như sau:
Ví dụ 5:

()()()()()()
2345
11 3+1 3+1 3
Tính tổng:
+1 3 +1 3 +1 3 =+ − − − − − −
∗
Siiiii
6
i
=
+
−
3
1- 3

Cho số phức thỏa: .Tìm môđun của số phức
1
(ĐH -A- 0 201 )
i
z
zziz
i
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
2
0



() ( )
2
Giải phương trình sau trên tập số phức:
121240. iz iz−−+−=
Ví dụ 6:






()()
2
ng trình sau trên tập số phức:
23 4 3 1 0. iz i z i−+−+−=

Giải phươ

• Tương tự VD5:








Ví dụ 7:





• Dùng lệnh solve như sau:

Chú ý:
Trong các bài tốn trên, nếu thay đổi số liệu ta dễ dàng có đề bài và
đáp số tương ứng. Ngồi ra, có thể dùng lệnh expand để lập phương trình bậc
hai nếu biết hai nghiệm (có thể phức) của nó. Chẳng hạn thực hiện các bước:
- Lập pt bậc hai biết hai nghiệm là 1+2i và 3-4i:

- Thu gọn pt bằng lệnh sort(collect( , )); z

Giải phương trình trên tập s á phư
(CĐ-A,B-2009)
o

ù
c:
437
2.
zi
zi
zi
−−
=−
−
()()
2
22
Giải phương trình trên tập số phức:
4120.zz zz+−=++
2
43
Cho pt: 1 0 (1)
2
z
zz z−+ ++=
33
Giải hpt sau trên tập số phức:
3(1 )

9( 1 )
+= +
⎧
⎨
+=−+

⎩
zw i
zw i
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
2
1

c) Dạng : Khai triển hàm lượng giác
Ví dụ 8:
Biểu diễn sin6x và cos6x lần lượt theo sinx và cosx.










Nhận xét:

Ví dụ trên minh họa cho việc ứng dụng Maple để chứng minh cơng thức
dạng biểu diễn lần lượt sinnx, cosnx theo sinx, cosx. Đồng thời thể hiện quan
thực” trong tốn học.

IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp một số dạng bài tập về số
phức như trên, tơi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết để g i
quy ã mang lại kết quả đáng khích lệ: Qua thực t
bài kiểm tra và bài thi của học sinh khối 12 và lớp 11 chun tốn, có khoảng học
sinh cho lời giải khá tốt. Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ
năng vận dụng phương pháp giải các dạng tốn nói trên. Từ đó, học sinh chủ động sáng
tạo hơn trong việc học tốn và thêm u thích bộ mơn.
Việc ứng dụng phần mềm Maple để sáng tác đề và kiểm tra kết quả các bài tập về số
phức thật sự đã mang lại hiệu quả đáng kể hờ đấy, GV có trong tay một lượng bài tập
pho khac nhau hay tương đồng giúp cho HS có nhiều cơ hội rèn
luy n và phát triển tư duy. Đồng thời, GV có thể tổ chức cho HS
kiểm tra nhiều mã đề khác nhau cùng mộ lúc với chất lượng đề tương đương. Như thế
đảm khả năng tiếp thu của HS một cách khách quan và cơng b ng.
điểm “Dùng cái phức để giải quyết cái
iả
ết thành cơng dạng tốn này. SKKN đ ế
85%
. N
ng phú với mức độ
ện kỹ năng tính tố
t
bảo việc đánh giá ằ
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
2
2
PHẦN KẾT LUẬN

BÀI HỌC KINH NGHIỆM I.
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm trong
cơng tác chun mơn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về
số phức, giáo viên cần phải có sự gia cơng hệ thống các k n thức trọng tâm và phương
p n phải chuẩn bị hệ thống bài
p
p về số phức. Đồng thời, SKKN
này
n
phương pháp thích hợp và i bài tốn. Chun đề “Kinh
nghiệm soạn đề và phương i tập về số phức” có thể dùng
viên dạy tốn THPT bổ sung kinh nghiệm ra đề và
giả


Thành phố Bến Tre, ngày 25 tháng 2 năm 2011.











iế
háp giải một số dạng bài về số phức. Đồng thời, giáo viê
tậ đa dạng minh họa cho từng dạng bài nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple. Đặc biệt,

giáo viên phải là người tạo động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đặt
ra. Sau cùng, giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em về
việc vận dụng các phương pháp này.
II. Ý NGHĨA CỦA SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm trên đã giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học sinh
một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tậ
còn giúp cho học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kĩ năng giải tốn. Từ đó học
sinh có cái nhìn tồn diện và tự tin hơn khi tiếp cận dạng tốn này.
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI
SKKN này đã được trình bày theo chun đề và thiết kế dưới dạng giáo án điện tử
dùng giảng dạy cho các em học sinh lớp 11 chun tốn và khối 12 ơn thi Tốt nghiệp,
Cao đẳng – Đại học. Được học chun đề này, học sinh sẽ dễ dàng có sự lựa chọ
vận dụng sáng tạo cho mỗ
pháp giải một số dạng bà
làm tài liệu tham khảo cho giáo
ng dạy dạng tốn này.
IV. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
Qua việc trình bày nội dung chun đề trên, chúng tơi thật sự muốn chia sẻ với q
anh chị đồng nghiệp cùng các em học sinh một vài kinh nghiệm mà bản thân đã góp
nhặt trong q trình giảng dạy. Rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý cho chun đề
từ các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh. Hy vọng SKKN này sẽ góp phần nâng
cao chất lượng dạy và học tốn ở trường THPT.
Người viết

Dương Thị Xn An
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
2

3

MỤC LỤC




2) Một số dạng bài tập về số phức 6
3) Minh họa ứng dụng Maple biên soạn các đề tốn về số phức 18
Phần kết luận 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO
ương trình nâng cao
) Các tài liệu tập huấn ứng dụng CNTT trong dạy học và tài liệu
BDT
) Các phương pháp cơ bản tính ngun hàm, tích phân và số
Phần mở đầu Trang 1
Phần nội dung 2

1) Tóm tắt giáo khoa 3



17 Bài tập củng cố





1) Sách giáo khoa lớp 12 ch

2
X
3
phức ( Tác giả: Phan Huy Khải)