SKKN Kinh nghiệm ra đề và các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức

A. Những vấn đề chung.
i. lý do chọn đề tài:
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong cuộc
sống. ở bộ môn này học sinh đợc học nhiều phơng pháp giải các bài tập, học
sinh đợc rèn luyện nhiều kỹ năng nh: Kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận, kỹ
năng áp dụng lý thuyết vào bài tập, kỹ năng khai thác bài toán.Môn học này còn
bồi dỡng cho học sinh nhiều phẩm chất t duy, phẩm chất đạo đức nh: Tính linh
hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính kiên trì, tính chính xác, tính nghiêm túc.
Là một giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ở trờng THCS tôi
nhận thấy: Dạng toán xoay quanh nghiệm của đa thức đợc đề cập đến rất nhiều.
Song cha có một cuốn sách nào đi chuyên sâu về vấn đề này chỉ thấy tản mạn
trong các loại sách khác nhau. Do vậy khi bồi dỡng học sinh giỏi về dạng toán
này phần lớn anh em giáo viên chúng tôi và học sinh còn gặp nhiều khó khăn
lúng túng. Mặt khác đứng trớc xã hội nh hiện nay yêu cầu của giáo dục là phải
đổi mới phơng pháp dạy học, lấy việc bồi dỡng học sinh khá giỏi là công việc
cấp bách, mũi nhọn thờng xuyên đặt ra trong mỗi nhà trờng. Đối với mỗi dạng
toán đòi hỏi ngời giáo viên phải đi sâu vào việc phân tích bản chất dạng toán.
Tránh tình trạng để học sinh tiếp thu một cách thụ động, dập khuôn.
Chính vì những lí do trăn trở trên nên tôi chọn chuyên đề Kinh nghiệm ra
đề và các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức.
ii. mục đích của chuyên đề:
- Nhằm nâng cao chất lợng, trình độ học toán của học sinh góp phần hình
thành lòng say mê môn toán, hạn chế tình trạng giải toán một cách đơn điệu, gây
sức ì trong t duy.
- Khắc phục những khó khăn trớc mắt cho giáo viên học sinh tránh việc
dạy và giải bài tập xoay quanh nghiệm của đa thức.
- Rèn kỹ năng trình bày, khả năng suy luận khi giải toán.
iii. nhiệm vụ của đề tài:
* Dạng toán xoay quanh của một đa thức hết sức rộng, các dạng bài tập lại
đa dạng. Nhất là các bài tập để bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi trong nhà trờng,
đòi hỏi ngời thầy phải hiểu thấu đáo về lý thuyết nghiệm của đa thức .Từ đó có

1
cách khai thác, mở rộng các dạng bài tập giúp học sinh nắm kiến thức một cách
chắc hơn, sâu hơn, giúp các em tiếp cận đến những kiến thức cao hơn, tiếp cận
đến các bộ môn khác một cách tốt hơn.
iv. phơng pháp nghiên cứu:
1. Nghiên cứu qua các tài liệu: Phơng pháp dạy học, đổi mới dạy học môn
toán, sách giáo khoa đại số 8; 9 bài tập đại số 8; 9; các sách nâng cao đại số 8; 9.
2. Quan sát thực tiễn: Dự giờ, thăm lớp, trao đổi đồng nghiệp
3. Qua kiểm tra trắc nghiệm đối chứng với kết quả học tập của học sinh
B-nội dung và phơng pháp thực hiện
i. nội dung:
Trong thời gian không cho phép và tính rộng lớn của đề tài nên tôi xin
phép chỉ đa ra hai phong pháp cơ bản để giải bài toán xoay quanh nghiệm của
đa thức với một số phép biến đổi nh s
1. Dựa vào định nghĩa nghiệm của đa thức.
Nếu
x
= a ( a R) là nghiệm của đa thức f (
x
) thì f (
x
) = 0.
2. Dựa vào định nghĩa căn bậc hai.

x
=
a
(=)
x
2

= a (a0)
3. Dựa vào định nghĩa căn bậc 3:

x
=
3
a
(=)
x
3
= a
4. Dựa vào các hằng đẳng thức đáng nhớ.
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
a
2
- b
2
= (a - b) . (a + b)
(a + b)

3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3

(a- b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
Giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa to lớn của việc hiểu bản chất vấn đề. Từ đó
có một hớng giải đúng đắn mỗi bài toán khi ngời ra đề có thể thay đổi số liệu
hoặc câu hỏi khác đi làm các em lầm tởng đó là dạng toán khác không giải đợc.
* Ví dụ:
Từ bài toán: Cho
x
= 2 -
3
. Tính giá trị của biểu thức A =
x

2
- 4
x
+ 1
2
NX: Đứng trớc bài toán này học sinh có thể làm theo nhiều kiểu khác nhau, có
em thay trực tiếp giá trị của
x
vào biểu thức khai triển hằng đẳng thức rồi rút
gọn. Có em biến đổi từ giả thiết chuyển vế rồi bình phơng hai vế, cuối cùng ra
một phơng trình có một vế chính là biểu thức A còn vế kia bằng 0 từ đó kết luận.
Nhng cũng là nội dung bài toán này, cách giải này nếu ta thay đổi câu hỏi
nh:
? Tìm các số hữu tỉ a, b sao cho
x
=
13
13
+

là một nghiệm của phơng trình
x
2
+ a
x
+ b = 0
Hoặc giáo viên có thể cho giá trị của
x
phức tạp hơn, nhng có cùng nội
dung cách giải đó.

Giả sử: ? Tìm các số hữu tỉ a,b sao cho
x
=
3
32518 +
+
3
32518
Là một nghiệm của phơng trình
x
2
+ a
x
+ b = 0
Hoặc:
Giả sử: CMR
x
=
3
32518 +
+
3
32518
là một số tự nhiên
Với những bài toán thay đổi nh trên nếu học sinh không nắm chắc bản
chất vấn đề thì không giải đợc hoặc giải theo cách rất phức tạp. Do đó tôi đa ra
hai phơng pháp thực hiện sau:
ii. phơng pháp thực hiện:
II. 1- Ph ơng pháp 1:
* Cách thức chung:

-Cho
x
= a + b <=>
x
- b = a .Bình phơng hai vế

x
2
-2b
x
+b
2
=a
2
<=>
x
2
-2b
x
+ b
2
- a
2
= 0.
=>
x
= a + b là nghiệm của phơng trình
x
2
- 2b

x
+ b
2
- a
2
= 0
- Cho
x
= a + b <=>
x
- b = a . Lập phơng hai vế => x
3
-3bx
2
+3b
2
x
-b
3
= a
3
<= > x
3
-3bx
2
+3b
2
x -b
3
- a

3
= 0 => x= a +b là nghiệm của phơng trình
x
3
-3bx
2
+3b
2
x -b
3
- a
3
= 0
3
Ví dụ 1: -Cho
x
= 4 -
5
=>
5
= 4 -
x
. Bình phơng hai vế
=> 5 = 16 - 8
x
+
x
2
<=>
x

2
- 8
x
+ 11 = 0
- Cho
x
= 4 -
5
=>
5
= 4 -
x
. Lập phơng hai vế => 5
5
= 64 -48x
+12x
2
-x
3
<= > 5( 4-x) = 64 -48x +12x
2
-x
3
<= > x
3
-12x
2
+43x -44 =0
NX:Từ
x

= 4 -
5
=>
5
= 4 -
x
. Ta có thể luỹ thừa 4,5,6 hai vế tơng ứng ta sẽ
nhận đợc một phơng trình bậc 4,5,6 Để hạn chế tính rộng lớn ccủa đề tài nên tôi
chỉ xét đến luỹ thừa bậc hai và bậc ba.
Vậy ta có thể ra các bài toán nh sau
BT1: 1-CMR 4 -
5
là nghiệm của phơng trình
x
2
- 8
x
+ 11 = 0
2- CMR 4 -
5
là nghiệm của phơng trình x
3
-12x
2
+43x - 44 =0
Hoặc
BT2 : Cho
x
= 4 -
5

1-Tính giá trị của biểu thức B =
x
2
- 8
x
+ 11
2- Tính giá trị của biểu thức B

= x
3
-12x
2
+43x - 44
Hoặc
BT3: 1-Tìm các số hữu tỉ a,b sao cho 4-
5
là một nghiệm của phơng trình

x
2
+ a
x
+ b = 0
2- Tìm các số hữu tỉ a,b sao cho 4-
5
là một nghiệm của phơng trình
x
3
+ax
2

+ bx +c = 0
Hoặc
BT4:1- Hãy lập phơng trình f (X) =
x
2
+ a
x
+ b = 0 với hệ số nguyên có một
nghiệm là
x
= 4 -
5
2- Hãy lập phơng trình g(x)= x
3
+ax
2
+ bx +c = 0 với hệ số nguyên có một
nghiệm là
x
= 4 -
5
Hoặc
4
BT5 : 1-Gọi 4 -
5
là nghiệm của phơng trình
x
2
- 8
x

+ b = 0
Tìm nghiệm còn lại
2- Gọi 4 -
5
là nghiệm của phơng trình x
3
-12x
2
+43x +c =0
* Cách giải:
BT1: 1- Đặt
x
= 4 -
5
<=>
5
= 4 -
x
. Bình phơng hai vế
=> 5 = 16 - 8
x
+
x
2
<=>
x
2
- 8
x
+ 11 = 0

Vậy
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình
x
2
- 8
x
+ 11 = 0
2- Từ
x
= 4 -
5
<=>
5
= 4 -
x
. Lập phơng hai vế => 5
5
= 64 - 48x
+12x
2
- x
3
<= > 5( 4-x)= 64 - 48x +12x
2
- x
3
<= > x

3
-12x
2
+ 43x - 44 =0. Vậy
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình x
3
-12x
2
+ 43x - 44 =0
BT2: 1-Từ
x
= 4 -
5
<=>
5
= 4 -
x
.Bình phơng hai vế
=> 5 = 16 - 8
x
+
x
2
<=>
x
2
- 8

x
+ 11 = 0
Vậy
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình
x
2
- 8
x
+ 11 = 0
Hay khi
x
= 4-
5
thì B =
x
2
- 8
x
+ 11 có giá trị bằng 0
2- Từ
x
= 4 -
5
<=>
5
= 4 -
x

. Lập phơng hai vế rồi thu gọn ta đợc
phơng trình x
3
-12x
2
+ 43x - 44 =0 . Vậy
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình
x
3
-12x
2
+ 43x - 44 =0
Hay khi
x
= 4-
5
thì biểu thức B

= x
3
-12x
2
+ 43x - 44 có giá trị bằng 0
BT3: 1-Với cách lập luận nh trên
x
= 4 -
5

Là nghiệm của phơng trình
x
2
- 8
x
+ 11 = 0
(1)
Để
x
= 4 -
5
là một nghiệm của phơng trình
x
2
+ a
x
+ b = 0
(2)

đồng nhất hệ số (1)và

(2) ta đợc a = - 8 và b = 11
5
Vậy với a = - 8 và b = 11 thì
x
= 4 -
5
là một nghiệm của phơng trình
x
2

+ a
x
+ b = 0
2-Với cách lập luận nh trên
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình x
3
-12x
2
+ 43x - 44 =0 (3) . Để
x
= 4 -
5
là một nghiệm của phơng trình
x
3
-12x
2
+ 43x - 44 =0 (4) đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta đợc a=-12; b=43
;c=- 44
BT4: 1-Tơng tự
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình
x
2
- 8

x
+11= 0
Hay
x
2
- 8
x
+ 11 = 0
chính là phơng trình f (
x
)=
x
2
+ a
x
+ b = 0 cần lập ( với a = - 8; b = 11)
2-Tơng tự :
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình x
3
-12x
2
+ 43x - 44 =0
hay x
3
-12x
2
+ 43x - 44 =0 chính là phơng trình g(x)= x

3
+ax
2
+ bx +c = 0 cần
lập ( với a=-12; b=43 ;c=- 44)
BT5: 1-Tơng tự
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình
x
2
- 8
x
+ 11 = 0
Để
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình
x
2
- 8
x
+ b = 0 (5)
Đồng nhất hệ số ta đợc b = 11 thay b = 11 vào (5) ta đợc phơng trình
x
2
-
8

x
+ 11 = 0
có

= 16 11 = 5 > 0
=>
x
1
= 4 -
5
;
x
2
= 4 +
5
Vậy nghiệm còn lại của phơng trình là
x
= 4 +
5
2- Tơng tự :
x
= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình x
3
-12x
2
+ 43x - 44 =0
Để
x

= 4 -
5
là nghiệm của phơng trình x
3
-12x
2
+ 43x +c =0 (6) Đồng nhất
hệ số ta đợc c=- 44 , thay c=- 44 vào (6) ta đợc phơng trình x
3
-12x
2
+ 43x - 44
=0 <= > (x- 4)(x
2
- 8x +11)=0 . Giải phơng trình tích này ta đợc
x
1
=4 -
5
;x
2
= 4 +
5
;x
3
= . Vậy các nghiệm còn lại của phơng trình là
x=4 +
5
;x=4
* Ví dụ 2: -Cho

x
= 2 -
3
6
Suy ra
x
=
2
)32.(2
=
2
324
=
22
2
1)3(
)13(


=
)13).(13(
)13(
2
+

=
13
13
+

Mặt khác từ
x
= 2 -
3
<=>
3
=
x
2
=> 3 =
x
2
- 4
x
+ 4
<=>
x
2
- 4
x
+ 1 = 0
- Tơng tự :
x
= 2 -
3
<= >
3
=2- x . Lập phơng hai vế
=>3
3

=8 - 12x + 6x
2
- x
3
<= > 3(2-x)= 8 - 12x + 6x
2
- x
3
<= >x
3
- 6x
2
+ 9x -2 =0
Vậy ta có thể ra các bài toán thuộc hai dạng sau:
* Dạng 1:
BT1: 1-CMR 2 -
3
là nghiệm của phơng trình
x
2
- 4
x
+ 1 = 0
2- CMR 2 -
3
là nghiệm của phơng trình x
3
- 6x
2
+ 9x -2 =0

Hoặc
BT2: Cho
x
= 2 -
3

1-Tính giá trị của biểu thức C =
x
2
- 4
x
+ 1
2- Tính giá trị của biểu thức C

= x
3
- 6x
2
+ 9x -2
Hoặc
BT3 : 1-Tìm các số hữu tỉ a, b sao cho
x
= 2 -
3
là một nghiệm của ph-
ơng trình
x
2
+ a
x

+ b = 0
2- Tìm các số hữu tỉ a, b,c sao cho
x
= 2 -
3
là một nghiệm của
phơng trình x
3
+ ax
2
+ bx +c =0
Hoặc
BT4: 1-Hãy lập phơng trình f (
x
) =
x
2
+ a
x
+ b = 0 với các hệ số nguyên
có một nghiệm là
x
= 2 -
3
.
2- Hãy lập phơng trình g(x)= x
3
+ ax
2
+ bx +c =0 với các hệ số

nguyên có một nghiệm là
x
= 2 -
3
.
7
Hoặc
BT5 :1- Gọi
x
= 2 -
3
là một nghiệm của phơng trình
x
2
- 4
x
+ b = 0.
Tìm nghiệm còn lại ?
2- Gọi
x
= 2 -
3
là một nghiệm của phơng trình x
3
- 6x
2
+ 9x +c
=0 . Tìm các nghiệm còn lại ?
* Dạng 2:
BT6: 1-CMR

x
=
13
13
+

là nghiệm của phơng trình
x
2
- 4
x
+ 1 = 0
2- CMR
x
=
13
13
+

là nghiệm của phơng trình x
3
- 6x
2
+ 9x - 2
=0
Hoặc
BT7: Cho
x
=
13

13
+

. 1-Tính giá trị của biểu thức D =
x
2
- 4
x
+ 1
2- Tính giá trị của biểu thức D

= x
3
- 6x
2
+ 9x - 2
Hoặc
BT8:1- Tìm các số hữu tỉ a, b sao cho
x
=
13
13
+

là nghiệm của phơng
trình
x
2
+ a
x

+ b = 0.
2- Tìm các số hữu tỉ a, b ,c sao cho
x
=
13
13
+

là nghiệm của phơng
trình x
3
+ax
2
+ bx +c= 0
BT9: 1-Hãy lập phơng trình f (
x
) =
x
2
+ a
x
+ b với hệ số nguyên có một
nghiệm là
x
=
13
13
+

.

2- Hãy lập phơng trình g(x)= x
3
+ax
2
+ bx +c= 0 với hệ số nguyên
có một nghiệm là
x
=
13
13
+

.
8
Hoặc
BT10 : 1- Cho
x
=
13
13
+

là một nghiệm của phơng trình
x
2
- 4
x
+ b=0.
Tìm nghiệm còn lại?
2- Cho

x
=
13
13
+

là một nghiệm của phơng trình x
3
- 6x
2
+ 9x +c=0.
Tìm các nghiệm còn lại?
* H ớng dẫn cách giải :
- BT1; 2; 3; 4; 5 giải tơng tự nh BT 1; 2; 3; 4; 5 ở Ví dụ 1
- Khi giải các BT 6; 7; 8; 9; 10 thì trớc tiên phải rút gọn giá trị của
x

x
=
13
13
+

=
)13).(13(
)13(
2
+

=

2
1323 +
=
2
324
= 2-
3
Lúc này BT 6; 7; 8; 9; 10 trở về các BT 1; 2; 3; 4; 5 ở Ví dụ 2
II.2- Ph ơng pháp 2 :
* Cách thức chung:
- Cho
x
= a + b <=>
x
- a = b. Lập phơng hai vế
=>
x
3
- 3
x
2
a + 3
x
a
2
- a
3
= b
3
<=>

x
3
- 3a
x
2
+ 3a
2
x
- a
3
- b
3
= 0
Vậy
x
= a + b là nghiệm của phơng trình
x
3
- 3a
x
2
+ 3a
2
x
- a
3
- b
3
= 0
-Cho

x
=
3
a
+
3
b
.Lập phơng trình hai vế
=>
x
3
= a + b + 3
3
ab
. (
3
a
+
3
b
)
<=>
x
3
= a + b + 3
3
.ab

x
<=>

x
3
- 3
3
ab

x
- a - b = 0
Vậy
x
=
3
a
+
3
b
là nghiệm của phơng trình
x
3
- 3
3
ab

x
- a - b = 0
Ví dụ3: Cho
x
=
15
3

+
<=>
3
5
=
x
- 1. Lập phơng hai vế
= > 5 =
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
- 1
9
<=>
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
- 6 = 0
NX: Từ
x
=
15

3
+
<=>
3
5
=
x
- 1 . Ta có thể luỹ thừa 4,5,6 hai vế t-
ơng ứng ta sẽ nhận đợc một phơng trình bậc 4,5,6 Để hạn chế tính rộng lớn của
đề tài nên tôi chỉ xét đến luỹ thừa bậc ba.
Vậy ta có thể ra các bài toán sau:
BT1: 1- CMR
3
5
+ 1 là nghiệm của phơng trình
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
- 6 = 0
2- CMR
3
5
+ 1 không là nghiệm của phơng trình
x
3
- 3

x
2
+ 3
x

+2006 = 0
Hoặc
BT2: Cho
x
=
3
5
+ 1 .
1-Tính giá trị của biểu thức D =
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
- 6
2- Tính giá trị của biểu thức D =
x
3
- 3
x
2
+ 3
x

+2006
Hoặc
BT3: Tìm các hệ số a, b, c nguyên sao cho
x
=
3
5
+ 1 là một nghiệm của
phơng trình
x
3
+a
x
2
+ b
x
+c =0
Hoặc
BT4 : Hãy lập phơng trình f(
x
) =
x
3
+a
x
2
+ b
x
+c =0 với các hệ số
nguyên có một nghiệm là

x
=
3
5
+ 1
* Cách giải:
BT1: 1- Đặt
x
=
3
5
+ 1 <=>
3
5
=
x
- 1. Lập phơng trình hai vế
= > 5 =
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
1
<=>
x
3
- 3

x
2
+ 3
x
-6 =0
Vậy
x
=
3
5
+ 1 là một nghiệm của phơng trình
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
-6 =0
2- Ta có
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
+ 2006 =0 <= >
x
3

- 3
x
2
+ 3
x
-6 +
2012=0 .
x
=
3
5
+ 1 là một nghiệm của phơng trình
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
-6 =0 tức là
khi ta thay
x
=
3
5
+ 1 vào đa thức
x
3
- 3
x

2
+ 3
x
-6 thì đa thức có giá trị bằng 0,
10
còn khi ta thay
x
=
3
5
+ 1 vào đa thức
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
-6 +2012 thì đa thức có giá
trị là 2012 0 nên
x
=
3
5
+ 1 là một nghiệm của phơng trình
x
3
- 3
x
2

+ 3
x
+
2006 =0
BT2: 1-Tơng tự nh BT1
x
=
3
5
+1 là một nghiệm của phơng trình
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
+ 2006 =0
Hay: Khi
x
=
3
5
+ 1 thì D =
x
3
- 3
x
2
+ 3

x
-6 có giá trị bằng 0
2-D

=
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
+ 2006=
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
-6 +2012 = D +2012
Khi
x
=
3
5
+ 1 thì D= 0. Do đó nếu
x
=
3

5
+1 thì D

= 0 +2012= 2012
BT3: Tơng tự nh BT1
x
=
3
5
+ 1 là một nghiệm của phơng trình

x
3
- 3
x
2
+ 3
x
- 6= 0 (7)
Để
x
=
3
5
+ 1 là một nghiệm của phơng trình
x
3
+ a
x
2

+ b
x
+c =0 (8)
Đồng nhất hệ số giữa (7) và (8) ta đợc a = - 3; b = 3 và c = - 6
BT4: Tơng tự nh BT1 ở Ví dụ 3
x
=
3
5
+1 là một nghiệm của phơng trình
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
- 6= 0. Hay
x
3
- 3
x
2
+ 3
x
- 6= 0chính là phơng trình f (
x
) =
x
3

+a
x
2
+ b
x
+c= 0 cần lập (với a = -3; b = 3; c = - 6).
* Ví dụ 4: Cho
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
. Lập phơng hai vế
=>
x
3
=
)13.(2 +
-
)13.(2
- 3
3
2( 3 1).2( 3 1)+
(
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)+
)
<=>
x
3
= 4 - 3
3
8

x
<=>
x
3
+ 6
x
- 4 = 0
Vậy ta có các bài toán sau:
BT 1: 1- CMR :
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
là nghiệm của phơng trình
x
3
+ 6
x
- 4 = 0
2- CMR :
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
không là nghiệm của phơng
trình
x
3
+ 6
x
+2006 = 0
Hoặc
11

BT2 : Cho
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
.
1- Tính giá trị của biểu thức E =
x
3
+ 6
x
- 4
2- Tính giá trị của biểu thức E =
x
3
+ 6
x
+ 2006
Hoặc
BT3 : Tìm các hệ số nguyên a, b sao cho
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
Là một nghiệm của phơng trình
x
3
+ a
x
+b = 0
BT4: Hãy lập phơng trình f (
x
) =
x

3
+ a
x
+b = 0 với các hệ số nguyên có
một nghiệm là
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
* Cách giải:
BT 1: Từ
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
.Lập phơng hai vế
=>
x
3
=
)13.(2 +
-
)13.(2
- 3
3
2( 3 1).2( 3 1)+
(
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)+
)
<=>
x
3
= 4 - 3

3
8

x
<=>
x
3
= 4 - 6x
<=>
x
3
+ 6
x
- 4 = 0
Vậy
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
Là nghiệm của phơng trình
x
3
+ 6
x
- 4 = 0
2-
x
3
+ 6
x
+ 2006 = 0 <= >
x

3
+ 6
x
- 4 + 2010 = 0 .Khi ta thay
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
thì đa thức
x
3
+ 6
x
- 4 + 2010 có giá trị 2010 0 nên
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
không phải là nghiệm của phơng trình
x
3
+ 6
x
+ 2006
= 0
BT 2: 1- Tơng tự BT1
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
. Là nghiệm của phơng trình
x
3
+ 6
x
- 4 = 0

Hay: Khi
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
Thì E =
x
3
+ 6
x
- 4 có giá trị = 0.
2- E

=
x
3
+ 6
x
+ 2006 =
x
3
+ 6
x
- 4 + 2010 = E + 2010. Do đó nếu
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
thì E

= 0 +2010 =2010
12
BT 3: Tơng tự nh BT1
3 3

2( 3 1) 2( 3 1)x = +
Là nghiệm của phơng
trình
x
3
+ 6
x
- 4 = 0 (9)
Để
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
Là nghiệm của phơng trình
x
3
+ a
x
+b = 0 (10)
Đồng nhất hệ số giữa (9) và (10) ta đợc a = 6 và b = - 4.
BT 4: Tơng tự BT1
3 3
2( 3 1) 2( 3 1)x = +
Là nghiệm của phơng trình
x
3
+ 6
x
- 4 = 0
.Hay
x
3

+ 6
x
- 4 = 0 chính là phơng trình f (
x
) =
x
3
+ a
x
+b = 0 cần lập
(với a = 6; b = - 4).
* Ví dụ 5: Cho X =
3
32518 +
+
3
32518
Lập phơng hai vế
=>
x
3
=18+
325
+18-
325
+ 3
3
)32518.()32518( +
. (
3

32518 +
+
3
32518
)
<=>
x
3
= 36 + 3
3
)1(

x
<=>
x
3
= 36 - 3
x

<=>
x
3
+ 3
x
- 36 =0 <=>
x
3
- 9
x
+ 12

x
- 36 = 0
<=>
x
(
x
2
- 9) + 12 (
x
- 3) = 0
<=>
x
(
x
- 3) (
x
+ 3) + 12 (
x
- 3) = 0
<=> (
x
- 3) . (
x
2
+ 3
x
+ 12) = 0 (11)
Vì
x
2

+ 3
x
+ 12 = (
x
2
+ 2 .
x
.
2
3
+
4
9
) -
4
9
+ 12
= (
x
+
2
3
)
2
+
4
39
> 0

x

.
Khi đó từ (11) =>
x
- 3 = 0
<=>
x
= 3
Vậy ta có các bài toán sau:
13
BT 1:1- CMR
x
=
3
32518 +
+
3
32518
Là nghiệm của phơng
trình
x
3
+ 3
x
- 36 = 0
2- CMR
x
=
3
32518 +
+

3
32518
không là nghiệm của phơng
trình
x
3
+ 3
x
+ 2007 = 0
Hoặc
BT 2 :1-Cho
x
=
3
32518 +
+
3
32518
.
1-Tính giá trị của biểu thức F =
x
3
+ 3
x
- 36
2- Tính giá trị của biểu thức F

=
x
3

+ 3
x
+ 2007
BT 3: Tìm các hệ số a, b nguyên sao cho
x
=
3
32518 +
+
3
32518
là
một nghiệm của phơng trình
x
3
+ a
x
+ b = 0.
Hoặc
BT 4 : Hãy lập phơng trình f (
x
) =
x
3
+ a
x
+ b = 0 với các hệ số nguyên
có một số nghiệm là
x
=

3
32518 +
+
3
32518
.
BT5: CMR
x
=
3
32518 +
+
3
32518
là một số tự nhiên.
Hoặc
BT6: CMR
x
=
3
32518 +
+
3
32518
= 3.
* H ớng dẫn cách giải
BT 5; 6. Từ
x
=
3

32518 +
+
3
32518
.
Dựa vào phần đầu suy diễn của VD 5 ta đợc:
(
x
- 3) . (
x
2
+ 3
x
+ 12) = 0. Vì
x
2
+ 3
x
+ 12=
2
)
2
3
( +x
+
4
39
>0
x
=>

x
- 3 = 0
<=>
x
= 3
Vậy
x
=
3
32518 +
+
3
32518
là một số tự nhiên
14
Hay
3
32518 +
+
3
32518
= 3 (đpcm).
c. kết luận
i. kết quả thực hiện:
- Khi cha thực nghiệm chuyên đề này các em học sinh thờng tỏ ra chán
lảvà lúng túng khi gặp dạng toán xoay quanh nghiệm của đa thức
- Khi áp dụng chuyên đề này vào thực tiễn các em tỏ ra phấn khởi, tự tin,
yêu thích bộ môn toán hơn cụ thể nh sau:
1. Khi cha thực nghiệm:
- Số hứng thú : 20%

- Số tỏ ra không hứng thú : 80%
2. Khi đã áp dụng:
- Số hứng thú : 85%
- Số không hứng thú : 15%
ii. bài học kinh nghiệm:
Qua công tác bồi dỡng học sinh khá giỏi và thực nghiệm đề tài nghiên
cứu phân tích các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức. Tôi nhận thấy
đối với dạng toán liên quan đến nghiệm của đa thức rất đa dạng phong phú và
rất dễ nhầm giải đi theo một hớng khác và vô cùng phức tạp nếu cho nghiệm của
đa thức là biểu thức có chứa nhiều căn cho nên để giúp giáo viên và học sinh,
khá giỏi giải tốt loại toán này cần làm đợc những việc sau:
* Đối với giáo viên:
- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phơng pháp dạy môn toán, nghiên cứu
chơng trình của bộ môn toán mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói
riêng. Xác định rõ mục tiêu từng bài, và từng dạng cho từng đối tợng học sinh.
15
- Cần đi sâu nghiên cứu cho học sinh nắm chắc định nghĩa nghiệm của đa
thức, nguyên tắc sử dụng hằng đẳng thức.
- Thờng xuyên kiểm tra học sinh để bổ sung kiến thức hợp lý và kịp thời.
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa để học hỏi phơng pháp
giải mới, phơng pháp hay.
- Nhiệt tình hớng dẫn học sinh phơng pháp học, linh hoạt, sáng tạo tìm
cách giải hay, chính xác.
* Đối với học sinh:
- Tự giác, tích cực học tập, ôn luyện lý thuyết có liên quan đến dạng toán
nghiệm của đa thức.
- Hiểu đợc nguyên tắc khi sử dụng các hằng đẳng thức
- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập
- Suy nghĩ cấc bài tập tơng tự, mạnh dạn đề xuất bài toán mới.
iii. những điểm còn bỏ ngỏ:

Dạng toán xoay quanh nghiệm của một đa thức đợc đề cập rất nhiều trong
phân môn đại số ở Trờng THCS, mới chỉ tản mạn trong một số cuốn sách, cha có
một chuyên đề nào đề cập đến vấn đề này. Một mặt kinh nghiệm lại còn hạn chế,
nên tôi chỉ đa ra hai phơng pháp cơ bản để giải quyết các bài toán thuộc loại
này.
iv. kết luận chung:
Đợc sự ủng hộ của tổ KHTN, của BGH nhà trờng nơi công tác, qua thực tế
giảng dạy tôi đã cố gắng tìm tòi và đa ra bài tập tơng đối phù hợp để minh hoạ
cho đề tài đồng thời đa ra đợc những phơng pháp giải cho từng loại góp phần
giúp cho học sinh có thêm phơng pháp giải toán .
Dựa vào hệ thống các bài tập tôi đã phân dạng bài toán giúp học sinh nắm
vững phơng pháp mỗi dạng. Qua đó củng cố khắc sâu lý thuyết, rèn kỹ năng giải
toán góp phần nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện nói chung và chất lợng môn
toán nói riêng.
16
Trong quá trình viết và thực nghiệm đề tài do điều kiện về thời gian và
kinh nghiệm của bản thân nên có thể không tránh khỏi những thiếu xót. Vì vậy
tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để cho đề tài đợc
hoàn thiện hơn. Tôi cũng mong sẽ có nhiều sáng kiến kinh nghiệm hay sẽ góp
phần làm cho học sinh ngày càng yêu thích, tìm hiểu và học tập môn toán hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Phòng giáo dục&đào tạo cẩm giàng
17
Trêng THCS cÈm ®oµi
--
V× (X - 3) . (X
2
+ 3 X + 12) = 0
=> X - 3 = 0
<=> X = 3

VËy X =
3
32518 +
+
3
32518 −
. Lµ mét sè tù nhiªn
Hay
3
32518 +
+
3
32518 −
= 7 (®pem).
c. kÕt luËn
i. kÕt qu¶ thùc hiÖn:
18
- Khi cha thực nghiệm chuyên đề này các em học sinh thờng tỏ ra chán
lản hay lúng túng khi gặp dạng toán này.
- Khi áp dụng chuyên đề này vào thực tiễn các em tỏ ra phấn khởi, tự tin,
yêu thích bộ môn hơn cụ thể nh sau:
1. Khi cha thực nghiệm:
- Số hứng thú : 20%
- Số tỏ ra không hứng thú : 80%
2. Khi đã áp dụng:
- Số hứng thú : 70%
- Số giải đợc bài : 20%
- Số không hứng thú : 10%
ii. bài học kinh nghiệm:
Qua công tác bồi dỡng học sinh khá giỏi và thực nghiệm chuyên đề

nghiên cứu phân tích các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức. Tôi nhận
thấy đối với dạng toán liên quan đến nghiệm của một đa thức rất đa dạng toán
liên quan đến nghiệm của một đa thức rất đa dạng và rất dễ nhầm giải đi theo
một hớng khác vô cùng phức tạp nếu cho nghiệm của đa thức là biểu thức có
chứa nhiều căn, cho nên để giúp giáo viên và học sinh, khá giỏi giải tốt loại toán
này cần làm đợc những việc sau:
* Đối với giáo viên:
- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phơng pháp dạy môn toán, nghiên cứu
chơng trình của bộ môn toán mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói
riêng. Xác định rõ mục tiêu từng bài, và từng dạng cho từng đối tợng học sinh.
- Cần đi sâu nghiên cứu cho học sinh nắm chắc định nghĩa nghiệm của đa
thức, nguyên tắc sử dụng hằng đẳng thức.
- Thờng xuyên kiểm tra học sinh để bổ xung kiến thức hợp lý và kịp thời.
19
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa để học hỏi phơng pháp
giải dmới, phơng pháp hay.
- Nhiệt tình hớng dẫn học sinh phơng pháp học, linh hoạt, sáng tạo tìm
cách giải hay, chính xác.
* Đối với học sinh:
- Tự giác, tích cực học tập, ôn tập, ôn luyện lý thuyết có liên quan đến
dạng toán nghiệm của đa thức.
- Hiểu đợc nguyên tắc khi sử dụng các hằng đẳng thức
- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập
- Suy nghĩ bài tập tơng tự, mạnh đề xuất bài toán.
iii. những điểm còn bỏ ngỏ:
Dạng toán xoay quanh nghiệm của một đa thức đợc đề cập rất nhiều trong
phân môn đại số ở Trờng THCS, mới chỉ tản mạn trong một số cuốn sách, cha có
một chuyên đề nào đề cập đến vấn đề này. Một mặt kinh nghiệm lại còn hạn chế,
nên tôi chỉ xin đa ra hai phơng pháp cơ bản để giải quyết các bài toán thuộc loại
này.

iv. kết luận chung:
Đợc sự ủng hộ của tổ KHTN, của BGH nhà trờng nơi công tác qua thực tế
giảng dạy tôi đã cố gắng tìm tòi và đa ra bài tập tơng đối phù hợp để minh hoạ
cho đề tài, đồng thời đa ra đợc những phơng pháp giải cho từng loại góp phần
giúp cho học sinh giải bài toán của bản thân.
Dựa vào hệ thống các bài tập tôi đã phân dạng bài toán giúp học sinh nắm
vững phơng pháp mỗi dạng, qua đó củng cố khắc sâu lý thuyết, rèn kỹ năng giải
toán góp phần nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện nói chung và chất lợng môn
toán nói riêng.
Trong quá trình viết và thực nghiệm chuyên đề do điều kiện về thời gian,
do kinh nghiệm của bản thân nên có thể không tránh khỏi những thiếu xót. Vì
20
vậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để cho đề tài
đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Phòng giáo dục&đào tạo cẩm giàng
Phòng gd-đt cẩm giàng
Trờng thcs cẩm đoài
--
21
Kinh nghiệm ra đề
Và giải các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức
Môn : đại số
Họ tên : đỗ văn tâm
Tổ : khtn
Năm học: 2005-2006
22
Phòng giáo dục&đào tạo cẩm giàng
Trờng tiểu học cẩm đoài
--

Kinh nghiệm ra đề
Và giải các bài toán xoay quanh
nghiệm của một đa thức
Môn: đại số
ý kiến đánh giá của trờng





ý kiến đánh giá của phòng giáo dục


23

24

25