skkn phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ . thpt vĩnh lộc

Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
***
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Người thực hiện: Ths.PHẠM THỊ NGA
Chức vụ: Giáo viên
Sáng kiến kinh nghiệm thuộc môn: Toán
THANH HÓA : 2013

Ths. Phạm Thị Nga Trang 1
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. XUẤT PHÁT ĐIỂM VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là một phần kiến thức
trọng tâm và then chốt trong chương trình đại số lớp 10 ở bậc THPT . Ở đây,
các em học sinh được trang bị một cách đầy đủ, hoàn chỉnh và chi tiết về khái
niệm phương trình , bất phương trình và hình thành các kỹ năng giải các
phương trình, bất phương trình đại số,vô tỷ.
Việc giải phương trình và bất phương trình vô tỷ giúp phát triển tư duy của
học sinh đặc biệt là tư duy lý luận và tư duy giải quyết vấn đề của học sinh.
Đây là một lớp các bài toán hay, khó và đem lai nhiều hứng thú cho học
sinh nhưng cũng đồng thời đem lại nhiều khó khăn bỡ ngỡ như: phức tạp và
không có các bước giải mẫu mực sẵn có; tìm được nghiệm mà không biết các
trình bầy, giải sai, giải thiếu nghiệm hoặc không tìm được lời giải.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Thực tế cho thấy, trong nhiều năm qua để đánh giá khả năng tư duy và

phẩm chất trí tuệ của học sinh thông qua các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyển
sinh đại học, cao đẳng người ra đề đã chọn phương trình, hệ phương trình và
bất phương trình vô tỷ như một phần chung, bắt buộc cho tất cả các thí sinh.
Đây là một trong những đề tài mà nhiều người quan tâm xong chưa có một
hệ thống đầy đủ và đa dạng bài tập cũng như các phương pháp giải khiến cho
học sinh không khỏi khó khăn vướng mắc khi đứng trước dạng bài tập này.
Kiến thức này được giảng dạy cho các em học sinh ở khối lớp 10 lần đầu
tiên được tiếp cận với phương pháp học mới với những yêu cầu và đòi hỏi cao
hơn học sinh THCS về khả năng tự học, tự nghiên cứu mà hệ thống bài tập
này trong sách giáo khoa lại không nhiều.
III. GIẢ THIẾT KHOA HỌC
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó
những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh
chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa …
các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em phân loại, nhận dạng và
giải được các phương trình bất phương trình vô tỷ và hệ phương trình vô tỷ
đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN 1:MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
I. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Mục đích nghiên cứu
Trước những thực tế đặt ra trên, ta cần hướng dẫn cho các em học sinh lớp
10 biết cách phân loại và nhận dạng các phương trình và bất phương trình vô
tỷ nhằm vào các mục đích sau:
1.1 Thứ nhất: giúp các em giải quyết tốt bài toán giải phương trình, bất
phương trình vô tỷ, hệ phương trình vô tỷ và các bài toán có liên quan. Hình
thành được một hệ thống kiến thức tổng hợp và vững chắc về lĩnh vực này.

Ths. Phạm Thị Nga Trang 2
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

1.2 Thứ hai: củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số có liên quan như
phương trình và bất phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình và bất
phương trình quy về bậc hai. Rèn luyện kỹ năng biến đổi, tính toán.
1.3 Thứ ba: rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo; tư duy giải quyết vấn đề
tư duy biện chứng; xây dựng và phát triển lòng say mê và yêu thích toán học
nói riêng và khoa học nói chung .
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được các mục đích đặt ra như trên, đề tài xác định giải quyết các
nhiệm vụ sau:
2.1 Nhiệm vụ 1: Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của việc giải bài
toán giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình vô tỷ
2.2 Nhiệm vụ 2: Xây dựng hệ thống bài tập và phân dạng bài tập giải
phương trình hệ và bất phương trình vô tỷ.
II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Với mục đích nhiệm vụ đặt ra như trên, sau nhiều năm nghiên cứu và thực
nghiệm tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “ Phân loại bài
tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ” bằng việc phối hợp các
phương pháp nghiên cứu sau:
1. Nghiên cứu lí luận: Hình thức chủ yếu tôi dùng là nghiên cứu tài liệu lí
luận và phân tích tiên nghiệm. Sử dụng các kiến thức có trong sách giáo khoa
theo chương trình mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các kết quả đã có trong
một số tài liệu có liên quan trên cơ sở kế thừa những cái hay, phê phán những
cái dở, bổ sung và hoàn chỉnh những tri thức đã đạt được. Đồng thời dựa vào
những yếu tố lịch sử, những cách tiếp cận khác nhau của lí thuyết về nghiệm
của phương trình bất phương bậc nhất, bậc hai và các phương trình bất
phương trình quy về bậc hai để dự kiến những quan niệm có thể có của học
sinh về bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỷ cũng như hệ
phương trình và các bài toán có liên quan.
2. Quan sát điều tra: Tiến hành theo dõi quá trình phát hiện và lĩnh hội

kiến thức để giải quyết các bài toán có liên quan đến việc giải các phương
trình và bất phương trình vô tỷ theo trình tự thời gian trên một lớp các đối
tượng là các em học sinh lớp 10 lớp 11 và lớp 12 của trường THPT Vĩnh Lộc.
3. Tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá
trình thực hiện. Từ đó khám phá ra những mối liên hệ có tính quy luật của vấn
đề đặt ra.
4. Thực nghiệm giáo dục: Từ việc tạo nên một loạt những tác động sư
phạm lên một lớp đối tượng gồm các em học sinh lớp10 THPT nhằm xác định
và đánh giá kết quả của những tác động đó. Lấy học sinh lớp 11 và 12 để so
sánh hiệu quả của tác động giáo dục này lên tư phẩm chất trí tuệ và năng lực
tư duy của các em khi giải quyết các vấn đề khác và các vấn đề có liên quan.
III. tæ chøc nghiªn cøu
1. Thời gian nghiên cứu: Đề tài được nghiên cứu từ tháng 8 năm 2011
đến tháng 5 năm 2013 theo các giai đoạn sau:

Ths. Phạm Thị Nga Trang 3
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

* Giai đoạn 1: Từ tháng 8 năm 2011 đến tháng 10 năm 2011. Đây là giai
đoạn thu thập tài liệu, xác định phương pháp, các nhiệm vụ và các vấn đề cần
thiết trong quá trình nghiên cứu của đề tài. Lập đề cương nghiên cứu.
* Giai đoạn 2: Từ tháng 10 năm 2011 đến tháng 02 năm 2012 tôi thu thập
các tài liệu chuyên môn, tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài. Tiến
hành phân dạng các bài tập cơ bản. Sau khi giải quyết các nhiệm vụ mang tính
chất lí luận tôi xây dựng hệ thống các bài tập mẫu có tính chất khái quát của
vấn đề đặt ra. Và ứng dụng trong thực tiễn giảng dạy, kết hợp đồng thời với
việc quan sát và theo dõi quá trình phát hiện, lĩnh hội kiến thức của học sinh.
* Giai đoạn 3: Từ tháng 3 năm 2012 đến tháng 5 năm 2012. Tiến hành thu
thập các kết quả của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1.
* Giai đoạn 4: Từ tháng 5 năm 2012 đến tháng 5 năm 2013. Dựa trên các

kết quả thu thập được của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1, tôi điều
chỉnh và tiến hành thực nghiệm lần 2, kiểm nghiệm và so sánh kết quả trên
lớp các đối tượng học sinh được thực nghiệm và không được thực nghiêm.
Sau đó tổng kết đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiện
nhằm đúc kết mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề. Cuối cùng là bổ sung và
hoàn thiện các tri thức đã đạt được và tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Đối tượng nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu trên được thực nghiệm
đồng thời trên hai nhóm các đối tượng học sinh.
Nhóm 1: Các em học sinh lớp 10A3,10A7 trường THPT Vĩnh Lộc với
nhiệm vụ là xây dựng cho các em cơ sở lí luận và thực tiễn của việc phân loại
và giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ
Nhóm 2: Các em học sinh lớp 12A1, 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc với
nhiệm vụ là ứng dụng việc giải phân loại và giải các phương trình và bất
phương trình vô tỷ vào việc giải quyết các bài toán đại số và giải tích có liên
quan như: giải phương trình lượng giác có chứa căn, giải phương trình hệ
phương trình và bất phương trình mũ, logarit có chứa căn.
PHẦN 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Khái niệm phương trình một ẩn
a. Các định nghĩa
Cho hai hàm số y=
( )
xf
và y=
( )
xg
có tập xác định lần lượt là
gf
DD ,
. Đặt

gf
DDD ∩=
. Mệnh đề chứa biến “
( ) ( )
xgxf =
’’ được gọi là phương trình một
ẩn;
x
gọi là ẩn số (hay ẩn) và
D
là tập xác định. Số
Dx ∈
0
gọi là nghiệm của
phương trình nếu “
( ) ( )
00
xgxf =
’’ là mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm
được gọi là tập nghiệm. Giải phương trình là tìm tập nghiệm.
Hai phương trình cùng ẩn gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm.
b. Các phép biến đổi tương đương phương trình
Định lí: Phương trình
( ) ( )
xgxf =
có tập xác định
D
;
( )

xh
là hàm số xác định
trên
D
(
( )
xh
có thể là hằng số). Khi đó trên
D
,
( ) ( )
xgxf =
tương đương với

Ths. Phạm Thị Nga Trang 4
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

1)
( ) ( ) ( ) ( )
xhxgxhxf +=+
2)
( ) ( ) ( ) ( )
xhxgxhxf =
nếu
( )
0≠xh
với mọi
Dx
∈
Hệ quả: Cho phương trình

( ) ( )
xgxf =
có tập xác định
D
.
1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ:
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
*;
1212
Nnxgxfxgxf
nn
∈=⇔=
++
2) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu
( )
xf
và
( )
xg
cùng dấu
Dx
∈∀
thì
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
[ ]

*;
22
Nnxgxfxgxf
nn
∈=⇔=
2. Khái niệm bất phương trình một ẩn
2.1 Các định nghĩa
Cho hai hàm số y=
( )
xf
và y=
( )
xg
có tập xác định lần lượt là
gf
DD ,
. Đặt
gf
DDD ∩=
. Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng
( ) ( )
xgxf <
,
( ) ( )
xgxf >
,
( ) ( )
xgxf ≤
,
( ) ( )

xgxf ≥
được gọi là bất phương trình một ẩn;
x
gọi
là ẩn số (hay ẩn) và
D
được gọi là tập xác định. Số
Dx ∈
0
gọi là một nghiệm
nếu “
( ) ( )
00
xgxf <
’’ là mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm gọi là tập
nghiệm. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
Hai bất phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
một tập nghiệm. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương
trình thành bất phương trình mới tương đương với nó.
2.2 Các phép biến đổi tương đương bất phương trình
Định lí: Cho
( ) ( )
xgxf <
có tập xác định
D
;
( )
xh
là một hàm số xác đinh trên
D

(
( )
xh
có thể là một hằng số). Khi đó trên
D
,
( ) ( )
xgxf <
tương đương với
1)
( ) ( ) ( ) ( )
xhxgxhxf +<+
2)
( ) ( ) ( ) ( )
xhxgxhxf <
nếu
( )
0>xh
với mọi
Dx
∈
3)
( ) ( ) ( ) ( )
xhxgxhxf >
nếu
( )
0<xh
với mọi
Dx
∈

Hệ quả: Cho bất phương trình
( ) ( )
xgxf <
có tập xác định
D
.
1. Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ:
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
*;
1212
Nnxgxfxgxf
nn
∈<⇔<
++
2. Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc chẵn: Nếu
( )
xf
và
( )
xg
không âm
Dx ∈∀
thì

( ) ( ) ( )
[ ]
( )

[ ]
*;
22
Nnxgxfxgxf
nn
∈<⇔<

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng
)0(0
≠=+
abax
nghiệm là:
a
b
x
−
=
2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng:
0
2
=++
cbxax
(
0
≠
a
) (1)

Biệt thức Denta:
acb 4
2
−=∆
Biệt thức:
acb
−=∆
2
''
;
2
'
b
b =
Nếu
0
<∆
thì (1) vô nghiệm.
Nếu
0
=∆
thì (1) có nghiệm kép:
a
b
x
2
−
=
Nếu
0

>∆
thì phương trình (1) có 2
nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
2,1
∆±−
=
.
Nếu
0'
<∆
thì (1) vô nghiệm.
Nếu
0'
=∆
thì (1) có ghiệm kép:
a
b
x
'
−=
Nếu
0'
>∆
thì phương trình (1) có 2
nghiệm phân biệt:
a

b
x
∆±−
=
'
2,1
.

Ths. Phạm Thị Nga Trang 5
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh tính duy nhất
nghiệm của phương trình
a. Định nghĩa:
Hàm số
( )
xfy =
là hàm đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
212121
:;, xfxfxxbaxx <⇒<∈∀
Hàm số
( )
xfy =
là hàm nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
212121
:;, xfxfxxbaxx >⇒<∈∀
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a;b) thì được gọi là hàm
đơn điệu trên khoảng (a;b).

b. Ứng dụng:
Ứng dụng 1: Cho hàm số
( )
xfy =
đơn điệu trên khoảng (a;b). Khi đó
( ) ( ) ( )
212121
:;, xxxfxfbaxx =⇔=∈∀
Ứng dụng 2:Đồ thị của hàm đồng biến là một đường đi lên từ trái sang phải.
Đồ thị của hàm nghịch biến là một đường đi xuống từ trái sang phải. Do đó
hai đồ thị hàm số
( )
xfy =
đồng biến và
( )
xgy =
nghịch biến trên khoảng (a;b)
nếu cắt nhau trên (a;b) thì chỉ cắt tại duy nhất một điểm. Khi đó phương trình
( ) ( )
xgxf =
nếu có nghiệm trên khoảng (a;b) thì nghiệm này là duy nhất. Điều
này vẫn đúng nếu một trong hai hàm là đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng.
Chú ý: Khẳng định trên không đúng nếu
( )
xfy =
và
( )
xgy =
là những hàm
cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến.

III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1.Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất là:
( )
0,,; ≠∈+= aRbabaxxf
. Nghiệm của nhị thức là
a
b
x
−
=
Định lí: Nhị thức bậc nhất
( )
baxxf +=
cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn
nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
2. Định lí thuận về dấu tam thức bậc hai
Định lí: Cho tam thức bậc hai
( )
cbxaxxf ++=
2
(
0
≠
a
).
Nếu
0
<∆
thì tam thức

( )
xf
cùng dấu với a với mọi
Rx
∈∀
Nếu
0
=∆
thì tam thức
( )
xf
cùng dấu với a với mọi






−∈∀
a
b
Rx
2
\
Nếu
0
>∆
thì tam thức
( )
xf

có hai nghiệm
21
; xx
và:
Tam thức
( )
xf
cùng dấu với a với
( ) ( )
+∞∪∞−∈∀
;;
21
xxx
Tam thức
( )
xf
trái dấu với a với
( )
21
; xxx
∈∀
3. Cách lấy nghiệm của bất phương trình bậc hai
Xét bất phương trình bậc hai:
0;0
2
≠≥++ acbxax
. Dựa vào định lí thuận về
dấu tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau:
Th1: Nếu




>
≤∆
0
0
a
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
RT
x
=
Th2: Nếu



<
=∆
0
0
a
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là






−=
a
b

T
x
2

Ths. Phạm Thị Nga Trang 6
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Th2: Nếu



<
<∆
0
0
a
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
φ
=
x
T
Th3:Nếu



>
>∆
0
0
a

thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
(
] [
)
+∞∪∞−= ;;
21
xxT
x
, trong đó
21
; xx
là hai nghiệm của phương trình
0;0
2
≠=++ acbxax
Th4: Nếu



<
>∆
0
0
a
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
[ ]
21
; xxT
x
=

,
trong đó
21
; xx
là hai nghiệm của phương trình
0;0
2
≠=++ acbxax
Với phương pháp tư duy tương tự học sinh sẽ suy ra được cách lấy nghiệm
của các bất phương trình dạng còn lại:
0;0
2
≠>++ acbxax
;
0;0
2
≠≤++ acbxax
;
0;0
2
≠<++ acbxax
.
4. Cách giải bất phương trình tích và thương các nhị thức và tam thức
Cho bất phương trình:
( )
0≤xf
( hoặc
( ) ( ) ( )
0;0;0 <>≥ xfxfxf
) trong đó

( )
xf
là tích hoặc thương của các nhị thức và tam thức ta có hai cách giải sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu của các nhị thức, tam thức có trong
( )
xf
và dấu
( )
xf
sau đó chọn miền nghiệm của bất phương trình là là miền giá trị của biến
số làm dấu của
( )
xf
phù hợp với dấu bất phương trình.
Cách 2: Sử dụng phương pháp khoảng
Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của các nhị thức, tam thức có trong
( )
xf
và
biểu diễn các nghiệm bội lẻ của
( )
xf
trên trục số theo chiều tăng dần (nghiệm
bội lẻ là nghiệm được lặp lại số lẻ lần ). Khi đó các nghiệm này sẽ chia trục số
thành nhiều khoảng khác nhau.
Bước 2: Lấy một giá trị
0
x
trên trục số thuộc tập xác định và không trùng với
( )

xf
trên khoảng chứa
0
x
. Dấu của
( )
xf
sẽ bị đổi dấu khi đi qua các nghiệm
bội lẻ đã xếp trên trục số
Bước 3: Chọn miền nghiệm của bất phương trình là miền giá trị của biến x
làm dấu của
( )
xf
cùng dấu với bất phương trình.
PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế. Khi
giải các phương trình này ta phải khử căn thức để đưa về phương trình đã biết
cách giải như: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình
tích… Tùy vào đặc điểm cụ thể của mỗi phương trình mà ta sử dụng phương
pháp thích hợp để biến đổi thì mới khử được căn thức. Để học sinh dễ tiếp cận
và rèn luyện kỹ năng biến đổi, nhận dạng từng phương trình, tôi đã thiết lập
một hệ thống bài tập từ dễ đến khó và phân dạng theo từng phương pháp biến
đổi xử lý căn thức như sau:
1. Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương
Đây là dạng phương trình vô tỷ cơ bản và đơn giản nhất.

Ths. Phạm Thị Nga Trang 7
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Để giải chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thông
thường như đã nói ở Phần 2, mục I.1.2 để đưa phương trình đã cho về phương
trình tích hoặc phương trình hữu tỷ đã biết cách giải.
Các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép
cô lập căn thức rồi nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức.
Thông thường chúng có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn
bậc hai :
Dạng 1:
( ) ( )
( )
( ) ( )



=
≥
⇔=
xgxf
xf
xgxf
0
; Dạng 2:
( ) ( )
( )
( ) ( )



=
≥

⇔=
xgxf
xg
xgxf
2
0
Dạng 3:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )







=+
≥
≥
⇔=+
xhxgxf
xg
xf
xhxgxf
2
0

0
Dạng 4:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )







=+
≥
≥
≥
⇔=+
xhxgxf
xh
xg
xf
xhxgxf
2
2
0
0

0
Tương tự ta cũng sẽ có các dạng phương trình vô tỷ như trên nhưng ứng với
các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4… và vế trái là tổng của nhiều
căn thức cùng bậc hơn.
Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai
vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Và có thể ban đầu các
phương trình đã cho chưa ở dạng trên nhưng sau một vài phép biến đổi tương
đương đơn giản học sinh có thể biến đổi về các dạng này hoặc phương trình
tích của một trong các biểu thức dạng này mà có một vế bằng 0.
Hệ thống bài tập:
Bài 1 Giải các phương trình sau
1)
283
3
2
=++ xx
2)
7213
2
−=−− xxx
3)
2381716 −=+ xx
4)
1266
2
−=+− xxx
5)
5223
=−+−
xx

6)
413 =++− xx
7)
xxx −+−=+ 7823
8)
11 −=−+ xxx
9)
2
1
11
22
−=+−−++ xxxx
10)
327
33
=−−+ xx
11)
333
3221 −=−+− xxx
12)
576 =−−+ xx
13)
221682
22
+=−+++ xxxx
14)
2
3
1212
+

=−−+−+
x
xxxx
15)
xx
x
x
−=−−
−
123
23
2
16)
7
77
3
64
12
12
2
12
x
xx
=
+
+
+
17)
221682
22

+=−+++ xxxx
18)
( ) ( )
123231
2
−+−=−+− xxxx
19)
( ) ( )
2
221 xxxxx =++−
20)
( )
0112
2
=−+−−−− xxxxxx
Ví dụ: Giải phương trình sau 20)
( )
0112
2
=−+−−−− xxxxxx
Giải: 20)
( )
[ ]
( ) ( )
0111121
=−+−−+−−−⇔
xxxxxx

Ths. Phạm Thị Nga Trang 8
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

( )
( )
( )
011111
2
=−−−−−−⇔ xxxx
( )
( )
( )
011111
2
=−−−−−−⇔ xxxx
( )
( ) ( )




=−−−−
=−−
⇔
** 0111
* 011
xxx
x
Giải (*)
21111 =⇔=−⇔=−⇔ xxx
Giải (**)
( ) ( )

( )





−+−+=−
≥−
≥−
⇔−+=−⇔
xxxxx
xx
x
xxx
2
1211
01
01
111





−+−=−
≥
⇔
222
1
22

xxxx
x
( )
[ ]





+−−=−
≥
⇔
112
1
2
2
xxx
x
(vô nghiệm).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
{ }
.2=
x
T
2. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Sau đây là dạng phương trình vô tỷ không cơ bản. Để giải chúng ta không
thể chỉ sử dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở
trên vì nếu chỉ biến đổi như vậy sẽ có thể nhận được phương trình mới phức
tạp hơn và không giải được. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải quan sát thật tinh tế
các biểu thức có trong phương trình và biến đổi chúng thành những biểu thức

chung, giống nhau rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đã
cho về phương trình mới hoặc hệ phương trình đã biết cách giải. Như vậy tôi
có thể chia lớp bài toán này thành ba dạng đặt ẩn phụ khác nhau tùy vào đặc
điểm nhận dạng và cách giải cụ thể của chúng như sau:
a. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình mới dễ giải hơn
Đặc điểm nhận dạng: Quan sát phương trình ta thấy có thể biến đổi các biểu
thức chứa ẩn trong phương trình về một biểu thức giống nhau. Khi đó ta thực
hiện các bước giải như sau:
Các bước giải:
Bước 1: Quan sát phương trình và biến đổi để tìm ra biểu thức giống nhau
( )
xk
rồi đặt biểu thức đó lầm ẩn mới:
( )
xkt =
.
Bước 2: Tìm điều kiện của ẩn mới trên cơ sở điều kiện của ẩn cũ (nếu có).
Đây chính là bài toán tìm miền giá trị của hàm số
( )
xkt =
( cũng là bài toán
tìm max, min của hàm số )
Bước 3: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới (chỉ chứa ẩn
mới, không còn chứa ẩn cũ).
Bước 4: Biến đổi yêu cầu bài toán cũ thành bài toán mới cho phù hợp với
yêu cầu phương trình mới. Giải bài toán mới, tìm nghiệm ẩn mới.
Bước 5: Thay nghiệm của ẩn mới vừa giải được vào cách đặt ở bước 1 để
tìm nghiệm là biến cũ.
Hệ thống bài tập:
Bài 2 Giải các phương trình sau

Ths. Phạm Thị Nga Trang 9
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

1)
3
11 +=+ xx
2)
2
3
2
11 xx −=−
3)
31
3
−=+ xx
4)
56
5
5
=−
xxxx
5)
12
22
+=−+ xxxx
6)
010171
22
=++−+ xx

7)
55
2
=++ xx
8)
( )
xxxxx 22556231
2
−=++++
9)
( )( ) ( )
03
3
1
3415 =+
−
+
−++−
x
x
xxx
10)
11642
2
+−=−+− xxxx
11)
xxxxx 235727
2
−=++++
12)

322
22
=−+−+ xxxx
13)
4
211
2
x
xx −=−++
14)
( )( )
xxxx −+−=−++ 41541
15)
( )
2
12
2312
2
−
=−++
x
xx
16)
22
4324 xxxx −+=−+
17)
4
3
2
3

2
3
=
−
+
+
+
−
x
x
x
x
18)
axxx =++++
4
1
2
1
19)
22
4324 xxxx
−+=−+
20)
333
121612 +−=− xxx
21)
132102104
33
=−+−++ xx
22)

224222
2
+−−=+−− xxxx
23)
xxxx −+=−+ 1
3
2
1
2
24)
01312
2
=+−+− xxx
25)
( )( )
xxxx 3325
2
+=−+
26)
112
3
−−=− xx
27)
7
2
1
2
2
3
3 −+=+

x
x
x
x
28)
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
; 29)
2
1
2414
44
−=+ xxx
30)
2
41
4
2112
x
x
xx
−

=−++
Ví dụ 1: Giải phương trình sau 15/
( )
2
12
2312
2
−
=−++
x
xx
Giải: Đk:






−∈
2
3
;
2
1
x
.
Đặt
( )
02312
>−++=

txxt
22
3443312 txxxx =++−+−++⇔
( )
2
2
412
2
2
−=+−−⇔
t
x
(đk:
2≥t
)
( )
4
212
4
2
2
t
tx −=−⇔
.
Thay vào phương trình 16) ta được:
( )






=−+
=
=
⇔



=+−
=
⇔=+−⇔−=
042
2
0
088
0
088
4
22
2
3
24
4
2
tt
t
lt
tt
t
ttt

t
tt
( )



±−=
=
⇔
lt
t
51
2
Với t=2 thay vào cách đặt được:
( )






−=
=
⇔



−=−
=−
⇔=−

2
1
2
3
212
212
412
2
x
x
x
x
x
Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm là:






−=
2
1
;
2
3
x
T

Ví dụ 2: Giải phương trình sau 26)

112
3
−−=− xx

Ths. Phạm Thị Nga Trang 10
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Giải: Đk:
1≥x
.
Đặt
33
3
222 axxaax −=⇔−=⇔=−
. Thay vào phương trình 27) ta được:
( )
( )
( )





−=
=
=
⇔




=−−−
≤
⇔



−=−
≤
⇔−=−⇔−−=
2
1
0
021
1
11
1
1111
2
3
2
33
a
a
a
aaa
a
aa
a
aaaa
Với a=0 thay vào cách đặt được: x=2 (thỏa mãn)

Với a=1 thay vào cách đặt được x=1 (thỏa mãn)
Với a=-2 thay vào cách đặt được x=10 (thỏa mãn)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
{ }
10;2;1=
x
T
Ví dụ 3: Giải phương trình sau 28)
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
Giải: Nhận thấy điều kiện xác định và có nghiệm của phương trình là:
( )
+∞∈⇔



>
>−
;1
0
01
2

x
x
x
Khi đó ta có :
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
144
1225
1
2
1
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+⇔
x

x
x
x
x
( )
144
1225
1
2
1
1
2
2
2
222
=
−
+
−
+−
⇔
x
x
x
xxx
144
1225
1
2
1

2
2
2
4
=
−
+
−
⇔
x
x
x
x
. Đặt
( )
0
1
2
2
>=
−
tt
x
x
.
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
( )
( )







−=
=
⇔=+
lt
tmt
tt
12
49
12
25
144
1225
2
2
Với
12
25
=t
thay vào cách đặt được:
12512
12
25
1
22
2
2

−=⇔=
−
xx
x
x
( )
06256251441625144
2224
=+−⇔−=⇔ xxxx






±=
±=
⇔






=
=
⇔
4
5
3

5
16
25
9
25
2
2
x
x
x
x
Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là:






=
4
5
;
3
5
x
T
.
b. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình chứa hai ẩn
Phương pháp giải: Ngoài những dạng phương trình vô tỷ như đã nói ở trên,
ta còn gặp những phương trình mà không thể biến đổi các biểu thức chứa ẩn

về một biểu thức giống nhau. Ta có thể đặt căn thức làm ẩn mới rồi biến đổi
phương trình đã cho về phương trình mà có chứa cả hai ẩn cũ và mới. Lúc này
ta coi một trong hai ẩn làm tham số, giải phương trình với ẩn còn lại rồi thay
kết quả vừa tìm được vào cách đặt để tìm ẩn ban đầu. Về thực chất thì đây
cũng là phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ xong ta không chỉ rõ hệ mà thôi
Đặc điểm nhận dạng: trong những phương trình này thường xuất hiện biểu
thức tích của một căn thức với một đa thức chứa ẩn, đồng thời xuất hiện một
đa thức bậc hai hoặc đa thức có cùng bậc với bậc của đa thức trong căn.

Ths. Phạm Thị Nga Trang 11
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Hệ thống bài tập:
Bài 3 Giải các phương trình sau
1)
( )
122114
22
++=+− xxxx
2)
( )
121212
22
−−=−+− xxxxx
3)
( )
1313
22
++=++ xxxx
4)

( )
122114
33
++=+− xxxx
5)
( )
12103
22
−−=−+ xxxx
6)
( )
0121
2
=+−++ xxxx
Ví dụ: Giải phương trình: 1)
( )
122114
22
++=+− xxxx
Giải: Đặt
( )
1111
22222
−=⇔+=⇔≥+= txxttxt
. Thay vào phương trình 1)
ta được:
( )
( )
( ) ( )
*012142121214

22
=−+−−⇔++−=− xtxtxttx
. Nhận thấy
phương trình (*) có:
( )
2
34 −=∆ x
t
nên luôn có hai nghiệm là:
( )




=
−=
lt
xt
2
1
12
.
Với
12 −= xt
thay vào cách đặt ta được:
3
4
3
4
0

2
1
043
2
1
1421
012
121
2
22
2
=⇔











=
=
≥
⇔






=−
≥
⇔



+−=+
≥−
⇔−=+
x
x
x
x
xx
x
xxx
x
xx
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là






=
3
4

x
T
c. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Có nhiều phương trình vô tỷ không thể xử lí bằng phương pháp đặt ẩn phụ
được thì ta có thể đặt thêm một hoặc hai ẩn mới nữa rồi biến đổi thành một hệ
phương trình hai ẩn để giải. Sau khi tìm được nghiệm của hệ thay vào cách
đặt ta được một phương trình. Giải phương trình này là tìm được ghiệm của
phương trình đã cho.Hệ thống bài tập:
Bài 4 Giải các phương trình sau
1)
3
3
1221 −=+ xx
2)
3
3
3443 −=+ xx
3)
2
3
1
33
=−+ xx
4)
3
4
10
11
2
=

−
+
x
x
5)
112
3
−−=− xx
6)
3121
3
22
=−+−
xx

7)
33
2
=++ xx
8)
( ) ( )( ) ( )
7272788
3
2
3
3
2
=+++−−−
xxxx

Ví dụ: Giải phương trình sau: 1)
3
3
1221 −=+ xx
Giải: Đặt
1212
3
3
−=⇔−= xyxy
(*) Thay vào 1) ta được:
ax 21
3
=+
(**)
Từ (*) và (**) ta có hệ:
( )





−=
−=−
⇔





−=

−=
12
2
12
12
3
33
3
3
yx
yxxy
yx
xy
( )





±−
=
=
⇔



=+−
=
⇔






−=



=+++
=
⇔
2
51
1
012
12
02
3
3
22
x
x
xx
yx
yx
vnyxyx
yx
Vậy tập nghiệm của phương trình là:







±−
=
2
51
;1
x
T
.

Ths. Phạm Thị Nga Trang 12
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 8)
( ) ( )( ) ( )
7272788
3
2
3
3
2
=+++−−−
xxxx

Giải: Đặt
35
27

8
27
8
33
3
3
3
3
=+⇒





+=
−=
⇔





+=
−=
ba
xb
xa
xb
xa
. Thay a, b vào phương

trình 11) ta được:
7
22
=+− baba
. Do đó ta có hệ phương trình:
( )
( )
( )



=
=+
⇔



=−+
=+
⇔





=+−
=+−+
⇔






=+−
=+
6
5
73
5
7
35
7
35
2
22
22
22
33
ab
ba
abba
ba
baba
bababa
baba
ba



=

=
⇔
3
2
b
a
hoặc



=
=
2
3
b
a
. Thay vào cách đặt ta được:





=+
=−
327
28
3
3
x
x

hoặc





=+
=−
227
38
3
3
x
x
0=⇔ x
hoặc
19−=x
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là:
{ }
19;0 −=
x
T

3. Dạng bài tập giải bằng phương pháp nhân liên hợp
Ngoài hai phương pháp khử căn thức trong phương trình vô tỷ như trên tùy
vào đặc điểm cụ thể của các biểu thức trong phương trình mà ta có thể sử
dụng các hằng đẳ thức sau để tạm thời phá căn biến đổi tương đương phương
trình đã cho về một phương trình tích:
( )( ) ( )
( )

( )
( )
3322332222
;; bababababababababababa =+−+−=++−−=+−
Khi đó ta gọi
( )
ba −
và
( )
ba +
;
( )
ba −
và
( )
22
baba ++
;
( )
ba +
và
( )
22
baba +−
là những biểu thức liên hợp của nhau. Và gọi phương pháp biến đổi này là
phương pháp nhân liên hợp
Chú ý: 1> Khi sử dụng phương pháp này nên tìm điều kiện xác định của
phương trình trước
2> Khi nhân hai vế của phương trình với biểu thức liên hợp phải chú
ý điều kiện khác 0 của biểu thức đó.

3> Chỉ sử dụng phương pháp này được sau khi nhân liên hợp làm
xuất hiện biểu thức giống nhau trong phương trình để có thể đưa phương
trình đã cho về phương trình tích.
Hệ thống bài tập
Bài 5 Giải các phương trình sau
1)
5
3
2314
+
=−−+
x
xx
2)
( )
62223 ++=−+ xxx
3)
xxx =−−+ 11
4)
x
xx
xx 21
2121
2121
=
−++
−−+
5)
( ) ( )( ) ( )
7272788

3
2
3
3
2
=+++−−−
xxxx
6)
x
xx
3
11
1
11
1
=
−+
−
−−
7)
016613
2
=++−− xxx
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1)
5
3
2314
+
=−−+
x

xx
Giải: Điều kiện
3
2
≥
x
.
Khi đó nhân cả hai vế của 1) với
02314 >−++ xx
ta được:

Ths. Phạm Thị Nga Trang 13
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

1)
( ) ( ) ( )
2314
5
3
2314
22
−++
+
=−−+⇔ xx
x
xx

( )
( )
( )

02314532314
5
3
3
=−−+−+⇔−++
+
=+⇔
xxxxx
x
x
( )
( )( )
25231422314
52314
3
=−++−++⇔



=−++
=
⇔
xxxx
xx
lx
xxx 72625122
2
−=−−⇔
2
324

2
7
26
3
2
0684344
7
26
3
2
2
=⇔










=
=
≤≤
⇔






=+−
≤≤
⇔
x
x
x
x
xx
x

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
{ }
.2=
x
T
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5)
( ) ( )( ) ( )
7272788
3
2
3
3
2
=+++−−−
xxxx
Giải: Nhận thấy
( )
Rxxx ∈∀≠++− 0278
33

Nhân cả hai về của 5) với
( )
33
278 ++− xx
Ta được:
5)
( )
( ) ( )( ) ( )
( )






++−=+++−+−++−⇔
33
3
2
3
3
2
33
2787272788278 xxxxxxxx
( )
33
2787278 ++−=++−⇔ xxxx
( )
33
2785 ++−=⇔ xx

( )( )
( )
( )( )
62782782783278125
3
33
3
=+−⇔++−+−+++−=⇔
xxxxxxxx



−=
=
⇔=−−⇔
19
0
019
2
x
x
xx
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
{ }
19;0 −=
x
T
.
4. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đánh giá
Khi gặp một phương trình vô tỷ mà không sử dụng được ba phương pháp

trên ta có thể nghĩ đến phương pháp đánh giá để giải phương trình. Và đây
đôi khi lại là phương pháp giải ngắn gọn độc đáo nhất. Tuy nhiên không phải
bài nào cũng giải được bằng phương pháp này mà phải dựa vào đặc điểm
riêng biệt của loại phương trình này nữa. Thông thường loại phương trình này
hay vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất. Do vậy ta thường nhẩm lấy một
nghiệm rồi dùng hàm số hoặc bất đẳng thức để đánh giá chứng minh tính duy
nhất nghiệm. Do đó ta có hai kiểu đánh giá như sau:
Kiểu 1: Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế của phương trình vế trái
(VT) và vế phải (VP) như sau:
Nếu



≥
≤
aVP
aVT
thì



=
=
⇔=
aVP
aVT
VPVT
Kiểu 2: Dùng hàm số để đánh giá. Cụ thể là dùng bài toán tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất để đánh giá hai vế hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số đế
chứng minh tính duy nhất nghiệm như đã trình bầy ở Phần 2 mục III.3.

Hệ thống bài tập
Bài 6 Giải các phương trình sau
1)
36112
2
=+++ xxx
2)
11642
2
+−=−+−
xxxx
3)
82315
22
++−=+ xxx
4)
11414
2
=−+− xx
5)
xxxxx 811812372
2
++++=+++−
6)
1612251172
223
−+=−+−
xxxxx

Ths. Phạm Thị Nga Trang 14

Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

7)






+−=−+−
x
x
x
x
1
4
1
22
2
2
8)
( )
( )





=−++
=−−++

74324
025314
22
2
xyx
yyxx
9)
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
Ví dụ 1:Giải phương trình 1)
36112
2
=+++ xxx
Giải: Đk:
1−≥x
Cách 1: Nhận thấy phương trình 1) có nghiệm x=3. Ta sẽ chứng minh nghiệm
này là duy nhất. Thật vậy:
Với x>3
VPxxxVT
xx
x
x
=>+++=⇒





>+⇒>+
>

>
⇒
36112
2411241
3
9
2
2
nên phương trình 1) không có nghiệm x>3
Với
31 <≤− x
VPxxxVT
xx
x
x
=<+++=⇒





<+⇒<+
<
<
⇒
36112
2411241
3
9
2

2
nên phương trình 1) không có nghiệm x<3
Kết luân: Tập nghiệm của phương trình là:
{ }
3=
x
T
Cách 2: Ta có :
36112
2
=+++ xxx

( )
( )
2
2
2
6113616.211 −+=+⇔++−+=+++⇔ xxxxxxx

( ) ( )
( )
( )
3
31
21
0611
0611
611
611
=⇔




−=+
=+
⇔




=−+++
=++−+
⇔




++−=+
−+=+
⇔
x
VNx
x
xx
VNxx
xx
xx
Kết luân: Tập nghiệm của phương trình là:
{ }
3=

x
T
Ví dụ 2:Giải phương trình 4)
11414
2
=−+− xx
Giải: Tập xác định:






+∞∈
;
2
1
x
. Nhận thấy phương trình có nghiệm
2
1
=
x
Cách 1: Xét hàm số
1414
2
−+−= xxy
trên miền







+∞∈
;
2
1
x
.
Ta có
0
1
4
14
2
'
2
>
−
+
−
=
x
x
x
y
nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng







+∞∈
;
2
1
x
nên phương trình 4) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất.
Kết luận: Tập nghiệm là






=
2
1
x
T
.
Ví dụ 3: Giải phương trình 5)
xxxxx 811812372
2
++++=+++−
Giải: Ta có : 5)
xxxxx 811812372
2

++++=+++−

( )
( )
xxxx 81181133
2
2
+++++=+++⇔

Xét hàm
( )
xxxf +=
2
với
0 0
1
2'0
>∀>+=⇒>
x
x
xyx
nên hàm số đồng
biến trên miền x>0. ( Chú ý: Học sinh lớp 10 có thể xét tính đơn điệu như
sách giáo khoa 10 đã hướng dẫn). Do đó ta có:

Ths. Phạm Thị Nga Trang 15
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

5)
( )

( )
xxxfxf 81138113 ++=+⇔++=+⇔
( )



=
=
⇔








=
=
−≥
⇔



=+−
−≥
⇔




+=+
−≥
⇔
1
3
3
1
2
034
2
281
2
2
2
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
{ }
3;1=
x
T
II. PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa căn thức ở một trong hai

vế. Vì vậy đối với bất phương trình vô tỷ ta cũng có thể áp dụng cách phân
loại bài tập và phương pháp giải như trên.
Tuy nhiên trong phương pháp biến đổi tương đương để cho việc biến đổi bất
phương trình đỡ phức tạp ta có thể chia bài giải thành các trường hợp nhỏ.
Hơn thế nữa, trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải bất phương trình thì
phương pháp đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình chứa hai ẩn và đặt ẩn phụ
đưa về hệ bất phương trình lại tỏ ra không được hiệu quả vì việc đánh giá và
xét dấu với hai ẩn là rất khó khăn nên hạn chế dùng.
1. Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương
Đây là dạng bất phương trình vô tỷ cơ bản và đơn giản nhất. Để giải
chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường
như đã nói ở Phần 2, mục I.2.2 để đưa bất phương trình đã cho về bất phương
trình tích hoặc bất phương trình hữu tỷ đã biết cách giải. Các phép biến đổi
tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép cô lập căn thức rồi
nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức. Thông thường chúng
có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn bậc hai :
Dạng 1:
( ) ( )
( )
( ) ( )



<
≥
⇔<
xgxf
xf
xgxf
0

Dạng 2:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )





<
≥
>
⇔<
xgxf
xf
xg
xgxf
2
0
0
Dạng 3:
( ) ( )
( )
( )



≥
<

⇔>
0
0
xf
xg
xgxf
hoặc
( )
( ) ( )



>
≥
xgxf
xg
2
0
Dạng 4:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )








<+
≥
≥
>
⇔<+
xhxgxf
xg
xf
xh
xhxgxf
2
2
0
0
0
Dạng 5:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )








=+
≥
≥
≥
⇔>+
xhxgxf
xg
xf
xh
xhxgxf
2
2
0
0
0
hoặc
( )
( )
( )





≥
≥
<

0
0
0
xg
xf
xh
Đối với các bất phương trình có đấu
≥≤;
phương pháp biến đổi cũng tương
tự như trên chỉ khác là các điều kiện xác định không ngặt nghèo như trên mà
các hàm số dưới dấu căn và các điều kiện chỉ cần là không âm.
Tương tự ta cũng sẽ có các dạng bất phương trình vô tỷ như trên nhưng ứng
với các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4… và vế trái là tổng của
nhiều căn thức cùng bậc hơn.

Ths. Phạm Thị Nga Trang 16
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai
vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Hệ thống bài tập:
Bài 1: phương pháp biến đổi tương đương
a. Phương pháp luỹ thừa hai vế
1)
312 <+x
2)
xx <− 23
3)
123
22
+−>−

xxx
4)
xx −>− 223
5)
2162
2
−>+−
xxx
6)
xxx
−>−+−
856
2
7)
( )( ) ( )
14435
−>++
xxx
8)
( )( )
241
−>−+
xxx
9)
53 <−+ xx
10)
xxx ≤+−+ 12
11)
xxx <−++ 11
12)

xxx
−≥+−
112
24
13)
345
+>+−+
xxx
14)
27593137
−≤−−−
xxx
15)
xxx
−+−≥+
7823
16)
xxx 31415 ≤−−+
17)
2
3
1212
>−−+−+
xxxx
b. Phương pháp chia khoảng
Để quá trình biến đổi đỡ phức tạp hoặc khi đã biến đổi bất phương trình đã
cho về dạng tích hoặc khi cần quy đồng hai vế của một bất phương trình vô tỷ
ta có thể chia thành các trường hợp để giảm bớt sự phức tạp cho việc giải bất
phương trình.
1)

( )
( )
15245
22
−−≥−− xxxx
2)
4523423
222
+−≥+−++−
xxxxxx
3)
3
411
2
<
−−
x
x
4)
1
1
3
1
1
2
2
−
−
>
−

x
x
x
5)
1
224
2
<
−−
x
xx
6)
92
12
11
12
22
−
−+
>
−
−+
x
xx
x
xx
7)
12
1
532

1
2
−
>
−+
x
xx
8)
113234
22
−>+−−+−
xxxxx
2. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 2: ( Phương pháp đặt ẩn phụ )
1)
xxxx 271105
22
−−≥++
2)
3
1
2
1
>
+
−
+
x
x
x

x
3)
2
31
1
≥
−
+
−
x
x
x
x
4)
4
2
1
2
2
5
5
++<+
x
x
x
x
5)
7
2
1

2
2
3
3
−+<+
x
x
x
x
6)
( )( )
0122442
2
<−+−+−
xxxx
7)
xxxxx 244222
2
−<−+−+
8)
4
211
2
x
xx
−≤−++
9)
1510652
22
+>−−+

xxxx
10)
123342
22
>−−++
xxxx
11)
xxxxx 141814274926777
2
−<−++−++
12)
( ) ( )
2244
2
2
<−++−−
xxxxx
13)
( ) ( )
01311
23
>+++++ xxxx
14)
( ) ( )
123231
2
++−≥−++
xxxx
15)
xxxx 3141

2
≥+−++
(KB-2012)
16) Với giá trị nào của m thì bất phương trình:
( )( )
( )
352321
2
+−+>−+
xxmxx
thỏa mãn
]3;
2
1
[
−
∈∀
x
3. Dạng bài tập giải bằng phương pháp nhân liên hợp
Bài 3: ( Phương pháp nhân liên hợp)
1)
3
411
2
<
−−
x
x
2)
2

11 xxx
<−−+
3)
( )
92
211
4
2
2
+<
+−
x
x
x
4)
( ) ( )
( )
2
2
23110214 xxx
+−+<+
5)
2212
−>+−−
xxx
6)
( )
(
)
8152135

2
≥−++−−+ xxxx
7)
( )
21
293
2
2
2
+<
+−
x
x
x


Ths. Phạm Thị Nga Trang 17
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

4. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đánh giá
Bài 4: ( Phương pháp đánh giá)
1)
311
3
22
≥−+−
xx
, 2)
211
22

≤−++−−
xxxx
,3)
( )( )





+≥+
−++=+−
2
2332
2
1
2
624566
x
x
x
xxxxxx

Một số bài toán bài toán chứa tham số
Bài 1 Tìm m để các phương trình,hệ phương trình sau có nghiệm thực.
a)
( ) ( )
mxxxx
=−+−−++
6363
; b)

( )( ) ( )
m
x
x
xxx
=
−
+
−++−
3
1
3413
;
c)







=
−
+
−
=
−
+
+
−

+
m
yx
y
y
x
x
1
1
1
1
2
1
1
1
1
(HSG-2010) d)





++=++
−=−++
412
13122
2
3
xmyy
xxxyy

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau
a/
mxaax =−++
e/
2
1 xax −=−
b/
xaxx −=−
2
c/
aaaxxaaxx 222
22
=−−+−+
c/
axabxxa −=−++
2222
III. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CỦA HỆ THỐNG BÀI TẬP
1. Hướng dẫn và đáp án bài tập phương trình và hệ phương trình vô tỷ
Bài 1: 1)
{ }
3,0=
x
T
, 2)
{ }
5=
x
T
,3)
{ }

4=
x
T
,4)
{ }
1=
x
T
,5)
φ
=
x
T
,6)






=
4
21
x
T
7)
{ }
6;5
=
x

T
8)






=
3
2
x
T
, 9)






−
=
4
5
x
T
, 10)
{ }
1;6−=
x

T
, 11)






=
2
3
;2;1
x
T
12)
φ
=
x
T
, 13)
{ }
1;1
−=
x
T
,
14)
{ }
5;1=
x

T
,15)
{ }
1=
x
T
,16)






−
=
77
7
2567
12.7
x
T
, 17)
{ }
1
±=
x
T
,18)







=
2
17
x
T
, 19)






=
8
9
,0
x
T
Bài 2: 1)
{ }
1,0
−=
x
T
, 2)
{ }

1
±=
x
T
, 3)
{ }
7
=
x
T
, 4)
{ }
1024
=
x
T
,5)
2
371
±
=
x
T
, 6)
{ }
24;3
±±=
x
T
7)







±−±
=
2
171
;
2
211
x
T
, 8)
{ }
5;2−=
x
T
, 9)
{ }
131;51
−−=
x
T
, 10)
{ }
3=
x

T
,11)






=
137
841
x
T
12)
{ }
1=
x
T
,13)
{ }
0
=
x
T
,14)
{ }
3;0=
x
T
,15)







−
=
2
3
;
2
1
x
T
,16)
{ }
2;0;2
−=
x
T
,17)






−=
2

1
;
2
3
x
T
18)
{ }
aaTaTa
xx
−=⇒






+ ∞∈=⇒






∞−∈
;
4
1
;
4

1
;
φ
, 19)






−
=
2
1
;
4
3
x
T
,20)











+
±±=
8
233
;
2
1
;0
x
T
,21)
{ }
3
=
x
T
22)
{ }
2
=
x
T
, 23)
{ }
1;0
=
x
T
, 24)
{ }

22;1
−=
x
T
25)
{ }
1;4−=
x
T
, 27)






±
=
2
223
x
T
,29) HD:
Bình phương hai vế, chia cả hai vế cho
4
x
, đặt
2
2
1

4
x
xt −=










+
=⇒
2
51
x
T
;
30) HD:Bình phương hai vế, đặt











−
±=⇒−=
2
332
41
2
x
Txt
Bài 3: 2)
{ }
61
±−=
x
T
, 3)
{ }
8
±=
x
T
, 4)






−=
2;

4
3
3
x
T
,5)
{ }
3
−=
x
T
, 6)






−
+
=
82;
25
292
x
T
Bài 4: 2)







±−
=
2
131
;1
x
T
,3)
( )










±
=
27
59
3
x
T
,4)







+−
=
2
5510
x
T
,5)
{ }
10;2;1
=
x
T
,6)
{ }
0
=
x
T
,7)







−
=
2
131
;2;1
x
T

Ths. Phạm Thị Nga Trang 18
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Bài 5: 2)






±
=
2
5311
;3
x
T
, 3)
{ }
0=
x

T
, 4)
{ }
21±=
x
T
, 6)






=
4
1
x
T
,7)






+
=
4
17623
;0

x
T
Bài 6: 2) HD:dùng Bunhiaccôpxki đánh giá vế trái,
( )
⇒+−= 23
2
xVP

{ }
3=
x
T
3)
{ }
1=
x
T
, 6)HD sử dụng Côsi cho vế trái
{ }
7;1
=⇒
x
T
, 7) dùng Bunhiaccôpxki
{ }
1=
x
T
, 8)
( )

( )





=−++
−+−=+
⇔
74324
252522
22
3
3
xyx
yyxx
Dùng hàm số được
( )













=
2;
2
1
;yx
T
, 9)
{ }
1
−=
x
T
2. Hướng dẫn, đáp án bài tập bất phương trình,hệ bất phương trình vô tỷ
Bài 1a: 1)






−
=
4;
2
1
x
T
,2)







=
2
3
;1
x
T
,3)








+∞
+−
∪









−−
∞−=
;
2
651
2
651
;
x
T
,4)








−
=
2;
2
577
x
T
,
5)
( )
+∞∪









−
∞−=
;3
2
73
;
x
T
,6)
φ
=
x
T
,7)
(
]
{ }
1\4;
3
4
5;







−
∪−∞−=
x
T
,8)
[
)






+∞∪−=
;
2
7
2;1
x
T
, 9)







=
5
16
;3
x
T
,10)








+ ∞
+−
=
;
3
123
x
T
11)
φ
=
x
T

,12)
(
] [
)
+ ∞∪−∞−=
;02;
x
T
,13)
(
] [
)
2;34;
−∪−∞−=
x
T
,
14)






+
=
23;
118
10521458
x

T
, 15)
[ ] [ ]
7;65;4
∪=
x
T
, 16)






+∞=
;
4
1
x
T
, 17)
RT
x
=
Bài 1b:1)
[
)
+∞∪







−
−
=
;22;
6
13
x
T
,2)






+∞=
;
2
11
x
T
,3)
{ }
0\
2
1

;
2
1






−
=
x
T
,4






∪






−−
=
5

2
;
2
1
2
1
;
5
2
x
T
5)
[ ]
{ }
3;0\4;6−=
x
T
,6)
φ
=
x
T
,7)
( )
+∞=
;2
x
T
,8)







∞−=
2
1
;
x
T
Bài 2:1)
( )
[
)
+∞∪−∞−=
;13;
x
T
,2)






=
8
1
;0

x
T
,3)
[ ] [ ]
2;10;1 ∪−=
x
T
,4)








+ ∞
+
∪








−
∞−=
'

2
223
2
223
;
x
T
5)








+∞
+
∪








−
=
;

4
25216
4
25216
;0
x
T
,6)
[ ]
{ }
51;51\4;2
+−−=
x
T
,7)
φ
=
x
T
,8)
[ ]
1;1
−=
x
T
,9








+∞
+
∪







−
∞−=
;
2
555
2
555
;
x
T
10)
[ ]
1;3−=
x
T
,12)
( )

22;
−∞−=
x
T
,13)
[
)
+∞−=
;1
x
T
,14)






±
=
2
177
x
T
,15)
[
)
+ ∞∪







=
;4
4
1
;0
x
T
Bài 3:1)
{ }
0\
2
1
;
2
1






−
=
x
T
,2)

[ ]
0;1−=
x
T
,3)
{ }
0\
8
45
;
2
1






−
=
x
T
,4)






−

=
3;
2
3
x
T
5)
φ
=
x
T
,6)
[
)
+ ∞=
;4
x
T
,7)






+ ∞=
;
18
17
x

T
Bài 4:1)
φ
=
x
T
,2)






=
8
1
;0
x
T
,2)HD: dùng Côsi
{ }
1=
x
T
,3) HD: dùng Côsi
{ }
2
=
x
T

VI. Thùc nghiÖm vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm
1. Kết quả đạt được của quá trình nghiên cứu
Trên đây tôi vừa trình bầy nội dung sang kiến kinh nghiệm về phân loại
bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. Toàn bộ kiến thức đã sử
dụng trong bài viết này đều được trang bị rất đầy đủ và chi tiết trong chương
trình học tập của học sinh lớp 10 và lớp 12 theo chương trình sách giáo khoa
mới biên soạn của Bộ Giáo Dục và đào Tạo. Kết quả đạt được là:
1.1 Kết quả thứ nhất: Tìm ra bốn cách giải các bài toán giải phương trình và
bất phương trình bậc hai

Ths. Phạm Thị Nga Trang 19
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

1.2 Kết quả thứ hai: Ứng dụng bài toán trên để giải quyết một số vấn đề của
đại số và giải tích có liên quan đến phương trình và bất phương trình vô tỷ.
1.3 Kết quả thứ ba: Rèn luyện tư duy linh hoạt sáng tạo, tư duy giải quyết
vấn đề, tư duy biện chứng, xây dựng và phát triển sự say mê và yêu thích toán
học. Kết quả thực nghiệm cho thấy sự tiến bộ của các em học sinh thể hiện rõ
rệt. Các em giải quyết tốt các bài toán đặt ra một cách linh hoạt và sáng tạo.
Đứng trước các bài toán này các em tỏ ra tự tin, chủ động và linh hoạt hơn để
phân tích và nhận định bài toán nhằm lựa chọn cách giải thích hợp và ngắn
gọn. Giờ học toán và các tiết kiểm tra được các em hào hứng chờ đợi, đặc biệt
là trong các giờ luyện tập các em thi đua nhau tìm ra những lời giải hay, cách
giải đẹp làm không khí học tập trong lớp rất sôi nổi.
2. Phương pháp đánh giá
Để đánh giá hiệu quả sau 24 tuần giảng dạy và học tập tôi tiến hành kiểm
tra đánh giá ở hai thời điểm là sau 12 tuần và sau 24 tuần bằng các bài kiểm
tra đánh giá chuyên môn
2.1. Bài số 1- Lớp 10: Bài kiểm viết tra giữa chương 3, Phương trình và một
số phương trình quy về bậc hai

- Lớp 12: Bài kiểm tra chương 1:Ứng dụng đạo hàm của hàm số.
2.2. Bài số 2
Lớp 10: Bài kiểm tra viết chương 4, Một số phương trình và bất phương trình
quy về bậc hai
Lớp 12: Bài kiểm tra chương 2, phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
3. Kết quả thực nghiệm
Kết quả bài kiểm tra ở các lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Lớp
10A7

Sĩ số
42
Kết quả
ban đầu
2 5% 17 41% 20 48% 2 4% 1 2%
Bài kiểm
tra số 1
2 5% 18 43% 19 45% 2 5% 1 2%
Bài kiểm
tra số 2
3 7% 19 45% 18 43% 1 2% 1 2%
Lớp
12A1
Sĩ số
44
Kết quả
ban đầu
2 5% 17 38% 22 50% 2 5% 1 2%
Bài kiểm
tra số 1
3 7% 18 41% 21 48% 1 2% 1 2%
Bài kiểm
tra số 2
3 7% 19 43% 21 48% 1 2% 0 0%
Kết quả bài kiểm tra ở lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
Số
lượ
ng
Phần

trăm(%)
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Số
lượng
Phần
trăm(%)
Lớp
10A3
Sĩ số
45
Kết quả
ban đầu
2 4% 18 40% 20 45% 3 7% 2 4%
Bài kiểm
tra số 1
5 11% 19 42% 20 45% 1 2% 0 0%
Bài kiểm
tra số 2
9 20% 20 44% 16 36% 0 0% 0 0%

Lớp
12A4
Kết quả
ban đầu
3 7% 16 36% 22 50% 2 5% 1 2%
Bài kiểm
6 14% 19 43% 18 41% 1 2% 0 0%

Ths. Phạm Thị Nga Trang 20
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Sĩ số
44
tra số 1
Bài kiểm
tra số 2
11 25% 19 43% 14 32% 0 0% 0 0%
Thông qua hai bản kết quả trên ta thấy thành tích học tập của các em học
sinh của cả hai khối lớp có thực nghiệm và không thực nghiệm có sự tăng
trưởng đáng kể. Tuy nhiên mức độ tăng trưởng ở mỗi nhóm là khác nhau. Đối
với khối lớp không có thực nghiệm giáo dục, sự tăng trưởng chậm, chủ yếu
diễn ra ở số học sinh khá, số học sinh yếu và kém có giảm nhưng không đáng
kể. Còn ở khối lớp có thực nghiệm thì quá trình tăng trưởng có nhiều bước
đột phá, đặc biệt là số học sinh khá và giỏi, số yếu kém không còn nữa.
C. KÕt luËn
I. GIÁ TRỊ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Do hệ thống bài tập được phân loại từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức
tạp nên dễ dàng được sử dụng như một bài giảng để giảng dạy cho tất cả các
em học sinh từ học lực yếu, trung bình đến học sinh khá giỏi và luyện thi đại
học. Giúp các em nhận thức đầy đủ về kiến thức, phương pháp cũng như có

nhiều cơ hội để rèn luyện kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình và bất
phương trình.
Mặt khác cùng với hệ thống bài tập là những ví dụ minh họa và các hướng
dẫn, đáp án kèm theo nên có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này để làm
tài liệu tham khảo cho các em học sinh tự học, tự rèn luyện
II. §Ò xuÊt vµ kiÕn nghÞ
Đề tài này vẫn còn có thể được khai thác và mở rộng thêm trên lớp các bài
toán giải và biện luận phương trình, hệ phương trình hoặc bất phương trình vô
tỷ. Đây là lớp bài toán lớn có cùng phương pháp giải quyết vấn đề như vậy.
Thông qua bản sáng kiến kinh nghiệm, tôi thực sự muốn chia sẻ kinh nghiệm
nhỏ của bản thân mình với các đồng nghiệp. Rất mong có được sự quan tâm
và góp ý.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa ngày 10 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết
PHẠM THỊ NGA

Ths. Phạm Thị Nga Trang 21
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ


Ths. Phạm Thị Nga Trang 22
Phõn loi bi tp gii phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t

MC LC
A. T VN Trang 1
I. XUT PHT IM V L DO CHN TI.1

IV. THC TRNG VN .1
III. GI THIT KHOA HC 1
B. GII QUYT VN 1
PHN 1:MC CH NHIM V V PHNG PHP NGHIấN CU1
I. MC CH V NHIM V NGHIấN CU 1
II. PHNG PHP NGHIấN CU .2
III. tổ chức nghiên cứu 2
PHN 2: C S Lí LUN 3
I. I CNG V PHNG TRèNH V BT PHNG TRèNH 3
II. PHNG TRèNH BC NHT, BC
HAI 4
III. BT PHNG TRèNH BC NHT, BC HAI .5
PHN 3: PHN LOI BI TP V PHNG PHP GII 6
IV. PHN LOI BI TP GII PHNG TRèNH Vễ T.
6
1. Dng bi tp gii bng phng phỏp bin i tng ng .6
a. Dng bi tp gii bng phng phỏp t n ph 8
d. t n ph a v phng trỡnh mi d gii hn. 8
e. t n ph a v phng trỡnh cha hai n 10
f. t n ph a v h phng trỡnh .11
3. Dng bi tp gii bng phng phỏp nhõn liờn hp 12
4. Dng bi tp gii bng phng phỏp ỏnh giỏ 13
V. PHN LOI BI TP GII BT PHNG TRèNH Vễ T 15
5. Dng bi tp gii bng phng phỏp bin i tng ng 15
6. Dng bi tp gii bng phng phỏp t n ph 16
7. Dng bi tp gii bng phng phỏp nhõn liờn hp .16
8. Dng bi tp gii bng phng phỏp ỏnh giỏ.16
Mt s bi toỏn bi toỏn cha tham s 17
VI. HNG DN V P N CA H THNG BI TP 17
1. Hng dn v ỏp ỏn bi tp phng trỡnh h phng trỡnh vụ t.17

2. Hng dn, ỏp ỏn bi tp bt phng trỡnh,h bt phng trỡnh vụ t.18
VI. Thực nghiệm và kết quả thực nghiệm 18
1. Kt qu t c ca quỏ trỡnh nghiờn cu . 18
2. Phng phỏp ỏnh giỏ.19
3. Kt qu thc nghim .19
C. Kết luận 20
I. GI TR CA SNG KIN KINH NGHIM 20
II. Đề xuất và kiến nghị 20

Ths. Phm Th Nga Trang 23
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Tµi liÖu tham kh¶o
1. Sách giáo khoa đại số 10- nâng cao- Đoàn Quỳnh. NXB Bộ Giáo Dục
và đào tạo,2008
2. Sách giáo viên đại số 10 – nâng cao- Đoàn Quỳnh.
NXB Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, 2008
3. Sách giáo khoa Đại số 12- nâng cao- Đoàn Quỳnh. NXB Bộ Giáo Dục
và Đào Tạo,2008
4. Sách giáo viên Đại số 12 – nâng cao-Đoàn Quỳnh. NXB Bộ Giáo Dục
và Đào Tạo,2008

Ths. Phạm Thị Nga Trang 24