Tuyển chọn các bài toán Hình học giải tích trong mặt phẳng doc

Tuyển chọn các bài toán Hình học giải tích trong mặt phẳng.
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ΔABC vuông tại C, biết điểm A( -2; 0),
B( 2; 0) và khoảng cách từ trọng tâm G đến Ox bằng
1
3
. Tìm tọa độ đỉnh C.
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng ( d
1
): x – 3y =0,
( d
2
): 2x + y - 5 = 0 và ( d
3
): x – y = 0. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết A, C
lần lượt thuộc ( d
1
), ( d
2
) và 2 đỉnh còn lại thuộc ( d
3
).
3) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có đỉnh A( 4; 3). Biết đường phân
giác trong và trung tuyến kẻ từ 1 đỉnh là x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y - 10 = 0. Tìm B, C.
4) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC cân tại C. Biết đỉnh A( 1; 3),
đường cao ( BH): 2x - 3y - 10 = 0 và ( AB): 5x + y – 8 = 0.
Xác định tọa độ các đỉnh B, C.
5) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E):
2
2
x
y 1

4
+ =
ngoại tiếp hình chữ
nhật ABCD. Biết
2 6
A 3; ,
3
 
 ÷
 
tìm tọa độ các đỉnh còn lại của ABCD.
6) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho elip
( )
2 2
x y
E : 1.
4 3
+ =
Tìm điểm M
trên ( E) để tiếp tuyến tại M với ( E) tạo với Ox, Oy thành tam giác có diện tích nhỏ nhất.
7) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn
( )
2 2
C :x y 4 3x 4 0.+ + − =

Tia Oy cắt ( C) tại A. Lập phương trình đường tròn ( C’) biết bán kính R’ = 2 và ( C’) tiếp xúc
ngoài với ( C) tại A.
8) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( d
1
): 3x - 4y – 6 = 0 và

(d
2
): 5x + 12y + 4 = 0 cắt nhau tại M. Lập phương trình đường thẳng ( d) qua điểm K( 1; 1)
cắt ( d
1
), ( d
2
) lần lượt tại A, B sao cho ΔMAB cân tại M.
9) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d
1
): x + 2y – 2 = 0 cắt elip
( )
2 2
x y
E : 1
9 4
+ =
tại 2 điểm A, B. Tìm điểm M thuộc ( E) để diện tích ΔMAB lớn nhất.
10) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho elip
( )
2
2
x
E : y 1
4
+ =
có hai tiếp
tuyến song song với nhau. Chứng minh rằng gốc tọa độ O là trung điểm đoạn thẳng nối 2
tiếp điểm.
11) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn ( C) có tâm là gốc tọa độ

O, bán kính R = 5. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 6; 0) cắt ( C) tại A,B
sao cho diện tích ΔOAB lớn nhất.
12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có cạnh AC đi qua điểm M( 0; -1).
Biết AB = 2AM, đường phân giác trong ( AD): x - y = 0, đường cao ( CH): 2x + y + 3 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của ΔABC.
Bài tập được trích từ “ 20 Bộ đề Toán tổng hợp năm 2008”.
ThS. Đoàn Vương Nguyên.
1
13) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip
( )
2 2
x y
E : 1.
9 4
+ =
Lấy 2 điểm A( -3; 0)
và
4 2
B 1;
3
 
 ÷
 
thuộc ( E). Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E) sao cho diện tích ΔMAB nhỏ nhất.
14) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( 4; 5). Biết
đường thẳng AD đi qua gốc tọa độ O và phương trình của AB: 2x – y + 5 = 0.
Lập phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.
15) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn
( )
2 2

1
C : x y 4x 8y 11 0+ − − + =
và
( )
2 2
2
C : x y 2x 2y 2 0.+ − − − =
Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên.
16) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A, B trên elip
( )
2
2
x
E : y 1
4
+ =

sao cho
OA OB⊥
. Chứng tỏ rằng AB luôn tiếp xúc với đường tròn
( )
2 2
4
C :x y .
5
+ =
17) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M( 2; 1). Lập phương trình đường thẳng
đi qua M và cắt ( d
1
): x + y – 1 = 0, ( d

2
): 2x - y = 0 lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB.
18) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có trực tâm
13 13
H ; .
5 5
 
 ÷
 
Lập phương trình cạnh BC biết ( AB): 4x – y – 3 = 0 và ( AC): x + y – 7 = 0.
19) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip
( )
2 2
E :8x 18y 144.+ =
Tìm điểm M
trên ( E) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ
nhất.
20) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có trung tuyến ( AM): y - 1 = 0,
đường cao ( AH): x – 2y + 3 = 0 và đỉnh B( 1; 3). Lập phương trình đường thẳng AC.
Bài tập được trích từ “ 20 Bộ đề Toán tổng hợp năm 2008”.
ThS. Đoàn Vương Nguyên.
2