Báo cáo nghiên cứu khoa học: "VỀ ƯỚC LƯỢNG BAYES TRONG KHÔNG GIAN BANACH" doc

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 39
VỀ ƯỚC LƯỢNG BAYES TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Ung Ngọc Quang
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
(Bài nhận ngày 02 tháng 04 năm 2007, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 15 tháng 12 năm 2007)
TÓM TẮT: Trong bài này, tác giả chỉ ra sự tồn tại ước lượng Bayes trong một lớp hàm
đo được, bị chặn nhưng không liên tục. Tác giả cũng tìm được xấp xỉ của ước lượng Bayes
trong một lớp hàm đo được, bị chặn.
Từ khóa: Tiêu chuẩn compact tương đối, mô hình phi tuyến 2_chiều, ước lượng Bayes.
1.ĐẶT VẤN ĐỀ
Thống kê Bayes nói chung và ước lượng Bayes nói riêng đang được khả
o sát rộng rãi (
xem [1] – [5]). Trong [5] đã chứng minh sự tồn tại ước lượng Bayes dựa trên tiêu chuẩn về
tính compact tương đối của một lớp hàm đo được bị chặn( tiêu chuẩn này tương tự như tiêu
chuẩn compact tương đối của Ascoli – Arzela đã được phát triển trong [6]).
Bài này sẽ tiếp tục khảo sát ước lượng Bayes dựa vào tiêu chuẩn compact tương đối nêu
trên. Trước hết ta đưa ra vài ký hiệu :
I : Không gian metric compact với metric
(, ),,dxy xy I
∈
.
X : Phần tử quan trắc ngẫu nhiên có tập trị là I
r
R
: Không gian Euclide r_chiều

(),I
r
BB: Các
σ

_đại số Borel trên I và
r
R
.
2. VỀ MỘT TIÊU CHUẨN COMPACT TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN
BANACH
Xét mô hình thống kê phi tuyến có dạng:

()
X
ϕ
θε
=+
Trong đó:

ε
: Vectơ sai số ngẫu nhiên có trị trong I

θ
: Tham ẩn định vị,
θ
∈Θ

ϕ
: Hàm phi tuyến cho trước,
ϕ
Θ→

:
r

Θ : Tập compact thuộc 
r

Định nghĩa 2.1
Hàm Borel đo được
→ :( , ( )) ( , )
r
hI I
r
BB
gọi là ước lượng của tham ẩn
θ
∈Θ⊂
r
.
Ước lượng h gọi là bị chặn nếu:
∈

sup ( )
r
xI
hx
.
Tập hợp tất cả các ước lượng bị chặn ký hiệu là

(, )
r
BI

Định lý 2.1: Tập hợp
(, )
r
BI là một không gian Banach với chuẩn

∈
=

sup ( )
r
B
xI
hhx
Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 40
Định nghĩa 2.2: Tập hợp ⊂

(, )
r
KBI gọi là đồng liên tục tại từng điểm trên I nếu
(0, , (,))
x
x
Ix
ε
δδε
∀> ∀∈ ∃ = sao cho

((,) () () , )

r
x
dxy hx hy h K
δε
<⇒ − <∀∈


Tập hợp
⊂ (, )
r
KBI gọi là đồng bị chặn tại từng điểm trên I nếu
(, 0)
x
xIM
∀
∈∃ >

sao cho
(() , )
r
x
hx M h K≤∀∈


Tiếp theo, ta sẽ phát biểu một tiêu chuẩn compact tương đối trong

(, )
r
BI . Tiêu chuẩn
này đã được chứng minh trong [5] (xem [5], định lý 2.2).

Định lý 2.2 (Tiêu chuẩn compact tương đối trong

(, )
r
BI
: Cho tập
⊂ (, )
r
KBI
thỏa
các điều kiện :
(i) K đồng liên tục tại từng điểm trên I
(ii) K đồng bị chặn từng điểm trên I
Khi ấy K là tập compact tương đối trong

(, )
r
BI .
Ta sẽ dùng tiêu chuẩn này để khảo sát bài toán ước lượng tham ẩn
θ
∈Θ⊂
r
. Mặt khác
tiêu chuẩn này khá giống tiêu chuẩn compact tương đối của Ascoli-Arzela, tức là tiêu chuẩn
compact tương đối cho lớp hàm đồng liên tục và đồng bị chặn trong không gian các hàm liên
tục
(, )
r
CI .
Để chứng tỏ rằng tiêu chuẩn compact tương đối này là một mở rộng đáng kể của tiêu

chuẩn Ascoli-Arzela, ta phải xậy dựng một lớp hàm K gồm các hàm đo được, bị chặn nhưng
không liên tục và tạo thành một tập compact tương đối trong không gian Banach
(, )
r
BI .
Định lý sau đây sẽ chỉ ra sự kiện đó cho tập
⊂

1
(, )KBI , với
1
I ⊂

(xem [7], bài tập
576).
Định lý 2.3 (Về một tập compact tương đối trong

1
(, )BI ): Cho tập compact [0,1]I = .
Xét các tập hợp thuộc I có dạng:
Xét tập
{
}
:1
n
Kfn=≥, trong đó

1
0
n

n
c
n
x
E
f
x
E
∈
⎧
⎪
=
⎨
∈
⎪
⎩

với
1
2
1
212
,
22
n
n
nn
i
ii
E

−
=
−
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
U
và
1
21
0
221
,
22
n
c
n
nn
i
ii
E
−
−
=
+
⎡
⎤
=
⎢

⎥
⎣
⎦
U

Khi ấy K là tập compact tương đối trong không gian Banach
= 
1
() (, )BI BI
Chứng minh: Trước hết, ta thấy
2211
222
n
nn n
ii
diamE
−
=− = và

212 1
222
n
nnn
ii
diamE
+
=−=

Ta chứng tỏ rằng K thỏa các tính chất của định lý 2.2.
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007

Trang 41
Thật vậy, lấy
n
x
E∈
. Ta thấy
i
∃
sao cho
212
,
22
nn
ii
x
−
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Lúc đó,
0
ε
∀>, ta chọn
1
(,)

2
x
n
x
δδε
=<.
Khi ấy với
(, )
x
dxy
δ
<
, ta có
1
(, )
2
n
dxy<
. Suy ra
212
,
22
n
nn
ii
yE
−
⎡⎤
∈
∈

⎢⎥
⎣⎦

Do đó
() () 1
nn
fx fy==. Nên () () ,
nn n
f
xfy fK
ε
−
<∀∈.
Mặt khác, lấy
c
n
x
E∈
. Ta thấy i
∃
sao cho
221
,
22
nn
ii
x
−
⎡
⎞

∈
⎟
⎢
⎣
⎠
.
Lúc đó
0
ε
∀>, ta chọn
1
(,)
2
x
n
x
δδε
=<
Khi ấy với
(, )
x
dxy
δ
< , ta có
1
(, )
2
n
dxy<

Suy ra
221
,
22
c
n
nn
ii
yE
−
⎡⎞
∈∈
⎟
⎢
⎣⎠

Do vậy
() () 0
nn
fx fy
=
= . Nên
() () ,
nn n
f
xfy fK
ε
−
<∀∈
.

Từ đây suy ra K là họ hàm đồng liên tục tại từng điểm trên I. Hơn nữa
() 1,
nn
f
xfK≤∀∈ , vậy K là họ hàm đồng bị chặn tại từng điểm trên I. Nên, theo định lý 2.2,
K là tập compact tương đối trong không gian Banach
1
() (, )
B
IBIR= và định lý 2.1 được
chứng minh.
Cũng theo cách xây dựng này thì
n
f
là các hàm gián đoạn trên [0,1]I
=
. Vậy ta đã xây
dựng được một lớp hàm đo được, bị chặn, không liên tục trên I và tạo thành một lớp compact
tương đối trong không gian Banach
1
() (, )
B
IBIR= .
Như vậy tiêu chuẩn compact trong định lý 2.2 là một mở rộng đáng kể của tiêu chuẩn
compact tương đối Ascoli – Arzela( Về lớp hàm K, xem thêm phần phụ lục).
Trong mục 3 tiếp theo, ta sẽ dùng tiêu chuẩn compact tương đối trong định lý 2.2 để giải
quyết một bài toán ước lượng tham ẩn thống kê.
3.ƯỚC LƯỢNG BAYES TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Ta trở lại mô hình thống kê phi tuyến đã xét trong mục 2.
()

X
ϕ
θε
=
+
Ta sẽ sử dụng khái niệm như hàm tổn thất
((), )Lhx
θ
, hàm mạo hiểm ()h
ψ
, phân phối
tiên nghiệm
()d
τ
θ
, ước lượng Bayes v.v…đã trình bày trong các định nghĩa 3.3, 3.4 trong [5].
Tương tự như định lý 3.2 trong [5], ta có định lý tồn tại ước lượng Bayes như sau:
Định lý 3.1: Giả sử
(, )
r
K
BIR⊂ là tập các ước lượng của tham ẩn
r
R
θ
∈Θ⊂ thỏa các
điều kiện:
Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 42

(i) () ,hI h K⊂Θ∀ ∈
(ii) K đồng liên tục tại từng điểm trên I
(iii) Hàm tổn thất
(,)
L
y
θ
thỏa điều kiện Lipshitz, tức là :

2
0: ( , ) ( , ) , , ,
r
R
CLyLy Cyy yyR
θθ θ
′′′ ′′′′′′
∃> − ≤ − ∀ ∈ ∀∈Θ

Khi ấy K là tập compact tương đối trong
(, )
r
B
IR và trong lớp ước lượng
K
, tồn tại ước
lượng Bayes
Tiếp theo, ta xét bài toán xấp xỉ ước lượng Bayes trong mô hình thống kê phi tuyến
2_chiều có dạng như sau:
()
X

ϕ
θε
=
+
Trong đó:
I: Tập compact thuộc

2

X: Đại lượng quan trắc ngẫu nhiên có tập trị là
⊂

2
I


Θ
: Tập compact thuộc 
2


θ
: Tham ẩn định vị,
θ
∈Θ

ϕ
: Hàm phi tuyến cho trước,
ϕ
Θ→


2
: .
C(I): Tập các hàm liên tục xác định trên
⊂

2
I
và có trị trong

r

Tương tự như định lý 2.2 trong [4], ta có định lý xấp xỉ ước lượng Bayes của tham ẩn định
vị
θ
∈Θtrong mô hình phi tuyến 2_chiều như sau.
Định lý 3.2: Cho K là tập các ước lượng của tham ẩn định vị
θ
∈
Θ thỏa các điều kiện
của định lý 3.1.
Giả sử
:() , ,Cfx CxI
θ
θ
′′
∃≤∀∈∀∈Θ

Khi ấy có thể xây dựng được một đa thức 2 biến xấp xỉ ước lượng Bayes
ˆ

h
của tham ẩn
θ
∈Θ⊂
r

Trong [5] đã chỉ ra đa thức ấy có dạng
,12
(, )
nma
P
xx
+
, với số bậc
()()(,)nm nmh
ε
+=+ và với hệ số
12
( , , , )
r
aaa a= , trong đó

ˆˆ
(( 1) ( 1)), 1,
jj
ks
aaMn m j r=∈ +×+∀=.
Nhắc lại rằng, ta kí hiệu
(( 1) ( 1))Mn m
+

×+ là tập hợp tất cả các ma trận có (1)n + hàng
và
(1)m + cột.
Cũng chú ý rằng số bậc
ˆ
()()(,)
nm nmh
ε
+=+ nên số bậc ấy phụ thuộc vào
ˆ
hK∈
. Mặt
khác, theo định nghĩa của hàm mạo hiểm
ψ
, ta thấy
,
()
nma
P
ψ
+
chỉ phụ thuộc vào hệ số
()
1
r
jj
j
aa
=
= , với

ˆˆ
(( 1) ( 1))
jj
ks
aaMn m=∈ +×+. Điều này có nghĩa,
(
)
,
1
,!( )
r
j
nma
j
aa P
ψ
+
+
=
∀= ∃ ∈
. Do đó tồn tại hàm nhiều biến

[
]
:((1)(1))
r
FMn m
+
+× + →


sao cho
,
() ( )
nma
Fa P
ψ
+
=

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 43
Do vậy, với
hK
′
∈
và
ˆ
hh
′
≠
sẽ tồn tại
()()(,)nm nmh
ε
′
′′′′
+
=+
. Từ đây suy ra tồn tại
ánh xạ
[

]
:((1)( 1))
r
FMn m
+
′′
+× + →

được xác định bởi
,
() ( )
nma
Fa P
ψ
′′
+
=
.
Như vậy số bậc n + m không được xác định duy nhất và do đó hàm F không được xác định
trên cùng một không gian
[
]
(( 1) ( 1))
r
Mn m+× +
. Điều này gây khó khăn cho việc xây dựng
đa thức xấp xỉ
,( )nmanm
P
++

.
Tuy nhiên, do tính compact của tập
K
, điều khó khăn này có thể vượt qua bởi định lý sau.
Định lý 3.3: Cho tập compact
()
K
BI⊂ và
0
ε
>
như trong định lý 3.2. Khi ấy tồn tại
duy nhất
,nm∈∈ và đa thức tương ứng
,nma
P
+
sao cho:

,
() ( ) ,
mna
hP hK
ψψ ε
+
−<∀∈

Chứng minh: Vì
K
compact, nên 0

ε
∀
> , tồn tại hữu hạn
12
, , ,
q
hh h K
∈
sao cho:
1
(, )
2. .
q
j
j
KBh
CC
ε
=
⊂
′
U
, trong đó ,CC
′
: là hằng số được xác định theo các định lý 3.1 và 3.2.
Tiếp theo, ta xét các điểm
12
, , ,
q
hh h K

∈
.
Trước hết với
1
h , theo định lý 3.2, tồn tại
11
,nm
∈
∈

 và đa thức tương ứng
11 11
,( ) 1 2
(, )
nmanm
P
xx
++
có bậc
11 111
()()(,)nm nmh
ε
+=+ và có hệ số
[
]
11 1 1
(, ) (( 1)( 1))
r
an m M n m∈+×+
sao cho

11 11
1,()
() ( )
nmanm
hP
ψ
ψε
++
−
< .
Lập luận tương tự cho các
j
h còn lại, cuối cùng ta thấy, với
q
h , theo định lý 3.2, tồn tại
,
qq
nm∈∈ và đa thức tương ứng
,( , )
qq qq
nmanm
P
+
có số bậc
()()(,)
qq qqq
nm nmh
ε
+=+ và có hệ số
(, ) (( 1)( 1))

r
qq q q
an m M n m
⎡
⎤
∈+×+
⎣
⎦
sao cho
,( )
() ( )
qq qq
qnmanm
hP
ψ
ψε
++
−
<
Đặt
11
max( ), max( )
jj
jq jq
nnmm
≤≤ ≤≤
==
Khi ấy, ta tìm được đa thức
,(, )nmanm
P

+
có bậc n + m và có hệ số
[
]
(, ) (( 1) ( 1))
r
anm M n m∈+×+sao cho
,(, )
() ( ) ,
mnanm
hP hK
ψψ ε
+
−
<∀∈

Thật vậy, lấy
ˆ
hK
∈
. Vì
1
(, )
2.
q
j
j
KBh
CC
ε

=
⊂
′
U
, nên tồn tại chỉ số j sao cho:
()
ˆ
2.
j
BI
hh
CC
ε
−<
′

Do đó:
ˆˆ
() ( ) ((),) ( (),) () ( )( )
jj
I
hh Lhx Lhxfxdxd
θ
ψ
ψθθμτθ
Θ
−≤ −
∫∫

Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 44
()
ˆ
() () () ( )( )
ˆ
() ( )( )
2
r
j
I
R
j
I
BI
Chx h x f x dx d
Ch h f x dx d
θ
θ
μ
τθ
ε
μτθ
Θ
Θ
≤−
=− <
∫∫
∫∫

Vậy
ˆ
() ( )
2
j
hh
ε
ψψ
−<

Mặt khác, với
()
j
hBI∈ như trên, theo định lý 3.2, tồn tại hàm ()
j
g
CI
∈
sao cho
ε
ψψ
−
<
ˆ
() ()
4
jj
hg

với hàm

j
g
này, sẽ tồn tại các số nguyên dương
,
jj
nm
và đa thức tương ứng với chúng là
jj
nm
P
+
có bậc
jj
nm+ và có hệ số (, ) (( 1)( 1))
r
jj j j
an m M n m
⎡
⎤
∈+×+
⎣
⎦
sao cho
,( , )
()
4.
jj jj
jnmanm
CI
gP

CC
ε
+
−<
′

Suy ra:

θ
θ
ψ
ψθθμτθ
μτθ
++
Θ
+
Θ
−≤ −
≤−
∫∫
∫∫
,( , ) 1 2 ,( , ) 1 2
()
() ( ) ((,),) ( (,),) ()()()
()( )( )
j j jj j j jj
jj
j n manm j n manm
I
jnm

CI
I
g P Lgxx LP xx f x dx d
Cg P f x dx d

Tiếp theo, vì
11
max( ), max( )
jj
jq jq
nnmm
≤≤ ≤≤
==, nên ta xây dựng được đa thức
,(, )nmanm
P
+
có
bậc m + n và có hệ số
[
]
(, ) (( 1) ( 1))
r
anm M n m∈+×+ thỏa tính chất sau:
11
,(,) 1 2 ,(,) 1 2 1 2 1 2 ,(,) 1 2
( , ) ( , ) 0. . 0. . ( , )
jj
jj jj jj jj
nm
nm

n manm n m an m n m an m
P
xx P xx x x xx P xx
++
++ +
=+++=
Khi ấy:
12 ,(,)12 12 ,(,)12
(,) (,) (,) (,)
jj jj
jnmanm jnmanm
g
xx P xx g xx P xx
++
−=−
Do đó:
12 ,(,)12 12 ,(,)12
()
()
(, ) (, ) (, ) (, )
jj jj
jnmanm jnmanm
CI
CI
gxx P xx gxx P xx
++
−=−
Suy ra:
12 ,(,)12
()

(, ) (, )
4.
jnmanm
CI
gxx P xx
CC
ε
+
−<
′

Vậy nên:
ε
ψψ
+
−<
,(, )
() ( )
2
jnmanm
gP
Cuối cùng:
,(, )
ˆ
() ( ) ,
nmanm
hP hK
ψψ ε
+
−<∀∈

và định lý chứng minh xong.






TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 45
ON THE BAYESIAN ESTIMATORS IN A BANACH SPACE
Ung Ngoc Quang
University of Natural Sciences, VNU – HCM
ABSTRACT: In this paper, we prove existence of Bayesian estimators in a class
bounded measurable and noncontiguous functions. We investigated an approximation for the
Bayesian estimators in the 2_dimensional nonlinear models.
Keywords: Relatively compact criterion, nonlinear statistical models, Bayesian
estimators.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. P.M. Lee, Bayesian statistics, Oxford University Press (2004).
[2]. P. Condon, Bayesian statistical modeling, John Wiley (2005).
[3]. Ung Ngoc Quang, On the existence of Bayesian estimates in nonlinear statistical
models with compact parameter space, Acta. Math. Vietnamica, Vol.19, No.2, 149 –
160 (1994).
[4]. Ung Ngọc Quang, Xấp xỉ ước lượng Bayes trong mô hình hồi quy phi tuyến 2_chiều,
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ, Tập 8, số 11 (2005), 5-15.
[5]. Ung Ngọc Quang, Về tiêu chuẩn compact tương đối trong không gian hàm và ứng
dụng trong cấu trúc thống kê, Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ, T
ập 9, số 9
(2006), 5-16.
[6]. R.Meise, D.Vogt, Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, (1997).

[7]. Yu.S.Otran, Bài tập lý thuyết hàm số, biến số thực, NXB Đại học, Hà Nội, (1979).
PHỤ LỤC
Trong phụ lục này, ta mô tả và biểu thị bằng hình vẽ hàm đo được, bị chặn, không liên tục
đã được khảo sát trong định lý 2.3
Xét đoạn I = [0,1]. Ta đặt
11
11
,1 , 0,
22
c
EE
⎡
⎤⎡⎞
==
⎟
⎢⎥ ⎢
⎣
⎦⎣⎠

Lúc đó
1
1
1
1
()
0
c
x
E
fx

x
E
∈
⎧
=
⎨
∈
⎩

Đặt
21 21
221
22
22 22
10
12 34 2 12 1 23 2 2 1
,, ,;0,, ,
44 44 2 2 4 44 2 2
c
ii
ii ii
EE
− −
−
==
−
+
⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎞⎡⎞ ⎡ ⎞
=∪= =∪=
⎟⎟ ⎟

⎢⎥⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢
⎣⎦⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎠⎣⎠ ⎣ ⎠
UU

Lúc đó
2
2
2
1
()
0
c
x
E
fx
x
E
∈
⎧
=
⎨
∈
⎩




Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 46

Đặt

31
31
2
3
33 33 33 33 3 3
1
21
3
3333333 33
0
12 34 56 78 212
,,,, ,
22 22 22 22 2 2
1234567 221
0, , , , ,
2222222 22
i
c
i
ii
E
ii
E
−
−
=
−
=

−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤
=∪∪∪=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦
+
⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡ ⎞
=∪ ∪ ∪ =
⎟⎟⎟⎟ ⎟
⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣ ⎠
U
U

Lúc đó
3
3
3
1
()
0
c
x
E
fx
x
E
∈
⎧
⎪

=
⎨
∈
⎪
⎩

Đặt
41
4
44 44 44 44 44
2
33 44 44 4 4
1
12 34 56 78 910
,,,,,
22 22 22 22 22
11 12 13 14 15 16 2 1 2
,,, ,
22 22 22 2 2
i
E
ii
−
=
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=∪∪∪∪∪
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤

∪∪∪ =
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦
U

41
4
444444444
21
44 44 44 4 4
0
123456789
0,,,,,
222222222
10 11 12 13 14 15 2 2 1
,,, ,
22 22 22 2 2
c
i
E
ii
−
−
=
⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡⎞
=∪∪∪∪∪
⎟⎟⎟⎟⎟
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣⎠
+

⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡ ⎞
∪∪∪=
⎟⎟⎟ ⎟
⎢⎢⎢ ⎢
⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣ ⎠
U


Lúc đó
4
4
4
1
()
0
c
x
E
fx
x
E
∈
⎧
=
⎨
∈
⎩

Các hình vẽ:

1







0
0.5 1
Hình 1 (cho hàm
1
()
f
x )




TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 47




1

0
1/4 2/4 3/4 1
Hình 2.(cho hàm
2
()
f
x )






1







0
1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1

Hình 3 (cho hàm
3
()
f
x )