Báo cáo nghiên cứu khoa học: " VỀ MỘT VÀI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG" ppsx

Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 20
VỀ MỘT VÀI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG
Tô Anh Dũng
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
(Bài nhận ngày 03 tháng 02 năm 2007)
TÓM TẮT: Bài báo trình bày một vài định lý về điều kiện cần và đủ của định lý giới
hạn địa phương cho dãy các véctơ ngẫu nhiên với phân phối giới hạn bất kỳ và định lý giới
hạn địa phương của các hiệu.
Từ khóa: Định lý giới hạn địa phương, định lý giới hạn địa phương của các hiệu.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Các định lý giới hạn địa phương với điều kiện cần và đủ cho phân phối giới hạn bất kỳ
một chiều là một lớp bài toán đóng một vai trò không nhỏ trong lý thuyết xác suất và thống kê
toán. Tuy nhiên trong thực tế ngoài các biến ngẫu nhiên một chiều, còn gặp các biến nhiều
chiều. Vì vậy mục tiêu của bài báo này là mở rộng các định lý trên cho các không gian hữu
hạn chiều. Ngoài ra, bài báo còn xét một dạng định lý gi
ới hạn địa phương khác, đó là định lý
giới hạn địa phương của các hiệu trên các không gian nhiều chiều.
Trong bài báo này chúng ta sử dụng một số ký hiệu truyền thống sau:
 - Tập hợp các số nguyên
 - Tập hợp các số thực

S
- Không gian véctơ s-chiều với thành phần là các số nguyên

S
- Không gian véctơ s-chiều với thành phần là các số thực
2. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN VÉCTƠ S-CHIỀU
2.1 Định lý giới hạn địa phương cổ điển
Trước hết ta đưa ra hai định lý giới hạn địa phương đã được xét trong [4]. Ký hiệu

1

nn
SX X=++ là tổng các biến ngẫu nhiên
1
, ,
n
XX,
1
() sup ( ) ( ),
nn n
m
rPSmrPSmr
∈
Δ= =+− = ∈


,
2
() sup ( ) ()
∈
Δ= +−

nnn
r
rpxrpx
,
()
n
p

x
là hàm mật độ của
n
S
,
∈

x
.
Định lý 2.1.1 Giả sử
n
S ∈ và tồn tại dãy
n
A
∈

và
n
b
∈

(
n
b →∞) sao cho khi
n →∞

()
nn
n
SA

PxFx
b
⎛⎞
−
≤→
⎜⎟
⎝⎠
, (1)
trong đó
()Fx
là hàm phân phối với hàm mật độ
()
p
x
liên tục đều trong  . Khi đó để
, 1,2,
k
Xk= thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 21

11
()
n
n
nn n
mA
PS m p o
bb b
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞

−
== +
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠
(2)
đều theo
m ∈ , điều kiện cần và đủ là
11
() ( )
nn n
rob
−
Δ= với mọi dãy
n
r ∈ mà
()
nn
rob=
.Định lý sau cho trường hợp liên tục.
Định lí 2.1.2 Giả sử (1) thỏa mãn. Để
, 1,2,
k
Xk
=
thỏa định lý giới hạn địa phương,
nghĩa là

(
)
()

nn n n
bp A bx px+→
(3)
đều theo
x
, điều kiện cần và đủ là từ n nào đó tồn tại hàm mật độ ()
n
p
x và
21
() ( )
nn n
vob
−
Δ=
với mọi dãy
n
v
∈

mà ()
nn
vob
=
.

Việc nới rộng hai định lý trên cần các ký hiệu:
1

nn

SX X=++
là tổng các véc tơ ngẫu nhiên
1
, ,
n
XX
,
1
() sup ( ) ( ),
S
S
nn n
m
r PSmrPSmr
∈
Δ= =+− = ∈


,
2
() sup ( ) ()
S
nnn
r
rpxrpx
∈
Δ= +−

, ()
n

p
x là hàm mật độ của S
n
,
S
x ∈  ,
1/2
2
1
S
i
i
xx
=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑
, trong đó
1
( , , )
S
x
xx
=
.
Định lý 2.1.1’ Giả sử
S
n

S ∈
và tồn tại dãy
S
n
A ∈

và
n
b
∈

(
n
b →∞) sao cho
khi
n →∞

()
nn
n
SA
PxFx
b
⎛⎞
−
≤→
⎜⎟
⎝⎠
, (1’)
trong đó

()Fx là hàm phân phối với hàm mật độ ()
p
x liên tục đều trong
S
 . Khi đó để
, 1,2,
k
Xk= thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

11
()
n
n
SS
nn n
mA
PS m p o
bb b
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞
−
== +
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠
(2’)
đều theo
S
m ∈ điều kiện cần và đủ là
1
() ( )
S

nn n
rob
−
Δ= với mọi dãy
S
n
r ∈ mà
()
nn
rob= .
Định lí 2.1.2’ Giả sử (1’) thỏa mãn. Để
, 1,2,
k
Xk=
thỏa định lý giới hạn địa phương,
nghĩa là

(
)
()
S
nn n n
bp A bx px+→ (3’)
Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 22
đều theo
x
, điều kiện cần và đủ là từ n nào đó tồn tại hàm mật độ
()

n
p
x
và
2
() ( )
S
nn n
vob
−
Δ= với mọi dãy
S
n
v ∈

mà ()
nn
vob
=
.
2.2.Định lý giới hạn địa phương của các hiệu
Ta ký hiệu
V là định thức của ma trận V ,
()
k
X
ft
là hàm đặc trưng của X
k
,

()
n
ft là hàm đặc trưng của S
n
.
Định lý 2.2.1 Giả sử
∈
S
k
X có cùng phân phối với bước cực đại bằng một, có mômen
bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy biến, khi đó

()
Δ exp
n
SS S
manr
rm m an m an
n
nn
θ
π
−
−
+ +
−
⎧⎫
=−−−+
⎨⎬
⎩⎭

V
V
V
1
11
2 2
22 2
(( ),) 1
(, ) ( ),( )
2
(2 )
(4)
trong đó,
k
aEX= ()
,
CFr
θ
≤<∞(,)
, F là phân phối của X
k
.
Hệ quả 2.2.1 Giả sử
∈
S
k
X có cùng phân phối với bước cực đại bằng một với kỳ vọng
bằng không, có mômen bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy biến. Khi đó
với mọi hằng số r và m

1
Δ
+
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
2
2
(, )
S
n
rm O n
(5)
Nhận xét 2.2.1 Biểu thức (5) không đều theo m. Hơn nữa theo (4), tồn tại C(F, r) và
n
m
sao cho
1
Δ
+
−
=
2
2
(, ) ( , )
S
nn
rm CF rn

Nhận xét 2.2.2 Với điều kiện của định lý 2.2.1 định lý giới hạn địa phương thỏa mãn,
thậm chí với một đánh giá của số dư, tuy nhiên để nhận được (4) từ định lý giới hạn địa
phương là không thể ( cần đòi hỏi tồn tại mômen bậc cao hơn để có được đánh giá số dư tốt
hơn).
Định lý sau xét trường hợp liên t
ục.
Định lý 2.2.2 Giả sử
∈
S
k
X có cùng phân phối và với n
0
nào đó tồn tại hàm mật độ bị
chặn
n
p
x
0
(), ngoài ra có mômen bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy
biến, khi đó

()
Δ exp
n
SS S
xanr
rx x an x an
n
nn
θ

π
−
−
++
−
⎧⎫
=−−−+
⎨⎬
⎩⎭
V
V
V
1
21
22
22 2
(( ),) 1
(, ) ( ),( )
2
(2 )
(6)
trong đó,
k
aEX= () , CFr
θ
≤<∞(,) , F là phân phối của X
k
.

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 23
2.3 Chứng minh
1) Chứng minh định lý 2.1.2’ : Ta ký hiệu
F
n
(x) – hàm phân phối của S
n
,

sup ( ) ( )
S
nnnn
x
FA bx Fx
ε
∈
=+−

,

S
nn n
ν
νν
=
1
( , , )
,

2
, 1,2, ,
i
S
nnn
bi S
ν
ε
⎡⎤
==
⎣⎦


ab[,] là hình chữ nhật s-chiều.
Đủ: Từ điều kiện (1’) ta có
n
ε
→ 0
, từ đó
nn
ob
ν
= ()
. Hơn nữa,
1
[, ] [, ]
() ( ) () [( ) ()]
nn nn n nn nn n
SS S S
n nnn n n n n nn n n

uAbxAbx uAbxAbx
bpAbxb pudub pAbxpudu
νν
ν
−
∈+ ++ ∈+ ++
+= + +− =
∫∫


Δ
11
1

() ( ) ( ) ( )
nn
SS S
nnn n
Fx O b ob
νν
εν
−
=++

11
() () ()()(1)
SS
nn nn
p
xO o

νεν
=++

ở đây,
[, ]
nn
x
xx
ν
∈+
và Δ
1

()
n
hh
Fx là hiệu bậc k của F(x) theo các thành phần của véctơ x
với các số gia h
1
, …, h
n
.
Từ đó, do
()
p
x liên tục đều, ta có
()()(1)()(1)
S
nn n n n
bp A bx px o px o+= +=+

Nghĩa là ta nhận được (3’).
Cần: Giả sử ta có (3’), khi đó

Δ
2
()sup ( ) ()
S
nn nn n
x
p
xpx
νν
∈
=+−



sup ( )
S
SS
nn n
nn
x
nn
xA xA
bp p ob
bb
ν
−−

∈
⎛⎞⎛⎞
+− −
=−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠



()
S
n
ob
−
=
vì
()
p
x liên tục tuyệt đối và 0
n
n
b
ν
→ . Định lý chứng minh xong.


2) Chứng minh định lý 2.2.1
Từ công thức biến đổi ta có
Ω
Ω

Δ
1(,)(,)
(,) ( ,)
(,) ( ,)
1
(, ) ( ) ()
(2 )
1
()()
(2 )
1
()()
(2 )
imt im rt
nn
S
imt im rt
n
S
t
imt im rt
n
S
rm e e f tdt
ee ftdt
ee ftdt
δ
π
π
π

−−+
−−+
≤
−−+
′
=−
=−+
+−
∫
∫
∫

Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 24

12
1
[]
(2 )
S
J
J
π
=+ (7)
trong đó,

Ω {
Ω {
1

1
( , , ): , 1, , }
( , , ): , 1, , ; }
Si
Si
tt tt i s
tt tt i st
δ
δ
δ
== ≤ =
′
== ≤ = >

Vì ma trận
V xác định dương nên có thể chọn
δ
sao cho cầu {}t
δ
≤
nằm trong
elipxoid:
23/2
1/ 2
3
1
[(, )]
:( , ) sup
(, )
S

k
t
k
EtX a
ttt
EtX a
=
⎧⎫
−
⎪⎪
∈≤
⎨⎬
−
⎪⎪
⎩⎭
V

Và với
δ
đó, sử dụng định lý 8.4 của [2] ta nhận được

(,) (,)
(,) ( ,)
2
1
(,) ( ,) 3/2 3/2 ( ,)
3,
()
()(,)
n

an t t t
imt im rt
t
imt im rt Cn tt
n
t
Jee e dt
ee nttedt
δ
δ
θ
−−
−−+
≤
−−+ −
≤
=− +
+−
∫
∫
V
V
Vl


11 12
J
J=+
(8)
trong đó,

,
j
n
l là phân số Liapunov:
(
)
1
(2)/2
1
,
/2
1
12
1
(, )
sup , ( 2)
(, )
n
j
k
j
k
jn
j
n
t
k
k
nEtXa
nj

nEtXa
−
−−
=
=
−
=
−
=×≥
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
∑
∑
l
Ta có

(,) (,)
(,) ( ,)
2
11
()
S
n
an t t t
imt im rt
J
ee e dt
−−

−−+
=− −
∫
V




(,) (,)
(,) ( ,)
2
()
n
an t t t
imt im rt
t
ee e dt
δ
−−
−−+
>
−− =
∫
V
11 11
J
J
′
′′
+

(9)



Theo công thức biến đổi ta có
()()
11
/2
(),() ( ),( )
22
11
/2
(2 )
S
man man mran mran
nn
S
Je e
n
π
−−−−+−+−
⎛⎞
′
=−
⎜⎟
⎝⎠
-1 -1
VV
V

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 25
Từ đó, sử dụng khai triển Taylor tại điểm m , nhận được

(
)
()
1
2
(),()
2
2
11
2
/2
2
(),
(2 )
S
man man
n
S
S
manr
JeOn

n
π
+
−−−
−
+
−
⎛⎞
′
=+
⎜⎟
⎝⎠
-1
-1
V
V
V
(10)
Tiếp theo,

(,) ( ,) (,)
244
11
nnn
tt t t tt
tt
J
Ce dtCe e dt
δδ
′′

−−−
>>
′′
≤=
∫∫
VVV

trong đó,
{
}
:
S
tt t
δ
′
∈∈ >
 và ()CCF
=
.
Chú ý rằng, nếu
*
α
là giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận V , thì giá trị nhỏ nhất của dạng
toàn phương
(,)ttV
với điều kiện
t
δ
=
sẽ là

*
0
δ
α
≠
. Vì vậy

4
(,)
(,)
44
11
/2
2
SS
n
nn
S
tt
tt
S
Ce
J
Ce e dt e dt
n
δα
δα
−
−−
−

′′
≤=
∫∫
V
V

*
*

Do
V
đối xứng, không suy biến nên tồn tại ma trận Q sao cho
′
=
QVQ K
, trong đó K là
ma trận đường chéo, tạo thành từ các giá trị riêng
i
α
của ma trận
V
. Để tính tích phân cuối
cùng, ta đổi biến với
tCx=
:
2
/2 /2
(,)
1
1

ii
S
SS
S
x
tt
i
i
S
edt edx
α
ππ
αα
∞
−
−
=
−∞
===
∏
∫∫
V

V

trong đó
1
( , , )
S

x
xx=
.
Như vậy,
11
/2
Cn
S
Ce
J
n
−
′′
≤

và từ đó nhận được

2
2
11
S
Jon
+
−
⎛⎞
′′
=
⎜⎟
⎝⎠
(11)

Bây giờ ta đánh giá
12
J


(,) ( ,) 3/2 3/2 ( ,)
12 3,
(,)
imt im rt Cn tt
n
t
J
ee ntte dt
δ
θ
−−+ −
≤
=− ≤
∫
V
Vl

3/ 2
3/ 2 ( , )
1/2
(, ) ( ,)
S
Cn t t
n
Crt tte dt

n
θ
−
≤=
∫
V
V


Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 26

2
2
3/ 2 ( , )
2
2
3/ 2
2
2
4
2
2
(, )( , )
(,)
S
S
S
Cuu

S
Cu
S
Cu
S
C
ru uu e du
n
C
ru uu e du
n
C
ruedu
n
α
α
θ
θ
θ
α
−
+
−
+
−
+
=≤
≤≤
≤≤
∫

∫
∫
V
V
V



*
*
*


2
2
(,)
S
CFr
n
+
≤ (12)
trong đó
*
α
là giá trị riêng lớn nhất của ma trận V .
Cuối cùng
Ω
2
()
n

J
Cftdt
′
≤
∫

Vì
1
X
là véctơ ngẫu nhiên với thành phần nguyên với bước cực đại bằng một nên
Ω() 1,ft t
′
<
∈
ở đây
()ft hàm đặc trưng của X
1.
Do vậy
Ω
sup ( ) , ( , ) 1
n
n
t
ft a a aF
δ
′
∈
=
=<
Từ đó nhận được

2
(2 )
SS
J
a
π
≤ . Như vậy

2
2
2
S
Jon
+
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(13)
Còn lại, thay (10), (11) vào (9) ; thay (9), (12) vào (8). Và từ (8), (13) và (7) suy ra (4).
Định lý 2.2.1 được chứng minh xong.


3) Chứng minh hệ quả 2.2.1
Theo định lý 2.2.1, do a = 0 ta có
()
Δ exp
2
1

11
2
22
22 2
(,) 1
(, ) ,
2
(2 )
S
n
SS S
mr
rm mm O n
n
nn
θ
π
+
−
−
−
++
⎛⎞
⎧⎫
=−+=
⎨⎬
⎜⎟
⎩⎭
⎝⎠
V

V
V

Chứng minh xong.



4) Chứng minh định lý 2.2.2
Từ điều kiện bị chặn của hàm mật độ
0
()
n
p
x suy ra hàm đặc trưng
0
()
n
ft khả tích tuyệt
đối, nghĩa là có công thức biến đổi cho
0
2nn≥ . Vì vậy,
Δ
π
−−+
=−
∫
2(,)(,)
1
(, ) ( ) ( )
(2 )

ixt ix rt
nn
S
rx e e f xdt
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 27

(,) ( ,) (,) ( ,)
1
()()( )()
(2 )
xt ix rt ixt ix rt
nn
S
tt
ee ftdt e e ftdt
δδ
π
−−+ − −+
≤>
⎡⎤
=−+−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫


12
1

[]
(2 )
S
J
J
π
=+ (14)

trong đó,
δ
được xác định trong chứng minh định lý 2.2.1 và tương tự ta nhận được

()
exp
1
1
1
22
22 2
(( ),) 1
(),()
2
(2 )
SS S
xanr
Jxanxan
n
nn
θ
π

−
−
++
−
⎧⎫
=−−−+
⎨⎬
⎩⎭
V
V
V
(15)
ở đây
(,)CFr
θ
≤<∞.
Ta xét J
2

2 12
() () () [ ]
nnn
ttHtH
J
C ftdt C ftdt ftdt CI I
δδ
><≤>
⎡⎤
≤= + =+
⎢⎥

⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
(16)
Ta có
1
12
21
() ()
k
n
Xn
kn
tH
I
ft ftdt
δ
=+
<≤
′
=
∏
∫
, trong đó
{
}
:
S
tt tH
δ

∈∈ < ≤ . Theo bổ
đề 2 [3]
1
1
1
21
22
() exp 2( 2 ) inf ( , )
k
n
X
H
d
kn
ft n n Xd
δ
ππ
Λ
≤≤
=+
⎧
⎫
⎪
⎪
′
≤−−
⎨
⎬
⎪
⎪

⎩⎭
∏


1
21
() ( , , )
n
tH
ftdtCFH
δ
δ
<≤
=
<∞
∫

và
1
22
inf ( , ) 0
H
d
X
dC
δ
ππ
Λ
≤≤
′

≥>
trong đó
1
2
(,)inf ( , (),
S
S
S
k
a
Xd x ad Pdx d
Λ
∈
=<−> ∈
∫



(xem [5]). Và
α
<
> là khoảng
cách từ số nguyên gần nhất đến
α
.
Vì vậy
11 1
exp{ 2( 2 ) }
I
CnnC

′
≤−− hay

2
2
1
S
Ion
+
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(17)
Tiếp theo ta có
1
1
22
21
() ()
k
n
Xn
kn
tH
I
ft f tdt
=+
≥

′′
=
∏
∫

trong đó
{
}
:
S
tt tH
′′
∈∈ ≥ . Và
Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 28
{
}
1
11
/2
21
() exp 2( 2 ) inf ( ,)
k
n
X
dH
kn
ft n n Xd
π

Λ
≥
=+
′′
≤−−
∏


1
2
inf ( , )
H
d
X
dC
π
Λ
≥
′
′
≥
( với H nào đó đủ lớn)
Vậy

2
2
2
S
Ion
+

−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(18)
Cuối cùng, từ (14) – (18) suy ra (6). Định lý 2.2.2 được chứng minh xong.


3. KẾT LUẬN
Bài báo có thể phát triển theo một số hướng sau:
- Nới rộng các định lí trên ra trường hợp vô hạn chiều.
- Xem xét ứng dụng các định lí trên trong các mô hình thống kê phi tuyến.
ON SOME LOCAL LIMIT THEOREMS
To Anh Dung
University of natural sciences, VNU-HCM
ABSTRACT: In this paper, the theorems of necessary and sufficient conditions of local
limit theorem for random vectors with any limit distribution and local limit theorems of
differences are considered .
Key words: Local limit theorem, local limit theorem of differences.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Kesten H. Sum of independent random variables – without moment condition. – Ann.
Math. Stat., Vol. 42, No 3, p. 701-703, (1972).
[2]. Бхаттачария Р.Н., Paнгa Pao P. Аппpoкcимaция нopмaльным pacпpeдeлeниeм и
acимптoтичecкиe paзлoжeния. Hayкa, (1982).
[3]. A. Б. Лoкaльныe пpeдeльныe тeopeмы для плoтнoc
тeй cyмм нeзaвиcимых
вeктopoв . – Изв. AН УзCCP, Cepия физ. мaт. нayк. No 5, C. 25-29, (1983).
[4]. Myxин A. Б. O нeкoтopых нeoбхoдимых и дocтaтoчных ycлoвиях лoкaльных
пpeдeльных тeopeм. – Дoкл. AН УзCCP, No 8, C 7-8, (1984).

[5].
To Aнь Зyнг. Cглaживaниe pacпpeдeлeний пpи cyммиpoвaнии и лoкaльныe
пpeдeльныe тeopeмы. – Изв. AН УзCCP, Cepия физ. мaт. нayк, No 2, C. 44-51,
(1986).
[6]. Tô Anh Dũng, Ung Ngọc Quang. Về một định lí giới hạn địa phương trong không
gian các ma trận. Hội nghị khoa h
ọc trường Đại Học Khoa học Tự nhiên TPHCM,
(1993).