Báo cáo nghiên cứu khoa học: " NỘI SUY TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT ĐOẠN INTERPOLATING " pdf

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

154
NỘI SUY TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT ĐOẠN
INTERPOLATING THE POLYNOMIAL OF SECOND DEGREE
ON A SECTION

Nguyễn Thị Sinh
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Lý thuyết nội suy, đặc biệt là nội suy bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá mới
mẻ đối với học sinh và giáo viên ở các trường phổ thông trung học. Bài báo này trình bày phép
nội suy tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn. Chúng ta biết rằng vấn đề về
tam thức bậc hai đã được đề cập từ chương trình phổ thông trung học và luôn nhận được s
ự
quan tâm của học sinh cũng như giáo viên giảng dạy. Tác giả của bài báo được trình bày sau
đây mong muốn đem lại cho độc giả và những người quan tâm đến tam thức bậc hai một cách
nhìn mới cũng như phương pháp giải toán độc đáo với hình thức nội suy trên một đoạn.
ABSTRACT
Interpolation theory, especially interpolating inequality is one of the relatively new
problems for pupils and teachers in high school. This article presents interpolating the
polynomial of second degree to estimate itself on a section. It is known that the problem of the
polynomial of second degree was mentioned from high school and always attracts the attention
of pupils and teachers. In this article, the author wants to bring attention to readers and all those
who are interested in the polynomial of second degree a new way of observing it and unique
methods with a form of interpolation on a section.

1. Đặt vấn đề
Xét tam thức bậc hai
2

() , 0f x Ax Bx C A
=
++ ≠;
2
4
B
AC∆= − , ta có:
Định lý 1.
i) Nếu 0∆< thì () 0,Af x x>∀∈R .
ii) Nếu
0∆= thì ( ) 0, .Af x x≥∀∈R Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
B
x
A
=− .
iii)
Nếu 0∆> thì ( )
f
x có hai nghiệm
121 2
,( )
x
xx x
<
, trong trường hợp này
() 0Af x < khi
12
(, )
x

xx∈ và ( ) 0Af x > khi
1
x
x
<
hoặc
2
x
x> .
Định lý 2. Điều kiện cần và đủ để tồn tại số
α
sao cho () 0Af
α
< là 0∆> và
12
x
x
α
<< trong đó
121 2
,( )
x
xx x< là hai nghiệm của tam thức ()
f
x.
Ta sẽ đi xem xét trong điều kiện nào bất đẳng thức ( ) 0fx≥ thoả mãn với mọi
[
]
,
x

ab∈ ?
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

155
Ta phát biểu bài toán sau đây:
2. Bài toán
Xét tam thức bậc hai
2
() , 0f x Ax Bx C A
=
++ ≠. Cho
() 0fa
α
=≥ , () 0fb
β
=≥ ,
2
() ()
22
fa fb
ab
f
γ
⎛⎞
−
+
⎛⎞
−
=
⎜⎟

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
a) Xác định ()
f
x khi biết ,,.
α
βγ

b) Chứng minh rằng () 0fx≥ thoả mãn với mọi
[
]
,
x
ab∈ khi và chỉ khi 0
γ
≥ .

Giải.
a) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (xem [1]) cho tam thức bậc hai ()
f
x tại
các nút nội suy
12 3
,,
2
ab
x

ax x b
+
=
==, ta có
()
3
3
1
1,
() ( ) (),
j
ii i
i
jji
ij
x
x
fx fx fx f x
x
x
=
=≠
−
==
−
∑
∏
,
ở đây

2
() , () ,
22
ab
fa fb f
α
β
αβ γ
⎛⎞
−
+
⎛⎞
== =+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
,

(
)
(
)
()
()()
()
()()
()
3

1
2
1, 1
1
3
2
2
1, 2
2
3
3
2
1, 3
3
2
() ,
4
() ,
2
() .
j
jj
j
j
jj
j
j
jj
j
xx

x
abxb
fx
xx
ab
xx
x
axb
fx
xx
ab
xx
x
abxa
fx
xx
ab
=≠
=≠
=≠
−
−− −
==
−
−
−
−−
==−
−
−

−
−− −
==
−
−
∏
∏
∏

Vậy

()
[
]
2
2
1
() (2 )( )
4()()(2)()
2
fx x a b x b
ab
x
axb x a bx a
α
αβ
γβ
=−−−−
−
⎛⎞

⎛⎞
−
⎜⎟
−+ −−+ −−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠


()() ()()()()
2
2
2
1
24
()
x
b xa xaxb xaxb
ab
αβ αβ γ
⎡
⎤
=−+−+−−−−−
⎢
⎥
⎣
⎦
−

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

156

() ()
()
()()
()()
()
()()
2
2
2
2
1
4
()
1
4.
()
xb xa xaxb
ab
x
ba xaxb
ab
αβ γ
αβ α β γ
⎡⎤
=−+−−−−

⎢⎥
⎣⎦
−
⎡
⎤
=+−+−−−
⎢
⎥
−
⎣
⎦

b) Chứng minh
[
]
() 0, ,fx x ab≥∀∈ (.1)b

0
γ
⇔≥

(.2)b

Giả sử
(.2)b được thoả mãn, theo câu a) ()
f
x biểu diễn được dưới dạng
()()
()
()()

2
2
1
() 4
()
f
xx baxaxb
ab
αβ α β γ
⎡⎤
=+−+−−−
⎢⎥
−
⎣⎦
.
Suy ra
[
]
() 0, , .
f
xxab≥∀∈
Ngược lại, giả sử (.1)b được thoả mãn. Khi đó ( ) 0 , ( ) 0fa fb≥≥ và ( )
f
x có
thể viết được dưới dạng

()
2
() ( )( )
f

xmxnKxaxb=+−−−
với
0K ≥
(.3)b

Nếu trong
(.3)b
ta chọn
,,
2
ab
x
ab
+
⎧⎫
∈
⎨⎬
⎩⎭
thì
()
(
)
22
() , ()
f
aman fbmbn=+ =+,
và
() ()
2
22

() ()
44
.
22
fa fb
ab
Kf
ab ab
γ
⎡⎤
⎛⎞
−
+
⎛⎞
⎢⎥
=− =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
−−
⎝⎠
⎣⎦

Suy ra
0
γ
≥
. Bài toán đã được chứng minh



Kết quả của bài toán được phát biểu bằng định lý sau đây:
Định lý 3. Giả sử
2
() , 0f x Ax Bx C A=++ ≠. Khi đó bất đẳng thức () 0fx≥
thoả mãn với mọi
[
]
,
x
ab∈
khi và chỉ khi
() 0, () 0fa fb≥≥ và
2
() ()
22
fa fb
ab
f
⎛⎞
−
+
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

.
3. Áp dụng
Chứng minh rằng với mọi tam thức bậc hai
2
() , 0f x Ax Bx C A
=
++ ≠ ta đều
có
[
]
() 1, ,
f
xxab≤∀∈ xảy ra khi và chỉ khi () 1, () 1fa fb
≤
≤ và
()()
()()
() ()
11()1() 2
22
11()1().
fa fb a b
fa fb f
fa fb
++
⎛⎞
−− − − ≤ − ≤
⎜⎟
⎝⎠
≤+ + +

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

157
Giải. Đặt () 1 (), () 1 ().gx fx hx fx=− =+
Khi đó sử dụng kết quả của bài toán trên ta có
[
]
() 0, () 0, ,gx hx x ab≥≥∀∈
khi và chỉ khi
() 1, () 1fa fb≤≤ và
2
2
() ()
22
,
() ()
22
ga gb
ab
g
ha hb
ab
h
⎧
⎛⎞
−
+
⎛⎞
⎪

≥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎪⎝ ⎠
⎨
⎛⎞
⎪
−
+
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎝⎠
⎩

nghĩa là
2
2
1()1()
1
22
1()1()

1
22
fa fb
ab
f
fa fb
ab
f
⎧
⎛⎞
−−−
+
⎛⎞
⎪
−≥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎪⎝ ⎠
⎨
⎛⎞
⎪
+−+
+
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎪

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎝⎠
⎩
,
hay
()()
()()
() ()
11()1() 2
22
11()1()
fa fb a b
fa fb f
fa fb
++
⎛⎞
−− − − ≤ − ≤
⎜⎟
⎝⎠
≤+ + + 


4. Kết luận
Bài báo đã giải quyết được vấn đề là ứng dụng phép nội suy cho tam thức bậc
hai để ước lượng chính nó trên một đoạn. Kết quả của bài báo cho phép học sinh và các
thầy cô có một cách nhìn mới và tổng quát hơn đối với tam thức bậc hai. Vấn đề trên
còn có thể mở rộng đối với đa thức bậc ba hoặc lớn hơn. Đây là nội dung mà tác giả

đang nghiên cứu.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo dục, 2007.
[2]. Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục, 2004.
[3]. Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Chuyên
đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo dục, 2008.