Báo cáo nghiên cứu khoa học " NỘI SUY TUYẾN TÍNH MỜ DỰA TRÊN TỔ HỢP LỒI CỦA ĐỘ ĐO TÍNH MỜ CỦA GIÁ TRỊ NGÔN NGỮ " pdf

1

NỘI SUY TUYẾN TÍNH MỜ DỰA TRÊN
TỔ HỢP LỒI CỦA ĐỘ ĐO TÍNH MỜ CỦA GIÁ TRỊ NGÔN NGỮ
Nguyễn Quang Thuận
Học viện ngân hàng,Phân viện Ngân Hàng Phú Yên
Nguyễn Thế Dũng
Trường ĐH Sư phạm, Đại học Huế



I. Mở đầu:
Xét bài toán mô hình mờ (M) bao gồm các luật If then đơn biến, đa
điều kiện A
1
B
1
(M)


2

A
n
B
n

Cho A
*

tính B
*

với các A
i
, B
i
và A
*
, B
*
các tập mờ. Các phương pháp sử dụng luật hợp
thành (CRI) của Mamdani, Sugeno chỉ phù hợp khi tập luật không là tập luật
thưa (sparse rules base) [9][7]. Các phương pháp nội suy mờ được đề xuất để giải
bài toán nói trên trong trường hợp ấy.
Lần đầu tiên phương pháp nội suy mờ được đề xuất bởi Koczy và Hirota
[6], sau đó, phương pháp được nhiều tác giả phát triển như ([4] [1] [3] [8][9] )
Phương pháp nội suy tuyến tính mờ dựa trên đại số gia tử (ĐSGT) cũng được
phát triển [12][13][1] Trong [9] các tác giả phát triển phương pháp nội suy
tuyến tính mờ dựa trên tổ hợp lồi của các khoảng, trong trường hợp A
i
, B
i
, A
*
là
các khoảng, sau đó sử dụng phép xấp xỉ 1 tập mờ A bởi một tập các lát cắt :

]1,0[




AA để giải quyết bài toán trong trường hợp A
i
, B
i
, A
*
là các tập mờ lồi
chuẩn.
Trong [1] tác giả đưa ra phương pháp nội suy tuyến tính cho bài toán (M)
khi các A
i
, B
i
, A
*
được xét trên các đại số gia tử đối xứng. Ở đó, các A
i
, B
i
, A
*

được định lượng nhờ ánh xạ lượng hóa ngữ nghĩa  trên đại số gia tử [3]. Sau đó,
áp dụng phương pháp nội suy tuyến tính trong phương pháp tính mà ta thường
gặp.


3

Trong [3] đã định nghĩa khái niệm độ đo tính mờ (fuzziness measure) của
giá trị ngôn ngữ: fm(A) với A là một giá trị ngôn ngữ. Ta có fm(A) là một đoạn
con trên đoạn [0,1].
Dựa trên phương pháp nội suy tuyến tính mờ dựa trên tổ hợp lồi của các
đoạn trong [9], trong bài này chúng tôi đề nghị một phương pháp nội suy tuyến
tính dựa trên tổ hợp lồi của độ đo tính mờ khi xét A
i
, B
i
, A
*
trên các đại số gia tử
đối xứng. Khi đó với phương pháp này chúng ta không phải qua bước xấp xỉ tập
mờ bằng các lát cắt  và bước khử mờ từ tập các lát cắt  khi tính B
*
theo
phương pháp trong [9].
Các phân tích so sánh với phương pháp trong [1] cũng sẽ được đề cập, mối
liên hệ giữa phương pháp được nêu trong bài với phương pháp CRI cũng được
bàn đến.
Trong phần II tiếp theo chúng tôi trình bày phương pháp nội suy tuyến tính
như đã nói, phần III sẽ là phần trình bày các so sánh với các phương pháp nói
trên và các kết luận được nêu.
II. Phương pháp nội suy tuyến tính dựa trên tổ hợp lồi của độ đo tính
mờ của các giá trị ngôn ngữ:
Khi giải bài toán (M) bằng phương pháp nội suy tuyến tính, chúng ta
thường dẫn về bài toán nội suy tuyến tính trên 2 luật có dữ kiện (antecedent) gần
với giả thiết nhất, không mất tính tổng quát có thể giả sử xét bài toán sau:

4

A
0
B
0

A
1
B
1

Cho giả thiết X=A
*
, A
0
A
*
A
1
, cần tính Y=B
*
theo phương pháp nội suy
tuyến tính.
Với A
0
, A
1
, A

*
là các giá trị ngôn ngữ xét trên một đại số gia tử đối xứng
H1, tương tự B
0
, B
1
, B
*
là các giá trị ngôn ngữ xét trên một đại số gia tử đối xứng
H2 khác.
A
i
(i=0,1) và A
*
có bán kính mờ của nó, tương ứng là: fm(A
i
) và fm(A
*
), với
B
i
ta có các bán kính mờ fm(B
i
).
Ta có: AA'BB' và AA'BB' là các luật có thể được dẫn xuất từ
K={AB và A'B'}.
Với t[0,1] xét A
t
=tA
1

+ (1-t)A
0
và B
t
=tB
1
+ (1-t)B
0
, khi đó A
t
B
t
là một
luật mới dẫn xuất từ K. Đặt L={A
t
B
t
, với t[0,1]}.
Như vậy nếu A
*
là hợp hay giao của các A
t
hoặc là một trong các A
t
ta sẽ
thu được B
*
cũng là hợp hay giao của các B
t
hay chính bằng B

t
trong trường hợp
A
*
=A
t
.


5

Với A là một giá trị ngôn ngữ trên một ĐSGT đối xứng, kí hiệu bán kính
mờ fm(A)=[ aa, ].
Xét )/()(
010
*
aaaat  và )/()(
010
*
aaaat  .
Mệnh đề 2.1:
Xảy ra 3 trường hợp sau:
a) t[0,1]: fm(A
*
)=fm(A
t
)
b) t[0,1]: fm(A
t
)fm(A

*
)
c) t[0,1]: fm(A
*
)fm(A
t
)
Chứng minh:
Nếu tt  =t , khi đó fm(A
t
)=fm(A
*
)
Nếu tt  , khi đó )()(
*
AfmAfm
t
 và )()(
*
AfmAfm
t

Nếu tt  , khi đó )()(
*
t
AfmAfm  và )()(
*
t
AfmAfm  .

6

Với trường hợp a) của mệnh đề 2.1, ta được fm(B
*
) = fm(B
t
).
Với trường hợp b) của mệnh đề 2.1, đặt


})()(|1,0{t
*
max
AfmAfmS
t
 ,
khi đó )()(
*
max
AfmAfm
tSt


và do đó: )()(
*
max
BfmBfm
tSt



.
Với trường hợp b) của mệnh đề 2.1, đặt


})()(|1,0{t
*
min t
AfmAfmS  ,
khi đó )()(
*
min
AfmAfm
tSt


và do đó: )()(
*
min
BfmBfm
tSt


.
Mệnh đề 2.2:
t,t': fm(A
t
)fm(A
t'
) nhưng fm(B

t
)fm(B
t'
) = .
Tức trong trường hợp c) của mệnh đề 2.1 có thể xảy ra trường hợp
fm(A
*
) nhưng fm(B
*
) = .
Chứng minh:
Xét các điểm sau trong mặt phẳng ),(
00
baM , ),(
11
baN , ),(
00
baP , ),(
11
baQ .
Nếu )()(:],[
10
vPQvMNaav  với MN, PQ tương ứng là phương trình đường
thẳng đi qua M,N và P,Q. Với fm(A
*
)={v}, khi đó ]),([)(
t
t
bvMNBfm  và
)](,[)( vPQbBfm

t
t
 , do đó

 )()()(
*
t
t
BfmBfmBfm . Ở đây tttt  , .



7






Hình 1

Ta sẽ gọi A
t
B
t
và A
t'
B
t'
trong mệnh đề 2.3 là không tương thích

(incoherent).
Mệnh đề 2.3:
Trong các trường hợp b) và c) của mệnh đề 2.1, ],[)(
*
*
*
bbBfm  được tính
theo công thức sau:
01
1001
*
01
01
*
aa
baba
a
aa
bb
b





 và
01
1001
*
01

01
*
aa
baba
a
aa
bb
b





 (*)


8

Chứng minh:
Trong cả 2 trường hợp b) c) của mệnh đề 2.1, thì
t
bb 
*
và
t
bb 
*
mà
t
b và

t
b
được tính theo công thức trên dựa vào công thức nội suy tuyến tính .
Lưu ý: Theo mệnh đề 2.2 thì trong trường hợp c) của mệnh đề 2.1, đôi khi
fm(B
*
) tính theo công thức (*) là chưa hẳn đã tồn tại.
Với công thức (*) ở mệnh đề 2.3, chúng ta có thể tính được bán kính mờ
của B
*
trong bài toán (M) nói trên. Từ bán kính mờ fm(B
*
) có thể xác định (B
*
)
như sau:
Có thể có 2 giá trị của (B
*
) đó là 2 điểm chia bán kính mờ fm(B
*
) theo tỉ lệ
: hay :. Trong trường hợp =, ta có 1 giá trị (B
*
). Trong thực hành tính
toán có thể lấy điểm giữa của fm(B
*
) làm giá trị (B
*
), từ đó tính được giá trị
ngôn ngữ và giá trị vật lý của B

*
.
Ví dụ:
Xét bài toán sau:
Nếu quả cà chua rất xanh thì rất dở
Nếu quả cà chua khá đỏ thì ít ngon


9

Cho quả cà chua ít đỏ thì ?
Mô hình hóa toán học ta có bài toán sau:
A
0
B
0

A
1
B
1

Cho A
*
cần tính B
*

Với A
0
,A

1
lần lượt là "rất xanh", "khá đỏ" và B
0
,B
1
lần lượt là "rất dở", "ít
ngon" còn A
*
là "ít đỏ".
Xét A
0
,A
1
ở trên đại số gia tử H1=<X,H,G,> với G={xanh, đỏ}. H=H
+
H
-

với H
-
={Less, Possible} và H
+
={More, Very}. Xét B
0
, B
1
ở trên đại số gia tử
H2=<X,H,G,> với G={dở, ngon}. Trong cả H1, H2 thì H=H
+
H

-
với H
-
={Less, Possible} và H
+
={More, Very}. (Less)= (Posible)= (More)=
(Very)= 0.25. Từ đây ta có ==1/2 và fm(A
0
)=[0,0.125], fm(A
1
)=[0.625,0.75]
và fm(B
0
)=[0,0.125], fm(B
1
)=[0.5,0.625] còn fm(A
*
)=[0.5,0.625].
Sử dụng cách tính trong bài ở mệnh đề 2.1, 2.2, 2.3 ta có fm(B
*
) =
[0.4,0.525].
Sử dụng cách tính B
*
nói trên, với giả sử ==1/2 ta có B
*
là "rất ít dở".


10

Kết quả này cũng phù hợp với thực tiễn: "Quả cà chua ít đỏ thì rất ít dở".
III. Kết luận:
Như vậy trong phần trên chúng ta đã đưa ra được một phương pháp nội suy
tuyến tính mờ, vấn đề đặt ra là so sánh với các phương pháp khác và đánh giá
phương pháp đưa ra.
III.1. Liên hệ phương pháp nêu trong bài với phương pháp CRI.
Xét L={A
t
B
t
|t[0,1]} là tập luật như đã nói ở phần trên. Nhắc lại A
t
=tA
1
+ (1-t)A
0
và B
t
=tB
1
+ (1-t)B
0
, khi đó A
t
B
t
là một luật mới dẫn xuất từ K. Nếu
xét một luật mờ AB là một điểm mờ (A,B) trong không gian UxV với U là
không gian vũ trụ của A và V là không gian vũ trụ của B. Theo phương pháp
CRI, ta thấy AB tạo thành 1 quan hệ 2 ngôi trên UxV, với cách nhìn AB là

một điểm mờ trên UxV thì tập L nói trên sẽ tương ứng với tổ hợp lồi của (A
0
,B
0
)
và (A
1
,B
1
).








11





Hình 2 Hình 3
Hình 2 - 1 luật AB được xem như một điểm mờ với cách nhìn của
phương pháp CRI.
Hình 3 - 1 luật AB được xem như một điểm mờ với cách nhìn của
phương pháp nêu trong bài.
Quan hệ 2 ngôi theo cách hiểu nói trên sẽ là phần được tô xám trong hình 1

và hình 2. Rõ ràng theo phương pháp mới thì quan hệ 2 ngôi (A,B) được tính
theo cách tính này là chặt chẽ hơn theo cách tính của phương pháp của CRI. Nên
sai số tính toán sẽ nhỏ hơn.
Với 2 đoạn thẳng MN và PQ nói trong mệnh đề 2.2 (xem hình 2) thì kết quả
tính toán theo phương pháp trong bài sẽ là quan hệ {

t
tttt
LBABA  | }.


12
Ta có: B
*
=A
*
o {

t
tttt
LBABA  | } với o là phép hợp thành trong
phương pháp CRI.
III.2. Một số so sánh phương pháp nêu trong bài và một số phương pháp nội
suy tuyến tính mờ đã có.
a) So sánh với phương pháp nội suy tuyến tính mờ trong [9]:
Phương pháp nội suy tuyến tính mờ trong [9] phải qua bước xấp xỉ A
*
bởi
tập các lát cắt (tập mức) A


của nó, sau đó qua bước khử mờ để có được B
*
.
Nhưng với phương pháp được nêu trong bài, chúng ta không phải trải qua các
bước tính này.
b) So sánh với phương pháp nội suy tuyến tính mờ dựa trên đại số gia tử
trong [1]:
Với A là một giá trị ngôn ngữ trên H1, H2 khi fm(A) thu về 1 điểm (A)
tức aaA )(

, thì từ (*) ta có )(
*
*
*
Bbb

 và đây chính là kết quả tính theo
công thức nội suy tuyến tính trong [1].
Tuy vậy, với cách tính trong bài, chúng ta đã làm sáng tỏ được mối quan hệ
giữa nội suy tuyến tính mờ và phương pháp CRI. Hơn nữa, cách tính của chúng
ta chỉ ra được khoảng sai số cho phép của giá trị cần tính, đây cũng là điều cần
thiết vẫn thường gặp trong kỹ thuật.


13
Vấn đề còn lại được đặt ra ở đây là tính toán chính xác giá trị B
*
từ độ đo
tính mờ fm(B
*

). Vấn đề có liên quan đến cấu trúc ĐSGT, cũng như sai số mô
hình, sai số tính toán. Đây là một vấn đề khá thú vị trên đại số gia tử và là hướng
phát triển tiếp theo của bài báo.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Hải Châu. Nghiên cứu điều khiển tương tranh trên mạng
máy tính, Luận án Tiến sỹ Toán, Hà Nội (1999).
2. D. Tikk, P. Baranyi. Comprehensive analysis of a new fuzzy rule
interpolation method, IEE Trans on Fuzzy systems Vol.8 No. 3
(2000) 281-296.
3. Nguyễn Cát Hồ, Trần Thái Sơn, Trần Đình Khang, Lê Xuân Việt.
Fuzziness Measure, Quantified Semantic Mapping and Interpolative
Method of Approximate Reasoning in Medical Expert Systems, Tạp
chí Tin học và Điều khiển học, T.18, S.3 (2002) 237-252.
4. Trần Đình Khang. Một phương pháp giải bài toán suy diễn mờ tổng
quát thông qua nội suy mờ và tích hợp mờ, Tạp chí Tin học và Điều
khiển học T16, Vol4, (2000).
5. Kok Wai Wong, T.D. Gedeon, D.Tikk. An improved
multidimensional alpha - cut based fuzzy interpolation technique,
Proc of the Proceeding of Int. Conf. on Artificial Intelligence in


14
Scince and Technology (AISAT 2000), Hobart, Tasmania, Australia
17-20, December (2000) 33-38.
6. L.T. Hoczy and K. Hirota. Approximate reasoning by linear rule
interpolation and general approximation, Int. J. Approx. Reason,
Vol 9 (1993) 197-225.
7. L.T. Koczy and K. Hirota. Interpolative reasoning with insufficient
evidence in sparse fuzzy rules bases, Inform. Sci. 71(1993)169-201.
8. M.Mizumoto. Improvement methods of fuzzy controls, 3rd IFSA

Congr, Seatle, (1989) 60-62.
9. Ugheto L, Dubois D, Prade H. Fuzzy interpolation by convex
completion of sparse rule bases, Proc. 9th IEEE Int. Conf. on Fuzzy
Systems (FUZZ-IEEE'00), San Antonio (Texas), May 7-10 (2000)
465-470.
10. W.H. Hsiao, S.M. Chen, C.H. Lee. A new interpolative reasoning
method in sparse rule - based systems, Volume 93, Number 1,
January 1(1998)
11. Z. Cao, A. Kandel. Applicability of some fuzzy implication
operators, Fuzzy Sets and Systems, 31 (1989) 151-186.


15
12. Nguyễn Thế Dũng. Một phương pháp nội suy giải bài toán mô hình
mờ trên cơ sở đại số gia tử, Báo cáo Hội nghị Tin học Toàn quốc
(2004).
13. Nguyễn Thế Dũng. Một phương pháp giải bài toán mô hình mờ dựa
trên đại số gia tử và toán tử LOWA, Báo cáo Hội nghị Khoa học
Trường ĐHQG Hà Nội (2004).
TÓM TẮT
Trong bài báo này một cách nhìn mới về nội suy tuyến tính được đưa ra,
mối liên hệ giữa phương pháp được nêu với phương pháp lập luận sử dụng luật
hợp thành cũng được bàn đến. Các so sánh phương pháp được nêu với một số
phương pháp nội suy tuyến tính tương tự cũng được đề cập.

OPAQUE LINEAR INTERPOLATION BASED ON THECONVEX
COMPLEX


16

USED TO MEASURE THE OPAQUE DEGREE OF LINGUISTIC VALUE
Nguyen Quang Thuan
Phu Yen Banking Institute
Nguyen The Dung
College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
In this paper, we introduce a new idea about linear interpolation; some of
relation on new method in this paper and inference method based on composition
rule is deal. Some of the comparisons about the new method and concerned
linear interpolation are also presented.