Báo cáo nghiên cứu khoa học: " XÁC ĐỊNH SỐ TIỀN KÝ QUỸ TỐI ƯU VÀ MÔ HÌNH LƯỢNG HÓA MỐI QUAN HỆ GIỮA SỐ TIỀN KÝ QUỸ VỚI PHÍ MỞ THƯ TÍN DỤNG: ÁP DỤNG MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU CỦA MERTON" ppt

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

96

XÁC ĐỊNH SỐ TIỀN KÝ QUỸ TỐI ƯU VÀ MÔ HÌNH LƯỢNG HÓA
MỐI QUAN HỆ GIỮA SỐ TIỀN KÝ QUỸ VỚI PHÍ MỞ THƯ TÍN DỤNG:
ÁP DỤNG MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU CỦA MERTON
CALCULATION OF THE OPTIMAL EARNEST MONEY AND MODELLING
RELATIONS BETWEEN THE EARNEST MONEY AND THE AMOUNT
OF PREMIUM : APPLICATIONS OF THE MERTON MODEL TO THE PRICING
OF THE CORPORATE DEBT

Phan Đình Anh, Nguyễn Trần Thuần
Trường Đại học Kinh tế, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Bài viết sử dụng cách tiếp cận trong mô hình định giá trái phiếu của Merton để đị nh
lượng mối quan hệ giữa số tiền ký quỹ với rủi ro đối với ngân hàng phát hành thư tín dụng, trên
cơ sở đó chỉ ra rằng ngân hàng này không cần thiết phải áp dụng số tiền ký quỹ 100% số tiền
thư tín dụng mới tránh được rủi ro thanh toán từ người yêu cầu mở thư tín dụng, đồng thời xây
dựng mô hình cho phép giải thích và lượng hóa mối quan hệ giữa số tiền ký quỹ và phí ngân
hàng áp dụng khi mở thư tín dụng . Từ đó, mô hình cũng cho thấy trong mức phí luôn có một
phần bù đắp cho việc chấp nhận rủi ro.
ABSTRACT
In this article, the Merton model on the pricing of corporate debt is applied to the
quantification of relations between the amount of earnest money and the risk of the issuing banks.
It is assumed that it is not necessary for the issuing banks to impose 100% of the credit amount in
earnest on the elimination of the credit applicant’s risk. At the same time, we propose a model to
explain and measure the relations between the amount of earnest money and the amount of
premium in the application for a letter of credit. This model indicates that there is always a portion
of the amount of charged premium, which is used to compensate for any credit risk.

1. Đặt vấn đề
Trong phương thức thanh toán tín dụng chứng từ, yêu cầu ký quỹ được ngân
hàng phát hành (NHPH) đưa ra trước khi phát hành thư tín dụng (từ đây viết tắt là L/C-
Letter of Credit) nhằm nâng cao khả năng thanh toán L/C của người yêu cầu mở L/C
(nhà nhập khẩu) về sau, buộc nhà nhập khẩu phải lựa chọn phương án là thanh toán đầy
đủ số tiền của L/C và nhận hàng nhập khẩu sẽ có lợi hơn. Tuy nhiên, nếu số tiền ký quỹ
quá cao sẽ gây khó khăn cho nhà nhập khẩu về tìm nguồn tài trợ và gây ra ứ đọng vốn.
Ngược lại, nếu số tiền ký quỹ thấp sẽ gây rủi ro cho NHPH khi nhà nhập khẩu từ bỏ
hàng nhập khẩu và không thanh toán đầy đủ số tiền của L/C. Số tiền ký quỹ được xem
là tối ưu nếu là số tiền ký quỹ thấp nhất để đảm bảo nhà nhập khẩu sẽ lựa chọn phương
án nhận hàng nhập khẩu. Vậy, số tiền ký quỹ ở mức nào được xem là tối ưu?. Bên cạnh
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

97

đó, khi để được chấp nhận mở L/C, nhà nhập khẩu luôn phải trả một mức phí cho
NHPH, và thực tế cho thấy mức phí này có mối liên hệ với số tiền mà nhà nhập khẩu
thực hiện ký quỹ. Tuy nhiên, cho đến nay vẫn chưa có một mô hình nào giải thích và
lượng hóa mối quan hệ này.
2. Tổng quát về mô hình định giá trái phiếu của Merton
Năm 1974, Merton công bố bài báo “định giá trái phiếu” . Theo đó, giá trị của
một công ty cổ phần là tổng giá trị của vốn cổ phần và giá thị trường khoản nợ của công
ty. Trong đó, giá trị của vốn cổ phần là giá trị của quyền chọn mua trên giá trị tài sản
của công ty với giá thực hiện là giá trị sổ sách khoản nợ tại thời điểm đáo hạn.
Gọi E
T
,V
T
Khi đó, giá trị của vốn cổ phần tại thời điểm đáo hạn T sẽ là: E

là giá trị của vốn cổ phần và giá trị tài sản của công ty tại thời điểm
khoản nợ đáo hạn T. Nếu B là giá trị sổ sách của khoản nợ tại thời điểm đáo hạn.
T
=Max(0,V
T
Và giá trị khoản nợ tại thời điểm đáo hạn sẽ là F
- B)
T
= Min(B,V
T
) = B – Max(0,B

- V
T
Trong mô hình định giá trái phiếu MERTON giả định rằng:
), bằng với giá trị sổ sách của khoản nợ trừ đi giá trị tại thời điểm đáo hạn của
quyền chọn bán trên giá trị tài sản của công ty với giá thực hiện bằng giá trị sổ sách của
khoản nợ tại thời điểm đáo hạn.
(i) Tổng giá trị tài sản của một công ty là một chuyển động Brown (Brownian
motion) tuân theo phương trình sau: dV = ϕVdt + σ
V
V, dV : là giá trị và độ thay đổi giá trị tài sản
Vdw
ϕ, σ
V
dw : là quá trình Wiener
: là thu nhập trung bình và độ lệch chuẩn giá trị tài sản
(ii) Công ty không phát hành thêm bấ t kì chứng khoán nợ nào trước thời điểm
đáo hạn.
Từ đó, sử dụng mô hình định giá quyền chọn BLACK-SCHOLES giá trị của

vốn cổ phần liên hệ với giá trị tài sản và giá trị sổ sách khoản nợ theo phương trình:


Trong đó:



r : lãi suất không rủi ro
T: khoảng thời gian còn lại trước khi khoản nợ đáo hạn
và giá trị thị trường của khoản nợ liên hệ với giá trị tài sản và giá trị sổ sách
khoản nợ theo phương trình:
)()(
21
hBehVE
rT
Φ−Φ=
−
Thh
T
TrBV
hdzzx
v
v
v
x
σ
σ
σ
π
−=

++
=−=Φ
∫
∞−
12
2
1
2
;
)
2
1
()/ln(
;)
2
1
exp(
2
1
)(
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

98


)()(
21
hBehVVEVF
rT
Φ+Φ−=−=

−


)()(
21
hBehVF
rT
Φ+−Φ=
−

3. Nhận dạng quyền chọn mua đối với nhà nhập khẩu trong phương thức thanh
toán L/C
Theo cam kết của nhà nhập khẩu trong đơn yêu cầu phát hành L/C, khi nhận
được thông báo của NHPH về việc NHPH đã nhận được bộ chứng từ xuất trình phù
hợp, nhà nhập khẩu có một khoảng thời gian tối đa là x ngày kể từ ngày nhận được
thông báo để thanh toán số tiền của L/C, gọi quy ước là thời hạn thanh toán. Nếu quá
thời hạn này mà nhà nhập khẩu vẫn không thanh toán, số tiền chưa được ký quỹ của
L/C sẽ trở thành khoản cho vay của NHPH đối với nhà nhập khẩu trong một khoảng
thời gian nhất định, gọi quy ước là thời hạn cho vay. Khi kết thúc thời hạn cho vay, nếu
nhà nhập khẩu vẫn không thanh toán đầy đủ số tiền của L/C, NHPH có thể phát mại
hàng nhập khẩu để thu hồi nợ. Như vậy, nhà nhập khẩu có quyền quyết định việc lựa
chọn thời điểm thanh toán đầy đủ số tiền của L/C để sở hữu hàng nhập khẩu trong
khoảng thời gian kể từ thời điểm thông báo đến khi kết thúc thời hạn cho vay. Tại bất
kỳ thời điểm nào trong khoảng thời gian này, nhà nhập khẩu có hai phương án để lựa
chọn:
(i) Bỏ ra số tiền chưa được ký quỹ của L/C, cộng với số tiền lãi phát sinh trên
số tiền này trả cho NHPH để nhận lấy bộ chứng từ và có quyền sở hữu đối với lô hàng
nhập khẩu,
(ii) Từ bỏ quyền sở hữu lô hàng nhập khẩu và mất đi toàn bộ số tiền ký quỹ ban
đầu.

Khi độ dài thời hạn cho vay bằng không và độ dài thời hạn thanh toán không
đáng kể, lúc đó, nhà nhập khẩu bắt buộc phải đưa ra quyết định của mình vào thời điểm
nhận được thông báo của NHPH về bộ chứng từ. Trong trường hợp này, nhà nhập khẩu
đang nắm giữ quyền chọn mua kiểu châu Âu trên giá trị lô hàng nhập khẩu với giá thực
hiện bằng đúng số tiền chưa được ký quỹ của L/C.
Đối với NHPH, giá trị thanh toán L/C (không tính đến số tiền ký quỹ ban đầu)
mà NHPH nhận được từ nhà nhập khẩu phụ thuộc vào quyết định c ủa nhà nhập khẩu.
Nếu nhà nhập khẩu lựa chọn phương án nhận hàng, NHPH sẽ nhận được giá trị thanh
toán tối đa là số tiền chưa được ký quỹ L/C cộng với khoản tiền lãi tính trên số tiền này.
Ngược lại, NHPH nhận được toàn bộ giá trị lô hàng nhập khẩu và giá trị này luôn nhỏ
hơn trường hợp nhà nhập khẩu nhận hàng.
Như vậy, lô hàng nhập khẩu có vai trò như tài sản công ty cổ phần, số tiền chưa
được ký quỹ của L/C đóng vai trò là giá trị số sách của khoản nợ tại thời điểm đáo hạn
và nhà nhập khẩu là chủ sở hữu công ty cổ phần trong khi đó NHPH chính là chủ nợ
của công ty trong mô hình của Merton.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

99

Giả định rằng:
(1) Số tiền ký quỹ được định giá theo đồng tiền sử dụng trong L/C,
(2) Số tiền của L/C có dung sai bằng không,
(3) Hàng nhập khẩu gồm những đơn vị hàng hoá giống nhau. Giá bán mỗi đơn
vị hàng hóa tại thị trường nội địa được định giá theo đồng tiền sử dụng trong L/C (điều
này thực hiện bằng cách quy đổi theo tỷ giá hiện hành) và giống nhau. Đồng thời biến
động tuân theo chuyển động Brownian thoả mãn phương trình: dR = µRdt + σRdz (I)
R, dR : là giá và độ thay đổi giá đơn vị hàng nhập khẩu
µ, σ : là tốc độ tăng giá bình quân và độ lệch chuẩn của thay đổi giá
dz : là quá trình wiener
(4) Độ dài thời hạn cho vay và thời hạn thanh toán bằng không.

Các ký hiệu quy ước :
Q : Số đơn vị hàng hóa nhập khẩu X : Số tiền ký quỹ L/C
L : Số tiền của L/C L-X : Số tiền chưa được ký quỹ của L/C
Với các giả định này, giá trị mà nhà nhập khẩu nhận được tại thời điểm thanh
toán L/C ứng với số tiền ký quỹ X khi mở L/C sẽ là:
E
τ
*
= Max[0, QR
τ
Và giá trị thanh toán L/C mà NHPH nhận được từ nhà nhập khẩu tại thời điểm
thanh toán L/C (không bao gồm số tiền ký quỹ) ứng với số tiền ký quỹ X sẽ là:
– (L – X)]
F
τ
*
=Min[(L – X), QR
τ
Áp dụng công thức định giá quyền chọn của BLACK-SCHOLES, giá trị quyền
chọn mua nhà nhập khẩu nắm giữ tại thời điểm ký quỹ ứng với số tiền ký quỹ X:
]




τ : Khoảng thời gian từ thời điểm ký quỹ đến thời điểm thanh toán
Và giá trị thanh toán L/C từ nhà nhập khẩu mà NHPH nắm giữ tại thời điểm ký
quỹ ứng với số tiền ký quỹ X là:
)()()()(
210

*
0
IIIdeXLdQRF
r
Φ−+−Φ=
−
τ

4. Mô hình lượng hóa mối quan hệ giữa số tiền ký quỹ với phí phát hành L/C
Trong trường hợp thời hạn cho vay bằng không và độ dài thời hạn thanh toán
không đáng kể. Gọi f
L-X
2/1
12
2/1
2
0
1
210
*
0
;
])
2
1
()
)(
[ln(
)()()()(
στ

στ
τσ
τ
−=
++
−
=
Φ−−Φ=
−
dd
r
XL
QR
d
IIdeXLdQRE
r
là mức phí NHPH áp dụng khi số tiền chưa được ký quỹ của
L/C là L-X.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

100

Đối với nhà nhập khẩu, khi thay đổi số tiền chưa được ký quỹ một lượng
∆(L-X), giá trị quyền chọn mua nhà nhập khẩu nắm giữ tại thời điểm ký quỹ thay
đổi một lượng ∆E
0
*
Trong mọi trường hợp, số tiền ký quỹ sẽ không được NHPH hoàn trả lại cho nhà
nhập khẩu. Do đó, lợi nhuận đối với nhà nhập khẩu tại thời điểm ký quỹ ứng với số tiền
chưa được ký quỹ (L – X) được xác định:

, mức phí NHPH áp dụng đối với nhà nhập khẩu thay đổi một
lượng ∆f.
Lợi nhuận (LN) = Giá trị quyền chọn mua tại thời điểm ký quỹ - Số tiền ký quỹ
- Phí mở L/C.
Hay: LN = E
0
*
Và độ thay đổi lợi nhuận theo số tiền chưa được ký quỹ của L/C là:
– X– f
∆LN = ∆E
0
*
Nếu tồn tại một số tiền ký quỹ có lợi nhuận lớn hơn nhà nhập khẩu đương nhiên
sẽ thực hiện ký quỹ ứng với số tiền đó.Vì vậy, bất kỳ một mức phí nào mà NHPH áp
dụng tương ứng với số tiền chưa được ký quỹ của L/C phải thỏa mãn không làm thay
đổi mức lợi nhuận tại thời điểm ký quỹ của nhà nhập khẩu, tức là ∆LN = 0 với mọi giá
trị ∆(L-X) hay
+ ∆(L-X) - ∆f.
LN’
(L-X)
= ∆LN/∆(L-X) = (∆E
0
*
Từ phương trình (II) ta có: ∆E
+ ∆(L-X) - ∆f) /∆(L-X) = 0.
0
*
/∆(L-X) = -e
-rτ
Φ (d

2
Do đó: ∆f/∆(L-X) = 1- e
)
-rτ
Φ (d
2
Đối với NHPH, khi người thụ hưởng xuất trình bộ chứng từ phù hợp, NHPH
phải thanh toán số tiền của L/C cho người thụ hưởng mà không phụ thuộc vào phương
án nhà nhập khẩu thực hiện, do đó, lợi nhuận của NHPH tại thời điểm nhà nhập khẩu
thực hiện ký quỹ là:
) (*)
LN = Phí + Số tiền ký quỹ + Giá trị hiện tại của số tiền thanh toán L/C từ nhà
nhập khẩu (không bao gồm số tiền ký quỹ) - Giá hiện tại của số tiền L/C.
Nếu tồn tại một số tiền ký quỹ làm cho lợi nhuận của NHPH tại thời điểm ký
quỹ lớn hơn, NHPH sẽ ưu thích nhà nhập khẩu thực hiện ký quỹ ứng với số tiền đó. Vì
vậy, mức lợi nhuận của NHPH ứng với mọi số tiền chưa được ký quỹ của L/C phải
bằng nhau.
Tức là : ∆LN = ∆f + ∆F
0
*
Từ phương trình (III) ta có: ∆F
- ∆(L-X) = 0 với mọi ∆(L-X)
0
*
/∆(L-X) = e
-rτ
Φ (d
2
Và ta đạt được (*) ∆f/∆(L-X)=1 - e
)

-rτ
Φ (d
2
Phương trình (*) cho thấy mối liên hệ giữa độ thay đổi mức phí theo độ thay đổi
số tiền chưa được ký quỹ. Ta viết lại (*) dưới dạng:
)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

101

)()())(1(
0
20
IVXLddeff
XL
r
XL
∫
−
−
−
−Φ−=−
τ

Khi số tiền của L/C được ký quỹ đầy đủ, L –X = 0, nhà nhập khẩu chắc chắn sẽ
nhận hàng, NHPH không gặp phải rủi ro thanh toán L/C về sau, giá trị hiện tại của
khoản thanh toán L/C mà NHPH nhận được từ nhà nhập khẩu sẽ bằng không. Khi đó,
lợi nhuận của NHPH tại thời điểm ký quỹ sẽ là:
LN
(L-X=0)

= Phí
0
+ Số tiền ký quỹ - Giá hiện tại số tiền L/C (LN
0
= f
0
+ L – Le
-rτ
Do đó, mức phí cơ sở mà NHPH áp dụng là: f
)
0
= LN
0
- L(1-e
-rτ
và mức phí NHPH sẽ áp dụng khi số tiền chưa được ký quỹ của L/C là L-X
được xác định từ (IV) :
)


Một khi NHPH xác định được mức lợi nhuận cơ sở LN
0
, NHPH sẽ duy trì được
mức lợi nhuận này ứng với mọi số tiền ký quỹ thông qua xác định mức phí tương ứng,
điều đó cho thấy rằng f
L-X
– f
0
5. Xác định số tiền ký quỹ tối ưu
là tổng mức phí bù đắp cho việc chấp nhận rủi ro của

NHPH khi phát hành L/C có số tiền ký quỹ nhỏ hơn số tiền của L/C.
Rủi ro đối với NHPH do nhà nhập khẩu từ bỏ hàng nhập khẩu chỉ có thể được
xác định chắc chắn tại thời điểm kết thúc thời hạn cho vay. Tại thời điểm này, nhà nhập
khẩu luôn lựa chọn phương án có lợi hơn, vì vậy, nhà nhập khẩu chỉ chọn phương án từ
bỏ hàng nhập khẩu khi giá lô hàng nhập khẩu trên thị trường nội địa tại thời điểm đó
nhỏ hơn số tiền chưa được ký quỹ của L/C cộng với khoản tiền lãi phát sinh trên số tiền
này tính đến thời điểm đó, hay QR
t
< (L – X)e
h : độ dài thời hạn cho vay
ih

i : lãi suất cho vay của NHPH (lãi kép liên tục)
t : khoảng thời gian từ thời điểm ký quỹ đến kết thúc thời hạn cho vay
Xác suất xảy ra biến cố này:
P
t
= pro[QR
t
< (L – X) e
ih
] = pro[lnQR
t
≤ ln((L – X) e
ih
Giá bán đơn vị hàng nhập khẩu tại thị trường nội địa được mô tả bởi (I) và
như vậy, giá bán tại thời điểm t được xác định bởi thời điểm ban đầu (thời điểm ký quỹ,
t = 0) là
)] (V)
R

t
= R
o
.exp(σ√t .ε + (µ −σ
2
/2)t

hay lnR
t
= lnR
o
+ (µ - σ
2
Kết hợp (V) và (VI) ta được
/2)t + σ√t.ε (VI)


∫
−
−−
−
−Φ−+−−=
XL
rr
XL
XLddeeLLNf
0
20
)())(1()1(
ττ

)
)
2
1
()/(ln(
(
2/1
2
0
ε
σ
σµ
≥
−+−−
−=
t
tihXLQR
prop
t
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

102


Nếu ε có phân phối chuẩn N(0,1) khi đó
)()
)
2
1
()1(

/ln(
(
2/1
2
0
VII
t
tihqLQR
p
t
σ
σµ
−+−−
−Φ=

Với q = X/L là tỷ lệ ký quỹ L/C
Từ công thức (VII) :
- Rủi ro nhà nhập khẩu từ bỏ hàng nhập khẩu khi kết thúc thời hạn cho vay đối
với NHPH càng lớn khi tỷ lệ ký quỹ càng thấp . Vì hàm xác suất P
t
- Nếu NHPH muốn nhà nhập khẩu lựa chọn phương án nhận hàng khi đó
xác suất P
nghịch biến theo
biến tỷ lệ ký quỹ q trong trường hợp các nhân tố khác không thay đổi (theo tính chất của
hàm phân phối chuẩn).
t
sẽ rất nhỏ, nhưng không nhất thiết phải bằng không. Một khi xác suất P
t

rất

nhỏ được xác định trước, từ công thức (VII) ta có thế xác định được tỷ lệ ký quỹ tối ưu
sẽ là :

Với Φ
-1
(x) là hàm số ngược của hàm Φ (x), exp(x) = e
Trường hợp giá thị trường nội địa hàng nhập khẩu không biến động theo thời
gian, µ = 0, σ = 0, tỷ lệ ký quỹ tối ưu q ≥ 1 – (QR
x
o
/ L)e
-ih
(hay QR
t
=QR
0
≥(L-X)e
ih
6. Kết luận
)
đảm bảo cho NHPH được thanh toán đầy đủ số tiền của L/C mà không cần quan tâm
đến yếu tố rủi ro.
Khi tham gia vào phương thức thanh toán L/C, NHPH không chỉ đóng vai trò là
trung gian thực hiện việc thanh toán mà còn có thể gặp phải rủi ro do nhà nhập khẩu từ
bỏ hàng nhập khẩu và không thanh toán đầy đủ số tiền của L/C.
Để loại bỏ yếu tố rủi ro này, NHPH có thể yêu cầu người nhập khẩu ký quỹ toàn
bộ số tiền của L/C. Tuy nhiên, điều này là không thực sự cần thiết vì NHPH có thể chấp
nhận một số tiền ký quỹ tối ưu nhỏ hơn số tiền của L/C mà vẫn có thể loại bỏ được rủi
ro này.
Trong trường hợp NHPH chấp nhận rủi ro với một số tiền ký quỹ nhỏ hơn số

tiền ký quỹ tối ưu, một mức lợi nhuận dự kiến có thể đạt được thông qua việc áp dụng
mức phí thay đổi tương ứng với mỗi số tiền ký quỹ. Và phần bủ rủi ro f
L-X
– f
0
)
)
2
1
())/(ln(
(
2/1
2
0
t
tihXLQR
p
t
σ
σµ
−+−−
−Φ=
đảm
bảo cho NHPH thực hiện điều này.
)())()2exp(()/(1
12
0
VIIIptihtLQRq
t
−

Φ+−−−≥
σσµ
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

103


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Peter Crosbie & Jeff Bohn (2003), Modelling default risk, Published by Moody’s
KMV company.
[2] Sreedhar T. Bharath and Tyler Shumway (2004), Forecasting default with the
KMV – Merton model.
[3] Amit Kulkarni and Alok Kumar Mishra and Jigisha Thakker, “How good is merton
model at assessing credit risk, evidence from Indian”.
[4] Merton, Robert C., (1974) On the pricing of corporate debt: the risk structure of
interest rates”, Journal of Finance
[5] Black, F. and Scholes M. (1973), “The Pricing Of Options And Corporate
Liabilities,” Journal of Political Economy.

PHỤ LỤC
A. Chứng minh (II)
Ký hiệu E
Q

: Gía trị kỳ vọng

B. Chứng minh (III)







[ ]
[ ]
[ ]
)()()()()((
)),0(()(,0(
)(,0(
/)(;)/)(,0(/)(
),(
210
*
0210
*
0
*
0
*
0
*
*

*
deXLdQRFduedRQQueF
RuMAXEQeQueFRuMAXuEQeF
RuMAXuQF
QXLuRQXLMAXQXLQF
XLQRMINF
rrr
QrrQr
Φ−+−Φ=⇒−Φ+−Φ−−=
−−=⇔−−=
−−=⇒
−=−−−−=
−=
−−−
−−−
τττ
τ
ττ
τ
τ
ττ
ττ
ττ
2/1
12
2/1
2
0
2/1
2

0
1
210
*
0210
*
0
*
0
*
**
])
2
1
()
)(
[ln(])
2
1
()[ln(
)()()()()((
)),0(((),0(/)(
;))/(,0())(,0(
στ
στ
τσ
στ
τσ
ττ
τ

τ
ττ
ττττ
−=
++
−
=
++
=
Φ−−Φ=⇒Φ−Φ=
−=⇒−=⇒−=
−−=⇔−−=
−−
−
dd
r
XL
QR
r
u
R
d
deXLdQREduedRQE
uRMAXEQeEuRQMAXEQXLu
QXLRQMAXEXLQRMAXE
rr
Qr
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(36).2010

104

C. Chứng minh (VII) và (VIII)










)())()
2
1
(exp(1
)
)
2
1
()1(/ln(
(
)()
)
2
1
()/(ln(
(
)ln)2/((ln)(
*

12
0
*
2/1
2
0
2/1
2
0
2
0
VIIIpttih
L
QR
q
p
t
tihqLQR
p
VII
t
tihXLQR
prop
ih
Q
XL
ttRproe
Q
XL
R

prop
t
t
ih
tt
−
Φ+−+−−≥
≤
−+−−
−
Φ=
≥
−+−−
−=
+
−
≤+−+=
−
≤=
σσ
µ
σ
σµ
ε
σ
σµ
εσσµ