Báo cáo nghiên cứu khoa học: " CHUYỂN ĐỘNG CỦA MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH: PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC; TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU" pdf

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
CHUYỂN ĐỘNG CỦA MẶT VỚI VẬN TỐC
PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH:
PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC; TÍNH DUY NHẤT
CỦA NGHIỆM YẾU
MOTION OF SURFACES WITH SPEED DEPENDING ON MEAN
CURVATURE: LEVEL SET METHODS; UNIQUENESS OF WEAK
SOLUTIONS

NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
NGUYỄN CỬU HUY
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Tp. Đà Nẵng

TÓM TẮT
Bài báo này đưa ra một phương pháp được gọi là phương pháp tập mức để mô
phỏng quá trình chuyển động của mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung
bình. Đưa ra khái niệm nghiệm yếu và chứng minh một nguyên lý so sánh cho
nghiệm yếu của phương trình. Từ nguyên lý so sánh, ta nhận được tính duy nhất
của nghiệm. Phương pháp dựa trên các tính chất của tích chập inf-sup.

ABSTRACT
This paper aims to provide a method so called level set method to simulate the
surface evolution process with speed depending on mean curvature. This is to
provide the notion of weak solutions and prove a comparison principle for weak
solutions. From the comparison principle, we obtain the uniqueness of the
solution. The method is based on inf-sup convolution properties.

1. Đặt vấn đề

Bài toán chuyển động mặt xuất hiện nhiều trong các vấn đề ứng dụng của khoa

học kỹ thuật như hóa học, cơ học chất lỏng, xử lý ảnh và nhiều lĩnh vực khác. Trong các
bài toán chuyển động của mặt, thì bài toán chuyển động mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ
cong trung bình đóng vai trò rất quan trọng cần phải được giải quyết. Loại chuyển động
này tương ứng với các định luật khuếch tán của vật lý hiện đại.
Trong quá trình mô phỏng toán học, chúng tôi dựa trên một bài toán giá trị đầu
của phương trình đạo hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính để tìm hiểu và phân tích quá trình
chuyển động. Trong cách tiếp cận đó, chúng tôi giới thiệu một khái niệm nghiệm yếu để
nghiên cứu sự chuyển động của mặt khi chúng đi qua các điểm kỳ dị. Loại nghiệm này
thỏa mãn điều kiện entropy và được biết đến như là nghiệm nhớt [1-2], [4-7].
1.1. Phương trình chuyển động mặt
Chúng tôi thiết lập một bài toán giá trị đầu cho một phương trình đạo hàm riêng
để mô phỏng quá trình chuyển động của mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình
bằng phương pháp tập mức. Xét mặt trong , là một đường cong trong không gian
0
Γ
d
\
92
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008

93
2-chiều hoặc là một mặt trong không gian 3-chiều. Giả sử rằng đường (mặt) này chuyển
động theo hướng pháp tuyến ngoài với vận tộc
V , với
VH= f+
trong đó là độ cong trung bình của mặt, và
H ()
f
fx=
là một hàm số cho trước được

giả thiết là liên tục, được gọi là một ngoại lực.
a. Phương pháp tập mức:
Cho trước một mặt
)0(
0
=
Γ
=
Γ
t , các mặt chuyển động theo hướng
pháp tuyến ngoài
)0( ≥Γ t
t
υ
với vận tốc . Ý tưởng chính là biểu diễn mặt chuyển động dưới
dạng một tập mức không của một hàm nhiều biến
u . Cụ thể, ta xác định một phương trình
cho u mà nghiệm chứa mặt chuyển động
V
t
Γ
dưới dạng tập mức
{
. Cho
0u = } ((),)
x
tt
0
là
đường chuyển động của một điểm, tức là, là một điểm trên mặt đầu tiên

(xt= 0)
Γ
. Vì
hàm chuyển động
u
luôn bằng không trên mặt chuyển động, nên ta phải có:
0)),(( =ttxu
.0≥t
Theo quy tắc đạo hàm hợp,
((),) ) 0.
t
uuxttt+∇ ⋅ ='(x


Vì '( )
x
t
υ
⋅=V, trong đó
u
u
∇
∇
=
υ
, nên ta có
∇+ uVu
t
,0=
().x

)

với một điều kiện đầu: (1)
0
(,0)ux u=

Như ta đã đề cập từ trước, mặt được xem như là tập mức không của of
, tức là,
0( ≥Γ t
t
u
{
}
|( 0 .
d
t
xutΓ= ∈ =\ ,)x

Ta gán giá trị đầu cho
u bằng cách chọn một hàm trơn sao cho
0
u :
d
→\\
{
}
00
|( 0,
d
xuxΓ= ∈ =\ )

b. Phương trình tập mức
Vì
t
Γ
là tập mức không của u với , nên pháp vectơ đơn vị ngoài của 0≥t
t
Γ
là
,
u
u
∇
∇
−

và độ cong trung bình của
t
Γ
được cho bởi
() .
u
Hdiv div
u
υ
⎛⎞
∇
=− =−
⎜⎟
⎜⎟
∇

⎝⎠

Mặt khác, vận tốc của
t
Γ
là
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
.
u
u
t
∇
−

Vì vậy, ta có
),(xf
u
u
div
u
u
t
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
∇
∇
−=
∇
−

và cuối cùng nhận được

2
() .
ij
ij
xx
tij xx
uu
uuf
u
δ
⎛⎞
⎜⎟
=− − ∇
⎜⎟
∇
⎝⎠
xu
))
(2)
1.2. Nghiệm yếu
Xét phương trình tập mức chuyển động (2) trong

\ [0, ).
d
×∞
Định nghĩa 1. Một hàm được gọi là một nghiệm yếu dưới của
phương trình (2) nếu:
([0,
d
uC∈×∞\
ϕ
−u đạt cực đại địa phương tại điểm với mỗi , thì
00
(,) (0,)
d
xt ∈×∞\
+1
()
d
C
ϕ
∞
∈ \
00
2
00
(,)
khi (x , ) 0,
ij
ij
xx
tij xx

f
tai x t
t
ϕϕ
ϕδ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
⎧
⎛⎞
⎪
⎜⎟
≤− −∇
⎪
⎜⎟
⎨
∇
⎝⎠
⎪
∇≠
⎪
⎩

và
()
00
00
(,)
, 1, khi (x , ) 0.
ij
tijijxx

d
tai x t
t
ϕδηηϕ
ηη ϕ
⎧
≤−
⎪
⎨
∈≤∇
⎪
⎩
\ =
)

Định nghĩa 2. Một hàm được gọi là một nghiệm yếu trên của phương
trình (2) nếu:
([0,)
d
uC∈×∞\
ϕ
−u đạt cực tiểu địa phương tại điểm với mỗi ,
thì
00
(,) (0,)
d
xt ∈×∞\
+1
()
d

C
ϕ
∞
∈ \
00
2
00
(,
khi (x , ) 0,
ij
ij
xx
tij xx
)
f
tai x t
t
ϕϕ
ϕδ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
⎧
⎛⎞
⎪
⎜⎟
≥− −∇
⎪
⎜⎟
∇
⎨

⎝⎠
⎪
∇≠
⎪
⎩

và

()
00
00
(,)
, 1, khi (x , ) 0.
ij
tijijxx
d
tai x t
t
ϕδηηϕ
ηη ϕ
⎧
≥−
⎪
⎨
∈≤∇
⎪
⎩
\ =
)

Định nghĩa 3. Một hàm được gọi là một nghiệm yếu của phương
trình (2) nếu u vừa là nghiệm yếu dưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình (2).

([0,)
d
uC∈×∞\
94
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008

95
2. Giải quyết vấn đề
Trong mục này, ta khảo sát tính duy nhất của nghiệm yếu của phương trình (2) với
điều kiện đầu (1). Cụ thể là ta sẽ đưa ra một nguyên lý so sánh nghiệm cho phương trình
(2). Để làm điều đó, ta giới thiệu và khảo sát một số tính chất của các khái niệm về tích
chập inf-sup. Phương pháp của chúng ta ở đây là chỉ ra một nguyên lý so sánh cho nghiệm
yếu của (2) trong một miền con của là
[0, )
d
×∞\ [0, ]
B
T× , trong đó :[0;]
B
BR=
[0, )
d
×∞\
là
hình cầu đóng tâm 0 bán kính , và T là một số thực dương. Vì R và T bất kỳ, nên ta
có thể cho chúng tiến ra vô cùng để thu được nguyên lý so sánh trên toàn .
0R >

2.1. Tích chập INF-SUP
Định nghĩa 4.
Cho là một hàm liên tục. Với mỗi , ta viết w: B [0,T]×→\ 0>
ε
()
()
2
2
,[0,]
2
2
,[0,]
1
w(,): sup w(y,s)- +(t-s) ,
1
w(,): inf w(y,s)+ +(t-s) ,
yBs T
yBs T
xt x y
xt x y
ε
ε
ε
ε
∈∈
∈∈
⎧
⎫
=−
⎨

⎬
⎩⎭
⎧
⎫
=−
⎨
⎬
⎩⎭

với
,[0,].
x
Bs T∈∈
w
ε
và được gọi là tích chập inf và sup của w tương ứng. Lưu ý rằng, vì w liên tục
nên ‘’inf’’ và ‘’sup’’ ở trên có thể thay bởi ‘’min’’ và ‘’max’’.
w
ε
Bổ đề 1. (Tính chất của tích chập inf-sup). Tồn tại các hằng số chỉ phụ thuộc vào ,,ABC
([0,])
w
LB T
∞
×
sao cho với mọi , các phát biểu sau đây là đúng:
0
ε
>
(i) trên

www
ε
ε
≤≤ [0, ]
B
T× .
(ii)
([0,])
w,w .
LB T
A
ε
ε
∞
×
≤
(iii) Nếu , và
yB∈ [0, ]sT∈
()
2
2
1
w(,) w(y,s)- +(t-s) ,xt x y
ε
ε
=− thì
1/2
||,|| :(xytsC
εσε
−−≤ =)

w
.
Một phát biểu tương tự vẫn đúng cho .
ε
(iv) khi đều trên
w,w w
ε
ε
→
0
ε
→
[0, ]
B
T× .
(v) Ánh xạ
()
22
1
(,) w(,)+ | |+txt xt x
ε
ε
6
là lồi, và ánh xạ
()
22
1
(,) w(,) | |+txt xt x
ε
ε

−6
là lõm.
(vi) Giả sử w là một nghiệm yếu dưới của (2) trong
[0, ]
B
T× . Khi đó, là một nghiệm
yếu dưới của (2) trong
w
ε
((),]
B
T
σε
× . Tương tự, nếu w là một nghiệm yếu trên của (2) thì
là một nghiệm yếu trên của (2) trong
w
ε
((),]
B
T
σε
×
.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
(vii) Ngoài ra, hàm số là khả vi đến cấp hai hầu khắp nơi và thỏa mãn
w
ε
t
2
ww

ww
w
ij
ij
xx
ij x x
f
εε
εε
ε
δ
⎛⎞
⎜⎟
≤− −∇
⎜⎟
⎜⎟
∇
⎝⎠
w
ε

tại những điểm trong ((),]
B
T
σε
× mà ở đó khả vi đến cấp hai, trong đó .
Tương tự là khả vi đến cấp hai hầu khắp nơi và thỏa mãn
w
ε
w0

ε
∇≠
w
ε
t
2
ww
ww
w
ij
ij
xx
ij x x
f
εε
εε
ε
δ
⎛⎞
⎜⎟
≥− −∇
⎜⎟
∇
⎝⎠
w
ε

tại những điểm trong
((),]
B

T
σε
×
mà ở đó khả vi đến cấp hai, trong đó . w
ε
w0
ε
∇≠
Chứng minh bổ đề này tương đối đơn giản, người đọc có thể tìm thấy cách chứng minh
tương tự trong [2].
2.2. Nguyên lý so sánh
Bây giờ ta có thể phát biểu kết quả chính của bài báo:
Định lý 1. Giả sử u là một nghiệm yếu dưới và v là một nghiệm yếu trên của phương trình
(2) trong
[0, ]
B
T× . Khi đó, nếu
trên
uv≤
{
}
0Bt×= (3)
thì
trên
uv≤ [0, ]
B
T× (4)
Đặc biệt, nghiệm yếu của phương trình (2) với điều kiện đầu (1) là duy nhất.

Chứng minh: Giả sử (4) sai. Khi đó

(5)
(x,t) B [0,T]
ax ( ) : 0;muva
∈×
−=>
và với đủ nhỏ,
0
α
>
(x,t) B [0,T]
ax ( ) 0.
2
a
muvt
α
∈×
−− ≥ >
Ngoài ra, ta lưu ý rằng khi đều trên
,uuv
ε
ε
→→v 0
ε
→ [0, ]
B
T× . Hệ quả là nếu ta
cố định đủ nhỏ, ta có
0
ε
>

(x,t) B [0,T]
ax ( ) 0.
4
a
muvt
α
ε
α
∈×
−− ≥>
(6)
Cho ta định nghĩa với mọi
0
δ
>
,
x
yB∈ và với mọi , hàm số ,[0,]ts T∈

(
44
1
(, ,,): (+y,t+s)-v(,) | |+s .xyts u x xt t y
ε
ε
α
δ
Φ= −−
)

(7)
Từ (6), ta thấy

(x,t),(x+y,t+s) B [0,T]
ax ( , , , ) .
4
a
mxyts
∈×
Φ≥ (8)
Bây giờ, ta chọn
11 1 11 1
(,),(+y,+s) [0,]
x
tx t B T∈× sao cho
96
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008

97

1111
(x,t),(x+y,t+s) B [0,T]
(, ,,) ax (,,,).
x
yts m xyts
∈×
Φ= Φ (9)
Vì , nên (7) kéo theo
1111
(, ,,) 0xytsΦ>

δ
(10)
1/4
11
||,|| ,ysC
δ
≤
Trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào .
Tiếp theo, ta chứng minh rằng, nếu cố định đủ nhỏ, ta có
,0
εδ
>
(11)
11 1
,+s ().tt
σε
>
Thật vậy, nếu , thì
1
()t
σε
≤
1111 1 11 1 11
1111 11
111 1
11
(, ,,) (+y,+s) (,)
4
(+y,+s) (,)+(1) khi 0
( +y ,s ) ( ,0) + (1) khi 0

(,0) (,0)+(1) khi, 0
(1) khi , 0.
a
xyts u x t vxt
ux t vx t o
ux vx o
ux vx o
o
ε
ε
ε
ε
εδ
εδ
≤Φ ≤ −
=−
=− →
=−
≤→
→
→
1
t

Đây là điều mâu thuẫn, vì vậy cho ta
().
σε
>
Sau đây, trong chứng minh, ta cố định .
,, 0

αεδ
>
Theo Bổ đề 1 (vi), ta có
u
ε
là một nghiệm yếu dưới của (2) gần
1111
(+y,+s)xt
và
v
ε
là một nghiệm yếu trên của (2) gần
11
(,)
x
t .
Bây giờ, ta chứng minh
(12)
1
0y ≠
Giả sử ngược lại, . Khi đó, (7) và (9) kéo theo
1
0y =
()
44
11 1 11 1 1
11
(,+s)(,) (+y,+s)(,) ||+suxt vxt t s ux t vxt t y
εε
εε

αα
δδ
−−−≥ −−−
4
(13)
với mọi Cho (,),(+y,t+s) B [0,T].xt x ∈×
1
x
x= và , rút gọn ta nhận được bất đẳng
thức
1
tt=
()
44
11 111 1
11
(+y,+s) (,+s)+ ||+ sux t uxt y s
εε
δδ
≤−
4

với Đặt và viết lại ta được
11
(+y,t+s)B[0,T].x ∈×
1
:rss=−
()
32234
111 111 1 1

46
( +y, +s +r) ( , +s )+ + + |r| +|y| ( , ) (0,0).ux t uxt sr sr o khiyr
εε
δδ
≤→

Vì
u là một nghiệm yếu dưới của (2) gần , nên ta sử dụng
định nghĩa của nghiệm yếu dưới để đi đến
ε
1111 111
(+y,+s) (,+s)xt xt=

3
1
4
0.s
δ
≤ (14)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
Bây giờ, ta trở lại và thay
1
y
xx=− và vào (13) và sau khi rút gọn, ta
được.
11
+sst t=−
() ()
()
2

3243
11 1 1 1 1 1 1 11
46
(,) (,)+ + |x-x|+|t-t| (,) (,).vxt vxt s tt stt o khixt xt
εε
α
δδ
⎛⎞
≥−−−− →
⎜⎟
⎝⎠
Vì v là một nghiệm yếu trên của (2) gần
ε
11
(,)
x
t , nên ta sử dụng định nghĩa của
nghiệm yếu trên để đi đến

3
1
4
0.s
α
δ
−≥ (15)
Đây chính là điều mâu thuẫn vì . Điều này chứng tỏ (12)
0>
α
\

Tiếp theo ta lưu ý rằng nếu là lồi thì ánh xạ cũng lồi trên
. Hệ quả là từ Bổ đề 1(v) ta có
:
m
Θ→\
(w,z) (w+z)Θ6
2m
\
()
22
1
(, ,,) (+y,+s)+ | +|+(t+s)xyts u x t xy
ε
ε
6
là lồi, cũng như
()
22
1
(,) (,)+ | |+txt v xt x
ε
ε
−6
là lồi, và như vậy
()
222
(, ,,) (, ,,)+C| |+| |+t+sxyts xyts x yΦ6
2

lồi gần với điểm với một hằng số đủ lớn . Vì đạt cực đại tại

điểm nên ta có thể ứng dụng Bổ đề Jensen [3] : tồn tại một dãy các điểm
1111
(,y,,s)xt
1
s)
(, )
CC
εδ
= Φ
111
(,y,,xt
{
}
1
)
k
∞
=
(, ,,
kkkk
xyts sao cho

1111
(, ,,) (,,,),
kkkk
x
yts xyts→ (16)
, u
ε
Φ và khả vi đến cấp hai tại điểm (17) v

ε
(, ,,)( 1,2,),
kkkk
xyts k= "
2
,,, ,,, 2+2
(, ,,) 0, (, ,,) (1) .
kkkk kkkk
xyts xyts d
xyts xyts o I khik∇Φ →∇Φ ≤ →∞ (18)
Sử dụng (7), (17) ta thấy

(, ,,) (+,+) (,): ,
kkkk k kkk kk k k
x
x
yts ux yt s vxt p p
ε
ε
∇Φ =∇ −∇ = − (19)
2
44
(,,,) (+,+) || ||
kkkk k kkk k k k k k
y
2
.
x
yts ux yt s y y p y y
ε

δδ
∇Φ =∇ − = − (20)
Vì , nên ta áp dụng (18) để thu được
1
k
y→ y

2
11
4
,||
kk
:
p
pyy
δ
→=p trong . (21)
d
\
Khẳng định (12) cho ta và do đó
0p ≠ ,0
kk
pp≠ với k đủ lớn.
Một lần nữa, ta sử dụng (7) và (18) để nhận được

( , , , ) ( +y ,t +s ) - v ( , ) :
kkkk k kkk kk k k
tt t
xyts ux xt q q
ε

ε
αα
Φ= −=−−. (22)
98
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008

99
Vì và
v là các hàm liên tục Lipschitz, nên ta có thể lấy giới hạn qua một dãy con và
đánh lại chỉ số, ta nhận được
u
ε
ε

,
kk
qqq→→q trong \ . (23)
Khi đó (18) và (22) đảm bảo

0qq
α
−=>. (24)
Tiếp theo (7) và (17) kéo theo

22 2
( , , , ) ( +y ,t +s ) - v ( , ) : .
kkkk k kkk kk k k
x
x
yts ux xt G G

ε
ε
∇Φ =∇ ∇ = − (25)
Bây giờ (18) cho ta
,
kk
kd
GG I
ε
−≤
trong đó, . Ngoài ra, Bổ đề 1 (v) chứng tỏ và
0
k
ε
→
k
d
GCI≥−
k
d
GCI≤ với
. Vì vậy
()CC
ε
=
k
+.
kk
dd
CI G G I CI

ε
−≤≤ ≤
d

Hệ quả là ta có thể lấy giới hạn qua một dãy con nếu cần thiết, và giả sử
,
kk
GGG→→G trong ,
dd
S
×
với: GG≤ . (26)
Nhắc lại rằng, (17) đúng và
(+y,+s), (,)
k k kk k k kk
p
ux t p vxt
ε
ε
=∇ =∇ khác không với
k đủ lớn. Vì
u
là nghiệm yếu dưới gần và là nghiệm yếu trên gần
ε
1111
(+y,+s)xt v
ε
11
(,)
x

t , nên
k
2
(+y)
kk
ij
kkkk
p
ij ij
k
pp
qgfx
p
δ
⎛⎞
⎜⎟
≤− −
⎜⎟
⎝⎠
và
2
()
kk
ij
kk
ij ij
k
pp
qgf
p

δ
⎛⎞
⎜⎟
≥− −
⎜⎟
⎝⎠
kk
xp
,
với mọi k đủ lớn, trong đó
kk
ij ij
() ,()
k
gGg=
k
G=. Cho k tiến ra vô cùng, cùng với (21),
(23), (26) và tính liên tục của hàm số f ta nhận được
11
2
(+y)
ij
ij ij
pp
qgfxp
p
δ
⎛⎞
⎜⎟
≤− −

⎜⎟
⎝⎠
và
1
2
()
ij
ij ij
pp
qgf
p
δ
⎛⎞
⎜⎟
≥− −
⎜⎟
⎝⎠
xp
,
trừ hai bất đẳng thức trên, ta thu được
()
()
ij ij 1 1 1
2
+() (+y)
ij
ij
pp
qq g g fx fx p
p

δ
⎛⎞
⎜⎟
−≤ − − −
⎜⎟
⎝⎠
.

Bây giờ, ta thấy ma trận
2
ij
ij
pp
p
δ
⎛⎞
⎛⎞
⎜
⎜
−
⎜
⎜
⎝⎠
⎝⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
là ma trận nửa xác định dương và ma trận
GG− là ma trận nửa xác định âm. Do đó, từ (26) ta nhận được

()
111
() (+y) .qq fx fx p
α
−=≤ −
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
100
k
Lưu ý rằng, bị chặn với mọi và độc lập với
; khi . Vì vậy, cho , ta nhận được
(+y,+s)
kkkk
pux t
ε
=∇
11
() 0yy
δ
=→
+
0
δ
→
0
δ
> 0
α
>
0
δ

>
+
0
δ
→
0.qq
α
−=≤
Đây là điều mâu thuẩn với (24).
,

3. Kết luận
Bài báo trình bày phương pháp tập mức để khảo sát bài toán chuyển động của mặt với vận
tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình. Đây là bài toán đã và đang được nhiều nhà toán học
quan tâm và tìm cách giải quyết. Trên cơ sở đưa ra một khái niệm nghiệm yếu, bài báo đã
chỉ ra rằng, nghiệm yếu của bài toán giá trị đầu nếu tồn tại thì chỉ có một. Hơn nữa, cùng
với các ưu điểm của phương pháp tập mức, cách tiếp cận có thể được áp dụng cho các bài
toán phức tạp và khắc phục được những nhược điểm mà phương pháp đồ thị mắc phải như
vấn đề thay đổi tôpô của mặt trong quá trình chuyển động.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]
M. G. Crandall, and P. L. Lions, Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations,
Trans. Amer. Math. Soc.,
277(1983), 1-42.
[2]
L. C. Evans, and J. Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J. Diff. Geom.,
33(1991), 635-681.
[3]

R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988
[4]
Nguyễn Chánh Định, On the uniqueness of viscosity solutions to second order
parabolic partial differential equations, J. Science and Technology, University of
Danang,
2(14)(2006), 53-57.
[5]
Nguyễn Chánh Định, Existence of a weak solution of level set minimal surface
equations, J. Science and Technology, University of Danang,
5(17)(2006), 36-39.
[6]
Nguyễn Chánh Định, Some properties of weak solutions of level set minimal surface
equations, J. Science and Technology, University of Danang,
6(18)(2007), 65-68.
[7]
Ch. -D. Nguyen, and R. H. W. Hoppe, Amorphous surface growth via a level set
approach, J. Non. Anal. Theor. Meth. Appl. (
66)2007, 704-722.