GIẢI TÍCH - ĐỀ 7 ppt

Đề 7
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x
2
- y
2
). Tính dz(
)1,2
và
2
2
x
z
∂
∂
(
)1,2
dz= => dz(
)1,2
=
=>
2
2
x
z
∂
∂
(
)1,2
= -6
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2

( , ) 1 4 8 ; 8 8f x y x y x y= − − − =
.
L(x,y,λ)= 1-4x-8y+λ(
 x=-4,y=1, λ=-1/2 v x=4,y=-1, λ=1/2
d
2
L= dx
2
- dy
2
x
2
= 8y
2
+8 => 2xdx=16ydy
x=-4,y=1, λ=-1/2 => d
2
L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)
x=4,y=-1, λ=1/2 => d
2
L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 !
n
n
n
n
n
∞

=
∑
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
( )( )
∑
∞
=
+
+
++
0
62
1.5
12
n
n
n
n
xn
ρ=
=> -5<x+1<5 => -6<x<4
x=-6:
x=4:
Miền hội tụ [-6,4]
Câu 5. Tính tích phân
∫∫
++
0
22
3 yx

dxdy
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x
2
+y
2
= 1(x, y
≥
0), x
2
+y
2
=33 (x, y
0≥
), y=x, y = x
3
.
∫∫
++
0
22
3 yx
dxdy
=
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye
xy
+ e
x
α
cosy, Q(x,y)= 2xe
xy

- e
x
α
siny trong đó
α
là hằng số. Tìm
α
để biểu thức Pdx + Qdy là vi
phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với
α
vừa tìm được, tính tích phân đường
dyxyxQdxyyx ]),([]),[(
33
++−
∫
γ
trong đó (
)
γ
là đường tròn x
2
+y
2
= 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một
2
=
∫∫
S
I x dS

, với S là nửa trên mặt
2 2 2
4+ + =x y z
2
=
∫∫
S
I x dS
=
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
2 2 2
(3 ) (3 ) (3 )= − + − + −
∫Ñ
C
I x y dx y z dy z x dz
, với C là giao của
2 2
= +z x y
và
2 2z y= −
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
S là mặt giao của của
2 2
= +z x y
và
2 2z y= −
, n= (0,
2 2 2
(3 ) (3 ) (3 )= − + − + −
∫Ñ

C
I x y dx y z dy z x dz
=
= =
Đề 8
Câu 1. Tìm
' '
,
x y
z z
của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình
3 2
lnx y yz z+ + =
F(x,y)= x
3
+y
3
+yz-lnz
z'
x
=
z’
y
=
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2 2
( , ) 4f x y x y x y= + + +
trên miền
{( , ) | | | 1,| | 1}D x y x y= ≤ ≤
 x=0,y=0

x= : f(y) =y
2
+y+5
f’(y)=2y+1=0 =>y=-1/2
y=-1: f(x)= 5 với mọi x
y=1: f(x)=2x
2
+5>0
f(0,0)= 4 f(-1,-1)=f(1,-1)=5
f( f(1,1)=f(-1,1)=7
Maxf= 7
Minf= 4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/
)1(
2
12
2
−
∞
=
∑






+
nn
n

n
n
b/
2
1
2
5.
!)12 (5.3.1
9.4.1
+
∞
=
∑
−
n
n
nn
n
a)
b) =>
2
1
2
5.
!)12 (5.3.1
9.4.1
+
∞
=
∑

−
n
n
nn
n
phân kỳ theo tc D’alembert
Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
1 4 2
3
1
( 1) ( 2)
3 1
n n
n
n
x
n n
∞
+
=
− −
+ +
∑
ρ=
=>-3<x-2<3 => -1<x<5
x=-1 hội tụ
x=5 hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ [-1,5]
Câu 5. Tính tích phân kép
∫∫

−−
D
yx
22
9
dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x
2
+ y
2
= 9, y
0≥
và
các đường thẳng y = x, y = -x
∫∫
−−
D
yx
22
9
=
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e
-y
,
( , ) (1 )
y
Q x y x y e
−
= − −
. Tìm

hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy
là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân
[ ]
∫
+
L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()(
trong đó L
là nữa đường tròn x
2
+ y
2
= 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).
 h(x)= e
x
[ ]
∫
+
L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()(
= 3e
-3
+ 3e
3
Câu 7. Tính
2=
∫∫∫
V
I zdxdydz
, với V giới hạn bởi

2 2 2
2+ + ≤x y z z
và
2 2
1+ + =z x y
.
D= pr
xOy
V , D={x
2
+ y
2
=1/2}
2=
∫∫∫
V
I zdxdydz
=
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( )
( 2 ) 2 2= + + + + +
∫∫
S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy
, với S là phần mặt paraboloid
2 2
= +z x y
, bị cắt bởi
2 2z x= −
, phía dưới.

D =pr
xOy
S={ (x+1)
2
+y
2
=3}, x+1=rcosφ,y=rsinφ
( ) ( )
( 2 ) 2 2= + + + + +
∫∫
S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy
=
=
=
=
Đề 9
Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của
2 2
1
, if ( , ) (0,0)
( , )
3, if ( , ) (0,0)
x y
e x y
f x y
x y
−
+



≠
=


− =

Miền xác định: {R\ xy=0}
f(x,y)= , (x,y) khác (0,0)
 lnf(x,y) = , (x,y) khác (0,0)
 , (x,y) khác (0,0)

 0<f(x,y)<1
Miền giá trị: {(0,1) với (x,y) khác (0,0)}
{-3 với (x,y)=(0,0)}
Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x
2
- 2xy+ 2y
2
- 2x+ 2y +4
Điểm dừng:  x=1, y=0
A= f’’
xx
=2 B=f’’
xy
=-2 C=f’’
yy
=4
Δ=AC-B
2

=4>0, A=2>0
 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,0)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của
( )
∑
∞
=
+
1n
nn
vu
với
)14(
14
14
+






+
−
=
nn
n
n
n
u

,
!).13 (10.7.4
).2 (6.4.2
nn
nn
v
n
n
+
=
=> hội tụ theo tc Cauchy
=> phân kỳ theo tc D’alembert

( )
∑
∞
=
+
1n
nn
vu
phân kỳ
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∑
∞
=
+
+
+
0

4
32
1.4
)3(
n
n
n
n
x
ρ=
=> -4<x+3<4 => -7<x<1
x=-7: hội tụ theo tc Leibnitz
x=1: phân kỳ
 Miền hội tụ [-7,1)
Câu 5. Tính J=
∫∫
D
dxdy
với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x
2
+y
2
= 2x, x
2
+y
2
= 6x và các đường thẳng y = x, y = 0.
J=
∫∫
D

dxdy
=
Câu 6. Tìm hàm h(x
2
- y
2
), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I=
][
dxyxydyyxxyxh
AB
)()()(
222222
+−+−
∫
với AB là cung không cắt đường x
2
= y
2
.
 h(x
2
-y
2
)= c
h(1)=1 => c=1
 h(x
2
-y
2

)= 1
Câu 7. Tính
( )
V
I x yz dxdydz= +
∫∫∫
, với V giới hạn bởi
2 2
z x y= +
và
2 2
2z x y+ + =
.
( )
V
I x yz dxdydz= +
∫∫∫
=
=
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( )
2 3 2 4= + + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z y dxdy
, với S là phần mặt
2 2 2
2+ + =x y z x
,
phần

0z ≤
, phía dưới.
Thêm mặt z=0
Công thức Gauss
( ) ( )
2 3 2 4= + + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z y dxdy
=
=
Đề 10
Câu 1. Tính
//
(0,0)
xy
f

2 2
, if ( , ) (0,0)
( , )
0, if ( , ) (0,0)

≠

=
+


=


xy
x y
f x y
x y
x y
(x,y) khác (0,0): f’
x
(x,y) =
f ‘
x
(0,0) = =0
f ‘’
xy
(0,0) =
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
4 4 2 2
2 , 0.z x y x y xy x= + − − − ≠
Điểm dừng:  x=1, y=1 v x=-1,y=-1
A= f’’
xx
=12x
2
-2 B=f’’
xy
=-2 C=f’’
yy
=12y
2
-2

Δ=AC-B
2
= (12x
2
-2)( 12y
2
-2)-4
 => Δ= 96>0, A= 10>0
 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2 1
n
n
n
n
∞
=
+
 
∑
 ÷
+
 
=>
2
1
1

2 1
n
n
n
n
∞
=
+
 
∑
 ÷
+
 
hội tụ theo tc Cauchy
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
( 4)
2
n
n
x
n n
∞
=
−
∑
+
ρ=
=> -1<x-4<1 => 3<x<5
x=3: hội tụ theo tc Leibnitz

x=5: hội tụ
 Miền hội tụ [3,5]
Câu 5. Tính tích phân kép
( | |)
D
I x y dxdy= +
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi
2 2
4, 0x y x+ ≤ ≥
( | |)
D
I x y dxdy= +
∫∫

=
=
Câu 6. Tính tích phân
(2,3)
2
2 2 2 2
(1,1)
1x y y
I dx dy
x x
x y x y
   
= − + +
 ÷  ÷

 ÷  ÷
+ +
   
∫
, theo đường cong C không qua gốc O
và không cắt trục tung.
=> tp ko phụ thuộc đường đi
(2,3)
2
2 2 2 2
(1,1)
1x y y
I dx dy
x x
x y x y
   
= − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ +
   
∫
=
Câu 7.
2 2 2
1
V
I dxdydz
x y z
=

∫∫∫
+ +
, với V được giới hạn bởi
2 2 2
4+ + ≤x y z
và
2 2
≥ +z x y
2 2 2
1
V
I dxdydz
x y z
=
∫∫∫
+ +
=
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( ) ( )
S
I x z dydz y x dxdz z y dxdy= + + + + +
∫∫
, với S là phần mặt paraboloid
2 2
z x y= +
nằm dưới mặt
2x z+ =
, phía trên.
D=pr
xOy

S={(x+1/2)
2
+y
2
=9/4}
Thêm mặt
2x z+ =
Công thức Gauss
( ) ( ) ( )
S
I x z dydz y x dxdz z y dxdy= + + + + +
∫∫
= -
=
=